質(zhì)點動力學牛頓運動定律

1、第第2章章 質(zhì)點動力學質(zhì)點動力學University physics動力學的基本問題是研究物體間的相互作用，以及由此引起動力學的基本問題是研究物體間的相互作用，以及由此引起的物體運動狀態(tài)變化的規(guī)律。的物體運動狀態(tài)變化的規(guī)律。動力學的研究對象是運動速度遠小于光速的宏觀物體動力學的研究對象是運動速度遠小于光速的宏觀物體。動力學的基本定律是牛頓運動定律。以牛頓運動定律為基礎(chǔ)動力學的基本定律是牛頓運動定律。以牛頓運動定律為基礎(chǔ)的力學體系就叫牛頓力學或經(jīng)典力學。的力學體系就叫牛頓力學或經(jīng)典力學。英國物理學家，經(jīng)典物理學的奠基人。英國物理學家，經(jīng)典物理學的奠基人。 他對力學、光學、天文學和數(shù)學等學他對力學

2、、光學、天文學和數(shù)學等學科都有重大發(fā)現(xiàn)，其代表作科都有重大發(fā)現(xiàn)，其代表作自然哲自然哲學的數(shù)學原理學的數(shù)學原理是力學的經(jīng)典著作。是力學的經(jīng)典著作。牛頓是近代自然科學奠基時期具有集牛頓是近代自然科學奠基時期具有集前人之大成的貢獻的偉大科學家。完前人之大成的貢獻的偉大科學家。完成成 了人類文明史上第一次自然科學了人類文明史上第一次自然科學的大綜合。的大綜合。牛頓牛頓 Issac Newton （16431727）亞歷山大亞歷山大 波普的詩句：波普的詩句：Nature and nature，s law lay hid in night:God said let Newton be! And all w

3、as light. A.Pope （ 16881744）自然與自然規(guī)律為黑暗隱藏：自然與自然規(guī)律為黑暗隱藏：上帝說，讓牛頓來！一切遂臻光明。上帝說，讓牛頓來！一切遂臻光明。自然哲學的數(shù)學原理自然哲學的數(shù)學原理 1687年出版年出版 自然哲學的數(shù)學原理自然哲學的數(shù)學原理使人類使人類第一次對第一次對“世界系統(tǒng)世界系統(tǒng)”（即太陽（即太陽系）有了定量的了解系）有了定量的了解更重要更重要的是這個了解基于一種純理論的的是這個了解基于一種純理論的思考體系，用準確的數(shù)學語言，思考體系，用準確的數(shù)學語言，既簡單又凈潔，既精確又包羅萬既簡單又凈潔，既精確又包羅萬象?？梢哉f，在公元象?？梢哉f，在公元16871687

4、年誕生年誕生了的是一種革命性的新世界觀：了的是一種革命性的新世界觀：宇宙具有極精確的基本規(guī)律，而宇宙具有極精確的基本規(guī)律，而人類可以了解這些規(guī)律。人類可以了解這些規(guī)律。 楊振寧楊振寧2-1 牛頓運動定律及其應(yīng)用牛頓運動定律及其應(yīng)用2-1-1 牛頓運動三定律牛頓運動三定律一、牛頓第一定律一、牛頓第一定律(慣性定律慣性定律)任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，直到任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，直到其它物體作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。其它物體作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。0iF物體處于靜止或勻速直線運動狀態(tài)時：物體處于靜止或勻速直線運動狀態(tài)時：( 靜力學基本方程靜力學基本方程 )Un

5、iversity physics AP Fang慣性：指物體本身要保持運動狀態(tài)不變的性質(zhì)慣性：指物體本身要保持運動狀態(tài)不變的性質(zhì)笛卡兒的慣性原理：笛卡兒的慣性原理：“靜止的物體依然靜止，運動靜止的物體依然靜止，運動的物體依然運動，除非有其他物體作用；慣性運動的物體依然運動，除非有其他物體作用；慣性運動是以不變的速度沿直線運動。是以不變的速度沿直線運動?！倍?、牛頓第二定律二、牛頓第二定律一個物體的動量隨時間的變化率正比于這個物一個物體的動量隨時間的變化率正比于這個物體所受的合力，其方向與所受合力的方向相同。體所受的合力，其方向與所受合力的方向相同。tmFid)d(v取適當?shù)膯挝唬谷∵m當?shù)膯挝唬?/p>

6、使 k =1 ，則有，則有tmtmtmFiddddd)d(vvvamtmFiddv當物體的質(zhì)量不隨時間變化時當物體的質(zhì)量不隨時間變化時tmkFid)d(v 直角坐標系下為直角坐標系下為 dd22txmFix22ddtymFiy22dd tzmFizUniversity physics討論討論221d ()dinnsFmammtv自然坐標下自然坐標下22ddddisFmammttv物體在運動中質(zhì)量有所增減，如火箭、雨滴問題。物體在運動中質(zhì)量有所增減，如火箭、雨滴問題。高速（高速（v 106 m/s ) 運動中，質(zhì)量與運動速度相關(guān)，運動中，質(zhì)量與運動速度相關(guān)，如相對論效應(yīng)問題。如相對論效應(yīng)問題。以

7、下兩種情況下，質(zhì)量不能當常量以下兩種情況下，質(zhì)量不能當常量University physicsFF三、牛頓第三定律三、牛頓第三定律當物體當物體 A 以力以力作用于物體作用于物體 B 時，物體時，物體 B 也同時以力也同時以力FF作用于物體作用于物體 A 上，上，F(xiàn)和和F總是大小相等，方向相反，總是大小相等，方向相反，且在同一直線上。且在同一直線上。第三定律揭示了第三定律揭示了力力的兩個性質(zhì)的兩個性質(zhì)成對性成對性 物體之間的作用是相互的。物體之間的作用是相互的。同時性同時性 相互作用之間是相互依存，同生同滅。相互作用之間是相互依存，同生同滅。討論討論第三定律是關(guān)于力的定律，它適用于接觸力。對于第

8、三定律是關(guān)于力的定律，它適用于接觸力。對于非接觸的兩個物體間的相互作用力，由于其相互作用以非接觸的兩個物體間的相互作用力，由于其相互作用以有限速度傳播，存在延遲效應(yīng)。有限速度傳播，存在延遲效應(yīng)。University physics牛頓運動定律的正確性被事實所證明，它是質(zhì)點牛頓運動定律的正確性被事實所證明，它是質(zhì)點動力學的基本定律，也是整個力學理論的基礎(chǔ)。動力學的基本定律，也是整個力學理論的基礎(chǔ)。牛頓運動定律成立條件：（牛頓運動定律成立條件：（1）質(zhì)點、）質(zhì)點、 （2）慣性系、）慣性系、（3）低速，宏觀物體）低速，宏觀物體1. 慣性參考系：慣性參考系：用牛頓第一定律定義的參考系用牛頓第一定律定義

9、的參考系，簡，簡稱慣性系稱慣性系(inertial system)。在此參考系中，一個不。在此參考系中，一個不受力作用的物體將保持靜止或作勻速直線運動。受力作用的物體將保持靜止或作勻速直線運動。慣性系的特點慣性系的特點1. 不可能在慣性系的內(nèi)部進行任何力學實驗，來確定該系統(tǒng)不可能在慣性系的內(nèi)部進行任何力學實驗，來確定該系統(tǒng)的物理狀態(tài)。即的物理狀態(tài)。即對于力學規(guī)律來說，一切慣性系都是等價對于力學規(guī)律來說，一切慣性系都是等價的的 力學相對性原理力學相對性原理( (伽利略相對性原理伽利略相對性原理) )。關(guān)于慣性系的說明：關(guān)于慣性系的說明：“地恒動不止，而人不知，如坐閉窗舟中，舟行而地恒動不止，而人

10、不知，如坐閉窗舟中，舟行而人不覺也。人不覺也?！?” 尚書緯尚書緯考靈曜考靈曜漢代漢代2. 相對于一慣性系做勻速直線運動的參考系都是慣性系相對于一慣性系做勻速直線運動的參考系都是慣性系。2-1-2 力學中常見的幾種力力學中常見的幾種力一、萬有引力一、萬有引力1m2m21F0r 12Fr質(zhì)量為質(zhì)量為 m1、m2 ，相距為，相距為 r 的兩質(zhì)點間的萬有引力大小為的兩質(zhì)點間的萬有引力大小為221rmmGF 21311skgm1067. 6G用矢量表示為用矢量表示為說明說明University physics牛頓證明：均勻球?qū)η蛲赓|(zhì)點的作用等效于球的全牛頓證明：均勻球?qū)η蛲赓|(zhì)點的作用等效于球的全部質(zhì)量

11、集中于球心時對該質(zhì)點的作用。部質(zhì)量集中于球心時對該質(zhì)點的作用?？ㄎ牡鲜苍诳ㄎ牡鲜苍?798年用紐秤測得年用紐秤測得012212m mFGrr 如圖所示，一質(zhì)點如圖所示，一質(zhì)點m 旁邊放一長度為旁邊放一長度為L 、質(zhì)量為、質(zhì)量為M 的桿，的桿，桿離質(zhì)點近端距離為桿離質(zhì)點近端距離為l 。MmLl解：解：例：例：該系統(tǒng)的萬有引力大小。該系統(tǒng)的萬有引力大小。求：求：22dddLxxmMGxMmGfxMd dxoxd? 2lmMGF xLllLllLllxxLmMGxLxmMGff 2 2 ddd)(LllmMG當當 l L 時時)( LllmMG2lmMG(2) 萬有引力定律只直接適用于兩質(zhì)點間的相互

12、作用萬有引力定律只直接適用于兩質(zhì)點間的相互作用桿與質(zhì)點間的桿與質(zhì)點間的萬有引力大小為萬有引力大小為質(zhì)點與質(zhì)量元間的萬有引力大小為質(zhì)點與質(zhì)量元間的萬有引力大小為University physics(3) 重力重力是地球?qū)ζ浔砻娓浇矬w萬有引力的分力是地球?qū)ζ浔砻娓浇矬w萬有引力的分力二、彈性力二、彈性力當兩宏觀物體有接觸且發(fā)生微小當兩宏觀物體有接觸且發(fā)生微小形變形變時，形變的物體對與它接觸的物體會時，形變的物體對與它接觸的物體會產(chǎn)生力的作用，這種力叫產(chǎn)生力的作用，這種力叫彈性力彈性力 。在形變不超過一定限度內(nèi)，彈簧的彈在形變不超過一定限度內(nèi)，彈簧的彈性力性力 遵從遵從胡克定律胡克定律ikxf 繩

13、子在受到拉伸時，其內(nèi)部也同樣出現(xiàn)繩子在受到拉伸時，其內(nèi)部也同樣出現(xiàn)彈性張力彈性張力。NNP無形變，無彈性力無形變，無彈性力University physicsP = mg忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，物體所受的重力忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，物體所受的重力則等于它所受的萬有引力。則等于它所受的萬有引力。2RMmGmg 2RGMg 設(shè)繩子設(shè)繩子MN 兩端分別受到的拉力為兩端分別受到的拉力為 和和 。)(lT)(llTMNPTT1f2f想象把繩子從任意點想象把繩子從任意點P 切開，使繩子分成切開，使繩子分成MP 和和NP 兩段，兩段， 其間的作用力大小其間的作用力大小T 叫做繩子叫做繩子在該點在該點P 的的張力張力

14、。如圖所示。如圖所示。1f2f設(shè)繩子以垂直加速度設(shè)繩子以垂直加速度 運動，繩子運動，繩子質(zhì)量線密度為質(zhì)量線密度為 ， 則其上任一小段則其上任一小段 l 滿足下列方程滿足下列方程alalglTllT )()(g l l由方程看出：一般情況下，繩子上由方程看出：一般情況下，繩子上各處的張力大小是不相等的，但在各處的張力大小是不相等的，但在繩子的質(zhì)量可以忽略不計時，繩子繩子的質(zhì)量可以忽略不計時，繩子上各處的張力相等。上各處的張力相等。aUniversity physics三、摩擦力三、摩擦力當兩相互接觸的物體彼此之間保持當兩相互接觸的物體彼此之間保持相對靜止相對靜止，且沿接觸面有，且沿接觸面有相對運

15、動趨勢時，在接觸面之間會產(chǎn)生一對阻止上述運動趨相對運動趨勢時，在接觸面之間會產(chǎn)生一對阻止上述運動趨勢的力，稱為勢的力，稱為靜摩擦力靜摩擦力。 1. 靜摩擦力靜摩擦力說明說明靜摩擦力的大小隨引起相對運動趨勢的外力而變化。最大靜摩擦力的大小隨引起相對運動趨勢的外力而變化。最大靜摩擦力為靜摩擦力為 fmax=0 N2. 滑動摩擦力滑動摩擦力兩物體相互接觸，并有兩物體相互接觸，并有相對滑動相對滑動時，在兩物體接觸處出現(xiàn)時，在兩物體接觸處出現(xiàn)的相互作用的摩擦力，稱為的相互作用的摩擦力，稱為滑動摩擦力滑動摩擦力。 Nf ( 0 為最大靜摩擦系數(shù)，為最大靜摩擦系數(shù)，N 為正壓力為正壓力)( 為滑動摩擦系數(shù)為

16、滑動摩擦系數(shù))University physicsvbf 2vcf 3 vf3. 流體阻力流體阻力當物體穿過液體或氣體運動時，會受到流體阻力，該阻力當物體穿過液體或氣體運動時，會受到流體阻力，該阻力與運動物體速度方向相反，大小隨速度變化。與運動物體速度方向相反，大小隨速度變化。(1) 當物體速度不太大時，阻力主要由流體的粘滯性產(chǎn)生。當物體速度不太大時，阻力主要由流體的粘滯性產(chǎn)生。這時流體阻力與物體速率成正比。這時流體阻力與物體速率成正比。(2) 當物體穿過流體的速率超過某限度時當物體穿過流體的速率超過某限度時(低于聲速低于聲速)，這時，這時流體阻力與物體速率的平方成正比。流體阻力與物體速率的平

17、方成正比。(3) 當物體與流體的相對速度提高到接近空氣中的聲速時，當物體與流體的相對速度提高到接近空氣中的聲速時， 這時流體阻力將迅速增大。這時流體阻力將迅速增大。University physics 四種基本相互作用力四種基本相互作用力 以距源以距源 處強相互作用的力強度為處強相互作用的力強度為 1m1015力的種類力的種類 相互作用的物體相互作用的物體 力的強度力的強度力程力程萬有引力萬有引力一切質(zhì)點一切質(zhì)點無限遠無限遠3810弱力弱力大多數(shù)粒子大多數(shù)粒子小于小于m1017610電磁力電磁力電荷電荷無限遠無限遠210強力強力核子、介子等核子、介子等m10151統(tǒng)一是物理學永恒的追求！統(tǒng)一是

18、物理學永恒的追求！17世紀，牛頓統(tǒng)一了天上和地上的運動；世紀，牛頓統(tǒng)一了天上和地上的運動；19世紀，麥克斯韋的電磁理論統(tǒng)一了電學、磁學和光世紀，麥克斯韋的電磁理論統(tǒng)一了電學、磁學和光學現(xiàn)象；學現(xiàn)象；20世紀，電弱統(tǒng)一理論把弱相互作用和電磁相互作用世紀，電弱統(tǒng)一理論把弱相互作用和電磁相互作用統(tǒng)一起來。統(tǒng)一起來。溫伯格溫伯格薩拉姆薩拉姆格拉肖格拉肖弱相互作用弱相互作用電磁相互作用電磁相互作用電弱統(tǒng)一電弱統(tǒng)一理論理論三人于三人于1979年榮獲諾貝爾物理學獎年榮獲諾貝爾物理學獎電弱相互作用電弱相互作用強相互作用強相互作用萬有引力作用萬有引力作用“超統(tǒng)一超統(tǒng)一”（尚待實現(xiàn)）（尚待實現(xiàn)）2-1-3 應(yīng)用牛

19、頓定律解題應(yīng)用牛頓定律解題動力學問題一般分為兩類：動力學問題一般分為兩類：力力運動運動一一. 微分問題：微分問題： 已知運動已知運動 (r，v，a)求力求力 F 二二 .積分問題：積分問題： 已知力已知力 F 求運動求運動 (r，v，a)應(yīng)用牛頓運動定律求解質(zhì)點動力學的一般步驟：應(yīng)用牛頓運動定律求解質(zhì)點動力學的一般步驟：1. 選取研究對象選取研究對象2. 分析受力情況和運動情況，畫出受力圖分析受力情況和運動情況，畫出受力圖3. 選取坐標系選取坐標系4. 列方程（對應(yīng)的動力學微分方程）求解列方程（對應(yīng)的動力學微分方程）求解5. 討論討論, , ,r saFv例例1：已知一質(zhì)量為已知一質(zhì)量為m 的

20、物體的物體 , 其運動學方程為其運動學方程為cossinrAtiBtj求求:解：解：222cossinAtiBtjr 2Fmamr ?F 22dd rradtdtv一、一、微分問題微分問題University physics設(shè)一高速運動的帶電粒子沿豎直方向以設(shè)一高速運動的帶電粒子沿豎直方向以 v0 向上運動，從時向上運動，從時刻刻 t = 0 開始粒子受到開始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，水平力的作用，F(xiàn)0 為常量，為常量，粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量為 m 。xxmatFF0txtmtFx 0 0 0 ddvvtaxxddvxyom)(tF水平方向有水平方向有tx 0 0 txdd例例2：0

21、v解：解：粒子的運動軌跡。粒子的運動軌跡。求：求：33006ymFxv運動軌跡為運動軌跡為mtFx220vtmtFxd2 d20306tmFx 豎直方向有豎直方向有0yymaFty0v二、積分問題：二、積分問題：University physicssrvaF,AFyx分解到垂直和平行斜面，則垂直斜面分量為：分解到垂直和平行斜面，則垂直斜面分量為：NmgsincosFmgN故斜面受到物體故斜面受到物體 A 的作用力的作用力N大小即大小即為為N，方向為垂直于斜面向下。，方向為垂直于斜面向下。xyacossinsincosmaNFmamgNsincosFmgN目的：尋找恰當?shù)淖鴺讼悼梢院喕蠼膺^程目

22、的：尋找恰當?shù)淖鴺讼悼梢院喕蠼膺^程例例3 3 在一與水平面成在一與水平面成 角的光滑斜面上放置一質(zhì)量為角的光滑斜面上放置一質(zhì)量為 m m 的物的物體體A A，有一水平力，有一水平力 F F 作用于物體作用于物體 A A 上，并使之沿著斜面向上上，并使之沿著斜面向上加速運動，求物體加速運動，求物體 A A 對斜面作用力的大小和方向。對斜面作用力的大小和方向。NamFgmN=+列方程：列方程：分解到水平和豎直方向分解到水平和豎直方向mFmMF = Mg mg試分析兩種情況下重物試分析兩種情況下重物 m 的運動，的運動，加速度誰大？加速度誰大？mFmga1mMmgMgTTa2a2gmmMaMgFm

23、amgF11gmMmMaMaTMgmamgT222討論題討論題1gmMMmT2MgFT(A) (B) (C) (D) 0, 0BAaa0, 0BAaa0, 0BAaa0=, 0BAaa分析：分析：撤銷拉力撤銷拉力 F 的瞬間，彈的瞬間，彈簧仍保持原來的拉伸狀態(tài)。簧仍保持原來的拉伸狀態(tài)。FxBAfffkfk討論討論2：質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 mA 和和 mB 的兩滑塊的兩滑塊 A 和和 B 通過一通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為摩擦系數(shù)均為 ，系統(tǒng)在水平拉力，系統(tǒng)在水平拉力 F 作用下勻速運動。作用下勻速運動。如突然撤銷

24、拉力，則剛撤銷后瞬間，二者的加速度如突然撤銷拉力，則剛撤銷后瞬間，二者的加速度 aA 和和 aB 分別為：分別為：問題：問題：?=Aa例例4 質(zhì)量為質(zhì)量為 m、長為、長為 l 的柔軟細繩，一端系著放在光的柔軟細繩，一端系著放在光滑桌面上質(zhì)量為滑桌面上質(zhì)量為 的物體，如圖所示。繩的另一端的物體，如圖所示。繩的另一端加如圖所示的力加如圖所示的力 F。 繩被拉緊時會略有伸長繩被拉緊時會略有伸長(形變形變)，一般伸長甚微，可略去不計?，F(xiàn)設(shè)繩的長度不變，一般伸長甚微，可略去不計。現(xiàn)設(shè)繩的長度不變，質(zhì)量分布是均勻的。求：質(zhì)量分布是均勻的。求：(1) 繩作用在物體上的力；繩作用在物體上的力；(2)繩上任意點

25、的張力。繩上任意點的張力。mmlFmPTFTF其間張力其間張力 和和 大小相大小相等，方向相反等，方向相反TFTF(1)mmFaaTFTFTT= FFmaFF=-T解：解：設(shè)想在點設(shè)想在點 P 將繩分為兩段將繩分為兩段amF=TmmFaFmmmF+=Tl(2)xdmdxdmdTFTTdFF lxmm/ddTTT)d( FFFlxFFxlmmmFFd)(dTTxalmamd)d(mmFlxmmF)(TxlmmmFFd)(dT例例5：一細繩如圖示，質(zhì)量一細繩如圖示，質(zhì)量 M 且分布均勻，長度且分布均勻，長度 L 。 現(xiàn)使細繩以現(xiàn)使細繩以轉(zhuǎn)動中忽略轉(zhuǎn)動中忽略 重力與空氣阻力，重力與空氣阻力，M dm

26、= drLro解：解：drLMdrdm取質(zhì)量元取質(zhì)量元T (r+dr)T(r)dm2MdrLrv質(zhì)點作圓周運動質(zhì)點作圓周運動rdrLMdT2r)r(TrdrLMdT020Lr)r(TrdrLMdT20角速度角速度 在水平面旋轉(zhuǎn)。在水平面旋轉(zhuǎn)。求：求：距轉(zhuǎn)軸為距轉(zhuǎn)軸為 r 處繩中的張力處繩中的張力 T（r)？dm)rL(LM)r(T2222)drr(T)r(Tadm2rdrLMUniversity physicsxydOOsd 例例6* 如圖繩索繞圓柱上，如圖繩索繞圓柱上，繩繞圓柱張角為繩繞圓柱張角為 ，繩與圓，繩與圓柱間的靜摩擦因數(shù)為柱間的靜摩擦因數(shù)為 ， 求求繩處于滑動邊緣時繩處于滑動邊緣時

27、 , 繩兩端的繩兩端的張力張力 和和 間關(guān)系間關(guān)系 .（繩（繩的質(zhì)量忽略）的質(zhì)量忽略）AFTBFT圓柱對圓柱對 的摩擦力的摩擦力 圓柱對圓柱對 的支持力的支持力 fFNFsdsd解解 取一小段繞圓柱上的繩取一小段繞圓柱上的繩取坐標如圖取坐標如圖TFTTdFF sd兩端的張力兩端的張力 ，dsd的張角的張角 AFTBFTOBA2/d2/dfFNFTFTTdFF02dcos2dcos)d(fTTTFFFF02dsin2dsin)(NTTTFFdFFNfFF12dcosNfTFFdF2d2dsinNTTddd21FFFAFTBFTOBAxydOOsd2/d2/dfFNFTFTTdFFeTTABFF

28、e/TTABFF若若25. 0ABFFTT/0.460.4620.210.21100.000390.000390TTddTTABFFFFAFTBFTOBAmF例例7 在光滑的桌面上有一光滑的小孔，一勻質(zhì)繩子在光滑的桌面上有一光滑的小孔，一勻質(zhì)繩子通過小孔而下垂，由于下垂部分繩子的質(zhì)量，繩子通過小孔而下垂，由于下垂部分繩子的質(zhì)量，繩子將逐漸通過小孔而下落。設(shè)已知繩子全長為將逐漸通過小孔而下落。設(shè)已知繩子全長為 l，開始，開始時刻速度為零，下垂部分長時刻速度為零，下垂部分長 l0，求繩子下滑的速度，求繩子下滑的速度與時間的關(guān)系。與時間的關(guān)系。分析：分析：繩子受下垂部分的重力作用，繩子受下垂部分的重

29、力作用，其大小與下垂部分的長度成正比。桌其大小與下垂部分的長度成正比。桌面上那部分繩子，在豎直方向上沒有面上那部分繩子，在豎直方向上沒有運動，其重力與桌面的支持力平衡，運動，其重力與桌面的支持力平衡，可以不必考慮。桌面是光滑的，無摩可以不必考慮。桌面是光滑的，無摩擦力。這樣，作用于整個繩子的合外擦力。這樣，作用于整個繩子的合外力僅為下垂部分的重力。力僅為下垂部分的重力。Oxl0AA點的速度和加速度實際上代表了整個繩子的速度和加速度，點的速度和加速度實際上代表了整個繩子的速度和加速度，初始時端點初始時端點 A，x0 = l0，v0 = 0。maxg 因為因為 （m為繩子質(zhì)量），故為繩子質(zhì)量），故lmtvalgxdd解：解：取取x軸垂直于桌面，原點在小孔附近，豎直向下軸垂直于桌面，原點在小孔附