概率論 8正態(tài)分布及其計算

1、正態(tài)分布及其概率計算正態(tài)分布正態(tài)分布 Normal Distribution2( ,)XN 22()21( ),( 0)2xf xe 為常數(shù) 則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為2, 正態(tài)分布， 記為n 若連續(xù)型隨機變量若連續(xù)型隨機變量X X的概率密度為的概率密度為 正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形中間高中間高兩邊低兩邊低y-+21x2，對密度曲線的影響對密度曲線的影響 12122110.7521.25正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)dxexFxx222)(21)( F(x)121 x221( )2xxxedx 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布n 定義定義X N（0，1）分布稱為標準

2、正態(tài)分布）分布稱為標準正態(tài)分布 n 密度函數(shù)密度函數(shù)221( )2xxen 分布函數(shù)分布函數(shù)01xx 1x 1x 一般隨機變量（包括一般正態(tài)分布）的分布函數(shù)一般隨機變量（包括一般正態(tài)分布）的分布函數(shù)并無此性質(zhì)。并無此性質(zhì)。對于標準正態(tài)分布，有以下計算性質(zhì)：對于標準正態(tài)分布，有以下計算性質(zhì)： 200.52,XN 若若 正態(tài)分布的概率計算正態(tài)分布的概率計算設設 X 的分布密度為的分布密度為 ，分布函數(shù)為，分布函數(shù)為 f x F x我們有如下計算性質(zhì)：我們有如下計算性質(zhì)： 10.5F 2xF x dxexXPxFxx222)(21)()(dtexlettx2221 txdtetx2221證明：證明：

3、2,XN 若若 正態(tài)分布的概率計算正態(tài)分布的概率計算設設 X 的分布密度為的分布密度為 ，分布函數(shù)為，分布函數(shù)為 f x F x我們有如下計算性質(zhì)：我們有如下計算性質(zhì)： 3P aXbF bF aba 421cP Xc 2,XN 設設 正態(tài)分布的概率計算正態(tài)分布的概率計算證明性質(zhì)證明性質(zhì)（4）：21cP Xc 證明：證明：P XcPcXc PcXc cc cc 1cc 21c 222195.45%P X 323199.73%P X 21168.26%P X 稱稱 為為極限誤差極限誤差。3 X X的取值幾乎都落入以的取值幾乎都落入以 為中心，以為中心，以3 3 為為半徑的區(qū)間內(nèi)。半徑的區(qū)間內(nèi)。33

4、0.9974f(x) 正態(tài)分布的概率計算正態(tài)分布的概率計算1.5, 4 ,XN例例1 1 設設 試計算試計算3P X 解：解：313P XP X 3 1.53 1.5122 10.752.25 20.77340.98780.2388133PX 133FF 10.7512.25 例例2 若若 且且 求求22,XN240.3,PX0P X 解：解：02201P X 20 20.50.3422224PX 因為因為20.8所以所以022010.2P X 例例3 設設21211.5, 4 ,0.84132xNedx求求0.51.5P解：解：0.51.51.50.5PFF10.5 1.511222 0.5

5、 1 0.84130.3413 1112 例例4 4 某零件寬度某零件寬度20.9000, 0.0030,XN現(xiàn)規(guī)定限度是現(xiàn)規(guī)定限度是0.90000.0050.（1）求零件的廢品率。）求零件的廢品率。 （2）若要）若要求每求每 100 個產(chǎn)品中廢品不多于一個，可允許的最大個產(chǎn)品中廢品不多于一個，可允許的最大值是多少？值是多少？解：（解：（1）正品率）正品率0.90000.0050P X 000.00502190.440.0030 （2）設廢品率）設廢品率0.01,p 0.0050210.99 即正品率即正品率10.90000.0050pP X查表得：查表得：0.0019400000010090

6、.449.56故廢品率故廢品率例例5 設某品種蘋果的重量設某品種蘋果的重量161,1600 ,XN按重量大小按重量大小把蘋果分成四類：把蘋果分成四類： 為最小，為最小， 為中等，為中等，0020005500150010為大蘋果，為大蘋果， 為特大。試求中等蘋果的上下限重量。為特大。試求中等蘋果的上下限重量。解：設中等蘋果的下限為解：設中等蘋果的下限為 ，上限為，上限為 。ab則：則：1610.240aP Xa 16116110.24040aa 1610.840a查表得：查表得：127.4a 把蘋果分成四類：把蘋果分成四類： 為最小，為最小， 為中等，為中等，例例5 設某品種蘋果的重量設某品種蘋

7、果的重量161,1600 ,XN按重量大小按重量大小0020005500150010為大蘋果，為大蘋果， 為特大。試求中等蘋果的上下限重量。為特大。試求中等蘋果的上下限重量。解：設中等蘋果的下限為解：設中等蘋果的下限為 ，上限為，上限為 。ab1610.20.550.7540bP Xb 查表得：查表得：127.4a .查表得：查表得：187.8b 習題習題2 17,19,21習題習題2第九題講解：第九題講解： 解：此題為解：此題為P=0.005的的n重伯努利試驗，設重伯努利試驗，設X為同時發(fā)生為同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則故障的臺數(shù)，則kkkCkXPBX200200)005. 01 ()005. 0

8、( ),005. 0 ,200(（1）設需要配備）設需要配備 個維修工人，個維修工人，x01. 0 xXP而由于而由于n=200，P=0.005，所以可以用泊松分布近似替，所以可以用泊松分布近似替代二項分析，代二項分析，=np=np=1=1。 2001200200)005. 01 ()005. 0( xkkkkCxXP01. 0!11xkkexXPxX 設備發(fā)生故障不能及時排除的事件是設備發(fā)生故障不能及時排除的事件是 ，即，即查泊松分布表得查泊松分布表得 ，求得，求得 ，即配備，即配備4人即可。人即可。51x4x習題習題2第九題講解：第九題講解： 解解：（：（2）kkkCkXPBX4040)0

9、05. 01 ()005. 0( ),005. 0 ,40(0175. 02 . 11 ! 1)2 . 0(! 0)2 . 0(1 995. 0005. 040)995. 0(1 1012122 . 02 . 02 . 003940eeeXPXPXPXP2X因維修工人只有一個，設備發(fā)生故障不能及時排除的事因維修工人只有一個，設備發(fā)生故障不能及時排除的事件是件是 ，則有，則有習題習題2第九題講解：第九題講解： 解解：（：（3）由于是由于是2人共同維修人共同維修100臺設備，這里臺設備，這里n=100，P=0.005， =np=0.5，則有，則有kkkCkXPBX100100)005. 01 ()005. 0( )