導數(shù)及其應用.知識框架

1、導數(shù)及其應用.知識框架導數(shù)及其應用模塊框架高考要求要求層次重難點導數(shù)及其應用導數(shù)概念及其幾何意義導數(shù)的概念A了解導數(shù)概念的實際背景；理解導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義C導數(shù)的運算根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)，的導數(shù)C能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù)（為常數(shù)）的導數(shù)能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)（僅限于形如的復合函數(shù)）的導數(shù)導數(shù)的四則運算C簡單的復合函數(shù)（僅限于形如）的導數(shù)）B導數(shù)公式表C導數(shù)在研究函數(shù)中的應用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性（其中多項式函數(shù)不超過三次）C了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不

2、超過三次）了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）會利用導數(shù)解決某些實際問題函數(shù)的極值、最值（其中多項式函數(shù)不超過三次）C利用導數(shù)解決某些實際問題B定積分與微積分基本定理定積分的概念A了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念了解微積分基本定理的含義微積分基本定理A知識內容一、導數(shù)的概念與幾何意義1函數(shù)的平均變化率：一般地，已知函數(shù)，是其定義域內不同的兩點，記，則當時，商稱作函數(shù)在區(qū)間（或）的平均變化率注：這里，可為正值，也可為負值但，可以為2函

3、數(shù)的瞬時變化率、函數(shù)的導數(shù)：設函數(shù)在附近有定義，當自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應的改變如果當趨近于時，平均變化率趨近于一個常數(shù)（也就是說平均變化率與某個常數(shù)的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)稱為函數(shù)在點的瞬時變化率“當趨近于零時，趨近于常數(shù)”可以用符號“”記作：“當時，”，或記作“”，符號“”讀作“趨近于”函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱為在處的導數(shù)，并記作這時又稱在處是可導的于是上述變化過程，可以記作“當時，”或“”3可導與導函數(shù)：如果在開區(qū)間內每一點都是可導的，則稱在區(qū)間可導這樣，對開區(qū)間 內每個值，都對應一個確定的導數(shù)于是，在區(qū)間內，構成一個新的函數(shù)，我們把這 個函數(shù)稱

4、為函數(shù)的導函數(shù)記為或（或）導函數(shù)通常簡稱為導數(shù)如果不特別指明求某一點的導數(shù)，那么求導數(shù)指的就是求導函數(shù)4.導數(shù)的幾何意義：設函數(shù)的圖象如圖所示為過點與的一條割線由此割線的斜率是，可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化率當點沿曲線趨近于點時，割線繞點轉動，它的最終位置為直線，這條直線叫做此曲線過點的切線，即切線的斜率由導數(shù)意義可知，曲線過點的切線的斜率等于二、導數(shù)的運算1初等函數(shù)的導數(shù)公式表，為正整數(shù)，為有理數(shù)注：，稱為的自然對數(shù)，其底為，是一個和一樣重要的無理數(shù)注意2導數(shù)的四則運算法則：函數(shù)和（或差）的求導法則：設，是可導的，則，即，兩個函數(shù)的和（或差）的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)和（或差）函數(shù)

5、積的求導法則：設，是可導的，則，即，兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)的乘上第二個函數(shù)的導數(shù)由上述法則即可以得出，即，常數(shù)與函數(shù)之積的導數(shù)，等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)函數(shù)的商的求導法則：設，是可導的，則特別是當時，有三、導數(shù)的應用1利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性的方法：如果函數(shù)在的某個開區(qū)間內，總有，則在這個區(qū)間上是增函數(shù)；如果函數(shù)在的某個開區(qū)間內，總有，則在這個區(qū)間上是減函數(shù)2利用導數(shù)研究函數(shù)的極值：已知函數(shù)，設是定義域內任一點，如果對附近的所有點，都有，則稱函數(shù)在點處取極大值，記作并把稱為函數(shù)的一個極大值點如果在 附近都有，則稱函數(shù)在點處取極小值，記作并把稱為函數(shù)

6、的一個極小值點極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點（二）主要方法：1求函數(shù)的極值的方法：第1步 求導數(shù)；第2步 求方程的所有實數(shù)根；第步 考察在每個根附近，從左到右，導函數(shù)的符號如何變化如果的符號由正變負，則是極大值；如果由負變正，則是極小值如果在的根的左右側，的符號不變，則不是極值2函數(shù)的最大（?。┲凳呛瘮?shù)在指定區(qū)間的最大（小）的值求函數(shù)最大（?。┲档姆椒ǎ旱?步 求在指定區(qū)間內所有使的點；第2步 計算函數(shù)在區(qū)間內使的所有點和區(qū)間端點的函數(shù)值，其中最大的為最大值，最小的為最小值四、導數(shù)與其它知識綜合1導數(shù)與函數(shù)的性質、基本初等函數(shù)的結合，這是導數(shù)的最主要的考查內容；2導數(shù)與

7、數(shù)列的結合，要注意數(shù)列作為函數(shù)的特殊性；3導數(shù)與三角函數(shù)的結合；4導數(shù)在不等式的證明中的運用，經(jīng)常需要構造函數(shù)，利用導數(shù)去求單調性，證明不等式五、微積分與定積分基本定理1函數(shù)定積分：設函數(shù)定義在區(qū)間上用分點，把區(qū)間分為個小區(qū)間，其長度依次為記為這些小區(qū)間長度的最大值，當趨近于時，所有的小區(qū)間長度都趨近于在每個小區(qū)間內任取一點，作和式當時，如果和式的極限存在，我們把和式的極限叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即其中叫做被積函數(shù)，叫積分下限，叫積分上限叫做被積式此時稱函數(shù)在區(qū)間上可積2曲邊梯形：曲線與平行于軸的直線和軸所圍成的圖形，通常稱為曲邊梯形根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積等于其曲邊所對應的函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即求曲邊梯形面積的四個步驟：第一步：分割在區(qū)間中插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和第四