概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第二章隨機變量及其分布1

1、 第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 第一節(jié)第一節(jié)隨機事件的數(shù)量描述隨機事件的數(shù)量描述 一、隨機變量概念的產(chǎn)生一、隨機變量概念的產(chǎn)生 在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數(shù)在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)； 七月份福州的最高溫度；七月份福州的最高溫度；每天從鄭州下火車的人數(shù)；每天從鄭州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結但我們

2、可以引進一個變量來表示它的各種結果果.也就是說，也就是說，把試驗結果數(shù)值化把試驗結果數(shù)值化. 正如裁判員在運動正如裁判員在運動場上不叫運動員的場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對二者建立了一種對應關系應關系. 這種對應關系在數(shù)學上理解為定義了一種這種對應關系在數(shù)學上理解為定義了一種實值函數(shù)實值函數(shù).e.X(e)R這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？的函數(shù)一樣嗎？ 則稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)則稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)X為為隨隨量量機機 變變簡記為簡記為 r.v. 隨機變量的定義隨機變量的定義 ( )

3、,EX 設隨機實驗 的樣本空間，若對每一個樣本點，都有唯一的實數(shù)值與之對應 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值時時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等.隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示 如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 有了隨機變量有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來就可以通過

4、隨機變量的關系式表達出來. 解：分析解：分析例例 一報童賣報，每份一報童賣報，每份0.15元，其成本為元，其成本為0.10元元. 報館每天給報童報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回得把賣不出的報紙退回. 設設X為報童每天賣為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示機變量的表達式表示.當當 0.15 XxX x四四.分布函數(shù)定義：分布函數(shù)定義：設設 X 是一個是一個 r.v，稱，稱)()(xXPxF)(x為為 X 的的分布函數(shù)分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). 如果將如果將

5、X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標，看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間,(x的概率的概率. 問：問： 在上在上 式中，式中，X, x 皆為變量皆為變量. 二者有什二者有什么區(qū)別？么區(qū)別？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是隨機變量是隨機變量, x是參變量是參變量.F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.xxXPxF),()( 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學分析的工具來通過它，我們可以用數(shù)學分析的工具來研究研究 隨機變量隨機變量.

6、xxXPxF),()(五、分布函數(shù)的性質(zhì)五、分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F(x) 非降，即若非降，即若 x1x2，則，則F(x1) F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 xlim(3) F(x) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx 如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個個r.v X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說，性質(zhì)也就是說，性質(zhì)(1)-(3)是是鑒別一個函數(shù)是否是某鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分的分布函數(shù)的充分必要條件必要條件.F( ) = F(x) = 1xlim1)(0 xF)()()(aFbFbXaP)(

7、1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP請請?zhí)钐羁湛沼梅植己瘮?shù)表示概率用分布函數(shù)表示概率) 0()(lim)(aFxFaXPax)(xF2/ 103/ 1xx00 x2/ 11x設 r.v. X 的分布函數(shù)：計算) 0(XP) 4/ 1(XP) 4/ 1(XP) 3/ 10 (XP) 3/ 10 (XP例例1 1解解) 00 () 0 () 0(FFXP; 3/ 103/ 1; 012/712/7) 04/ 1 () 4/ 1 () 4/ 1(FFXP) 4/ 1() 4/ 1() 4/ 1(XPXPXP;12/5) 4/ 1 (1) 4/ 1(FXP; 3/ 1) 0 ()