(5)貸款償還方法

1、1債務(wù)償還方法債務(wù)償還方法Repaying Loans孟生旺中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院http:/ method）等額等額變額變額償債基金法（償債基金法（sinking fund method）等額等額變額變額抵押貸款（略）抵押貸款（略）3債務(wù)償還的兩種方法債務(wù)償還的兩種方法分期償還法分期償還法（amortization method）：借款人分期償）：借款人分期償還貸款，在每次償還的金額中，包括：還貸款，在每次償還的金額中，包括：當(dāng)期利息當(dāng)期利息一部分本金一部分本金償債基金法償債基金法（sinking fund method）：借款人在貸款期）：借款人在貸款期間：間：分期償還利息分期償還利息積累償

2、債基金，到期時(shí)一次性償還貸款本金積累償債基金，到期時(shí)一次性償還貸款本金。4一、等額分期償還一、等額分期償還(level installment payments)在等額分期償還法中，需要解決的問(wèn)題包括：在等額分期償還法中，需要解決的問(wèn)題包括：（1）每次償還的金額）每次償還的金額(loan payments)是多少？是多少？（2）未償還的本金余額（）未償還的本金余額（loan balance，loan outstanding, principal outstanding）是多少？）是多少？（3）在每次償還的金額中，利息和本金分別是多少？）在每次償還的金額中，利息和本金分別是多少？51每次償還的金

3、額每次償還的金額貸款的本金是貸款的本金是 L0期限為期限為 n 年年年實(shí)際利率為年實(shí)際利率為 i每年末等額償還每年末等額償還R則每次償還的金額則每次償還的金額 R 可表示為（可表示為（level loan payment）00 n in iLRaLRa62未償還本金余額未償還本金余額問(wèn)題：?jiǎn)栴}：每年償還每年償還 R，第第 k 年末的貸款余額？年末的貸款余額？方法：方法：將來(lái)法（將來(lái)法（prospective method）過(guò)去法（過(guò)去法（retrospective method）7方法一：將來(lái)法（方法一：將來(lái)法（prospective method）把將來(lái)需要償還的金額折算成計(jì)算日的現(xiàn)值，即得

4、未把將來(lái)需要償還的金額折算成計(jì)算日的現(xiàn)值，即得未償還本金余額。償還本金余額。第第 k 年年末，將來(lái)還需償還末，將來(lái)還需償還 (n k) 次，故未償還本金余次，故未償還本金余額為額為= kn kLRa8方法二：過(guò)去法方法二：過(guò)去法（retrospective method）從原始貸款本金的累積值中減去過(guò)去已付款項(xiàng)的累積值。原始貸款本金的累積值中減去過(guò)去已付款項(xiàng)的累積值。原始貸款本金累積到第原始貸款本金累積到第 k 年末的價(jià)值：年末的價(jià)值：已償還的款項(xiàng)累積到已償還的款項(xiàng)累積到第第 k 年末年末的價(jià)值：的價(jià)值：l未償未償還本金還本金余額：余額：0(1)kLi0(1)kkkLLiRskRs9證明：證明

5、：將來(lái)法與過(guò)去法等價(jià)將來(lái)法與過(guò)去法等價(jià)。0| (1)kkkLLiRs|(1)knkiRaRs 1(1)1(1)nkkviRiii 1n kvRi |n k iRa（過(guò)去（過(guò)去法）法）（將來(lái)法）（將來(lái)法）10Example：A loan is being repaid with 10 payments of $2000 followed by 10 payments of $1000 at the end of each half-year. If the nominal rate of interest convertible semiannually is 10%, find the out

6、standing loan balance immediately after five payments have been made by both the prospective method and the retrospective method.10次，每次200010次，每次1000支付支付5次以后，貸款余額是多少？次以后，貸款余額是多少？11解：解： 每每半半年的實(shí)際利率為年的實(shí)際利率為5；（1）將來(lái)法：未償還貸款余額為）將來(lái)法：未償還貸款余額為 貸款本金為貸款本金為 （2）過(guò)去法：未償還貸款余額為）過(guò)去法：未償還貸款余額為515|5|1000()14709Laa020|10|

7、1000()20184Laa555|20184(1.05)200014709Ls12Example：A loan is being repaid with 20 annual payments of $1000 each. At the time of the fifth payment, the borrower wishes to pay an extra $2000 and then repay the balance over 12 years with a revised annual payment. If the effective rate of interest is 9%,

8、 find the amount of revised annual payment.13解：解：由將來(lái)法，5年后的余額為 如借款人加付2000，則余額成為6060.70。 假設(shè)修正付款額為 X，價(jià)值方程為 故515|10008060.70La12|6060.70Xa6060.70846.387.1607X 143、每期償還的本金和利息：本息分解、每期償還的本金和利息：本息分解基本原理基本原理：還款額優(yōu)先支付利息，剩余部分償還本金。設(shè)第 t 年末的還款額為 R ，利息部分為 It，本金部分為Pt，記 Lt-1為第 t - 1年末的未償還貸款余額，則有111(1)n tttn tiIiLiRaR

9、v 1n tttPRIR v t 的減函數(shù)t 的增函數(shù)15遞減遞減幾何遞增幾何遞增將來(lái)法將來(lái)法分期償還表分期償還表16i=0.1n=20v=(1+i)(-1)I=P=B=NULLfor (k in 1:n) Ik=1-v(n-k+1) Pk=v(n-k+1) Bk=(1-v(n-k)/idat=rbind(interest=I,principal=P)barplot(dat,names.arg=1:20,main=20年期的等額分期償還： 利息（深色）遞減，本金（淺色）遞增,xlab=年度,ylab=每年的付款額)17i=0.1n=20v=(1+i)(-1)I=P=B=NULLfor (k i

10、n 1:n)Bk=(1-v(n-k)/ibarplot(B,names.arg=1:20,main=20年期的等額分期償還的未償還貸款余額)18例：例：一筆貸款的期限為一筆貸款的期限為2年，每季度末等額償還一次年，每季度末等額償還一次，每年，每年復(fù)利復(fù)利4次的次的年貸款利率年貸款利率為為6%，如果，如果第一年末償還的本金為第一年末償還的本金為2000元，請(qǐng)計(jì)算在第二年末應(yīng)該償還的本金。元，請(qǐng)計(jì)算在第二年末應(yīng)該償還的本金。 解：解：季度實(shí)際利率為季度實(shí)際利率為 i = 1.5% 第第1年末（第年末（第4次）償還的本金：次）償還的本金：P4 = Rv84+1 = Rv5 第第2年末（第年末（第8次

11、）償還的本金：次）償還的本金：P8 = Rv88+1 = Rv 所以所以P8/ P4 = v4 = (1 + i)4，即，即 P8 = P4 (1 + i)4 = 2000(1.015)4 = 2122.73（元）（元）19Example：A $1000 loan is being repaid by payments of $100 at the end of each quarter for as long as necessary, plus a smaller final payment. If the nominal rate of interest convertible quar

12、terly is 16%, find the amount of principle and interest in the fourth payment.20解：解：第三次還款后的未償還貸款余額為從而有注意注意：此例無(wú)需算出最后一次付款的時(shí)期與金額。注：另一種解法（了解）333|0.041000(1.04)100812.70Ls40.04 812.7032.51I 410032.1567.49P 0.04113.02392 402392100 10067.49nn ttanPvPv 21Exercise：A loan is being amortized by me

13、ans of level monthly payments at an annual effective interest rate of 8%. The amount of principal repaid in the 12-th payment is 1000 and the amount of principal repaid in the t-th payment is 3700. Calculate t.221/12(1 8%)10.006434j 月實(shí)際利率為月實(shí)際利率為第第12次付款中的本金為（次付款中的本金為（R為每次的付款額，為每次的付款額，n為付款總次數(shù)）為付款總次數(shù)）第

14、第t次付款中的本金為次付款中的本金為解上述方程組即得解上述方程組即得 t =216(121)1000(1 0.006434)nR(1)3700(1 0.006434)n tR23Exercise：A borrows $10,000 from B and agrees to repay it with equal quarterly installment of principle and interest at 8%, convertible quarterly over six years. At the end of two years B sells the right to recei

15、ve future payments to C at a price, which produces a yield rate of 10% convertible quarterly for C. Find the total amount of interest received: (1) by C, and (2) by B.24A收入10000支出528.71528.71528.71528.71B 收入528.71528.71X支出10000C 收入528.71528.71支出X2年，8次4年，16次24|0.0210000528.71Ra16|0.025528.716902.31Xa

16、25解：解：六年中六年中A的每次還款額為的每次還款額為C的利息的利息 C的總收入：的總收入： 16(528.71)8459.36 C的買價(jià)（支出）：的買價(jià)（支出）： 從而從而C的利息為：的利息為： 8459.36 6902.31=1557.0524|0.0210,00010,000528.7118.9139a16|0.025528.716902.31Xa26B的利息的利息 B在前在前2年的總收入為年的總收入為 8528.71=4229.68（A償還的金額償還的金額） 6902.31（從從C獲得的資金，賣價(jià)獲得的資金，賣價(jià)） B在期初借出的資金為在期初借出的資金為10000元元 故故B的利息收入

17、為的利息收入為 4229.68 + 6902.30-10000 = 1131.9927Exercise：An amount is invested at an annual effective rate of interest i which is just sufficient to pay 1 at the end of each year for n years. In the first year the fund actually earns rate i and 1 is paid at the end of the first year. However, in the seco

18、nd year the fund earns rate j, where j i. Find the revised payment which could be made at the ends of year 2 through n; (1) Assuming the rate earned reverts back to i again after this one year; (2) Assuming the rate earned remains j for the rest of n-year period.28( 1 ) 第第2年末，在付款發(fā)生年末，在付款發(fā)生前前，下述兩種方法計(jì)

19、算的余額相等，下述兩種方法計(jì)算的余額相等1| 1| (1)niniX aaj1| 1| (1)(1)niniXi aj a111jXi左邊：未來(lái)左邊：未來(lái)n-1次次付付款款的現(xiàn)值（的現(xiàn)值（含第含第2年年末末 的的1次支付）次支付）右邊：第右邊：第1 1年末的年末的價(jià)值按價(jià)值按j j累累積積1 1年年，即為第，即為第2 2年末的累積年末的累積值值第第1年初的投資額為：年初的投資額為：n ia29( 2 )第第1年末，下述兩種方法計(jì)算的余額相等年末，下述兩種方法計(jì)算的余額相等即有即有 1| 1| njniYaa1|1|ninjaYaY 大于大于 1 還是小于還是小于 1？與與X 比較比較哪個(gè)大？哪

20、個(gè)大？30二、等額償債基金二、等額償債基金含義含義：借款人分期償還貸款利息(service payment of the loan, generally equals the amount of interest due)，同時(shí)積累一筆償債基金，用于到期時(shí)償還貸款本金。例例：假設(shè)某人從銀行獲得10000元的貸款，期限為年，年利率為%。雙方約定： （）借款人每年末向銀行支付600元利息； （）借款人在銀行開設(shè)一個(gè)存款帳戶，每年末向該帳戶存入1791.76元，該帳戶按5.5的利率計(jì)算利息。到第年末，該帳戶的累計(jì)余額正好是10000元，用于償還貸款本金。借款人在銀行開設(shè)的該帳戶就是償債基金（償債基金

21、（sinking fund）。）。31等額償債基金法需要解決的問(wèn)題等額償債基金法需要解決的問(wèn)題 借款人在每年末的付款總金額，包括：借款人在每年末的付款總金額，包括：向償債基金的儲(chǔ)蓄額向償債基金的儲(chǔ)蓄額支付的貸款利息支付的貸款利息每年末的貸款凈額。每年末的貸款凈額。32符號(hào)符號(hào):L0 原始貸款本金原始貸款本金i 貸款年利率貸款年利率n 貸款期限貸款期限I 借款人在每年末名義上支付的利息，即借款人在每年末名義上支付的利息，即 I = iL0 j 償債基金的利率償債基金的利率D 借款人每年末向償債基金的儲(chǔ)蓄額借款人每年末向償債基金的儲(chǔ)蓄額33假設(shè)借款人每年末向償債基金的儲(chǔ)蓄額為假設(shè)借款人每年末向償債

22、基金的儲(chǔ)蓄額為D，則，則0n jLDs因此，借款人在每年末的付款總金額為因此，借款人在每年末的付款總金額為 ID0n jDsL借款人在每年末的付款總額：借款人在每年末的付款總額：34第第 k 年末的貸款凈額為年末的貸款凈額為 0k jLDs償債基金在第償債基金在第 k 年末的累積值為年末的累積值為 jksD|每年末的貸款凈額：每年末的貸款凈額：35特例：特例：償債基金利率償債基金利率 j = 貸款利率貸款利率 i當(dāng)當(dāng) j = i 時(shí)，借款人在每年末支付的總金額為時(shí)，借款人在每年末支付的總金額為0 1n iIDLis 11n in iisa（等額分期償還金額（等額分期償還金額 ）0 n iLaR

23、因?yàn)橐驗(yàn)榻Y(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng) j = i 時(shí)，等額分期償還法時(shí)，等額分期償還法 = 等額償債基金法等額償債基金法36問(wèn)題：對(duì)借款人而言，下列哪種貸款的成本低？問(wèn)題：對(duì)借款人而言，下列哪種貸款的成本低？分期償還法：貸款利率為分期償還法：貸款利率為 i償債基金法：貸款利率為償債基金法：貸款利率為 i，償債基金利率為，償債基金利率為 j，i j37例例假設(shè)：兩筆貸款的本金均為假設(shè)：兩筆貸款的本金均為10000元，期限均為元，期限均為5年，但償年，但償還方式不同：還方式不同：第一筆：采用償債基金方法償還，貸款利率為第一筆：采用償債基金方法償還，貸款利率為6%，償，償債基金利率為債基金利率為5%。第二筆：采

24、用等額分期方法償還。第二筆：采用等額分期方法償還。問(wèn)題：當(dāng)?shù)诙P貸款的利率為多少時(shí)，兩筆貸款對(duì)借款人問(wèn)題：當(dāng)?shù)诙P貸款的利率為多少時(shí)，兩筆貸款對(duì)借款人而言是等價(jià)的。而言是等價(jià)的。38對(duì)于第一筆貸款（償債基金法），借款人在每對(duì)于第一筆貸款（償債基金法），借款人在每年末需要支付的金額為年末需要支付的金額為 01()n jIDL is5 0.05110000(0.06 +) 2409.75s39對(duì)于第二筆貸款（分期償還法），假設(shè)其利率為對(duì)于第二筆貸款（分期償還法），假設(shè)其利率為r，則借款人在每年末需要支付的金額為則借款人在每年末需要支付的金額為 0n rLRa510000ra令此式等于令此式等于24

25、09.75，則有，則有5100004.14982409.75rar = 6.552%注：注：在兩種方法等價(jià)的情況下，等額分期償還法的貸款利率在兩種方法等價(jià)的情況下，等額分期償還法的貸款利率（6.552%）大于大于償債基金法中的貸款利率（償債基金法中的貸款利率（6%）。）。40Sinking fund loan general equation of value0(1)nn in jLiSsDsS: service payment, may not equal the amount of interest due.D: sinking fund paymenti: loan interest r

26、atej: sinking fund interest rate41Example (FM, example5.22, P156)A loan of $10000 is repaid annually over 10 years using the sinking fund method. Interest on the loan is charged at an annual effective rate of 5%, but the lender requires a service payment of $600 at the end of each year. Determine th

27、e level annual sinking fund payment if the sinking fund credits interest at an annual effective interest rate of 4%.1010 5%10 4%10000(1 0.05)600$728.15sDsD# # 該該筆貸款的實(shí)際利率為筆貸款的實(shí)際利率為 5.52%5.52%：f = function(if = function(i) ) 1328.15 1328.15 * * (1 - (1 + i (1 - (1 + i)(-10)(-10)/i - 10000)/i - 10000un

28、iroot(f, cuniroot(f, c(-0.05(-0.05, 0.08, 0.08)$root)$root# # 1 0.05522171 0.0552217注：服務(wù)費(fèi)增加，實(shí)際利率會(huì)降低。如：增加注：服務(wù)費(fèi)增加，實(shí)際利率會(huì)降低。如：增加到到 800，D = 518.62，實(shí)際利率為，實(shí)際利率為 5.37%42等額分期償還與等額償債基金的比較等額分期償還與等額償債基金的比較相同點(diǎn)相同點(diǎn)：定期、等額。不同點(diǎn)不同點(diǎn)：已償還本金的計(jì)息方式不同。等額分期償還法等額分期償還法：已經(jīng)償還的本金按貸款利率 i 計(jì)息。等額償債基金法等額償債基金法：已經(jīng)償還的本金（即存入償債基金的金額）按利率 j 計(jì)

29、息。關(guān)系關(guān)系：當(dāng)貸款利率 = 償債基金的利率時(shí)，等額償債基金法 = 等額分期償還法。 0 (1)ikkkLiLRs0kk jLLDs43A 20-year loan of 20,000 may be repaid under the following two methods: i) amortization method with equal annual payments at an annual effective rate of 6.5% ii) sinking fund method in which the lender receives an annual effective r

30、ate of 8% and the sinking fund earns an annual effective rate of j. Both methods require a payment of X to be made at the end of each year for 20 years. Calculate j.Exercise:44Solution:20000 = X , 每年支付的金額：X = 1815.13. 償債基金法中每年支付的利息：0 .08 (20000) = 1600 每年向償債基金支付：X 1600 = 215.13. 215.13 = 20000. j =

31、14.18. 20 0.065a20 js45John borrows 10,000 for 10 years at an annual effective interest rate of 10%. He can repay this loan using the amortization method with payments of 1,627.45 at the end of each year. Instead, John repays the 10,000 using a sinking fund that pays an annual effective interest rat

32、e of 14%. The deposits to the sinking fund are equal to 1,627.45 minus the interest on the loan and are made at the end of each year for 10 years. Determine the balance in the sinking fund immediately after repayment of the loan.Exercise： 46Solution:已知每年支付額為1627.45每年支付的利息為： 0.10(10000) = 1000. 因此向償債

33、基金支付： 1627.451000 = 627.45 償債基金在10年末的價(jià)值為（扣除本金10000之后）： 627.45 10000 = 213310 0.14s47四、變額分期償還四、變額分期償還 假設(shè)貸款金額為假設(shè)貸款金額為L(zhǎng)0，每期末償還，每期末償還Rt（t = 1，2，n）則有）則有變額分期償還方法：變額分期償還方法：（1）等額本金）等額本金（2）還款額）還款額 算術(shù)級(jí)數(shù)變化算術(shù)級(jí)數(shù)變化（3）還）還款額款額 幾何級(jí)數(shù)變化幾何級(jí)數(shù)變化 01ntttLv R48例（等額本金償還）例（等額本金償還）：一筆10000元的貸款，期限為5年，年實(shí)際利率為5%，每年末償還2000元本金。請(qǐng)構(gòu)造分期

34、償還表（amortization schedule）。年份償還本金未償還本金余額支付當(dāng)年利息（5）每年末償還的總金額(1)(2)(3)(4)(5) = (2) + (4)0100001200080005002500220006000400240032000400030023004200020002002200520000100210049A 10-year loan of 2000 is to be repaid with payments at the end of each year. It can be repaid under the following two options: (i

35、) Equal annual payments at an annual effective rate of 8.07%. (ii) Installments of 200 each year plus interest on the unpaid balance at an annual effective rate of i. The sum of the payments under option (i) equals the sum of the payments under option (ii). Determine i.Exercise:50Solution:Option 1:

36、R =299 Total payments =2990Option 2: Interest needs to be 29902000 = 990 990 =i2000 +1800 +1600 +200 =i 11,000 i =0.0910 0.08072000Ra51 例（償還額按算術(shù)級(jí)數(shù)變化）：例（償還額按算術(shù)級(jí)數(shù)變化）：假設(shè)貸款期限為5年，年實(shí)際利率為6%。借款人在每年末分期償還，每年末的償還金額依次為2000元，1800元，1600元，1400元，1200元。請(qǐng)計(jì)算（1）貸款本金為多少？（2）第三年末償還的利息和本金分別為多少？()nnnanvIai()nnnaDai52貸款本金L0應(yīng)

37、該等于上述年金的現(xiàn)值，因此有第三年初（即第二年末）未償還的本金為（將來(lái)法）第三年末支付的利息為 I3 = iL2 = 0.063762.97 = 225.78第三年末償還的本金為 P3 = R3 I3 = 1600 225.78 = 1374.21055 = 1000+ 200() = 6837.82LaDa233 = 1000+ 200() 3762.97LaDa()nnnaDai53PV PVPV1+n jai初初末1irjr償還償還額按幾何級(jí)數(shù)額按幾何級(jí)數(shù)變化變化54例（還款額按幾何級(jí)數(shù)變化）例（還款額按幾何級(jí)數(shù)變化） ：一筆10000元的貸款，年實(shí)際利率為10%，期限為6年，每年末償還

38、一次，每次的償還金額以50%的速度遞增。請(qǐng)構(gòu)造分期償還表。解解：假設(shè)第一年末的償還金額為R1，則有 其中 所以 R1 = 736.69元。11161110000 =13.57428 11 10%n jjRaRaRi10%50%0.26671150%irjr-= -+55 第一年末應(yīng)該支付的利息為第一年末應(yīng)該支付的利息為 I1 = 100000.1 = 1000（元）（元） 顯然，第一年償還的總金額顯然，第一年償還的總金額736.69元還不足以支付當(dāng)年的元還不足以支付當(dāng)年的利息利息1000元，故第一年償還的本金為負(fù)元，故第一年償還的本金為負(fù)P1 = R1 I1 = 736.69 1000 = 2

39、63.31（元）（元） 第一年末的未償還本金余額將會(huì)增加，即增加為第一年末的未償還本金余額將會(huì)增加，即增加為 L1 = L0 P1 = 10000 + 263.31 = 10263.31（元）（元）56第二年應(yīng)該支付的利息為第二年應(yīng)該支付的利息為I2 = iL1 = 0.110263.31 = 1026.33（元）（元）按照幾何級(jí)數(shù)計(jì)算，借款人在第二年末償還的總金額為按照幾何級(jí)數(shù)計(jì)算，借款人在第二年末償還的總金額為R2 = 1.5R1 = 736.691.5 = 1105.04（元）（元）所以第二年償還的本金為所以第二年償還的本金為P2 = R2 I2 = 1105.04 1026.33 =7

40、8.71（元）（元）第二年末的未償還本金余額為第二年末的未償還本金余額為L(zhǎng)2 = L1 P2 = 10263.31 78.71 = 10184.6（元）（元）依此類推，其他各年的計(jì)算結(jié)果如下表所示。依此類推，其他各年的計(jì)算結(jié)果如下表所示。57變額分期償還表變額分期償還表 （單位：元）（單位：元） 注：最后結(jié)果有0.07的舍入誤差。年份年份償還償還總總金額金額利息利息本金本金未償還本金余額未償還本金余額0100001736.691000263.3110263.3121105.041026.3378.7110184.6031657.551018.46639.099545.5142486.33954

41、.551531.788013.7353729.49801.372928.125085.6165594.24508.565085.680.07*參見excel表的計(jì)算過(guò)程 58A loan is amortized over five years with monthly payments at a nominal interest rate of 9% compounded monthly. The first payment is 1000 and is to be paid one month from the date of the loan. Each succeeding month

42、ly payment will be 2% lower than the prior payment. Calculate the outstanding loan balance immediately after the 40th payment is made.Exercise:Solution:共60次付款。第41次的付款額 = 1000(1+ r)40計(jì)算剩余20次付款的現(xiàn)值： 24000.09/120.00752%()/(1)1PV16800 ()91081jirjirrari 416060五、變額償債基金五、變額償債基金借款人每期支付的總金額借款人每期支付的總金額 Rt 由兩部分

43、構(gòu)成：由兩部分構(gòu)成：當(dāng)期的利息當(dāng)期的利息： iL0向償債基金的儲(chǔ)蓄：向償債基金的儲(chǔ)蓄：Rt iL0償債基金在第償債基金在第 n 期末的累積值必須等于貸款本金期末的累積值必須等于貸款本金L0，故有，故有 L0 = (R1 iL0)(1 + j) n1 + (R2 iL0)(1 + j) n2 + + (Rn iL0) 001(1)nn ttn jtLRiLjs61貸款本金貸款本金 L0 為為 前一式的分子和分母分別乘以前一式的分子和分母分別乘以 (1 + j)n 即得第即得第 2 式（式（請(qǐng)練習(xí)請(qǐng)練習(xí)）。）。 在上式中，如果在上式中，如果 j = i，則有，則有110|(1)(1)11 ()nnn ttttttn jn jRjRjLisij a01ntttLv R62 例：例： 一筆貸款