計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的復(fù)化辛普森公式及利用

1、計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的復(fù)化辛普森公式及利用FX-4500P計(jì)算器編程計(jì)算坐標(biāo)一、 引言匝道是組成高等及公路立交的基本單元，其形式千變?nèi)f化，就線形而言，也是由直線段、回旋曲線段、圓曲線段組成。但是，組成立交的匝道涉及線形的曲率變化特點(diǎn)，利用復(fù)化辛普森公式導(dǎo)證了計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的通用公式。并利用卡西歐FX-4500P計(jì)算器編程計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)。二、公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算1.公路匝道中線形式公路匝道中線是由直線回旋曲線圓曲線（R1）回旋曲線圓曲線（R2）回旋曲線直線的順序組成的，其中R1R2。2.回旋曲線上點(diǎn)位坐標(biāo)方位角的計(jì)算如圖1，設(shè)回旋曲線起點(diǎn)A的曲率為rA，其里程為DKA；回旋曲線終點(diǎn)B

2、的曲率為，其里程為DKB，Axy為以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A點(diǎn)切線為x軸的局部坐標(biāo)系；AXY為線路坐標(biāo)系。由此回旋曲線上各點(diǎn)曲率半徑為Ri和該點(diǎn)離曲線起點(diǎn)的距離i成反比，故此任意點(diǎn)的曲率為（c=R0為常數(shù)）（1）由式（1）可知，回旋曲線任意點(diǎn)的曲率按線性變化，由此回旋曲線上里程為DKi點(diǎn)的曲率為（2）當(dāng)曲線右偏時(shí)，取正；當(dāng)曲線左偏時(shí)取負(fù)。在圖1中有（3）將式（2）代入式（3）得（4） 若已知回旋曲線起點(diǎn)A在線路坐標(biāo)系下切線坐標(biāo)方位角A，則里程為Dki點(diǎn)切線坐標(biāo)方位角為（5）將式(4)代入式(5)得（6）對于式(6)，當(dāng)，時(shí)，則ai=aA，式 (6)變成計(jì)算直線段上任意點(diǎn)切線坐標(biāo)方位角計(jì)算公式；當(dāng)，時(shí)

3、， ，則式(6)代表圓曲線上任意點(diǎn)切線坐標(biāo)方位角計(jì)算公式?？梢姡粢阎€段起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲率及起點(diǎn)的切線坐標(biāo)方位角，式(6)便能計(jì)算任意線型點(diǎn)位切線坐標(biāo)方位角。3、回旋曲線點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算由圖1可得回旋曲線上點(diǎn)位在坐標(biāo)系下坐標(biāo)計(jì)算公式：（7）（8）設(shè)回旋曲線起點(diǎn)A在線路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為將式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲線上任意點(diǎn)在線路坐標(biāo)系下的坐標(biāo)：（9）對于式(9)的解算，由于后半部分是定積分，我們引入復(fù)化辛普森公式對其進(jìn)行解算。首先將積分區(qū)間DKA，DKi劃分為n等份，步長為H=（DKi-DKA）/n，分點(diǎn)里程DXK=DKA+KH，K=0，1，2，n，記子區(qū)間DXK，DXK+1的里程為DX

4、K+1/2，則DXK+1/2=（DXK+DXK+1）/2，K=0，1，2，n-1。由此式(9)用復(fù)化辛普森公式表示為n-1n-1X=XA+H/6（cosaA+4cosaK+1/2 +2cosaK +cosai）K=0k=1n-1n-1Y=YA+H/6（sinaA+4sinaK+1/2 +2sinaK +sinai） （10）K=0k=1式中：aA為回旋曲線起點(diǎn)A的切線方位角；aK+1/2為里程DXK+1/2點(diǎn)切線方位角；aK為里程DXK點(diǎn)切線方位角；ai為里程DKi點(diǎn)切方位角。對于式(10)，雖然是由回旋曲線導(dǎo)出的，但該式也適用直線段和圓曲線段。三、復(fù)化辛普森公式的使用說明為滿足點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算精

5、度，經(jīng)驗(yàn)算取n=2。無論是直線段、圓曲線段、回旋曲線段，只要將各曲線段中的起點(diǎn)、終點(diǎn)的曲率和里程以及解求點(diǎn)里程Dki和各分點(diǎn)里程代入式(2)、(6)、(10)便可獲得待求點(diǎn)Dki的坐標(biāo)。在計(jì)算時(shí)，要注意曲線的偏向。四、公路匝道坐標(biāo)計(jì)算源程序L1 Lbl0：T“X1”U“Y1”C“AT”D“PA”E“PB”A“CH0”B“CHN”G“X0”I“Y0”：M：Lbl1：N=0：P=0：O=0：Q=0：S=0：J：J“CHI”L2 Lbl2：N=N+1：H=2（J-A）/M：F=NH/2+A：R=C+180/p（D+（E-D）/2（B-A）（F-A）（F-A）：Int（N/2）=N/2=O=O+cos

6、R：P=P+sinR：Q=Q+cosR：S=S+ sinRDL3 N=M=Goto3：Goto2DLbl3：X=G+H/6（cosC+4Q+2O-cosR：Y=I+H/6（sinC+4S+2P-sinR）：X：“X=”Y：“Y=” Pol（X-T，Y-U： V WW=W+360WDGoto1 X1-測站點(diǎn)X坐標(biāo) Y1-測站點(diǎn)Y坐標(biāo) AT-曲線起點(diǎn)方位角 PA-曲線起點(diǎn)曲率 （當(dāng)曲線右偏時(shí)，A取正；當(dāng)曲線左偏時(shí)A取負(fù)。） PB-曲線終點(diǎn)曲率 （當(dāng)曲線右偏時(shí)，B取正；當(dāng)曲線左偏時(shí)B取負(fù)。） CH0-曲線起點(diǎn)里程 CHN-曲線終點(diǎn)里程 X0-曲線起點(diǎn)X坐標(biāo) Y0-曲線起點(diǎn)Y坐標(biāo) M-求和累積次數(shù)n的

7、2倍 CH-曲線待測點(diǎn)里程 X-曲線待測點(diǎn)X坐標(biāo) Y-曲線待測點(diǎn)Y坐標(biāo) V-測站至待測點(diǎn)間的距離 W-測站至待測點(diǎn)間的方位角其中R=C+180/p（D+（E-D）/2（B-A）（F-A）（F-A）為（2）、（6）式的合并式，計(jì)算切線坐標(biāo)方位角；O=O+cosR、P=P+sinR、Q=Q+cosR、S=S+ sinR、X=G+H/6（cosC+4Q+2O-cosR、Y=I+H/6（sinC+4S+2P-sinR）計(jì)算點(diǎn)位坐標(biāo)。由于累計(jì)時(shí)O=O+cosR、P=P+sinR分別多累加了一個(gè)cosR、sinR，所以在程序中（10）式最后一項(xiàng)前為負(fù)號。五、坐標(biāo)計(jì)算算例 利用萬家寨水利樞紐工程左岸上壩公路

8、一段曲線驗(yàn)證復(fù)化辛普森公式坐標(biāo)計(jì)算程序的正確性。 如圖2：0+488.80+552.74為直線段，0+552.740+577.74及0+693.170+718.17為緩和曲線段，緩和曲線長 為L0=25M，0+577.740+693.17為圓曲線段，R=85M。 在計(jì)算器中找到該程序，先輸入直線段的起算數(shù)據(jù)，以里程0+488.8為起點(diǎn)，求得0+500.0點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別以里程0+552.74、0+577.74為起點(diǎn)計(jì)算驗(yàn)證緩和曲線及圓曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)。與分別運(yùn)用直線段、緩和曲線段、圓曲線段計(jì)算坐標(biāo)的計(jì)算公式所計(jì)算的結(jié)果完全相同。 六、結(jié)論 本文利用的式（10）是計(jì)算公路匝道點(diǎn)位坐標(biāo)的通用公式。當(dāng)曲線的設(shè)計(jì)半徑較小時(shí)，為保證點(diǎn)位計(jì)算精度，n（即程序中M的1/2倍）的取值可適當(dāng)?shù)拇笮?利用上例驗(yàn)算的計(jì)算結(jié)果可以說明該程序?qū)τ诠返闹本€段、緩和曲線段、圓曲線段均實(shí)用。上例在計(jì)算圓曲線起點(diǎn)（0+577.7