第2講(導(dǎo)熱方程、導(dǎo)熱問題求解方法及直接積分解法)

1、第二講 Lecture Two 導(dǎo)熱方程及其求解方法Heat Conduction Equations and Their Solution MethodsCONTENTo 導(dǎo)熱方程表現(xiàn)形式及其推導(dǎo)o 導(dǎo)熱的單值性條件o 導(dǎo)熱方程的求解方法o 齊次問題o 精確分析解法之一 分離變量法什么是導(dǎo)熱方程？Energy Balance for Heat Conduction and Its Mathematical Form高等傳熱學(xué)導(dǎo)熱方程式數(shù)學(xué)形式針對熱傳導(dǎo)過程針對特定考慮區(qū)域簡化的熱力學(xué)thermodynamics 第一定律溫度場在時空領(lǐng)域內(nèi)的內(nèi)在聯(lián)系導(dǎo)熱方程有哪些型式？How many for

2、ms?高等傳熱學(xué)導(dǎo)熱方程式導(dǎo)熱積分方程 integral equation導(dǎo)熱微分方程 differential equation導(dǎo)熱變分方程variation equation高等傳熱學(xué)導(dǎo)熱積分方程及其推導(dǎo)Heat conduction integral equation and its deductionVAdVdAq no 假設(shè)模型：Assumption Heat Source-qv, Control Volume-V, Boundary Area-A, Differential Control Volume-dV Differential Boundary Area-dAdAnqAVV

3、dVqVdVe)(VVAVdVqdAnqdVe) (導(dǎo)入的凈熱流量 + 內(nèi)熱源發(fā)熱量 = 內(nèi)能增加量按熱平衡有：（針對控制容積control volume）導(dǎo)入的凈熱流量 net heat flow rate conducted 內(nèi)熱源發(fā)熱量 heat generation of the inner source內(nèi)能增加量 intrinsic energy increasing take expressions into above equation, we have：The above equation is called as integral form積分形式 of heat condu

4、ction （注意：各向同性，異性均適用）高等傳熱學(xué)tqVvVAdVqdAntdV)tc( 導(dǎo)熱積分方程heat conduction integral equation 代入上式，則有： 導(dǎo)熱積分方程（integral equation），針對物體內(nèi)任意區(qū)域。將e = c t和VVAVdVqdAnqdV)e( 高等傳熱學(xué)導(dǎo)熱微分方程及其推導(dǎo)o 曾經(jīng)的推導(dǎo)方式是怎樣？o 在具體坐標(biāo)系下，對微元體(Different Element) 應(yīng)用能量平衡原理o 基于導(dǎo)熱積分方程，利用散度定理(Divergence Theorem) 推導(dǎo)VVAdVqdVqdivdAnqVVVVdVqdVqdVe)(0)

5、(VVdVqqe0)(Vqqe按散度定理，將對面積的積分(Surface Integral)改為對體積的積分 (Volume Integral)則積分形式成為： 或： 上式為導(dǎo)熱能量方程的微分形式 Differential Form 去掉積分符號高等傳熱學(xué)0)()(VqtctVqtct)()(導(dǎo)熱微分方程 Heat Conduction Differential Equation 注意：只適用于各向同性材料0)(Vqqe各種常物性(Constant Property)材料的導(dǎo)熱微分方程o 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱+無內(nèi)熱源：（橢圓型偏微分方程）（拉普拉斯方程）泊松方程） 0( 022tqtVtta21o無內(nèi)熱

6、源項： （拋物線型偏微分方程）o 考慮熱傳播速度的有限性 對于無源項情況， （雙曲線型 hyperbola 偏微分方程） 是對拋物線型parabolic偏微分方程的一種修正 ttatc222211高等傳熱學(xué)正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)中的導(dǎo)熱微分方程中的導(dǎo)熱微分方程o 梯度 (gradient) 表達(dá)式在附錄 3 中式（A3.4）321332211111eqHeqHeqH311iiiiextHt溫度梯度：Hi稱為拉梅(Lame)系數(shù)（或度規(guī)系數(shù)） （a)311iiii)qHH(xHq根據(jù)附錄3式（A3.5），熱流密度(heat f

7、lux)的散度： 其中，H H1H2H3 由（a) 、（b)兩式及傅立葉導(dǎo)熱定律，可得:312)(1)(iiiixtHHxHt （b)將此表達(dá)式代入導(dǎo)熱微分方程，則：ViiiiqxtHHxHct312)(1)(Return to Content導(dǎo)熱的單值性條件Unique Solution of Heat Conductiono 幾何條件 Geometry conditiono 物理條件 Physical conditiono 時間條件 Initial conditiono 邊界條件 Boundary conditionu 第一類 the first kindu 第二類 the second

8、kindu 第三類 the third kind高等傳熱學(xué)The Conditions on the Boundary Surface Sio 第一類 the first kind高等傳熱學(xué)Temperature is prescribed along the boundary surface; for the general case it is a function of both time and position and represented in the formo 第二類 the second kindThe normal derivative of temperature is

9、 prescribed at the boundary surface. It is given in the form),( trfntiio 第三類 the third kindA linear combination of the temperature and its normal derivative is prescribed at the boundary surfaces.),( trfthntiiii),(trftiReturn to Content導(dǎo)熱方程的求解方法The Solution Methods高等傳熱學(xué)目前較少使用圖解法實(shí)驗(yàn)?zāi)M法數(shù)值解法近似分析解法分析解法No

10、w UseSeldomSoluiton GraphicSimulation Lab.Solution NumericalSolution eApproximatAnalysisExact 高等傳熱學(xué)精確分析解法種類Classification of the Exact Solutionso 直接積分法 Direct Integrationo 分離變量法 Variable Separation o 拉普拉斯變換法 Laplace Transformo 熱源法 Heat Source Method高等傳熱學(xué)直接積分解法本科階段常用的一種方法適用求解問題一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱集總參數(shù)法求解的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱高等傳熱

11、學(xué)特點(diǎn)：一般正交曲線坐標(biāo)系第一類邊界條第一類邊界條件下一維穩(wěn)態(tài)件下一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱導(dǎo)熱無內(nèi)熱源無內(nèi)熱源ViiiiqxtHHxHct312)(1)(0)(11321dxdtHHHdxd213211CdxHHHCt通解：高等傳熱學(xué)邊界條件：第一類邊界條第一類邊界條件下一維穩(wěn)態(tài)件下一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱導(dǎo)熱無內(nèi)熱源無內(nèi)熱源213211CdxHHHCt特解： 1321132121221111dxHHHdxHHHttttllxlwwwx1 常數(shù)是等溫面；熱流密度不僅沿導(dǎo)熱方向x1變化，而且在等溫面上也會變化。高等傳熱學(xué)第一類邊界條第一類邊界條件下一維穩(wěn)態(tài)件下一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱導(dǎo)熱無內(nèi)熱源無內(nèi)熱源 1321132121221

12、111dxHHHdxHHHttttllxlwww請由以上結(jié)果演繹出直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的表達(dá)式高等傳熱學(xué)第一類邊界條第一類邊界條件件下三種典型形狀下三種典型形狀無內(nèi)熱源無內(nèi)熱源時的溫時的溫度分布對比度分布對比 結(jié)果給你何種啟示？表達(dá)成無量綱形式有什么好處？Lxttttwww1212)ln()ln(1121212rrrrttttwww21121211111rrrrttttwww大平板長圓筒壁球形壁高等傳熱學(xué)進(jìn)一步思考進(jìn)一步思考 這樣的分析方法給你何種啟示？上述問題在第二類邊界條件時又有什么表現(xiàn)？上述問題在第三類邊界條件時又有什么表現(xiàn)？上述問題在各種邊界條件混合時又有什么表現(xiàn)？ 集總

13、熱容系統(tǒng)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題The transient heat conduct problem in the lumped heat capacity systemp集總熱容系統(tǒng)又稱為集中熱容系統(tǒng)p集總熱容系統(tǒng)為虛擬系統(tǒng)、人為系統(tǒng) 忽略物體內(nèi)各點(diǎn)溫度的微小變化，認(rèn)為物體各點(diǎn)溫度相等，質(zhì)量和熱容匯總到了一點(diǎn)，這樣的系統(tǒng)稱為集總熱容系統(tǒng)（Lumped Heat Capacity System）何為集總熱容系統(tǒng)？集總參數(shù)法使用的條件 the applied condition of the Lumped Parameters methodo 集總參數(shù)法使用的條件是：Bi0o 此時反映了物體的內(nèi)部熱阻外部

14、熱阻（表面換熱熱阻）o 此時物體內(nèi)部的各點(diǎn)溫度趨于一致o 集總參數(shù)法適用條件細(xì)化n 物體導(dǎo)熱系數(shù)thermal conductivity相當(dāng)大；n 物體幾何尺寸非常??；n 表面換熱系數(shù)surface heat convection coefficient很小集總參數(shù)法示例模型Lumped Parameters Method demonstration設(shè)物體具有發(fā)熱率heat generation rate為qV（常數(shù)）的內(nèi)熱源 inner heat source，處于溫度為tf的環(huán)境下，其邊界上的平均換熱系數(shù)為h（可為常數(shù)，也可隨時間改變） Vq)tt (hAddtcVVf其中：、c、A、V分

15、別為物體的密度 density、比熱 capacity、表面積 surface area 和體積 volume。與過去不同Whats this mean?模型的各種可能情況the possible cases of this modenCase 1: 有內(nèi)熱源、環(huán)境溫度為常數(shù)tf = const.nCase 2: 無內(nèi)熱源、環(huán)境溫度隨時間線性變化tf = f()nCase 3: 無內(nèi)熱源、環(huán)境溫度隨時間呈周期變化tf = f()情況1：有內(nèi)熱源、環(huán)境溫度為常數(shù)Case1: inner heat source exists, ambient temperature is constantcVhA

16、cqcVhAddvifitttt0|0設(shè)ti為物體的初始溫度，過余溫度 excess temperature = t - ti，則守恒方程成為：Where:I.C.：與過去不同A1R ,hcVChCRcqCRddhvh11vhqhAVCRC)1exp(1)1exp(1)(CRqhAVhvvvqhlhAVqP)1exp(1CRPh再令 let：（稱為總熱容量，總表面換熱熱阻）則：上式通解 general solution 為：結(jié)合初始條件combine I.C.可得：再引入?yún)?shù)introducing parameter again：結(jié)果可寫成無量綱形式 non-dimensional form：

17、簡化表達(dá)簡化表達(dá))1exp(1 , 0CRPh故：vvhFoBilalC2R1)exp(1vvFoBiP)exp(1vvFoBi 針對無內(nèi)熱源情況，若選V/A = l作為特性尺度length scale，則有：故：無內(nèi)熱源時：上兩式說明：有熱源時，物體最終達(dá)到的溫度 utmost temperature 比無內(nèi)熱源時達(dá)到的溫度高出P攝氏度 degree Celsius 。這反映了P的物理意義。 情況2：無內(nèi)熱源、環(huán)境溫度隨時間線性(linear)變化kttifkddchAcVcRhc0|0導(dǎo)熱微分方程成為：其中，稱為熱慣性時間常數(shù)（Thermal inertia time constant）。

18、 結(jié)合初始條件：Transient term comes from effects of the system initial condition and the thermal inertia;第一項來自系統(tǒng)初始條件和熱慣性的影響； Quiz steady state term is the temperature changing rule because of the disturbance. 第二項來自擾動作用下溫度的變化規(guī)律。)(k)exp(bccc瞬間（transient）分量準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)（Quiz steady state）分量解的結(jié)果及意義result and the physica

19、l meaning高等傳熱學(xué)tittf = ti+ kk準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)kc)(kckf物體及環(huán)境溫度隨時間變化的圖示時，當(dāng))(cb熱慣性時間常數(shù)（Thermal inertia time constant）的物理意義？進(jìn)入準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)后，物體以相同速率跟隨環(huán)境溫度變化，數(shù)量上比環(huán)境溫度小一恒定值bc。 0)exp(ccb可以看到，c之值越大，進(jìn)入準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)所需的時間將越長情況3：無內(nèi)熱源、環(huán)境溫度隨時間呈周期(periodical) 變化)cos(_ffftttdfccc)(1)exp()exp(1)cos()(_fiffttt)exp()11()cos(11)(22_22cfciffciftttttt)arctan(c結(jié)合初始條件