2014年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編28 銳角三角函數(shù)與特殊角

1、銳角三角函數(shù)與特殊角一、選擇題1.（2014年廣東汕尾，第7題4分）在RtABC中，C=90°，若sinA=，則cosB的值是（）ABCD分析：根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系進行解答解：C=90°，A+B=90°，cosB=sinA，sinA=，cosB=故選B點評：本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，熟記關(guān)系式是解題的關(guān)鍵2.（2014畢節(jié)地區(qū)，第15題3分）如圖是以ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CDAB交AB于D已知cosACD=，BC=4，則AC的長為（ ）A1BC3D 考點：圓周角定理；解直角三角形分析：由以ABC的邊AB為直徑的半圓O，

2、點C恰好在半圓上，過C作CDAB交AB于D易得ACD=B，又由cosACD=，BC=4，即可求得答案解答：解：AB為直徑，ACB=90°，ACD+BCD=90°，CDAB，BCD+B=90°，B=ACD，cosACD=，cosB=，tanB=，BC=4，tanB=，AC=故選D來源:Z*xx*k.Com點評：此題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3(2014年天津市，第2 題3分)cos60°的值等于（）ABCD考點：特殊角的三角函數(shù)值分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解題即可解答：解：cos60°=故選A點評

3、：本題考查特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確掌握特殊角的函數(shù)值是解題關(guān)鍵4（2014四川自貢，第10題4分）如圖，在半徑為1的O中，AOB=45°，則sinC的值為（）ABCD考點：新_課_標(biāo)第_一_網(wǎng)圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義專題：壓軸題分析：首先過點A作ADOB于點D，由在RtAOD中，AOB=45°，可求得AD與OD的長，繼而可得BD的長，然后由勾股定理求得AB的長，繼而可求得sinC的值解答：解：過點A作ADOB于點D，在RtAOD中，AOB=45°，OD=AD=OAcos45°=×1=，x kb 1BD=OBOD=1，AB=，AC

4、是O的直徑，ABC=90°，AC=2，sinC=故選B點評：此題考查了圓周角定理、三角函數(shù)以及勾股定理此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5（2014浙江湖州，第6題3分）如圖，已知RtABC中，C=90°，AC=4，tanA=，則BC的長是（）A2B8C2D4分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得出tanA=，代入求出即可解：tanA=，AC=4，BC=2，故選A點評：本題考查了銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用，注意：在RtACB中，C=90°，sinA=，cosA=，tanA=6（2014·浙江金華，第6題4分）如圖，點A（t，3）在第一象限，OA

5、與x軸所夾的銳角為，則t的值是【 】A1 B1.5 C2 D3【答案】C【解析】7.（2014濱州，第11題3分）在RtACB中，C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，則BC的長為（ ）A6B新_課_標(biāo)第_一_網(wǎng)7.5C8D12.5 考點：解直角三角形分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義來解決，由sinA=，得到BC=解答：解：C=90°AB=10，sinA=，BC=AB×=10×=6故選A點評：本題考查了解直角三角形和勾股定理的應(yīng)用，注意：在RtACB中，C=90°，則sinA=，cosA=，tanA=8.（2014揚州，第7題，3

6、分）如圖，已知AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（）A3B4C5D6（第1題圖）考點：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)分析：過P作PDOB，交OB于點D，在直角三角形POD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長，再由PM=PN，利用三線合一得到D為MN中點，根據(jù)MN求出MD的長，由ODMD即可求出OM的長解答：解：過P作PDOB，交OB于點D，在RtOPD中，cos60°=，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=ODMD=61=5故選C點評：此題考查了含30度直角

7、三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵二.填空題1. （ 2014廣西賀州，第18題3分）網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，ABC每個頂點都在網(wǎng)格的交點處，則sinA=考點：銳角三角函數(shù)的定義；三角形的面積；勾股定理分析：根據(jù)正弦是角的對邊比斜邊，可得答案解答：解：如圖，作ADBC于D，CEAB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，由BCAD=ABCE，即CE=，sinA=，故答案為：點評：本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊2. （ 2014廣西玉林市、防城港市，第16題3

8、分）如圖，直線MN與O相切于點M，ME=EF且EFMN，則cosE=考點：切線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值專題：計算題分析：連結(jié)OM，OM的反向延長線交EF與C，由直線MN與O相切于點M，根據(jù)切線的性質(zhì)得OMMF，而EFMN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到MCEF，于是根據(jù)垂徑定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易證得MEF為等邊三角形，所以E=60°，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解解答：解：連結(jié)OM，OM的反向延長線交EF與C，如圖，直線MN與O相切于點M，OMMF，EFMN，MCEF，CE=CF，ME=MF，而ME=EF，ME=EF=MF，MEF為

9、等邊三角形，E=60°，cosE=cos60°=故答案為點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑也考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值3（2014溫州，第14題5分）如圖，在ABC中，C=90°，AC=2，BC=1，則tanA的值是 考點：銳角三角函數(shù)的定義分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義（tanA=）求出即可解答：解：tanA=，故答案為：點評：本題考查了銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用，注意：在RtACB中，C=90°，sinA=，cosA=，tanA=4. （2014株洲，第13題，3分）孔明同學(xué)在距某電視塔塔底水平距離50

10、0米處，看塔頂?shù)难鼋菫?0°（不考慮身高因素），則此塔高約為182米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin20°0.3420，sin70°0.9397，tan20°0.3640，tan70°2.7475）（第1題圖）考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題分析：作出圖形，可得AB=500米，A=20°，在RtABC中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長度解答：解：在RtABC中，AB=500米，BAC=20°，=tan20°，BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）故答案為：182點評：本題

11、考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解三.解答題1. （2014湘潭，第25題） ABC為等邊三角形，邊長為a，DFAB，EFAC，（1）求證：BDFCEF；（2）若a=4，設(shè)BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng)m為何值時S取最大值；（3）已知A、D、F、E四點共圓，已知tanEDF=，求此圓直徑（第1題圖）考點：相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到兩組對應(yīng)角相等即可（2）四邊形ADFE面積S可以看成ADF與AEF的面積之和，借助三角函數(shù)用m表示出AD、DF、AE、EF的長

12、，進而可以用含m的代數(shù)式表示S，然后通過配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題（3）易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將EDF轉(zhuǎn)化為EAF在AFC中，知道tanEAF、C、AC，通過解直角三角形就可求出AF長解答：解：（1）DFAB，EFAC，BDF=CEF=90°ABC為等邊三角形，B=C=60°BDF=CEF，B=C，BDFCEF（2）BDF=90°，B=60°，sin60°=，cos60°=BF=m，DF=m，BD=AB=4，AD=4SADF=ADDF=×（4）×m=m2+m同理：SAEF=AEEF

13、=×（4）×（4m）=m2+2S=SADF+SAEF=m2+m+2=（m24m8）=（m2）2+3其中0m40，024，當(dāng)m=2時，S取最大值，最大值為3S與m之間的函數(shù)關(guān)系為：S（m2）2+3（其中0m4）當(dāng)m=2時，S取到最大值，最大值為3（3）如圖2，A、D、F、E四點共圓，EDF=EAFADF=AEF=90°，AF是此圓的直徑tanEDF=，tanEAF=C=60°，=tan60°=設(shè)EC=x，則EF=x，EA=2xAC=a，2x+x=Ax=EF=，AE=AEF=90°，AF=此圓直徑長為點評：本題考查了相似三角形的判定、二次

14、函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強利用圓周角定理將條件中的圓周角轉(zhuǎn)化到合適的位置是解決最后一小題的關(guān)鍵2. （2014益陽，第18題，8分）“中國益陽”網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：BAD=76.1°，BCA=68.2°，CD=82米求AB的長（精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：sin76.1°0.97，cos76.1°0.24，tan76.1°4

15、.0；sin68.2°0.93，cos68.2°0.37，tan68.2°2.5（第2題圖）考點：解直角三角形的應(yīng)用分析：設(shè)AD=x米，則AC=（x+82）米在RtABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB=2.5（x+82），在RtABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB=4x，依此得到關(guān)于x的方程，進一步即可求解解答：解：設(shè)AD=x米，則AC=（x+82）米在RtABC中，tanBCA=，AB=ACtanBCA=2.5（x+82）在RtABD中，tanBDA=，AB=ADtanBDA=4x2.5（x+82）=4x，解得x=AB=4x=4×546.7答：AB的長約為546.

16、7米點評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識解決實際問題3.（2014株洲，第17題，4分）計算：+（3）0tan45°考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值分析：原式第一項利用平方根定義化簡，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，最后一項利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果解答：解：原式=4+11=4點評：此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵4.（2014年江蘇南京，第23題）如圖，梯子斜靠在與地面垂直（垂足為O）的墻上，當(dāng)梯子位于AB位置時，它與地面所成的角ABO=60°；當(dāng)梯子底端向右滑動1m（即BD=1m）

17、到達(dá)CD位置時，它與地面所成的角CDO=51°18，求梯子的長（參考數(shù)據(jù)：sin51°180.780，cos51°180.625，tan51°181.248） （第4題圖）考點：解直角三角形的應(yīng)用分析：設(shè)梯子的長為xm在RtABO中，根據(jù)三角函數(shù)得到OB，在RtCDO中，根據(jù)三角函數(shù)得到OD，再根據(jù)BD=ODOB，得到關(guān)于x的方程，解方程即可求解解答：設(shè)梯子的長為xm在RtABO中，cosABO=，OB=ABcosABO=xcos60°=x在RtCDO中，cosCDO=，OD=CDcosCDO=xcos51°180.625xBD=OD

18、OB，0.625xx=1，解得x=8故梯子的長是8米點評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計算5. （2014泰州，16題，3分）如圖，正方向ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q若PQ=AE，則AP等于1或2cm（第5題圖）考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形分析：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而利用勾股定理

19、求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到PFA=DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP的長即可解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點N，四邊形ABCD為正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30°，AD=3cm，tan30°=，即DE=cm，根據(jù)勾股定理得：AE=2cm，M為AE的中點，AM=

20、AE=cm，在RtADE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL），DE=NQ，DAE=NPQ=30°，PNDC，PFA=DEA=60°，PMF=90°，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30°，cos30°=，AP=2cm；由對稱性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm故答案為：1或2點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵6. （2014泰州，第22題，10分）圖、分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知踏板CD長為1.6m，CD與地面DE的夾角C

21、DE為12°，支架AC長為0.8m，ACD為80°，求跑步機手柄的一端A的高度h（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin12°=cos78°0.21，sin68°=cos22°0.93，tan68°2.48）（第6題圖）考點：解直角三角形的應(yīng)用分析：過C點作FGAB于F，交DE于G在RtACF中，根據(jù)三角函數(shù)可求CF，在RtCDG中，根據(jù)三角函數(shù)可求CG，再根據(jù)FG=FC+CG即可求解解答：解：過C點作FGAB于F，交DE于GCD與地面DE的夾角CDE為12°，ACD為80°，ACF=90°+12&

22、#176;80°=22°，CAF=68°，在RtACF中，CF=ACsinCAF0.744m，在RtCDG中，CG=CDsinCDE0.336m，F(xiàn)G=FC+CG1.1m故跑步機手柄的一端A的高度約為1.1m點評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運算，關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)知識解決實際問題7. （ 2014福建泉州，第26題14分）如圖，直線y=x+3與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點P（2，1）（1）求該反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）設(shè)PCy軸于點C，點A關(guān)于y軸的對稱點為A；求ABC的周長和sinBAC的值；對大于1的常數(shù)m，求x軸

23、上的點M的坐標(biāo)，使得sinBMC=考點：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；直線與圓的位置關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義專題：壓軸題；探究型分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=，然后把點P的坐標(biāo)（2，1）代入即可（2）先求出直線y=x+3與x、y軸交點坐標(biāo)，然后運用勾股定理即可求出ABC的周長；過點C作CDAB，垂足為D，運用面積法可以求出CD長，從而求出sinBAC的值由于BC=2，sinBMC=，因此點M在以BC為弦，半徑為m的E上，因而點M應(yīng)是E與x軸的交點然后對E與x軸的位置關(guān)系進行討論，只需運用矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識就可求出滿足要

24、求的點M的坐標(biāo)解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=點P（2，1）在反比例函數(shù)y=的圖象上，k=2×1=2反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=（2）過點C作CDAB，垂足為D，如圖1所示當(dāng)x=0時，y=0+3=3，則點B的坐標(biāo)為（0，3）OB=3當(dāng)y=0時，0=x+3，解得x=3，則點A的坐標(biāo)為（3，0），OA=3點A關(guān)于y軸的對稱點為A，OA=OA=3PCy軸，點P（2，1），OC=1，PC=2BC=2AOB=90°，OA=OB=3，OC=1，AB=3，AC=ABC的周長為3+2SABC=BCAO=ABCD，BCAO=ABCD2×3=3×CDCD=CDAB，sin

25、BAC=ABC的周長為3+2，sinBAC的值為當(dāng)1m2時，作經(jīng)過點B、C且半徑為m的E，連接CE并延長，交E于點P，連接BP，過點E作EGOB，垂足為G，過點E作EHx軸，垂足為H，如圖2所示CP是E的直徑，PBC=90°sinBPC=sinBMC=，BMC=BPC點M在E上點M在x軸上點M是E與x軸的交點EGBC，BG=GC=1OG=2EHO=GOH=OGE=90°，四邊形OGEH是矩形EH=OG=2，EG=OH1m2，EHECE與x軸相離x軸上不存在點M，使得sinBMC=當(dāng)m=2時，EH=ECE與x軸相切切點在x軸的正半軸上時，如圖2所示點M與點H重合EGOG，GC

26、=1，EC=m，EG=OM=OH=EG=點M的坐標(biāo)為（，0）切點在x軸的負(fù)半軸上時，同理可得：點M的坐標(biāo)為（，0）當(dāng)m2時，EHECE與x軸相交交點在x軸的正半軸上時，設(shè)交點為M、M，連接EM，如圖2所示EHM=90°，EM=m，EH=2，MH=EHMM，MH=MHMHEGC=90°，GC=1，EC=m，EG=OH=EG=OM=OHMH=，OM=OH+HM=+，M（，0）、M（+，0）交點在x軸的負(fù)半軸上時，同理可得：M（+，0）、M（，0）綜上所述：當(dāng)1m2時，滿足要求的點M不存在；當(dāng)m=2時，滿足要求的點M的坐標(biāo)為（，0）和（，0）；當(dāng)m2時，滿足要求的點M的坐標(biāo)為（，0）、（+，0）、（+，0）、（，0）點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關(guān)系式、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、垂徑定理等知識，考查了用面積法求三角形的高，考查了通過構(gòu)造輔助圓解決問題，綜合性比較強，難度系數(shù)比較大由BC=2，sinBMC=聯(lián)想到點M在以BC為弦