三重積分的概念

1、第三節(jié)第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三重積分三重積分 第九章 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問(wèn)題的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得nk 10limM“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取極限取極限”解決方法解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyx

2、fd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對(duì) 作任意分割任意分割: 任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方

3、法方法3 . 三次積分法 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過(guò)計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù) , 方法:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (先一后二先一后二 ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz d dx

4、 y微元線密度記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中 為三個(gè)坐標(biāo)例例1. 計(jì)算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中：例例2. 計(jì)算三重積分d d d ,z x y z2222xyzR解解:d ddzxyz2220dRxyzz2220zRxy( , )xyx yD及機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0,0,xy0z RxyzRR222(

5、 , ),0,0 x y xyRxyxyDdxdy2221()2xyDRxydxdy2220()16RRr /222001()2RdRrrdr極坐標(biāo)222201() ()42RRrd Rr4.16Rab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以xyz該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中：例例3. 計(jì)算三重積分d d d ,z x y z2222xyzR解解

6、:d ddzxyz0dRzz0zR( , )zx yD及機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0,0,xy0z 22,0,0RzxyzDdxdy224011()4 24RR zz220()4Rz Rzdz4.16RRxyzRRzD22( , )x y xyxyz例例4. 計(jì)算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx

7、)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中：例例5. 計(jì)算三重積分2sind ,xy v解解1 1( , , ) 01,x y zy 10dyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,01yx yx zyz 及120sinyyydyxdx由平面所圍成.xyzzD1,01yxyzy 2sindxy v120(1)sinyyyydyxdx解解2 2平面對(duì)稱,

8、所以積分等于零.由于被積函數(shù)關(guān)于yOzx是奇函數(shù),積分域關(guān)于0例例6. 計(jì)算由拋物面226,xyz解解1 1( , , ) 02,x y zy 226/4dxyyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4 ,1,2,yz xy2100dydx坐標(biāo)平面所圍成的立體的體積.2201,/46xyzxydVv21200(6/4)dyxyyxdx4960,0 xy及平面21小結(jié)小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法三重積分的計(jì)算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayx

9、zyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxyz2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).z200sinyzz cosx直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxM)0 ,(yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zzd

10、ddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單 ;即由圓柱2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.即zdddxyzodd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2222()( );.(, )fg xyh zfg xyz面,錐面,球面,平面等圍成的區(qū)域.其中為由例例7. 計(jì)算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所圍解解: 在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd2

11、0dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圓柱體.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 o oxyz例例8. 計(jì)算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42rzvdddd原式 =機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,ZOMMoxyzzr),(r則0200rcossinrx sin

12、sinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyzo如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單;即由球面,2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222222();()( . )fg xyzfg xyzh z或部分球面

13、,錐面,平面等圍成的區(qū)域.例例9. 計(jì)算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例10.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3ar 利用對(duì)稱性, 所求立體體積為vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面對(duì)稱, 并

14、與xoy面相切, 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz dddsind2rrv yzxar機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系* * 說(shuō)明說(shuō)明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對(duì)應(yīng)雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyx

15、fId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習(xí)思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成 ,:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè), 1:222zyx計(jì)算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用對(duì)稱性原式 = 122ddyxyx0奇函數(shù)222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zoxy23. 設(shè)由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計(jì)算.d)(2vzyxI提示提示:4利用對(duì)稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 計(jì)算,ddd12zyxxyI所圍成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計(jì)算較繁! 采用“三次積分”較好.1zxy1o1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 :4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211