概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的課后習(xí)地的題目答案詳解(非常全很詳細(xì))

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)旦大學(xué)此答案非常詳細(xì)非常全，可供大家在平時(shí)作業(yè)或考試 前使用，預(yù)祝大家考試成功習(xí)題1 . 略.見教材習(xí)題參考答案.2 .設(shè)A, B, C為三個(gè)事件，試用 A B, C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件:(1) A發(fā)生，B, C都不發(fā)生；(2) A與B發(fā)生，C不發(fā)生；(3) A B, C都發(fā)生；(4) A, B, C至少有一個(gè)發(fā)生；(5) A, B, C都不發(fā)生;(6) A B, C不都發(fā)生;(7) A B, C至多有2個(gè)發(fā)生；(8) A B, C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC(4) AU BU C=AB CU ABC U ABC U A

2、 BCJ AB CU ABC U ABC ABC(5) ABC = AljBUC(6) ABC(7) ABCJ AB CU ABC U AB CU ABC U ABC U ABC = ABC = A U B U C(8) ABJ BCU CAABC U AB CU A BCJ ABC3 .略.見教材習(xí)題參考答案4 .設(shè) A, B 為隨機(jī)事件，且 P (A) =0.7, P(A B)=0.3，求 P( AB ).【解】 P( Ab ) =1 P (AB) =1 P(A) P(A B>=10.70.3=0.65 .設(shè) A, B是兩事件，且 P (A) =0.6, P( B)=0.7,求：(1

3、)在什么條件下P (AB)取到最大值？(2)在什么條件下P (AB)取到最小值？【解】(1)當(dāng)AB=A時(shí)，P (AB取到最大值為0.6.(2)當(dāng)AU B=Q時(shí)，P (AB取到最小值為 0.3.6 .設(shè) AB,C為三事件，且 P(A)=P(B)=1/4 , P (C)=1/3 且 P (AB)=P(BQ=0|P(AC =1/12 ,求A, B, C至少有一事件發(fā)生的概率 .【解】 P (AU BU CC =P(A)+RB)+RQ P(A§ R BQP(AQ+RABQ=1+1+11 =344312 47 .從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概 率

4、是多少？【解】p= C13c13c13c13 / C528 .對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問題：(1)求五個(gè)人的生日都在星期日的概率；(2)求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；(3) 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)設(shè)A=五個(gè)人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為 75,有利事件僅1個(gè)，故11P (A) = = (-) 5(亦可用獨(dú)立性求解，下同)7575(2)設(shè)A2=五個(gè)人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為6,故P (A2) =65=( 6)5757(3)設(shè)A3=五個(gè)人的生日不都在星期日P (A3) =1P(A)=1( 1)579 .略.見教材習(xí)題參考答案.10 . 一批產(chǎn)品共N件，其中M

5、件正品.從中隨機(jī)地取出n件(n<N).試求其中恰有 m件(存M 正品(記為A)的I率.如果：(1) n件是同時(shí)取出的；(2) n件是無放回逐件取出的；(3) n件是有放回逐件取出的.【解】(1) p(A)=cMcN£ /cN(2)由于是無放回逐件取出，可用排列法計(jì)算.樣本點(diǎn)總數(shù)有PN種，n次抽取中有 m次為正品的組合數(shù)為 cm種.對(duì)于固定的一種正品與次品的抽取次序，從 M件正 品中取m件的排列數(shù)有 匕種，從N M件次品中取n m件的排列數(shù)為PN2種,mpm r)n-mp(4=cn PM PN -MPN;由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P (A)mn -m

6、CM CN JMCN可以看出，用第二種方法簡(jiǎn)便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有 m次為正品的組合數(shù)為cm種，對(duì)于固定的一種正、次品的抽取次序,m次取得正品，都有 M種取法, N M種取法，共有（N M共有 Mm種取法，n m次取得次品，每次都有 .種取法，故P(A) =C：M m(N -M)n，Nn此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為M ,則取得Nm件正品的概率為m1-Mn -m11.12.略.見教材習(xí)題參考答案.50只挪釘隨機(jī)地取來用在 10個(gè)部件上，其中有 挪釘.若將3只強(qiáng)度太弱的獅釘都裝在一個(gè)部件上,

7、 個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？設(shè)A=發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱3個(gè)挪釘強(qiáng)度太弱.每個(gè)部件用3只則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱.求發(fā)生一P(A) =4工/01960精彩文案設(shè)八二甲進(jìn) i 球, i=0,1,2,3, B=乙進(jìn) i 球, i=0,1,2,3,則3P(U ABi3)=(0.3)3(0.4)3 +C30.7M(0.3)2C30.6M (0.4)2 十i =0C3 (0.7)2 m 0.3C2(0.6)2 0.4+(0.7)3 (0.6)3=0.3207617.從5雙不同的鞋子中任取 4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率p =1c5c2c2c2c2 =13C：02118.某地某天下雪的概率為

8、0.3 , 下雨的概率為 0.5 ,既下雪又下雨的概率為0.1,求:（1）在下雨條件下下雪的概率；（2）這天下雨或下雪的概率.設(shè)A=下雨, B=下雪.P(AB) 0.1(1) p(B A)0.2P(A) 0.5(2) p(AljB)=P(A) P(B) -P(AB) =0.3 0.5-0.1 =0.719.已知一個(gè)家庭有3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（小孩為男 為女是等可能的）.【解】 設(shè)A=其中一個(gè)為女孩, &至少有一個(gè)男孩，樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8,故P(B A)=P(AB)P(A)6/87/8或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為7.P(B A)20.已知5%勺男

9、人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率(假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半)P(AB)=P(AB)P(B)【解】設(shè)片此人是男人, B=此人是色盲,則由貝葉斯公式P(A)P(B A)P(A)P(B|A) P(A)P(B A)_0.5 0.05_20- 0.5 0.05 0.5 0.0025 -2121 .兩人約定上午9 : 0010 : 00在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率60303060題22圖要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于| x題21圖設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為 x,y ,則0w x, yw 60.事件“一人 y|>30.如圖陰影部分所示.C 301P

10、 二-2 60422 . 從(0, 1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：(1)兩個(gè)數(shù)之和小于 6的概率；5 1 (2)兩個(gè)數(shù)之積小于 1的概率.4【解】 設(shè)兩數(shù)為x,y,則0<x, y<1.6(1) x+y<.5p1 = 11 442 55 1725= 0.68(2) xy=<1.4p2 =1 -1 dx 1 dy47x1ln2223.設(shè)P( A)=0.3, RB)=0.4, P( AB )=0.5 ,求 P (B| AU B)P(B AUB)=P(AB)P(A)-P(AB)P(AUB) P(A) P(B) -P(AB)0.7 -0.50.7 0.6 -0.5 424.在一個(gè)盒中

11、裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出 3個(gè)球，求第二次取出的 3個(gè)球均為新球的 概率.【解】 設(shè)6=第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球, i=0,1,2,3. &第二次取出的3球均為 新球由全概率公式，有3P(B) =、P(B A)P(A)i=0C3C353 1 2 3 2 1C9C9c6C8 C9c6十十C35 c c C15C315333C7C9C6r C35 C35 C3525.按以往概率論考試結(jié)果分析, 生有90%勺可能考試不及格-0.089努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有90%勺可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)80

12、%勺人是努力學(xué)習(xí)的，試問：(1)(2)考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人?考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人?【解】設(shè)A=被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的，則A =被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的.由題意知P(A)=0.8 , P( A) =0.2,又設(shè) 由被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P (B|A) =0.9, P(B| A) =0.9,故由貝葉斯公式知(1) P(AB) =P(AB)P(A)P(B A)P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B A)0.2 0.10.8 0.9 0.2 0.11 0.0270237即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2) P(A B)=P(AB

13、)P(A)P(B A)P(B) P(A)P(B|A) + P(A)P(B A)0PJ± _ 0 30770.8 0.1 0.2 0.9 13即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26.將兩信息分別編碼為 A和B傳遞出來，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為 是A,試問原發(fā)信息是設(shè)A=原發(fā)信息是C=收到信息是由貝葉斯公式，得0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2 ： 1.若接收站收到的信息A的概率是多少？丹，則=原發(fā)信息是 耳A,則=收到信息是BP(A C)=P(A)P(C A)P(A)P(C|A) P(A)P(C A)2/3 0.982/3

14、0.98 1/3 0.01=0.9949227.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球,子中原有一白球的概率(箱中原有什設(shè)A=箱中原有i個(gè)白球 (i =0,1,2然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求?么球是等可能的顏色只有黑、白兩種)1,),由題設(shè)條件知 P(A) =, i =0,1,2.又設(shè)B=抽3出一球?yàn)榘浊?由貝葉斯公式知P(A B)=P(AB)p(b|Ai)p(a)2P(B) P P(B A)P(A)i =02/3 1/328.1/3 1/3 2/3 1/3 1 1/3 3某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率 為0.02 , 一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格

15、品的概率為0.05 ,求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】設(shè)4產(chǎn)品確為合格品,民產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品由貝葉斯公式得P(A)P(B A)P(A)P(B|A) P(A)P(B A)0.96 0.98-0.9980.96 0.98 0.04 0.0529.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明， 上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15 和0.30;如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20% “一般的”占50% “冒失的”占30%現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】設(shè)片該客戶是“謹(jǐn)慎的” ，&該客戶是“

16、一般的” ,C=該客戶是“冒失的” , D=該客戶在一年內(nèi)出了事故 則由貝葉斯公式得P(AD)P(A|D)=P(A)P(D | A)P(D) P(A)P(D | A) P(B)P(D| B) P(C)P(D|C)= 0.0570.2 0.050.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.330 .加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一 二、三1四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設(shè)八=第i道工序出次品 (i=1,2,3,4 )4p(U A) =1 -p(A1A2A3A4)i已= 1-P(A)P(A2)P(A3)

17、P(A4)= 1 -0.98 0.97 0.95 0.97 =0.12431 .設(shè)每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.1 - (0.8)n -0.9即為(0.8)n£0.1故n>11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32 .證明；若P (A| B) =RA| B),則A, B相互獨(dú)立.【證】 P(A|B) = P(A|B)即 P(AB); P(Ab)P(B) P(B)亦即P(AB)P(B) = P(AB)P(B)P(AB)1 - P(B) =P(A) -P(AB)P(B)因此P(AB) =P(A)P

18、(B)故A與B相互獨(dú)立.33 .三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，工,求將此密碼破譯出 534的概率.【解】設(shè)八=第i人能破譯 (i =1,2,3 ),則3 P(Ua)=1 -P(AA2A3) =1 -P(A)P(A2)P(A3) i W423=1 -= 0.653 434 .甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2;若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6;若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率【解】設(shè)八=飛機(jī)被擊落, B=恰有i人擊中飛機(jī), i=0,1,2,3由全概率公式，得3P(A)

19、八 P(A|Bi)P(Bi)i =0二(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0.4 X 0.5 X 0.7 =0.45835. 已知某種疾病患者的痊愈率為25%為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用,且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效，求：(1)雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%但通過試驗(yàn)被否定的概率.(2)新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率3【解】(1) p1 =£

20、 C1k0(0.35)k(0.65)10" =0.5138 k 0 10(2) p2 ='、Ck0(0.25)k(0.75)10A =0.2241 k =436. 一架升降機(jī)開始時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：(1) A="某指定的一層有兩位乘客離開“；(2) B= "沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；(3) C="恰有兩位乘客在同一層離開“；(4) D="至少有兩位乘客在同一層離開“【解】由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.C；94(1) P(A)=-V,也可由6重

21、貝努里模型：102 12 9 4HA'喘)(行)(2)6個(gè)人在十層中任意六層離開，故P6P(B)=4(3)由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有C；0種可能結(jié)果，再?gòu)牧酥羞x二人在該層離開， 有C2種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個(gè)人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有 c9c4c8種可能結(jié)果；4人同時(shí)離開，有c9種可能結(jié)果;4個(gè)人都不在同一層離開，有百種可能結(jié)果，故p(c)=c；C(c9c4c8+c9+p94)/i06(4) D= B .故P(D) =1 -P(B) =1P010637. n個(gè)朋友隨機(jī)

22、地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率:(1)甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；(2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果n個(gè)人并排坐在長(zhǎng)桌的一邊，求上述事件的概率(1)1P1 = n.1(2)p2 =3!(n -3)!(n-1)!38.(n -1)!1 .3!(n -2)!0(3)P1； P2, n 3n! nn!將線段0, a任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率設(shè)這三段長(zhǎng)分別為x,y,a0<x<a,0< y<a,0< a xx y.則基本事件集為由y<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由x y a - x - yx + (ax y) >

23、; y y+(a-x-y)>x構(gòu)成的圖形，即 a0 < y < 2a .c x 十 y < a-2.、一 一 1如圖陰影部分所不，故所求概率為p =1.439.某人有n把鑰匙，其中只有一把能開他的門.他逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_(抽樣是無放回的)證明13t開k次(k=1,2,，n)才能把門打開的概率與 k無關(guān).【證】Pk1p = ,k=1,2,|l|,n Pnn40 .把一個(gè)表面涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出 一個(gè)，試求它有i面涂有顏色的概率 P (A) (i=0,1,2,3 ).【解】 設(shè)A =小立方體有i面涂有顏色, i =0,1,2,3.

24、在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的 小立方體共有8個(gè).只有位于原立方體的棱上(除去八個(gè)角外)的小立方體是兩面涂 色的，這樣的小立方體共有 12X8=96個(gè).同理，原立方體的六個(gè)面上(除去棱)的小 立方體是一面涂色的，共有8X 8X 6=384個(gè).其余1000(8+96+384) =512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為512384P(A0)=0.512, P(A1)=0.384,10001000968P(A2)0.096,P(A4)0.008.1000100041 .對(duì)任意的隨機(jī)事件 A, B, C,試證ffilP (AB)+P (AC P (B。

25、RA).P(A) _ PA(B|JC) =P(AB|JAC)= P(AB) P(AC) - P(ABC) ,P(AB) P(AC) - P(BC)42 .將3個(gè)球隨機(jī)地放入 4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1, 2, 3的概率.【解】 設(shè)A =杯中球的最大個(gè)數(shù)為i, i =1,2,3.將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí),每個(gè)杯中最多放一球，故C；3!P(AT而杯中球的最大個(gè)數(shù)為 3,即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故因此P(A3)=c44316319麻片田山1一屋1r行PA) =1 _2 _1C4C3C3431643 .將一枚均句硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)

26、多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A=正面次數(shù)多于反面次數(shù) , B=正面次數(shù)少于反面次數(shù) ,C=正面次數(shù)等于反面次數(shù), A, B, C兩兩互斥.可用對(duì)稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故 P (A) =P (B).所以P(A)=1-P(C)2由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為n 1 n 1 nP(C) =C2n()()22一1 n 1故P(A)=-1-c2n-2n2244.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率【解】設(shè)A=出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù) , B=出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù) ,由對(duì)稱性知P(A) =P (B)(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、反面次數(shù)不會(huì)相等.由P (A

27、) +P (B) =1得P (A) =P (B)=0.5(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知1 :1 nP(A)=-1-C2(-)2 245. 設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】令甲正二甲擲出的正面次數(shù)，甲 反二甲擲出的反面次數(shù).乙正二乙擲出的正面次數(shù)，乙 反二乙擲出的反面次數(shù).顯然有(甲正 > 乙正)二(甲正w乙正)=(n+1甲反wn 乙反)=(甲反>1+乙反)=(甲反 > 乙反)由對(duì)稱性知P (甲正乙正)=P (甲反>乙反)_ 一 1因此R甲正>乙正尸一246 .證明“確定的原則”(Sure thing )：若 P (A

28、C) > R 日 C), RA|C)>P(日 C),則P (A) >P(B).【證】由P (AC) > R B| C),得P(AC) P(BC)P(C) 一 P(C) ,即有P(AC) _ P(BC)同理由P(A|C) 一 P(B|C),得P(AC) 一 P(BC),故P(A); P(AC) P(AC) - P(BC) P(BC); P(B)47 . 一列火車共有n節(jié)車廂，有k( k>n)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂 .求每一節(jié)車廂內(nèi)至 少有一個(gè)旅客的概率.【解】 設(shè)人=第i節(jié)車廂是空的, (i =1,，n),則P(Ai)=(n-1)k= (1kn2 kP(AiA

29、j) =(1-)k nIIIn -1 kP(AAIIlAni) =(1)一 n其中ii,i2,，ini是1, 2，n中的任n 1個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是一 n1 k 1 kSi = ' P(A) =n(1-)二Cn(1一) ynnS2= £ P(AAj)C(1-2)kII ：j mnIIISn=zP(A1Ai2 Hl An J =Ch(1 - n)k1 Jj ：i：2 中 | in 1利nSn =0nP(ljAi) =G -S2 £-(-1)"& i 1=c；(1-3k -c：(1-2)k +川 +(-1)ncn(1-Rk nnn故所求

30、概率為I 1 k 22 in -1 n _1n 1k1-P(UA)=1-Cn(1)k+C2(1)i + (1)n C；(1)kII nnn48 .設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為e >0.試證明：不論e >0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則 A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為 1. 【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為1 -(1 - ；)n > 1(n-1)49 .袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽).在袋中任取一只, 將它投擲次，已知每次都得到國(guó)徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A=投擲硬幣r次都得到國(guó)徽B=這只硬幣為正品由題知P(

31、B) =,P(B) =n-P(B|A)P(AB)P(A)m nm n P(A|B) =27，P(A|B)=1則由貝葉斯公式知P(B)P(A|B)P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)_ m nL2r_ mL.mm n 2 m n50 .巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？1【解】以B、艮記火柴取自不同兩盒的事件，則有P（B） =P（B2）=. （1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，2另一盒恰剩r根，說明已取

32、了 2n r次，設(shè)n次取自B盒（已空），n r次取自B2盒，第2n r+1次拿起B(yǎng),發(fā)現(xiàn)已空。把取 2n r次火柴視作2n r重貝努里 試驗(yàn)，則所求概率為pi =2C2n（1）n（1尸Jcn提2222式中2反映（2）前 2n次取自B與B2盒的對(duì)稱性（即也可以是 B2盒先取空）.r 1次取火柴，有n 1次取自Bi盒，n r次取自R盒，第2n rB盒，故概率為P251.求n重貝努里試驗(yàn)中【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中n1nJn1- 2c2n（二）（二）二 222A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.A出現(xiàn)的概率為p.則由= c：（1）2n2p2qn+| + Cn pnq°=1n c。 0 n N n 1 八2(q

33、p)= CnP qCnPqCn(q - p)n = Cn p0qn +C； pqn，+C2p2q- -| + (-1)nC pnq。以上兩式相減得所求概率為1 n 13 33 n 3R =CnpqCnp q III1 n1 -(q -p)n21 n= -1-(1-2p)2若要求在n重貝努里試驗(yàn)中 A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得1 np2 =-1 (1-2p)n.252 .設(shè)A, B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P (A+B) (A+B) (A+b) (A+B) 的值.【解】因?yàn)?AU B) n ( A U B ) =AB U AB(A U B) n (AU B ) =ABJ AB所求(A

34、B)(A B)(A B)(A B)= (ABjAB)n(AB AB)=0故所求值為0.53 .設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A B和C滿足條件：ABG，RA=RB)=RQ< 1/2 ,且 P (AU BU C) =9/16，求 P (A).【解】由 P(AJBUC) = P(A) + P(B) +P(C) P(AB) P(AC)P(BC) + P(ABC)29= 3P(A)-3P(A)=-161 3 1 .1故 P(A)= 或，按題設(shè) P (A) <,故 P (A)=-.4 42454.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件 A和B都不發(fā)生的概率為1/9 , A發(fā)生B不發(fā)生的概率與 B發(fā)生A 不發(fā)生的概率

35、相等，求 P (A).1【解】P(AB) =P(AUB) =1 P(AU B)=一9P(AB) = P(AB)故P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)故P(A) = P(B)由A, B的獨(dú)立性，及、式有11 -P(A) -P(B) P(A)P(B)92=1 -2P(A) P(A)2<1-P(A)2一1故1-P(A)二3一24故P(A)=或 P(A)=(舍去)33r一2即 P(A)=-.355.隨機(jī)地向半圓0<y< J2ax - x2 （ a為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于兀/4的概率為多少？【

36、解】利用幾何概率來求，圖中半圓面積為 1兀a2.陰影部分面積為2冗212a a42故所求概率為九21 2-a - a4212a2從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格56 .設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品， 品，求另一件也是不合格品的概率【解】設(shè)片兩件中至少有一件是不合格品 , &另一件也是不合格品P(B | A)=P(AB)P(A)C2C2o1-C2C2057 .設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各 10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到

37、的一份是女生表的概率q.【解】設(shè)A=報(bào)名表是取自第i區(qū)的考生, i =1,2,3.B=第j次取出的是女生表, j=1,2.則P(A),i =1,2,33375P(Bi|Ai) =P(Bi|A2)尸舊隰)=101525.31 37529(1) p=P(B1)= P(B|A)()=一y3 10 15 2590(2)q =P(BJB2) =P(B1B2)PN_3_而P(B2) uP(B2 |A)P(A)i 11 7 . 8 . 2061-(一 一 一)二一3 10 15 2590_3_P(B C P(Bib2| A)P(A)i 11 3778, 5202=一(一一一一一)=一3 1091514252

38、49_2故58.設(shè)A, B為隨機(jī)事件，且考)P(BB2)920q 二二三二一P(B2)61 6190P (B) >0, P(A B)=1,試比較 P(AU B)與 P(A) 的大小.(2006解：因?yàn)镻(AUB) = P(A) + P(B) P(AB)P(AB) = P(B) P(A B) = P(B)所以P(A|JB) = P(A) P(B) - P(B) = P(A).習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5,在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只 球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.【解】X =3,4,51P(X =3)=0.1C33P(X =4) =丁 =

39、 0.3C5c2P(X =5)寶=0.6X345P0.10.30.6故所求分布律為2.設(shè)在15只同類型零件中有 2只為次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽樣, 以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函數(shù)并作圖；(3)133P X , P 1 ：二 X - -, P1 < X - -, P1222:X : : 2.X =0,1,2.P(XC3C13=0) = FC352235P(X_1 _ 2CC2c13= 1)=不C151235P(XC1 =2)三山2) C3C15135故X的分布律為X當(dāng)0Wx<1時(shí),當(dāng)1<x<2時(shí),當(dāng)x >

40、2時(shí)，F(xiàn) 故X的分布函數(shù)(x)=P (Xc x) =10,22x : 0F(x)=3534351,0Mx ：: 1x. 2122P(X <-) =F(),22353334 34P(1 ：二 X _) = F() -F(1)02235 353312P(1 < X -) = P(X =1) P(1 二 X -)=341P二 X ：二 2) = F(2) - F(1) - P(X = 2) = 1 - 34 -七=0.35 353.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為 0.8,求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中 2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)

41、的次數(shù).則X=0, 1, 2, 3.P(XP(XP(X=0)=(0.2)3 =0.008=1) = C；0.8(0.2)2 =0.096= 2) = C3(0.8)20.2 = 0.384=3) = (0.8)3 =0.512X0123P0.0080.0960.3840.512P(X故X的分布律為分布函數(shù)P22121353535(2)當(dāng) x<0 時(shí)，F(xiàn) (x) =P (Xw x) =022F (x) =P (X<x) =P(X=0)=3534F (x) =P (X< x) =P(X=0)+P(X=1)=350,x <00.008, 0<x<1 F(x) =0

42、.104,1Mx < 20.488,2 <x<31, x_3P(X _2) = P(X =2) P(X =3) =0.8964. (1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 k RX=k= a, k!其中k=0, 1, 2,，入>0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 PX=k=a/N,k=1, 2,，N,試確定常數(shù)a.【解】(1)由分布律的性質(zhì)知二二二二 1k1 - P(X -k) =aae'k Z0k=0 k!故a = e -(2)由分布律的性質(zhì)知NN 八a 1 6 P(X = k) =" = a k 1k W N即a = 1.5 .甲、乙兩人投籃

43、，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：(1)兩人投中次數(shù)相等的概率；(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb (3, 0.6) ,Yb(3,0.7)(1) P(X =Y) =P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1) P(X =2,Y =2)P(X =3,Y =3)= (0.4)3(0.3)3 C30.6(0.4)2C30.7(0.3)2 +C3 (0.6)2 0.4C2 (0.7)20.3 + (0.6)3(0.7)3=0.32076(2) P(X Y)=P(X =1,Y =0) P(X =2,Y =0) P(X =3,Y =0)P(X

44、=2,Y =1) P(X =3,Y =1) P(X =3,Y =2)=C3O.6(0.4)2(0.3)3 + C3 (0.6)2 0.4(0.3)3 +(0.6)3(0.3)3 C2(0.6)20.4C30.7(0.3)2(0.6)3C30.7(0.3)2 (0.6)3C2(0.7)2 0.3=0.2436 .設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有 200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02 ,且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即 降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)?【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則Xb(20

45、0,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備 N條跑道，則有P(X N):二 0.01200即C Ck00(0.02)k(0.98)20" <0.01k+1利用泊松近似'"np=200 0.02 =4.一二 e"4kP(X _ N)-0.01k小.1 k!查表得N> 9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備 9條跑道.7 .有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利用泊松定理)？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則Xb (1000, 0.0001 )p(x _ 2)

46、 a - p(x u0) - p(x a)-0.1- ，-0.1=1 -e -0.1 e8 .已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足RX=1=RX=2,求概率RX=4.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為 p,則C1 p(1-p)4 = C5p2(1-p)31p=3所以P(X=4) = c5(：)42 = 23 32439 .設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3 ,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào),(1)進(jìn)行了 5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；(2)進(jìn)行了 7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】(1)設(shè)X表示5次獨(dú)立13t驗(yàn)中 A發(fā)生的次數(shù)，則 X6 (5,0.3)5P(X

47、 父3)=£ c5(0.3)k(0.7) 5'=0.16308 k 3(2)令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中 A發(fā)生的次數(shù)，則 Ybb (7, 0.3)7P(Y 23)=工 Ck(0.3)k(0.7)7” =0.35293 k 310 .某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2) t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)(時(shí)間以小時(shí)計(jì)) (1)求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率；(2)求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.35【解】(1) P(X=0)=e2(2)P(X 之 1) = 1 P(X =0)=1 e11 .設(shè) PX=k= Ck

48、pk(1 p)2", k=0,1,2mm4 -mRY=n)= C4 P (1 _ p) ,m=0,1,2,3,45分別為隨機(jī)變量 X, Y的概率分布，如果已知PX> 1= ,試求PY> 1.954【解】因?yàn)镻(X之1)=一,故P(X <1)=-.99而P(X ：二1) = P(X =0) =(1 - p)224故得(1 - p)=,9_1即p = 一.3從而 P(Y _1) a - P(Y U0) =1 -(1 - p)4: 0.802478112.某教科書出版了 2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令

49、X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算，'=np =2000 0.001 =2P(X =5) ： * =0.00185!13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為次數(shù)，試寫出X的分布律,34并計(jì)算1,一 一，失敗的概率為 1 .以X表不試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的4X取偶數(shù)的概率.【解】X=12i|i,k,|P(X =2) P(X =4) III P(X =2k)川 43.(1)33-一(1嚴(yán)3-4 44 444I-4r 4J(4)214.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在 1月

50、1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取 2000元賠償金.求：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率；(2) 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.(1) 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為2500X 12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為 X,則Xb(2500,0.002),則所求概率為P(2000 X . 30000) =P(X 15)1 -P(X < 14)由于n很大，p很小，X =np=5,故用泊松近似，有14 e 5 5kP(X 15) ： 1 - ， e 0.000069y k!(2) R保險(xiǎn)公司獲利不少于10000)= P(30000

51、 -2000X _ 10000) =P(X ,10).10 e55k% -0.986305k=0 k!即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98啾上P (保險(xiǎn)公司獲利不少于20000) = P(30000 -2000X 之 20000) = P(X < 5)5k =0.5 ke 5k!:0.615961即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為| x|f (x)= Ae,oo<x<+oo,求：(1) A值；(2) R0<X<1; (3)F(x).【解】(1)由廠f (x)dx =1得1 二二Aegx=2 0 AeTdx = 2AA2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔小、11 X 11(2)p(0 :二 X ：;1) = 2 0e_dx =2(13)X 1 V1 V(3