九年級(jí)數(shù)學(xué)《頻率與概率》

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)頻率與概率教學(xué)案例-教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)教材九年級(jí)的一節(jié)課頻率與概率，要求學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)隨機(jī)事件概率的意義：盡管隨機(jī)事件在每一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生與否具有不確定性，但只要保持實(shí)驗(yàn)條件不變，那么這一事件發(fā)生的頻率就會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而趨向穩(wěn)定。我的教學(xué)設(shè)計(jì)要解決這樣的問(wèn)題：利用短暫的課內(nèi)時(shí)間完成幾百次、上千次的實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生明白“隨機(jī)事件在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會(huì)，可以用該事件在大數(shù)次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)”。為此，我準(zhǔn)備了供學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的必要器材，以便進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。本文描述了教學(xué)實(shí)況和我的一些思考。   我為本課制訂的教學(xué)目標(biāo)是：1.通過(guò)大數(shù)次實(shí)驗(yàn)的觀察，

2、了解隨機(jī)事件發(fā)生的頻率是穩(wěn)定的；2.通過(guò)討論，體驗(yàn)用頻率的穩(wěn)定值估計(jì)機(jī)會(huì)的合理性；3.初步掌握實(shí)驗(yàn)的基本程序、方法，用比較準(zhǔn)確的語(yǔ)言概括實(shí)驗(yàn)結(jié)果，培養(yǎng)他們的探索意識(shí)，合作精神。   教學(xué)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)及意圖    實(shí)驗(yàn)利用“轉(zhuǎn)盤(pán)”進(jìn)行，以三項(xiàng)任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生操作和思考，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。   任務(wù)一：組織學(xué)生自主探究轉(zhuǎn)盤(pán)上的指針停留在某種顏色區(qū)域的機(jī)會(huì)究竟跟什么有關(guān)：是此種顏色區(qū)域的面積，還是指針在此顏色區(qū)域轉(zhuǎn)過(guò)的角度？要由學(xué)生自己來(lái)解決，用自己的語(yǔ)言來(lái)表述。   任務(wù)二：組織學(xué)生設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)盤(pán)

3、，使指針停在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)為/。要求學(xué)生盡可能突破思維束縛，發(fā)揮想像力，通過(guò)設(shè)計(jì)，深化對(duì)任務(wù)一所得出的結(jié)論的理解。   任務(wù)三：利用青年學(xué)生對(duì)歌星的崇拜心理，設(shè)計(jì)一個(gè)關(guān)于“索取周杰倫簽名照”的假想場(chǎng)景，讓學(xué)生來(lái)猜一猜、動(dòng)手試一試，明確有的隨機(jī)事件非得通過(guò)大數(shù)次實(shí)驗(yàn)才能發(fā)現(xiàn)其發(fā)生的機(jī)會(huì)，從而使學(xué)生體驗(yàn)?zāi)M實(shí)驗(yàn)的必要性和可靠性，對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)態(tài)度和科學(xué)方法的教育。   案例描述   一、預(yù)習(xí)檢測(cè)   為了讓學(xué)生體會(huì)到“指針停在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)等于指針在藍(lán)色區(qū)域轉(zhuǎn)過(guò)的角度的總和與36

4、0°的比值”，并用自己的語(yǔ)言表述出來(lái)，我設(shè)計(jì)了一連串問(wèn)題。   用幻燈片出示如圖的轉(zhuǎn)盤(pán)。學(xué)生知道，用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停下時(shí)，指針可能指向紅色，也可能指向藍(lán)色。問(wèn)題一：請(qǐng)每一個(gè)同學(xué)選擇一種顏色，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停下時(shí)，指針指向哪一種顏色，選擇這種顏色的同學(xué)就獲勝。你會(huì)選擇哪種顏色？   學(xué)生齊刷刷地回答：當(dāng)然是紅色。當(dāng)我問(wèn)為什么時(shí)，學(xué)生幾乎也是齊刷刷地回答：紅色面積比藍(lán)色面積大。   這是一個(gè)忽視前置條件的答案，顯然缺失了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。所以我馬上出示了如圖2的幻燈片，提出問(wèn)題二。 問(wèn)題二：用

5、力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)甲和轉(zhuǎn)盤(pán)乙，如果你想讓指針停在藍(lán)色上，選擇哪個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)能使你成功的機(jī)會(huì)比較大？   這個(gè)問(wèn)題馬上引起了學(xué)生的深思。大部分同學(xué)都回答“轉(zhuǎn)盤(pán)甲和乙上，指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)一樣大”，但也有兩位同學(xué)說(shuō)轉(zhuǎn)盤(pán)乙的機(jī)會(huì)大。我讓學(xué)生以四人小組為單位進(jìn)行驗(yàn)證。每組有統(tǒng)一制作的一大一小兩只轉(zhuǎn)盤(pán)，同桌兩人一只轉(zhuǎn)盤(pán)，一人轉(zhuǎn)動(dòng)，一人在表格中記錄指針停在藍(lán)色區(qū)域的次數(shù)。各轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)次，最后把數(shù)據(jù)匯總到老師的電腦上。這個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了十分鐘。根據(jù)各小組的匯總數(shù)據(jù)制作的Excel圖表出現(xiàn)在屏幕上：兩只轉(zhuǎn)盤(pán)的指針停留在藍(lán)色區(qū)域的頻率與/的差，絕對(duì)值都在0.10.2之間，“機(jī)會(huì)一樣大”的猜測(cè)初步

6、得到驗(yàn)證。我再用電腦進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)：每只轉(zhuǎn)盤(pán)各轉(zhuǎn)了10000次，顯示指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)分別為0.252（甲）和0.249（乙），這兩個(gè)頻率與/的差，絕對(duì)值都不超過(guò)0.002。學(xué)生由此感受到“頻率隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定”的事實(shí)。   于是我開(kāi)始啟發(fā)：剛才大家認(rèn)為指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)由藍(lán)色區(qū)域的面積大小決定，可是轉(zhuǎn)盤(pán)乙的藍(lán)色區(qū)域面積顯然比轉(zhuǎn)盤(pán)甲大，為什么轉(zhuǎn)動(dòng)這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)卻幾乎相同呢？誰(shuí)能修正一下剛才的判斷？   僅僅思考分鐘，就有一位同學(xué)對(duì)原先的結(jié)論進(jìn)行修改：藍(lán)色區(qū)域所占的面積占總面積的比越大，指針停

7、留在藍(lán)色上的機(jī)會(huì)也越大。   適當(dāng)?shù)膯?wèn)題有利于學(xué)生意識(shí)到他們的結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn)，修改后的結(jié)論顯然比第一次的說(shuō)法準(zhǔn)確些。但要使這個(gè)判斷成為真命題，還是缺少前提?轉(zhuǎn)盤(pán)必須是圓盤(pán)，轉(zhuǎn)軸在中心。于是我出示了圖所示的三只轉(zhuǎn)盤(pán)，用問(wèn)題三啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考。 問(wèn)題三：轉(zhuǎn)動(dòng)哪一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)比較大？   幻燈片一出現(xiàn)，同學(xué)們紛紛脫口而出，有的說(shuō)正方形，有的說(shuō)正八邊形。沒(méi)等我說(shuō)話(huà)，他們又自己統(tǒng)一了意見(jiàn)：正方形和正八邊形轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)一樣大，都是/，正三角形轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)最小。   我追問(wèn)：為什么？馬上有一位同學(xué)

8、說(shuō)：因?yàn)樵谡叫魏桶诉呅沃?，藍(lán)色區(qū)域都占了總面積的/，而三角形中，藍(lán)色區(qū)域占總面積的比不到/。   這時(shí)，一位平時(shí)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)突然醒悟：老師，我認(rèn)為這三個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)都是/。我馬上請(qǐng)他說(shuō)說(shuō)理由。這位同學(xué)很自信地說(shuō)：指針在藍(lán)色區(qū)域上轉(zhuǎn)過(guò)的角度都是90°，90°是360°的/。   “同意他的說(shuō)法的同學(xué)請(qǐng)舉手?！蔽艺f(shuō)完一看，舉手者寥寥無(wú)幾，可見(jiàn)許多同學(xué)對(duì)這種說(shuō)法并沒(méi)有立刻認(rèn)可。這與我的估計(jì)相同。   于是我讓大家回到實(shí)驗(yàn)中去尋找規(guī)律。為了節(jié)省時(shí)間，我讓個(gè)小組用正

9、方形轉(zhuǎn)盤(pán)做實(shí)驗(yàn)，另個(gè)小組用正三角形轉(zhuǎn)盤(pán)做實(shí)驗(yàn)。最后匯總統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：正方形轉(zhuǎn)盤(pán)和正三角形轉(zhuǎn)盤(pán)指針停留在藍(lán)色區(qū)域的頻率都接近/。   此時(shí)我問(wèn)同學(xué)們：“藍(lán)色區(qū)域的面積占總面積的比越大，指針停留在藍(lán)色上的機(jī)會(huì)也越大”這句話(huà)還需要修改嗎？   下面是兩位同學(xué)的修正意見(jiàn)：   “指針旋轉(zhuǎn)一周，在藍(lán)色區(qū)域轉(zhuǎn)過(guò)的角度越大，機(jī)會(huì)越大?！?#160;  “干脆說(shuō)，指針在藍(lán)色區(qū)域轉(zhuǎn)過(guò)的角度與360°的比值，就是指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)?！?#160;  一步步的問(wèn)題設(shè)置，讓

10、學(xué)生逐漸說(shuō)出指針指向藍(lán)色區(qū)域機(jī)會(huì)的實(shí)質(zhì)。此前我給另一個(gè)班級(jí)上同一節(jié)課時(shí)，有一位同學(xué)的思考更精彩：“用剪刀把這三個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)都修剪成圓，如圖，就能發(fā)現(xiàn)它們的指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)是相同的?！睆奶厥庵邪l(fā)現(xiàn)一般，閃耀著理性思考的光輝。在上述探究活動(dòng)中，我盡可能讓學(xué)生多動(dòng)手操作，怕數(shù)據(jù)不夠多，我用匯總各小組數(shù)據(jù)和電腦模擬的方法，解決了“利用短暫的課堂教學(xué)時(shí)間完成幾百次、上千次實(shí)驗(yàn)”的難題。學(xué)生的活動(dòng)和思考過(guò)程，除了使他們親身體驗(yàn)偶然性中蘊(yùn)涵必然性的道理，對(duì)他們的發(fā)展至少還有以下兩方面的意義。   培養(yǎng)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，既要大膽猜想，又要小心求證。求證不外乎兩種

11、方法，一是邏輯推理，如以上最后三位學(xué)生的思考；二是實(shí)踐驗(yàn)證，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)用的就是這種方法。   發(fā)展概括能力。我沒(méi)有把概率的計(jì)算方法簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生像科學(xué)家那樣不停地觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證和反思，逐漸修正自己的判斷，使之一步步趨向完善、準(zhǔn)確，最終自己得出概率的計(jì)算方法。這中間，學(xué)生用自己的語(yǔ)言比較準(zhǔn)確地概括自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，認(rèn)識(shí)不斷強(qiáng)化。著名數(shù)學(xué)家，北師大的教授曹才翰說(shuō)過(guò)，概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心。重教學(xué)過(guò)程，特別要精心設(shè)計(jì)這樣的思維活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才不會(huì)成為空話(huà)。   二、課中測(cè)   在這個(gè)環(huán)

12、節(jié)中，我首先提出下面的問(wèn)題。   問(wèn)題四：河坊街有“捏糖人”的攤子，花兩塊錢(qián)轉(zhuǎn)一下如圖的轉(zhuǎn)盤(pán)，指針停留在哪塊區(qū)域，你就能得到上面所標(biāo)的那種“糖人”。非常吸引孩子。   ?我的兒子非常希望得到她喜歡的“老鼠拖油瓶玩具。你認(rèn)為她玩一次轉(zhuǎn)盤(pán)，實(shí)現(xiàn)愿望的機(jī)會(huì)有多大？?老師觀察許久，發(fā)現(xiàn)玩的孩子得到的大多是一塊糖或一個(gè)廉價(jià)的氣球。你認(rèn)為這是為什么？學(xué)生紛紛通過(guò)量角器度量，做出了正確的回答，理由也說(shuō)得非常清楚，說(shuō)明他們真正理解了玩這樣的轉(zhuǎn)盤(pán)，“角度決定機(jī)會(huì)大小”的結(jié)論。   在此基礎(chǔ)上，我要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，使指針

13、停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)等于。學(xué)生的設(shè)計(jì)五花八門(mén)，轉(zhuǎn)盤(pán)形狀也突破了中心對(duì)稱(chēng)的限制。   三、達(dá)標(biāo)測(cè)及拓展提升   本節(jié)課的課題是在實(shí)驗(yàn)中尋找規(guī)律，能不能找一個(gè)學(xué)生難以預(yù)見(jiàn)機(jī)會(huì)大小的問(wèn)題，讓他們更深刻地體會(huì)實(shí)驗(yàn)的重要性呢？正好月日周杰倫在杭州召開(kāi)了個(gè)人演唱會(huì)，我以此為背景設(shè)置了一個(gè)問(wèn)題。   問(wèn)題五：某礦泉水廠家在月日的周杰倫杭州個(gè)人演唱會(huì)上做廣告，說(shuō)買(mǎi)一瓶礦泉水可以轉(zhuǎn)一次如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)，獲得一張相應(yīng)顏色的卡片。集齊三種顏色的卡片就可以得到一張周杰倫的簽名照。周杰倫的歌迷們互不認(rèn)識(shí)，因而不可能互換卡片。問(wèn)：他們

14、平均要買(mǎi)幾瓶礦泉水才能得到一張周杰倫的簽名照？ 學(xué)生的回答有平均買(mǎi)6瓶、12瓶，甚至買(mǎi)27瓶的。我終于忍不住：這些人好像手氣太差了一點(diǎn)，我看大家還是動(dòng)手試一試吧。   各四人小組在三色轉(zhuǎn)盤(pán)上試，我則用課件在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了轉(zhuǎn)盤(pán)實(shí)驗(yàn)。結(jié)果連同我共十組，每組都集齊三種顏色，共得到10張周杰倫的簽名照，為此一共買(mǎi)了46瓶礦泉水，平均每組買(mǎi)4.6瓶。   學(xué)生不理解“平均”問(wèn)題為什么可以歸結(jié)為概率。由于這不是本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，因而不必補(bǔ)充這個(gè)知識(shí)。讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作體驗(yàn)實(shí)驗(yàn)的意義，這才是我們的目的。   

15、我又提出問(wèn)題：如果有1000個(gè)人，每人要一張簽名照，他們也平均要買(mǎi)4.6瓶礦泉水嗎？   學(xué)生搖頭：不會(huì)的。那么為什么呢？幾個(gè)同學(xué)齊聲答：剛才的數(shù)據(jù)太少了，說(shuō)明不了問(wèn)題。這正好是我要強(qiáng)調(diào)的。根據(jù)同學(xué)們的要求，我用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，輸入數(shù)據(jù)1000，即有1000人想得到照片，轉(zhuǎn)盤(pán)共轉(zhuǎn)了5428次，平均每人轉(zhuǎn).次。觀察計(jì)算機(jī)上的頻率走勢(shì)圖，可以看到：在得到50張、100張簽名照時(shí)，平均購(gòu)買(mǎi)瓶數(shù)分別是5.6和5.9，頻率起伏較大；隨著輸入數(shù)據(jù)的增加，慢慢地這條線變平穩(wěn)了；到500張后，就漸漸穩(wěn)定在5.5和5.4附近。這時(shí)陸陸續(xù)續(xù)有學(xué)生說(shuō)：好像平均買(mǎi)5.5瓶礦泉水吧，太不可思議了！   “要是還想不通，我們把數(shù)據(jù)增加到