九年級數(shù)學《頻率與概率》

1、九年級數(shù)學頻率與概率教學案例-教學設(shè)計 數(shù)學教材九年級的一節(jié)課頻率與概率，要求學生通過實驗體驗隨機事件概率的意義：盡管隨機事件在每一次實驗中發(fā)生與否具有不確定性，但只要保持實驗條件不變，那么這一事件發(fā)生的頻率就會隨著實驗次數(shù)的增加而趨向穩(wěn)定。我的教學設(shè)計要解決這樣的問題：利用短暫的課內(nèi)時間完成幾百次、上千次的實驗，使學生明白“隨機事件在每次實驗中發(fā)生的機會，可以用該事件在大數(shù)次重復(fù)實驗中發(fā)生的頻率來估計”。為此，我準備了供學生進行實驗的必要器材，以便進行模擬實驗。本文描述了教學實況和我的一些思考。   我為本課制訂的教學目標是：1.通過大數(shù)次實驗的觀察，

2、了解隨機事件發(fā)生的頻率是穩(wěn)定的；2.通過討論，體驗用頻率的穩(wěn)定值估計機會的合理性；3.初步掌握實驗的基本程序、方法，用比較準確的語言概括實驗結(jié)果，培養(yǎng)他們的探索意識，合作精神。   教學環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)及意圖    實驗利用“轉(zhuǎn)盤”進行，以三項任務(wù)驅(qū)動學生操作和思考，實現(xiàn)教學目標。   任務(wù)一：組織學生自主探究轉(zhuǎn)盤上的指針停留在某種顏色區(qū)域的機會究竟跟什么有關(guān)：是此種顏色區(qū)域的面積，還是指針在此顏色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度？要由學生自己來解決，用自己的語言來表述。   任務(wù)二：組織學生設(shè)計轉(zhuǎn)盤

3、，使指針停在藍色區(qū)域的機會為/。要求學生盡可能突破思維束縛，發(fā)揮想像力，通過設(shè)計，深化對任務(wù)一所得出的結(jié)論的理解。   任務(wù)三：利用青年學生對歌星的崇拜心理，設(shè)計一個關(guān)于“索取周杰倫簽名照”的假想場景，讓學生來猜一猜、動手試一試，明確有的隨機事件非得通過大數(shù)次實驗才能發(fā)現(xiàn)其發(fā)生的機會，從而使學生體驗?zāi)M實驗的必要性和可靠性，對學生進行科學態(tài)度和科學方法的教育。   案例描述   一、預(yù)習檢測   為了讓學生體會到“指針停在藍色區(qū)域的機會等于指針在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度的總和與36

4、0°的比值”，并用自己的語言表述出來，我設(shè)計了一連串問題。   用幻燈片出示如圖的轉(zhuǎn)盤。學生知道，用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停下時，指針可能指向紅色，也可能指向藍色。問題一：請每一個同學選擇一種顏色，當轉(zhuǎn)盤停下時，指針指向哪一種顏色，選擇這種顏色的同學就獲勝。你會選擇哪種顏色？   學生齊刷刷地回答：當然是紅色。當我問為什么時，學生幾乎也是齊刷刷地回答：紅色面積比藍色面積大。   這是一個忽視前置條件的答案，顯然缺失了數(shù)學思維的嚴謹性。所以我馬上出示了如圖2的幻燈片，提出問題二。 問題二：用

5、力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，如果你想讓指針停在藍色上，選擇哪個轉(zhuǎn)盤能使你成功的機會比較大？   這個問題馬上引起了學生的深思。大部分同學都回答“轉(zhuǎn)盤甲和乙上，指針停留在藍色區(qū)域的機會一樣大”，但也有兩位同學說轉(zhuǎn)盤乙的機會大。我讓學生以四人小組為單位進行驗證。每組有統(tǒng)一制作的一大一小兩只轉(zhuǎn)盤，同桌兩人一只轉(zhuǎn)盤，一人轉(zhuǎn)動，一人在表格中記錄指針停在藍色區(qū)域的次數(shù)。各轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤次，最后把數(shù)據(jù)匯總到老師的電腦上。這個實驗進行了十分鐘。根據(jù)各小組的匯總數(shù)據(jù)制作的Excel圖表出現(xiàn)在屏幕上：兩只轉(zhuǎn)盤的指針停留在藍色區(qū)域的頻率與/的差，絕對值都在0.10.2之間，“機會一樣大”的猜測初步

6、得到驗證。我再用電腦進行模擬實驗：每只轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)了10000次，顯示指針停留在藍色區(qū)域的機會分別為0.252（甲）和0.249（乙），這兩個頻率與/的差，絕對值都不超過0.002。學生由此感受到“頻率隨著實驗次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定”的事實。   于是我開始啟發(fā)：剛才大家認為指針停留在藍色區(qū)域的機會由藍色區(qū)域的面積大小決定，可是轉(zhuǎn)盤乙的藍色區(qū)域面積顯然比轉(zhuǎn)盤甲大，為什么轉(zhuǎn)動這兩個轉(zhuǎn)盤，指針停留在藍色區(qū)域的機會卻幾乎相同呢？誰能修正一下剛才的判斷？   僅僅思考分鐘，就有一位同學對原先的結(jié)論進行修改：藍色區(qū)域所占的面積占總面積的比越大，指針停

7、留在藍色上的機會也越大。   適當?shù)膯栴}有利于學生意識到他們的結(jié)論不嚴謹，修改后的結(jié)論顯然比第一次的說法準確些。但要使這個判斷成為真命題，還是缺少前提?轉(zhuǎn)盤必須是圓盤，轉(zhuǎn)軸在中心。于是我出示了圖所示的三只轉(zhuǎn)盤，用問題三啟發(fā)學生繼續(xù)思考。 問題三：轉(zhuǎn)動哪一個轉(zhuǎn)盤，指針停留在藍色區(qū)域的機會比較大？   幻燈片一出現(xiàn)，同學們紛紛脫口而出，有的說正方形，有的說正八邊形。沒等我說話，他們又自己統(tǒng)一了意見：正方形和正八邊形轉(zhuǎn)盤的機會一樣大，都是/，正三角形轉(zhuǎn)盤的機會最小。   我追問：為什么？馬上有一位同學

8、說：因為在正方形和八邊形中，藍色區(qū)域都占了總面積的/，而三角形中，藍色區(qū)域占總面積的比不到/。   這時，一位平時愛動腦筋的同學突然醒悟：老師，我認為這三個轉(zhuǎn)盤指針停留在藍色區(qū)域的機會都是/。我馬上請他說說理由。這位同學很自信地說：指針在藍色區(qū)域上轉(zhuǎn)過的角度都是90°，90°是360°的/。   “同意他的說法的同學請舉手?！蔽艺f完一看，舉手者寥寥無幾，可見許多同學對這種說法并沒有立刻認可。這與我的估計相同。   于是我讓大家回到實驗中去尋找規(guī)律。為了節(jié)省時間，我讓個小組用正

9、方形轉(zhuǎn)盤做實驗，另個小組用正三角形轉(zhuǎn)盤做實驗。最后匯總統(tǒng)計結(jié)果顯示：正方形轉(zhuǎn)盤和正三角形轉(zhuǎn)盤指針停留在藍色區(qū)域的頻率都接近/。   此時我問同學們：“藍色區(qū)域的面積占總面積的比越大，指針停留在藍色上的機會也越大”這句話還需要修改嗎？   下面是兩位同學的修正意見：   “指針旋轉(zhuǎn)一周，在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度越大，機會越大?！?#160;  “干脆說，指針在藍色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度與360°的比值，就是指針停留在藍色區(qū)域的機會?！?#160;  一步步的問題設(shè)置，讓

10、學生逐漸說出指針指向藍色區(qū)域機會的實質(zhì)。此前我給另一個班級上同一節(jié)課時，有一位同學的思考更精彩：“用剪刀把這三個轉(zhuǎn)盤都修剪成圓，如圖，就能發(fā)現(xiàn)它們的指針停留在藍色區(qū)域的機會是相同的?！睆奶厥庵邪l(fā)現(xiàn)一般，閃耀著理性思考的光輝。在上述探究活動中，我盡可能讓學生多動手操作，怕數(shù)據(jù)不夠多，我用匯總各小組數(shù)據(jù)和電腦模擬的方法，解決了“利用短暫的課堂教學時間完成幾百次、上千次實驗”的難題。學生的活動和思考過程，除了使他們親身體驗偶然性中蘊涵必然性的道理，對他們的發(fā)展至少還有以下兩方面的意義。   培養(yǎng)實事求是的科學態(tài)度。明白學習數(shù)學，既要大膽猜想，又要小心求證。求證不外乎兩種

11、方法，一是邏輯推理，如以上最后三位學生的思考；二是實踐驗證，動手實驗用的就是這種方法。   發(fā)展概括能力。我沒有把概率的計算方法簡單地告訴學生，而是讓學生像科學家那樣不停地觀察、猜測、驗證和反思，逐漸修正自己的判斷，使之一步步趨向完善、準確，最終自己得出概率的計算方法。這中間，學生用自己的語言比較準確地概括自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，認識不斷強化。著名數(shù)學家，北師大的教授曹才翰說過，概括能力是數(shù)學能力的核心。重教學過程，特別要精心設(shè)計這樣的思維活動過程，發(fā)展學生的數(shù)學能力才不會成為空話。   二、課中測   在這個環(huán)

12、節(jié)中，我首先提出下面的問題。   問題四：河坊街有“捏糖人”的攤子，花兩塊錢轉(zhuǎn)一下如圖的轉(zhuǎn)盤，指針停留在哪塊區(qū)域，你就能得到上面所標的那種“糖人”。非常吸引孩子。   ?我的兒子非常希望得到她喜歡的“老鼠拖油瓶玩具。你認為她玩一次轉(zhuǎn)盤，實現(xiàn)愿望的機會有多大？?老師觀察許久，發(fā)現(xiàn)玩的孩子得到的大多是一塊糖或一個廉價的氣球。你認為這是為什么？學生紛紛通過量角器度量，做出了正確的回答，理由也說得非常清楚，說明他們真正理解了玩這樣的轉(zhuǎn)盤，“角度決定機會大小”的結(jié)論。   在此基礎(chǔ)上，我要求學生設(shè)計一個轉(zhuǎn)盤，使指針

13、停留在藍色區(qū)域的機會等于。學生的設(shè)計五花八門，轉(zhuǎn)盤形狀也突破了中心對稱的限制。   三、達標測及拓展提升   本節(jié)課的課題是在實驗中尋找規(guī)律，能不能找一個學生難以預(yù)見機會大小的問題，讓他們更深刻地體會實驗的重要性呢？正好月日周杰倫在杭州召開了個人演唱會，我以此為背景設(shè)置了一個問題。   問題五：某礦泉水廠家在月日的周杰倫杭州個人演唱會上做廣告，說買一瓶礦泉水可以轉(zhuǎn)一次如圖所示的轉(zhuǎn)盤，獲得一張相應(yīng)顏色的卡片。集齊三種顏色的卡片就可以得到一張周杰倫的簽名照。周杰倫的歌迷們互不認識，因而不可能互換卡片。問：他們

14、平均要買幾瓶礦泉水才能得到一張周杰倫的簽名照？ 學生的回答有平均買6瓶、12瓶，甚至買27瓶的。我終于忍不?。哼@些人好像手氣太差了一點，我看大家還是動手試一試吧。   各四人小組在三色轉(zhuǎn)盤上試，我則用課件在計算機上進行了轉(zhuǎn)盤實驗。結(jié)果連同我共十組，每組都集齊三種顏色，共得到10張周杰倫的簽名照，為此一共買了46瓶礦泉水，平均每組買4.6瓶。   學生不理解“平均”問題為什么可以歸結(jié)為概率。由于這不是本節(jié)課的教學內(nèi)容，因而不必補充這個知識。讓學生通過實際操作體驗實驗的意義，這才是我們的目的。   

15、我又提出問題：如果有1000個人，每人要一張簽名照，他們也平均要買4.6瓶礦泉水嗎？   學生搖頭：不會的。那么為什么呢？幾個同學齊聲答：剛才的數(shù)據(jù)太少了，說明不了問題。這正好是我要強調(diào)的。根據(jù)同學們的要求，我用計算機進行模擬實驗，輸入數(shù)據(jù)1000，即有1000人想得到照片，轉(zhuǎn)盤共轉(zhuǎn)了5428次，平均每人轉(zhuǎn).次。觀察計算機上的頻率走勢圖，可以看到：在得到50張、100張簽名照時，平均購買瓶數(shù)分別是5.6和5.9，頻率起伏較大；隨著輸入數(shù)據(jù)的增加，慢慢地這條線變平穩(wěn)了；到500張后，就漸漸穩(wěn)定在5.5和5.4附近。這時陸陸續(xù)續(xù)有學生說：好像平均買5.5瓶礦泉水吧，太不可思議了！   “要是還想不通，我們把數(shù)據(jù)增加到