中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合題含詳細(xì)答案

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.如圖ABABC的外接91100的直徑，過點(diǎn)C作00的切線CM,延長BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接AD交CM于點(diǎn)E,若00D半徑為3,AE=5,（1）求證：CM±AD：（2）求線段CE的長.【答案】（1）見解析：（2）75【解析】分析：（1）連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得AC垂直平分BD,然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)證得結(jié)論：（2）根據(jù)相似三角形的判泄與性質(zhì)證明求解即可.詳解：證明：（1）連接0C CM切。0于點(diǎn)C, Z0CE=90% AB是00的直徑， ZACB=90°,CD=BC,AC垂直平分BD, AB二AD,

2、ZB=ZDTZB=Z0CB ZD=ZOCB OCIIAD ZCED=Z0CE=90° CM±AD(2)OA=OBtBC=CD1 OC=-AD2 AD=6 DE=AD-AE=1易證CDE-AACECEDEKAECE:.CE:=AExDECE=V5點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判左與性質(zhì)的應(yīng)用，靈活判斷邊角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵，是中檔題.2.等腰RtAABC和00如圖放置，已知AB=BC=1,ZABC=90°,00的半徑為1,圓心0與直線AB的距離為5.（1） 若AABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，00不動(dòng)，則經(jīng)過多少時(shí)間AABC的邊與圓第一次相切？（

3、2） 若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，AABC的速度為每秒2個(gè)單位，00的速度為每秒1個(gè)單位,則經(jīng)過多少時(shí)間AABC的邊與圓第一次相切？（3） 若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，AABC的速度為每秒2個(gè)單位，00的速度為每秒個(gè)單位，同時(shí)AABC的邊長AB、BC都以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大.ABC的邊與圓【答案】（1）（2）5-忑；（3）23【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切時(shí)，與斜邊相切，假設(shè)此時(shí)，AABC移至aASC,處，AC與00切于點(diǎn)E,連0E并延長，交BC于F.由切線長左理易得CC,的長，進(jìn)而由三角形運(yùn)動(dòng)的速度可得答案；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,根據(jù)題意得：CC=2tfDD'=

4、t,則UD'=CD+DD'-CC'=4+t-2t二4-t,由第（1）的結(jié)論列式得出結(jié)果：（3）求出相切的時(shí)間，進(jìn)而得出B點(diǎn)移動(dòng)的距離.詳解：（1）假設(shè)第一次相切時(shí)，ABC移至A8C,處，如圖1,AC與00切于點(diǎn)E,連接0E并延長，交B'C'于F,設(shè)00與直線I切于點(diǎn)D,連接0D,則0E±AC,0D_L直線I,由切線長定理可知UE=UD,設(shè)CD=x,則UE二x,.ABC是等腰直角三角形， ZA=ZACB=45 ZA'C'B'=ZACB=45°, .EFU是等腰直角三角形，ZOFDM5°, .OFD也是等

5、腰直角三角形， 0D=DF, V2x+x=l,則x=72-l, .CC=BD-BC-CD=5-1-(-2-D=5近, 點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為上VI；2則經(jīng)過上遲秒，AABC的邊與圓第一次相切：2(2)如圖2,設(shè)經(jīng)過t秒ZXABC的邊與圓第一次相切，AABC移至A8U處，00與BC所在直線的圖2AC與00切于點(diǎn)E,連0E并延長，交BC于F, CU=2t,DDH,CD三CD+DD-CC=4+t2t=4一tt由切線長定理得UE=CD=4-t,由(2)得：解得：廿5-y/2»答：經(jīng)過秒AABC的邊與圓第一次相切：由得C0(2+0.5)t=25t,DDH,則CD=CD+DD-CC=4+t-2.5t=

6、4-1.5t,由切線長BE理得C'EX'D'=4-1.5t,由(1)得：4-1.5t=72解得：JI血，3點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離為2八一二2羽二20二年血k點(diǎn)睹：本題要求學(xué)生熟練掌握?qǐng)A與直線的位置關(guān)系，并結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行綜合分析，比較復(fù)雜，難度較大，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的分析能力.3.如圖，人是以BC為直徑的00上一點(diǎn)，刖_£3c于點(diǎn)D,過點(diǎn)8作00的切線，與CA的延長線相交于點(diǎn)F,G是AD的中點(diǎn)，連結(jié)CG并延長與BF相交于點(diǎn)F,延長&F與CB的延長線相交于點(diǎn)P.（1） 求證：BF二EF：（2） 求證：是00的切線：（3） 若尸G物;且00的半徑長為3JI,求3

7、D的長度.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析：（3）2邁【解析】分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，'得kBFC-X06（：支kFEC-XG&C,得到對(duì)應(yīng)線段成比例，再結(jié)合已知條件可得用液7（2） 利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，得到Z取0=2旗0,結(jié)合3F是圓的切線，得到_L0A,從而得到是圓0的切線：（3） 點(diǎn)F作FH，4D于點(diǎn)H,根據(jù)前兩問的結(jié)論，利用三角形的相似性質(zhì)即可以求出3D的長度.詳解：證明：3C是圓0的直徑，BF是圓0的切線,EBLBC.又-&D_LBC,:.AD"'BE.ABFC-卜DGC,4FEC一心G

8、4C,BFCFEFCF DGCG、AGCGBFEFDGAGTG是AD的中點(diǎn)，DG-AGg BF二EF；(2)連接AO,AB. BC是圓0的直徑， ZB&C二900,由得：在RtA胡月中，F(xiàn)是斜邊3F的中點(diǎn), AF=FB=EFf可得ZFBA=AFAB,又-OA=OBeZABO=ZBAO, BE是圓0的切線， Z£80=90 ZFB/4+Z>480=90% ZFAB+ZBA0=9ff9即ZFA0=90:.必_L04, 刖是圓0的切線;(3)過點(diǎn)F作FH_L加于點(diǎn)H,：bd±ad9fh±ad,FH11BC,由（2）,知乙FBA二ZBAF,BF=AF.:BF

9、二FG,AF=FG.AFG是等腰三角形. FH±AD, AH二GH,:DG=AG. DG=2HGHGDG2BD,BFWADfZFBD=90 四邊形3DHF是矩形， -BD=FH.FH11BCAHFG-4DCG,FH_HG|BDCD2 。的半徑長為3八2t ,BC=6邁、:.BD二、BC=2-2點(diǎn)睛：本題考查了切線的判立、勾股左理、圓周角定理、相似三角形的判左與性質(zhì)結(jié)合已知條件準(zhǔn)確對(duì)圖形進(jìn)行分析并應(yīng)用相應(yīng)的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4.已知A(2,0),B(6,0),CBJLx軸于點(diǎn)B,連接AC畫圖操作:（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（i）在y正半軸上求作點(diǎn)P,使得Z APB=Z ACB理解應(yīng)

10、用：（2）在（1）的條件下,若tanZAPB=,求點(diǎn)P的坐標(biāo)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，zAPB最大求點(diǎn)P的坐標(biāo)拓展延伸:<3）若在直線y=2x+4上存在點(diǎn)P,使得zAPB最大,3 AB x【答案】圖形見解析（0,2）,（0,4）（0,273）萼3,126）/5【解析】試題分析：（1）以&C為直徑畫圓交y軸于P,連接、PB,汨6即為所求：（2）由題意&C的中點(diǎn)4（4,4）,以K為圓心4K為半徑畫圓，交y軸于P和P.易知P（0,2）,P（0,6）:當(dāng)0K與y軸相切時(shí)，Z4處的值最大，（3）如圖3中，當(dāng)經(jīng)過的園與直線相切時(shí)，ZAP8最大.想辦法求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可解決問題：試題解析：解：(

11、1)%心如圖所示:圖11A3如圖2中，ZAPB=ZACBftanZ>4CB=tanZAPB=-一一T&(2,0),52BC(6,0),8C=8,AC(6,8),：.AC的中點(diǎn)K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和巴易知P(0,2),"(0,6)當(dāng)OK與y軸相切時(shí)，為陽的值最大，此時(shí)力二於4AC二&BC-JaCI-ABJ®C®4書),K(4,2ifll),P(0,2就-故答案為：(0,2-3)-0),交y軸于交(0, 4)ON _0M - NM、PKl 41rHp(3)如圖3中，當(dāng)經(jīng)過的園與直線相切時(shí)，力朗最大直線y=x+4交x軸

12、于M(-3,.4_3一上.12"-,廠八9PKMK3V55V MP 是切線，二 MP?二 WM3,二 MP=3 $,作.p (匹 3,座)55PK±勿于A：0/VIIPK,點(diǎn)睹：本題考查了一次函數(shù)綜合題、直線與圓的位置關(guān)系、平行線的性質(zhì)、切線的判左和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)造輔助圓解決最大角問題，屬于中考?jí)狠S題.5-(1)問題背景如圖，BC是00的直徑，點(diǎn)A在00土，AB=AC,P為BmC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合)，求證:JJPA二PB+PC-小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn)A出發(fā)有三條線段AB,AP,AC,且AB二AC,這就

13、為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考過程：第一步：將APAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AQAB（如圖）：第二步：證明Q,B,P三點(diǎn)共線，進(jìn)而原題得證.請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.（2） 類比遷移如圖，00的半徑為3,點(diǎn)A,B在00±,C為00內(nèi)一點(diǎn)，AB二AC,AB_LAC,垂足為A,求0C的最小值.（3） 拓展延伸如圖，00的半徑為3,點(diǎn)A,B在00±,C為00內(nèi)一點(diǎn)，AB=yAC,AB，AC,垂足為A,則0C的【答案】（1）證明見解析；（2）0C最小值是3血-3；（3）【解析】試題分析：（2）將PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至QAB（如圖），只要證明aA

14、PQ是等腰直角三角形即可解決問題；（2）如圖中,連接0%將4OAC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AQAB,連接OB,0Q,在BOQ中，利用三邊關(guān)系泄理即可解決問題；（3）如圖構(gòu)造相似三角形即可解決問題.作AQ±0A,使得AQ=|oA,連接0Q,4BQ,0B.由QAB-OAC.推出BQ二一0C,當(dāng)BQ最小時(shí)，0C最小；3試題解析：（1）將PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ZsQAB（如圖）；圖 BC是直徑，.N BAC=90°,TAB 二 AC, Z ACB 二 Z ABC由旋轉(zhuǎn)可得 Z QBA=Z PCA, Z ACB=Z APB 二 45° ,PC 二 QB, ZPCA

15、+ZPBA二180°,ZQBA+ZPBA二180°，/.Q,BP三點(diǎn)共線， ZQAB+ZBAP=ZBAP+ZPAC=90%/.QP2=AP2+AQ2=2APSQP二加LAP二QB+BP二PC+PB, 72AP=PC+PB.將ZsOAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ZxQAB,連接OB,0Q,（2）如圖中，連接OA.圖AB±ACJ-ZBAC=90°/由旋轉(zhuǎn)可得QB二0C,AQ二0A,ZQAB=ZOAC,/.ZQAB+ZBAO=ZBAO+Z0AC=90°,在RtAOAQ中，OQ二3,A0=3,/.在ZxOQB中，BQ20Q-OB二3返-3,即0C最小值是

16、33；(3)如圖中，作AQ_L0A,使得AQ=4oA,連接OQ,BQ,0B.圖。QAAB,：ZQAO=ZBAC=90°,ZQAB=ZOAC,/=,OAAC34QAB-OAC,BQ=-OC,3當(dāng)BQ最小時(shí)，0C最小，易知0A=3,AQ二4,0Q=5,BQ>OQ-OB,0Q>2,BQ的最小值為2,3 3,0C的最小值為-x2=-，4 23故答案為了2【點(diǎn)睹】本題主要考查的圓、旋轉(zhuǎn)、相似等知識(shí)，能根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.6如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,ZAEF=90°,AE=EF,過點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為H,

17、連接AC.試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由:(2)求證:ZACF=90"；如圖2若EC=4, Z CEF=15%求尿的長.連接AF,過A,E,F三點(diǎn)作圓,【答案】(DBE/FH”：理由見解析證明見解析ae=2h【解析】試題分析：由AABE竺aEHF(SAS)即可得到BE二FH(2)由可知AB二EH,而BOAB,FH二EB.從而可知FHC是等腰直角三角形，ZFCH為45°,而ZACB也為45°,從而可證明(3)由已知可知ZEAC=30。，AF是直徑，設(shè)圓心為0,連接E0,過點(diǎn)E作EN_LAC于點(diǎn)N,則可得ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進(jìn)而可得AE的

18、長，得到半徑，得到晶所對(duì)圓心角的度數(shù)，從而求得弧長試題解析：(i)BE=FH.理由如下： 四邊形ABCD是正方形ZB=90 FH±BC-ZFHE=90°又ZAEF二90°ZAEB+Z昭二“90°”且ZBAE+ZAEB=90° ZHEF=ZBAE/.ZAEB=ZEFH又TAE=EF ABE旻ZxEHF(SAS) BE=FH(2)T48£旻4EHF BC二EH,BE=FH又TBE+EOEC+CH二BE二“CH” CH=FHZFCH二45。,ZFCM=45°VAC是正方形對(duì)角線,ZACD=45°ZACF=ZFCM+ZAC

19、D=90°(3)AE=EF,/.AEF是等腰直角三角形AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點(diǎn)上設(shè)該中點(diǎn)為0-連結(jié)E0得ZA0E=90。過E作EN_LAC于點(diǎn)NRtAENC中，EC=4,ZECA=45%EN=NC=272RtAENA中，EN=272又.ZEAF=45°ZCAF=ZCEF=15°(等弧對(duì)等角) ZEAC=30° AE二4旋RtAAFE中，AE=4ji=EF,/.AF=8AE所在的圓0半徑為4,其所對(duì)的圓心角為ZA0E=90°屋=2ti4-(90律360°)=2n考點(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理：4、三角函數(shù)

20、7.如圖，過。0外一點(diǎn)P作00的切線PA切。0于點(diǎn)A,連接P0并延長，與00交于C、D兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接AM交CD于點(diǎn)N,連接AC、CM(1)求證:CM=MN.MA；(2)若NP=3O°,PC=2,求【答案】(1)見解析：(2)CM二2邁【解析】【分析】(1) 由CV二DM知ZC4M=ZDCM,根zCMA二ZNMC據(jù)證AAMC-ACMN即可得:(2) 連接0A、DM,由直角三角形PA0中ZP=30。知0A=gpO=*(PC+CO)，據(jù)此求得0A=0C=2,再證三角形CMD是等腰直角三角形得CM的長.【詳解】(l)V00中，M點(diǎn)是半圓CD的中點(diǎn)，,-CM=DM,ZCAM二乙

21、DCM,又-ZCMA=ZNMC,:.AAMCXMN,CMAMg；1aq即CM?=MNMA；MlVCAt(2)連接。4、DM>叩人是0。的切線，/.ZPAO=90%又”=30o,.04=_LP0=±(PC+CO),22設(shè)00的半徑為r,:PC=2、.二*(2+尸)'解得：r=2,又-必是直徑，:ZCMD=90°,CM=DM,K跖是等腰直角三角形，二在RtACMD中，由勾股定理得二0KP2GW2=(2r):二16,則CM?=8,/.CM=2>/2【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判左和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)&am

22、p;已知AC=DC,AC±DC,直線M/V經(jīng)過點(diǎn)A,作DB±W,垂足為B,連結(jié)CB.感知如圖，點(diǎn)久8在CD同側(cè)，且點(diǎn)3在AC右側(cè)，在射線上截取二能連結(jié)出可ilEABCD'ECA.從而得出EC=BCe1ECB=90進(jìn)而得出ZABC=度：探究如圖，當(dāng)點(diǎn)&、B在CD異側(cè)時(shí)，感知得出的Z46C的大小是否改變？若不改變，給出證明：若改變，請(qǐng)求出迎的大小.應(yīng)用在直線M/V繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)ZBCD二30。，時(shí)，直接寫出BC的長.【答案】【感知】：45：【探究】：不改變，理由詳見解析；【拓展】：BC的長為W+1或護(hù)-1.【解析】【分析】感知證明BCD"AEC

23、A(S4S)即可解決問題；探究結(jié)論不變，證明BCD"AECA64切即可解決問題：應(yīng)用分兩種情形分別求解即可解決問題.【詳解】解：【感知】，如圖中，在射線上截取力£二四連結(jié)CE- ZACD=ZDBA=9(f.:.ZCDB+ZCAB=180°. ZC&8+ZCAE=180°:.ZD=ZCAE.TCD=AC,AE=BDf:.ABCD'AECA(SAS), BC二EC,乙BCD=ZECA, ZACE+ZECD=90% ZECD+ZDCS=90%即ZECB=90 ZABO45。.故答案為45【探究】不改變.理由如下：如圖，如圖中，在射線人“上截取力

24、£二我7連接CE,設(shè)MN與CD交于點(diǎn)0. ZACD=Z08/4=90%.ZAOC=ZDOB, ZD=ZEACfCD二AC. ZBCD'AECA(SAS), BC二EC、乙BCD=ZECA, ZACE+ZECD=90。， ZfCD+ZDCB=90°9即Z反方二90°g Z&BC=45°.【拓展】圖 ZACD+ZABD=180.fHAfC,D,3四點(diǎn)共圓， -1DAB=ZDCB=30°9/.&3=BbD=、I® ,EB=AE+AB=®/ EC3是等腰直角三角形，EBBC=-如+1如圖中，同法可得比公-1.

25、綜上所述，BC的長為或-1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的判左和性質(zhì)，全等三角形的判左和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.9.如圖，力是大半圓0的直徑，“是小半圓M的直徑，點(diǎn)P是大半圓。上一點(diǎn)，P/L與小半圓M交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD±°口于點(diǎn)D.（1） 求證：CD是小半圓M的切線：（2） 若力6=S點(diǎn)P在0上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與兩點(diǎn)重合），設(shè)PD=x,CD=y. 求1與丸之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量丸的取值范圍； 當(dāng)y=3時(shí)，求EM兩點(diǎn)之間的距離.【答案】（2）見解析：（2）二-必+4x,0&l

26、t;%<4,EM兩點(diǎn)之間的距離為2護(hù)或27【解析】【分析】（1） 連接CO、CM,只需證到CD_LCM.由于CD_LOP,只需證到CMIIOP,只需證到CM是、AOP的中位線即可.（2） 易證ODCCDP,從而得到CD2=DP0D,進(jìn)而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式.由于當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)x=0,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)x=4,點(diǎn)P在大半圓0上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合），因此自變量x的取值范圍為0<x<4.當(dāng)y二3時(shí)，得到-x?+4x=3,求出x.根據(jù)x的值可求出CD、PD的值，從而求出ZCPD,運(yùn)用勾股定理等知識(shí)就可求出P,M兩點(diǎn)之間的距離.【詳解】（1）連接。，如圖所示川。是小

27、半圓M的直徑,"CO=900即CO_L"NOA=OPCM/P0zMCD=zPDC,.CDOPCD10PtZPDC=90°ZMCD=90°.,即喜1CMCD經(jīng)過半徑CM的外端，且繆/：.直線CD是小半圓M的切線./_ULcd_L，-乙OCP二LODC二乙CDP=90°乙OCD=90°-乙DCP=LP-40DCT如9CDOD'DP=CDOf=DP-ODo1PD=xfilf=y90P二嚴(yán)二4. .y-x(4-X)=-*+4x當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4重合時(shí)，x=0：當(dāng)點(diǎn)口與點(diǎn)B重合時(shí)，x=4點(diǎn)P在大半圓°上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與人兩點(diǎn)重合)，

28、0<x<4y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y/%自變量%的取值范圍是。vxv4.當(dāng)y=3時(shí)，-/+4x=3解得刁=1/2=3I華二1時(shí)，如圖2所示圖2在RSCDP中,VPD=1,CD=y/3CD ,tanzCPD= 乙CPD=60°NOA=OPf:.N尸是等邊三角形 AM-OM ?1_£力oPM=yl'PO一Q=a/4:2.2B.口當(dāng)=3時(shí),如圖3所示,圖3同理可得乙CPD=30°OA=OP LOAP=乙APO=30°.I0B=60°過點(diǎn)P作PH±/IB,垂足為，連接PM,如圖3所示PHPH.Psir/OH=-=X-,陽二2、B同理0H=2在RtAMHP中，MH=4,PH=2,f3PM=+PH2=j42+(2®2=v綜上所述，當(dāng)y=3時(shí)，P,M兩點(diǎn)之間的距離為23或27【點(diǎn)睛】考查了