數(shù)學(xué)建模期末考試A試的題目與答案

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末測試試卷(A卷)得分2021-2021學(xué)年第二學(xué)期測試科目：數(shù)學(xué)建模題號一二三四五六七八總分得分評閱人測試類型：(閉卷)測試測試時間：120分鐘學(xué)號姓名年級專業(yè)一、(總分值12分)一人擺渡希望用一條船將一只狼,一只羊,得分一籃白菜從河岸一邊帶到河岸對面,由于船的限制,一次只能帶一樣?xùn)|西過河,絕不能在無人看守的情況下將狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起,怎樣才能將它們平安的帶到河對岸去建立多步?jīng)Q策模型將人、狼、羊、白菜分別記為i=1,2,3,4,當(dāng)i在此岸時記x.=1,否那么為0；此岸的狀態(tài)下用s=(x,x2,x3,x4)表示.該問題中決策為乘船方案,記為d=(U1,U2,U3,U

2、4),當(dāng)i在船上時記Ui=1,否那么記Ui=0.(1)寫出該問題的所有允許狀態(tài)集合；(3分)(2)寫出該問題的所有允許決策集合；(3分)(3)寫出該問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率.(3分)(4)利用圖解法給出渡河方案.(3分)解：(1)S=(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)及他們的5個反狀(3分)(2) D=(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0)(6分)(3) sk+1=sk+(-1)kdk(9分)(4)方法：人先帶羊,然后回來,帶狼過河,然后把羊帶回來,放下羊,帶白菜過去,然后再回來把羊帶過去.?或：人

3、先帶羊過河,然后自己回來,帶白菜過去,放下白菜,帶著羊回來,然后放下羊,把狼帶過去,最后再回轉(zhuǎn)來,帶羊過去.(12分)得分1、二、(總分值12分)在舉重比賽中,運(yùn)發(fā)動在高度和體重方面差異很大,請就下面兩種假設(shè),建立一個舉重水平和體重之間關(guān)系的模型：(1) 假設(shè)肌肉的強(qiáng)度和其橫截面的面積成比例.6分(2) 假定體重中有一局部是與成年人的尺寸無關(guān),請給出一個改良模型.6分解：設(shè)體重w(千克)與舉重成績y(千克)(1) 由于肌肉強(qiáng)度(I)與其橫截面積(S)成比例,所以y?S設(shè)h為個人身高,又橫截面積正比于身高的平方,那么S?h23再體重正比于身高的三次方,那么w.h故舉重水平和體重之間關(guān)系的模型為:

4、y=kw3(6分)(2) 體重中與成年人尺寸無關(guān)的重量為a,那么一個最粗略的模型為=k(-I(12分)y-(wY)(總分值14分)某學(xué)校規(guī)定,運(yùn)籌學(xué)專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)時必須至少學(xué)得分習(xí)過兩門數(shù)學(xué)課、三門運(yùn)籌學(xué)課和兩門計算機(jī)課.這些課程的編號、名稱、學(xué)分、所屬類別和先修課要求如下表所示.那么,畢業(yè)時學(xué)生最少可以學(xué)習(xí)這些課程中哪些課程課程編號課程名稱學(xué)分所屬類別先修課要求1微積分5數(shù)學(xué)2線性代數(shù)4數(shù)學(xué)3最優(yōu)化方法4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3數(shù)學(xué)；計算機(jī)計算機(jī)編程5應(yīng)用統(tǒng)計4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù)6計算機(jī)模擬3計算機(jī)；運(yùn)籌學(xué)計算機(jī)編程7計算機(jī)編程2計算機(jī)8預(yù)測理論2運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計9數(shù)

5、學(xué)實驗3運(yùn)籌學(xué)；計算機(jī)微積分；線性代數(shù)記i=1,2,9表示9門課程的編號.設(shè)Xi=1表示第i門課程選修,Xi=0表示第i門課程不選,建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型(1)寫出問題的目標(biāo)函數(shù)(4分)(2)每人至少學(xué)習(xí)過兩門數(shù)學(xué)課、三門運(yùn)籌學(xué)課和兩門計算機(jī)課,如何表示此約束條件(5)(3)某些課程有先修課要求,如何表示此約束條件(5分)解9(1) minZ=Xi(4分)i1(2) X1X2X3X4X5-2X3X5X6X8X9-3(9分)(3) X3X1,X30,平衡點為x=0和x=NN得分六、總分值10分設(shè)在一個島嶼上棲居著食肉爬行動物和哺乳動物,又長著茂盛的植物.爬行動物以哺乳動物為食,哺乳動物又依賴植物生存,

6、假設(shè)食肉爬行動物和哺乳動物單獨生存時服從Logistic變化規(guī)律,植物單獨生存時其數(shù)量增長服從指數(shù)增長規(guī)律.現(xiàn)有研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)哺乳動物吃食植物后,植物能釋放某些化學(xué)物質(zhì)對吃食的哺乳動物產(chǎn)生一定的毒害作用.通過適當(dāng)?shù)募僭O(shè),建立這三者間的關(guān)系模型.解：設(shè)植物、哺乳動物和食肉爬行動物的數(shù)量分別為x1t,x2t,x3t假設(shè)單位數(shù)量的植物所釋放的化學(xué)物質(zhì)對吃食植物后的哺乳動物的毒害作用率為k,3分(10分)x1=x1(r1-,1x2)x2=x2-R-,(2-k)x1_x3K2.x3_x3=x3(-r3TT+3x2)K3得分七、總分值15分經(jīng)過一番打探及親身體驗,你準(zhǔn)備從三種車型記為a,b,c中選出一種購置

7、,選擇的標(biāo)準(zhǔn)主要有價格,耗油量大小,舒適程度和外表美觀.經(jīng)反復(fù)思考比擬,構(gòu)造了它們之間的成比照擬矩陣其最大特征值近似為4.1983.另外,以下矩陣分別是三種車型關(guān)于價格、耗油量、舒適度、及你對它們外表的喜歡程度的成比照擬陣：其中矩陣Ci,C2,C3,C4的元素是分別是a,b,c三種車型對于四種標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)越性的比擬尺度.假定這些成比照擬陣包括A都通過了一致性檢驗,且Ci,C2,C3,C4的最大特征值與對應(yīng)的歸一化特征向量見下表：矩陣最大特征值對應(yīng)歸一化特征向量Ci3.009(0.53960.29700.1634)C23.119(0.10560.74450.1499)C33.086(0.62670.

8、27970.0936)C43.065(0.18840.73060.0810)1根據(jù)上述矩陣將四項標(biāo)準(zhǔn)在你心目中的比重由重到輕的順序排出5分;2分別確定哪種車最廉價、最省油、最舒適、最漂亮5分；3確定你對這三種車型的喜歡程度用百分比表示5分；解：記4個準(zhǔn)那么價格,耗油量大小,舒適程度和外表美觀分別為C1,C2,C3,C4,MCi:C2=3即Ci比C2的影響稍強(qiáng)C2:C3=5即C2比C3的影響強(qiáng)C3:C4=3即C3比C4的影響稍強(qiáng)所以四項標(biāo)準(zhǔn)在心目中的比重由重到輕的順序為:價格、耗油量大小、適合程序、外觀美觀(5分)考慮比擬陣C1&2=2說明車型a的價格優(yōu)越性高于車型b,即車型a比車型b廉價a?3

9、=2說明車型b的價格優(yōu)越性高于車型c,即車型b比車型c廉價(7分)所以最廉價的車型為a.同理可得最省油的車型為b;最舒適的車型為a；最漂亮的車型為bo(3)車型a的組合權(quán)重(0.5820,0.2786,0.0899,車型b的組合權(quán)重(0.5820,0.2786,0.0899,車型c的組合權(quán)重(0.5820,0.2786,0.0899,0.0495)(0.5396,0.1056,0.0495)(0.2970,0.7445,0.0495)(0.1634,0.1499,(8分)(9分)(10分)0.6267,0.1884)T=0.410.2797,0.7306)T=0.440.0936,0.0810

10、)T=0.15(13分)車型a,b,c的喜歡程度分別為41%,44%,15%(15分)得分八、(總分值15分)A,B,C三個廠家都生產(chǎn)某產(chǎn)品,2021年它們在某地區(qū)的市場占有率2021年分別為：A廠家:40%,B廠家:40%,C廠家：20%0在每年各個廠家之間的市場占有率轉(zhuǎn)移的根本情況是：A廠家的客戶有60%繼續(xù)用該廠家的產(chǎn)品,20%轉(zhuǎn)為B廠家,20%轉(zhuǎn)為C廠家；B廠家的客戶有80%繼續(xù)用該廠家的產(chǎn)品,10%轉(zhuǎn)為A廠家,10%轉(zhuǎn)為C廠家；C廠家的客戶有50%繼續(xù)用該廠家的產(chǎn)品,10%轉(zhuǎn)為A廠家,40%轉(zhuǎn)為B廠家.(1)預(yù)測2021年哪個廠家的市場占有率最大.(6分)(2)經(jīng)過很長時間以后,哪個

11、廠家的市場占有率最大(6分)解：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.60.20.2P=0.10.80.1(2分)：0.10.40.5_a(0(0.4,0.4,(4分)0.60.20.2a(1)=a(0)P=(0.4,0.4,0.2)0.10.80.1=(0.30.480.22)(6分)0.10.40.5_2021年B廠家市場占有率最大.(8分)(2)設(shè)穩(wěn)態(tài)概率w=(w1,w2,w3),(10分)0.60.20.2那么wp=w,(w1,w2,w3)0.10.80.1=(w1,w2,w3)：0.10.40.5_j又由于W|+w2+w3=1(12分)聯(lián)立解得w=(0.2,0.6,0.2)(14分)B廠家市場占有

12、率最大.(15分)二、簡做題(每題總分值8分,共24分)1.模型的分類答：根據(jù)模型替代原型的方式,模型可以簡單分為形象模型和抽象模型兩類,形象模型：直觀模型、物理模型、分子結(jié)構(gòu)模型等；抽象模型：思維模型、符號模型,數(shù)學(xué)模型等.2.數(shù)學(xué)建模的根本步驟答：(1)建模準(zhǔn)備：數(shù)學(xué)建模是一項創(chuàng)新活動,它所面臨的課題是人們在生產(chǎn)和科研中為了使熟悉和實踐進(jìn)一步開展必須解決的問題.建模準(zhǔn)備就是要了解問題的實際背景,明確建模的目的,掌握對象的各種信息,弄清實際對象的特征,情況明才能方法對；(2)建模假設(shè)：根據(jù)實際對象的的特征和建模的目的,在掌握必要資料的根底上,對原型進(jìn)行抽象、簡化,把那些反映問題本質(zhì)屬性的形態(tài)

13、、量及其關(guān)系抽象出來,簡化掉那些非本質(zhì)的因素,使之?dāng)[脫原型的具體復(fù)雜形態(tài),形成對建模有用的信息資源和前提條件,并且用精確的語言作出假設(shè),是建模過程關(guān)鍵的一步.有目的性原那么、簡明性原那么、真實性原那么和全面性原那么；(3)建模建立：在建模假設(shè)的根底上,進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款,選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行表征,構(gòu)造出根據(jù)條件和數(shù)據(jù),分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點,設(shè)計或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻畫實際問題的數(shù)學(xué)模型；(4)模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后,再根據(jù)條件和數(shù)據(jù)分析模型的特征第3頁共6頁和結(jié)構(gòu)特點,設(shè)計或選擇求解模型的數(shù)學(xué)方法和算法,這其中包括解方程、畫圖形、證實定理、邏輯運(yùn)算以

14、及穩(wěn)定性討論,特別是編寫計算機(jī)程序或運(yùn)用預(yù)算法相適應(yīng)的軟件包,并借助計算機(jī)完成對模型的求解；(5)模型分析：根據(jù)建模的目的要求,對模型求解的數(shù)字結(jié)果,或進(jìn)行變量之間的依賴關(guān)系分析,或進(jìn)行穩(wěn)定性分析,或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析,或進(jìn)行誤差分析等.通過分析,如果不符合要求,就修改或增減建模假設(shè)條件,重新建模,直到符合要求；通過分析如果符合要求,還可以對模型進(jìn)行評價、預(yù)測、優(yōu)化等；(6)模型檢驗：模型分析符合要求之后,還必須回到客觀實際中對模型進(jìn)行檢驗,用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性,看它是否符合客觀實際,假設(shè)不符合,就修改或增減假設(shè)條件,重新建模,循環(huán)往復(fù),不斷完善,直到獲得滿意結(jié)果.

15、目前計算機(jī)技術(shù)已為我們進(jìn)行模型分析、模型檢驗提供了先進(jìn)的手段,充分利用這一手段,可以節(jié)約大量的時間、人力和物力；(7)模型應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨,也是對模型的最客觀、最公正的檢驗.因此,一個成功的數(shù)學(xué)模型,必須根據(jù)建模的目的,將其用于分析、研究和解決實際問題,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用.3.數(shù)學(xué)模型的作用答：數(shù)學(xué)建模的教學(xué)及競賽是實施素質(zhì)教育的有效途徑,它既增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,又提升了大學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和計算機(jī)技術(shù)分析和解決實際問題的水平.開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競賽對大學(xué)生水平的培養(yǎng)是全面的.這表現(xiàn)在創(chuàng)新精神和創(chuàng)新水平的培養(yǎng),查閱文獻(xiàn)資料、分析綜合、抽象概括水平的培養(yǎng),

16、應(yīng)用水平的培養(yǎng),運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和計算機(jī)以及實踐水平的培養(yǎng)等方面.數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)造水平.數(shù)學(xué)建模的問題具有一定的開放性,沒有一定的規(guī)矩可循,沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案或答案不是唯一的,具有較大的靈活性.因此需要突破傳統(tǒng)的思維模式,面對復(fù)雜問題發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力、想象力、洞察力以及解決問題的邏輯推理和量化分析水平,善于從實際問題提供的原形中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì),建立新奇的數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生雙向譯水平.它要求學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識,把實際問題譯成數(shù)學(xué)模型,又將數(shù)學(xué)模型的結(jié)果用淺顯易懂的語言譯出來.數(shù)學(xué)建模有利于培養(yǎng)學(xué)生獲取文獻(xiàn)資料信息的水平.在信息社會中,信息和知識以前所未有的速度傳播和擴(kuò)散,這就要求學(xué)生具有良好的獲取文獻(xiàn)資料信息的水平,以便適應(yīng)現(xiàn)代社會技術(shù)創(chuàng)新和知識更新的需要.數(shù)學(xué)建模問題有強(qiáng)烈實際背景,涉及到不同的學(xué)科領(lǐng)域,問題錯綜復(fù)雜.這就促使學(xué)生圍繞實際問題廣泛查閱資料,獲取自己有用的材料,這大大鍛煉和提升了學(xué)生自覺使用資料的水平.數(shù)學(xué)