第八講平面場

1、第三節(jié)第三節(jié) 平面場平面場1、平面場的描述、平面場的描述定義定義：空間內(nèi)的所有矢量都分布于二維平面上的物理場就稱為平面場。若場的分布與時間有關(guān)，就稱為時變場時變場，否則稱為非時變場。例如：無限長通電直導(dǎo)線所形成的磁場，無限長帶電直導(dǎo)線形成的電場，無限長直圓柱體在流體中勻速運動時產(chǎn)生的流速場等等。2、復(fù)位勢、復(fù)位勢以平面電場為例，在二維負(fù)平面，電場分布可以表示為：xyEEiE對于靜電場來說：0, /rotEEdivEE 由此得：0,yyxxEEEExyxy若挖去電荷源，則在場區(qū)有：0,0yyxxEEEExyxy若定義：,xyyxEEiEEEiE %顯然有：0,0EE %稱 為E的共軛場，且有：0

2、 xyyxE EE EE E rr%E%且有：( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)yxxyEEiEU x yiU x yU x yxyEEiEV x yiV x yV x yxy %很顯然，靜電場為保守場，若定義域為單連通區(qū)域單連通區(qū)域，則有：00 xyyxE dlE dxE dyE dlE dxE dy%蜒蜒由此可以引入標(biāo)量勢函數(shù)：00( ,)( ,)zyxzzxyzU x yE dxE dyV x yE dxE dy 由電場及其共軛場的無源性有：22( , )0( , )0EU x yEV x y %所以，勢函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，且滿足C-R條件，由此可以構(gòu)造一復(fù)變解析函數(shù)(復(fù)位勢)

3、：( )( ,)( ,)W zU x yiV x y0( ,)( ,)( )limzU x yi V x yWzz 而：0limzUUVVxyixiyxyxyz 0limzVVVVxyixiyyxxyz ( )yxVVWziEiEyx 作后有：由此得：( )xyEEiEiWz所以復(fù)位勢與平面場函數(shù)之間的關(guān)系為：00( , )( , )( )zyxzzxyzyxU x yE dxE dyV x yE dxE dyVVUUWziiEiEyxxy 由此可以看出，若在單連通區(qū)域單連通區(qū)域給定一復(fù)變解析函數(shù)，則必有一平面保守場與之對應(yīng)；同樣在單連通區(qū)域給定一無源無源的保守場，則必有一復(fù)變解析函數(shù)與之對應(yīng)

4、。例1、求 所表示的平面場。2( )W zz解：首先：顯然有：222( )2( )222W zzxyxyiWzzxyi22( ,)( 2 , 2 )( ,)( ,)2E x yyxU x yxyV x yxy 電力線方程為：22( , )U x yxyC等勢線為：( , )2V x yxyC例2、求 所表示的平面場。( )W zz解：首先：( )W zUiVz所以：222UVUVixiy由此得：222UVxUVy場線方程為： ，即：( , )U x yC2224yCCx等勢線方程為： ，即：( , )V x yC2224yCCx例3、求 所表示的平面場。1( )lnW ziz解：首先：21( )lnln ln( )/() /W ziizzirWzizyixr 由此得：2( ,)( ,)ln,/U x yV x yrEx yr 場線方程為： ，即：( , )U x yCC等勢線方程為： ，即：( , )V x yCrC例4、分別在點z1,z2處放置兩點電荷q,-q，求位勢。解：根據(jù)例3，在空間中任意一點 放置一點電荷q，則復(fù)位勢為：1( )ln2qW ziz則放置兩點