中考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)（解答題）突破訓(xùn)練：專題四《與三角形、四邊形有關(guān)的探究題》(教師版)

1、類型一與三角形、四邊形有關(guān)的探究題1問(wèn)題背景：如圖，等腰ABC中，ABAC，BAC120°，作ADBC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，BADBAC60°，于是.遷移應(yīng)用：如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120°，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD.求證：ADBAEC；請(qǐng)直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖，在菱形ABCD中，ABC120°，在ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF.證明CEF是等邊三角形；若AE5，CE2，求BF的長(zhǎng)圖圖 圖遷移應(yīng)用：證明：BACDAE

2、120°，DABCAE，在DAB和EAC中，DABEAC；解：CDADBD；拓展延伸：證明：如解圖，作BHAE于點(diǎn)H，連接BE.四邊形ABCD是菱形，ABC120°，ABD，BDC是等邊三角形，BABDBC，E、C關(guān)于BM對(duì)稱，BCBEBDBA，F(xiàn)EFC，A、D、E、C四點(diǎn)共圓，ADCAEC120°，F(xiàn)EC60°，EFC是等邊三角形，解：AE5，ECEF2，AHHE2.5，F(xiàn)H4.5，在RtBHF中，BFH30°，cos30°，BF3.2四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊AD所在直線上，連接CE，以CE為邊，作正方形CEFG(

3、點(diǎn)D，點(diǎn)F在直線CE的同側(cè))，連接BF.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF的長(zhǎng)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AE1；求點(diǎn)F到AD的距離；求BF的長(zhǎng)；(3)若BF3，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AE的長(zhǎng)解：(1)作FHAB于點(diǎn)H，如解圖所示：則FHE90°，四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，ADCD4，EFCE，ADCDAHBADCEF90°，F(xiàn)EHCED，在EFH和CED中，EFHCED(AAS)，F(xiàn)HCD4，AHAD4，BHABAH8，BF4；(2)過(guò)F作FHAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作FMAB交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如解圖所示：則FMAH，AMFH，AD4，AE1

4、，DE3，同(1)得：EFHCED(AAS)，F(xiàn)HDE3，EHCD4，即點(diǎn)F到AD的距離為3；BMABAM437，F(xiàn)MAEEH5，BF；(3)AE的長(zhǎng)為1或2.圖圖3【再現(xiàn)】如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，可以得到：DEBC，且DEBC.(不需要證明)【探究】如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH的形狀，并加以證明；【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下，四邊形ABCD中，滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形？你添加的條件是：_ACBD_(只添加一個(gè)條件)；(2)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，C

5、D，DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若AOOC，四邊形ABCD面積為5，求陰影部分圖形的面積解：【探究】平行四邊形【應(yīng)用】(2)如解圖，由【探究】得，四邊形EFGH是平行四邊形，F(xiàn)，G是BC，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)GBD，F(xiàn)GBD，CFGCBD，SBCD4SCFG，同理：SABD4SAEH，四邊形ABCD面積為5，SBCDSABD5，SCFGSAEH，同理：SDHGSBEF，S四邊形EFGHS四邊形ABCD(SCFGSAEHSDHGSBEF)5，設(shè)AC與FG，EH相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N，EF與BD相交于點(diǎn)P，F(xiàn)GBD，F(xiàn)GBD，CMOMOC，同理：ANONOA，OAOC，OMON，易知，四邊形ENO

6、P，F(xiàn)MOP是平行四邊形，S陰影S四邊形EFGH.類型二與圖形的變換結(jié)合的探究題1(2017·營(yíng)口)在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且EFAB.(1)若四邊形ABCD為正方形如圖，請(qǐng)直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系_DFAE_；將EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖所示的位置，連接AE，DF，猜想AE，DF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)如圖，若四邊形ABCD為矩形，BCmAB，其他條件都不變，將EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°90°)得到EBF，連接AE，DF，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出草圖，并直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系解：(1)DFAE.理由如下：EBF繞點(diǎn)

7、B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，ABEDBF，ABEDBF，即DFAE；(2)如解圖，四邊形ABCD為矩形，ADBCmAB，BDAB，EFAB，EFAD，BEFBAD，EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°90°)得到EBF，ABEDBF，BEBE，BFBF，ABEDBF，即DFAE.2(2017·濰坊)邊長(zhǎng)為6的等邊ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DEAB，EC2.(1)如圖，將DEC沿射線EC方向平移，得到DEC，邊DE與AC的交點(diǎn)為M，邊CD與ACC的角平分線交于點(diǎn)N，當(dāng)CC多大時(shí)，四邊形MCND為菱形？并說(shuō)明理由；(2)如圖，將DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(0°360°

8、;)，得到DEC，連接AD，BE.邊DE的中點(diǎn)為P.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AD和BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；連接AP，當(dāng)AP最大時(shí)，求AD的值(結(jié)果保留根號(hào))(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824238)圖圖解：(1)當(dāng)CC時(shí)，四邊形MCND是菱形理由：由平移的性質(zhì)得，CDCD，DEDE，ABC是等邊三角形，BACB60°，ACC180°ACB120°，CN是ACC的角平分線，NCCACC60°BDEC，DECN，四邊形MCND是平行四邊形，MECMCE60°，NCCNCC60°，MCE和NCC是等邊三角形，MCCE，NCCC，四邊形MCND是菱形，CNC

9、M，CECC.又ECEC2，CCEC；(2)ADBE.理由：當(dāng)180°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ACDBCE，由(1)知，ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE，當(dāng)180°時(shí)，ADACCD，BEBCCE，即：ADBE，綜上可知：ADBE.如解圖，連接CP，在ACP中，由三角形三邊關(guān)系得，APACCP，當(dāng)點(diǎn)A，C，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大，如解圖，在DCE中，由P為DE的中點(diǎn)，得APDE，PD，CP3，AP639，在RtAPD中，由勾股定理得，AD2.圖圖3(2017·葫蘆島)如圖，MAN60°，AP平分MAN，點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AN上運(yùn)動(dòng)，連

10、接BC，將ABC(0°<ABC<120°)的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí)請(qǐng)判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；請(qǐng)?zhí)骄烤€段AC、AD和BE的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，BC交射線AM于點(diǎn)F，若AB4，AC，請(qǐng)直接寫出AD和DF的長(zhǎng)圖圖解：(1)BCBD；ACADBE，證明如下：如解圖，過(guò)點(diǎn) B作BHAE于點(diǎn)H，MAN60°，AP平分MAN，12MAN30°，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

11、120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，CBDABE120°，CBDABDABEABD，即：34，ABE120°，130°5180°ABE130°，51，BABE，5230°，34，ABCEBD，ACDE，ACADDEADAE，BHAE于點(diǎn)H，BABE，AHEHAE，530°，EHBE·cos30°BE，即：AEBE，AEBE，ACADBE；(2)AD5，DF.4(2017·河南)如圖，在RtABC中，A90°，ABAC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，ADAE，

12、連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)(1)觀察猜想圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是_PMPN_，位置關(guān)系是_PMPN_；(2)探究證明把ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖的位置，連接MN，BD，CE，判斷PMN的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸把ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD4，AB10，請(qǐng)直接寫出PMN面積的最大值解：(2)由旋轉(zhuǎn)知，BADCAE，ABAC，ADAE，ABDACE(SAS)，ABDACE，BDCE，同(1)的方法，利用三角形的中位線得，PNBD，PMCE，PMPN，PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PMCE，DPMDCE，同(1)的方法得，PNBD，PNC

13、DBC，DPNDCBPNCDCBDBC，MPNDPMDPNDCEDCBDBCBCEDBCACBACEDBCACBABDDBCACBABC，BAC90°，ACBABC90°，MPN90°，PMN是等腰直角三角形；(3)如解圖，同(2)的方法得，PMN是等腰直角三角形，MN最大時(shí)，PMN的面積最大，在AMN中，MN<AMAN，當(dāng)A、M、N共線時(shí)MN最大DEBC且DE在頂點(diǎn)A上面，MN最大AMAN，連接AM，AN，在ADE中，ADAE4，DAE90°，AM2，在RtABC中，ABAC10，AN5，MN最大257，SPMN最大PM2××

14、MN2×(7)2.類型三 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1(2017·撫順)如圖，OF是MON的平分線，點(diǎn)A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)，且PQOA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連接AB，PB.(1)如圖，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AB，PB是否還存在(1)中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)如圖，MON60°，連接AP，設(shè)k，當(dāng)P和Q兩點(diǎn)都在射線ON上移動(dòng)時(shí)，k是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出k

15、的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：(1)ABPB；(2)存在理由：如解圖，連接BQ，BC垂直平分OQ，BQOB，BQCBOC，OF平分MON，MOFNOF，NOFBOC，BQCMOF，180°BQC180°MOF，AOBBQP，又PQAO，BQPBOA，ABPB；(3)存在最小值，k最小值0.5.2(2017·宜昌)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)O是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B，C不重合)，以O(shè)為頂點(diǎn)在BC所在直線的上方作MON90°.(1)當(dāng)OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，請(qǐng)直接填空：ON_不可能_(可能，不可能)過(guò)D點(diǎn)；(圖僅供分析)如圖，在ON上截取OEOA，過(guò)E點(diǎn)作

16、EF垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)F，作EHCD于點(diǎn)H，求證：四邊形EFCH為正方形；(2)當(dāng)OM不過(guò)點(diǎn)A時(shí)，設(shè)OM交邊AB于點(diǎn)G，且OG1.在ON上存在點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作PK垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)K，使得SPKO4SOBG，連接GP，求四邊形PKBG的最大面積(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824239)解：(1)EHCD，EFBC，EHCEFC90°，且HCF90°，四邊形EFCH為矩形，MON90°，EOF90°AOB，在正方形ABCD中，BAO90°AOB，EOFBAO，在OFE和ABO中，OFEABO(AAS)，EFOB，OFAB，又OFCFOCABBCBOOC

17、EFOC，CFEF，四邊形EFCH為正方形；(2)如解圖，POKOGB，PKOOBG，PKOOBG，SPKO4SOBG，()24，OP2，SPOGOG·OP×1×21，設(shè)OBa，BGb，則a2b2OG21，b，SOBGaba.當(dāng)a2時(shí)，OBG面積有最大值，此時(shí)SPKO4SOBG1，四邊形PKBG的最大面積為11.3(2017·沈陽(yáng)模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD6，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)秒后，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以與點(diǎn)Q相同的速度沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)，將APQ沿直線PQ翻折，得到

18、EPQ.(1)用含t的代數(shù)式表示：AP_6t_；AQ_t_；(2)連接BD，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)PQEBDC時(shí)，求t的值；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQE能否等于ABD的一半？如果能，求出此時(shí)的t的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù)：1.4，1.7，2.2)解：(2)將APQ沿直線PQ翻折，得到EPQ，PQAPQE，當(dāng)PQEBDC時(shí)，PQABDC，即，解得t；(3)不能理由如下：如解圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M，使BMBD，連接DM，BMBD，BDMBMD，ABDBDMBMD，BDMBMDABD，當(dāng)PQEABD時(shí)，PQEPQA，PQABMDABD，PQDM，在RtBCD中，BD3，BMBD3，解得t3.5，0t.

19、所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQE不能等于ABD的一半題型三二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型一與圖形判定結(jié)合1(2017·盤錦)如圖，直線y2x4交y軸于點(diǎn)A，交拋物線yx2bxc于點(diǎn)B(3，2)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，0)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作PEDB交DB所在直線于點(diǎn)E.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)PDE為等腰直角三角形時(shí)，求出PE的長(zhǎng)及P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，連接PB，將PBE沿直線AB翻折，直接寫出翻折后點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)備用圖備用圖解：(1)拋物線的解析式為yx2x2；(2)點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)，BDx軸，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn)

20、P的坐標(biāo)為(p，p2p2)，PEBD，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(p，2)，DE|p|，PE|p2p2(2)|p2p|，PDE是等腰直角三角形，PEDE，|p2p|p|，當(dāng)p2pp時(shí)，解得p0或p5，當(dāng)p2pp時(shí)，解得p0或p1，這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為(5，3)，此時(shí)PE5，或(1，3)，此時(shí)PE1；(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，3)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5，2)，此時(shí)BE2，如解圖，過(guò)E作EFAB于F，延長(zhǎng)EF到R，使得FREF，則點(diǎn)R為點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，即為所求點(diǎn)過(guò)R作RGDE于G.點(diǎn)A是直線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，AD6，BD3，AB3，BF，tanEBFtanABD2，EF，ER，易

21、得REGBAD，EG2GR，GR，GE，DG5，此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，)；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)，過(guò)點(diǎn)E作EFAB于F，延長(zhǎng)EF到R使得EFFR，過(guò)R作RGBD于G，同上，易得BE2，GR，GE，DG，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，)綜上可得，翻折后點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(，)圖圖2(2017·本溪 )如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2bxc與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B(3，0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線AC與拋物線的另一交點(diǎn)為C(4，)，與y軸交點(diǎn)為D，點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A，C重合)(1)求該拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)P作PEAC，垂足為E，作PF

22、y軸交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段EF的長(zhǎng)度為m，求m與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824240)解：(1)該拋物線解析式為yx2x；(2)令y0得x2x0，解得x11，x23，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)C(4，)，直線AC的解析式為yx.點(diǎn)D是直線AC與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，)在RtAOD中，OA1，OD，由勾股定理得AD，cosADO.PFy軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，且點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)F在直線AC上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t，t)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t2t)，點(diǎn)F在點(diǎn)P的上方，

23、PFt(t2t)t2t2.PFy軸，PFEODA，cosPFEcosODA，mPFt2t；(3)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)或(1，1)或(1，1)或(2，1)或(，1)類型二與線段問(wèn)題結(jié)合1(2017·武漢)已知點(diǎn)A(1，1)、B(4，6)在拋物線yax2bx上(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，m)(m2)，直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線，垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，連接FH、AE，求證：FHAE；(3)如圖，直線AB分別交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)

24、，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，QM2PM，直接寫出t的值圖圖(1)解：拋物線的解析式為yx2x；(2)證明：設(shè)直線AF的解析式為ykxm，將點(diǎn)A(1，1)代入ykxm中，即km1，km1，直線AF的解析式為y(m1)xm.聯(lián)立直線AF和拋物線解析式得，解得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2m，2m2m)GHx軸，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2m，0)拋物線的解析式為yx2xx(x1)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0)直線AE的解析式為yx.設(shè)直線FH的解析式為yk2xb2，將F(0，m)、H(2m，0)代入yk2xb2中，解得：直線FH的解析式為yxm.FHAE；(3)

25、解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或秒或秒或秒時(shí)，QM2PM.2(2015·錦州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(4，0)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)P(m，n)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CA，CD，PD，PB.(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)PDB的面積等于CAD的面積時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)m0，n0時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線PEy軸于點(diǎn)E交直線BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FGx軸于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段EG的最小值解：(1)拋物線的解析式為：yx2x2；(2)拋物線的解析式為yx2x2，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，2)，點(diǎn)A(1，0)

26、、點(diǎn)D(2，0)，AD2(1)3，SCAD×3×23，SPDB3，點(diǎn)B(4，0)、點(diǎn)D(2，0)，BD2，SPDB×2×|n|3，n3或n3，當(dāng)n3時(shí)，m2m23，解得m1或m2，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1，3)或(2，3)當(dāng)n3時(shí)，m2m23，解得m5或m2，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5，3)或(2，3)綜上，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)或(2，3)或(5，3)或(2，3)；(3)線段EG的最小值是.3(2017·哈爾濱)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線yx2bxc交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線yx3經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2

27、)過(guò)點(diǎn)C作直線CDy軸交拋物線于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線CD下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，PE交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)M，連接AC，過(guò)點(diǎn)M作MNAC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段MN的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍)；(3)在(2)的條件下，連接PC，過(guò)點(diǎn)B作BQPC于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在線段PC上)，BQ交CD于點(diǎn)T，連接OQ交CD于點(diǎn)S，當(dāng)STTD時(shí)，求線段MN的長(zhǎng)解：(1)拋物線的解析式為yx22x3；圖(2)如解圖，yx22x3，當(dāng)y0時(shí)，x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，OA1，OBOC3，ABC45

28、76;，AC，AB4，PEx軸，EMBEBM45°，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，EMEB3t，連接AM，SABCSAMCSAMB，AB·OCAC·MNAB·EM，×4×3×MN×4(3t)，MNt；圖(3)如解圖，yx22x3(x1)24，對(duì)稱軸為x1，由拋物線對(duì)稱性可得D(2，3)，CD2，過(guò)點(diǎn)B作BKCD交直線CD于點(diǎn)K，四邊形OCKB為正方形，OBK90°，CKOBBK3，DK1，BQCP，CQB90°，過(guò)點(diǎn)O作OHPC交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，ORBQ交BQ于點(diǎn)I，交BK于點(diǎn)R，OGOS交KB于G，連

29、接SR，OHCOIQOIB90°，四邊形OHQI為矩形，OCQOBQ180°，OBGOCS，OBOC，BOGCOS，OBGOCS，OGOS，CSGB，GOBSOC，SOG90°，ROG45°，OROR，OSROGR，SRGR，SRCSBR，BOROBI90°，IBOTBK90°，BORTBK，tanBORtanTBK，BRTK，CTQBTK，QCTTBK，tanQCTtanTBK，設(shè)STTDm，SK2m1，CS22m，TKm1BR，SR3m，RK2m，在RtSKR中，SK2RK2SR2，(2m1)2(2m)2(3m)2，解得m12(舍

30、去)，m2；STTD，TK，tanTBK÷3，tanPCD，CFOEt，PFt，PEt3，P(t，t3)，t3t22t3，解得t10(舍去)，t2.MNdt×.類型三與面積問(wèn)題結(jié)合1(2017·恩施州)如圖，已知拋物線yax2c過(guò)點(diǎn)(2，2)，(4，5)，過(guò)定點(diǎn)F(0，2)的直線l：ykx2與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系(、)，并證明你的判斷；(3)P為y軸上一點(diǎn)，以B，C，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn)P(0，m)，求自然數(shù)m的值；(4)

31、若k1，在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得QBF的面積最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QBF的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824241)解：(1)拋物線的解析式為yx21；(2)BFBC.理由如下：設(shè)B(x，x21)，而F(0，2)，BF2x2(x212)2x2(x21)2(x21)2，BFx21，BCx軸于點(diǎn)C，BCx21，BFBC；圖(3)如解圖，m為自然數(shù)，則點(diǎn)P在F點(diǎn)上方，以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，CBCFPF，而CBFB，BCCFBF，BCF為等邊三角形，BCF60°，OCF30°，在RtOCF中，CF2OF4，PFCF4，P(0，6

32、)，即自然數(shù)m的值為6；圖(4)作QEy軸交AB于E，如解圖，當(dāng)k1時(shí)，一次函數(shù)解析式為yx2，解方程組得或則B(22，42)，設(shè)Q(t，t21)，則E(t，t2)，EQt2(t21)t2t1，SQBFSEQFSEQB(22)EQ(1)(t2t1)(t2)222，當(dāng)t2時(shí)，SQBF有最大值，最大值為22，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)2(2017·蘇州)如圖，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于 A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OBOC.點(diǎn)D在函數(shù)圖象上，CDx軸，且CD2，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn)(1)求b，c的值；(2)如圖，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F恰

33、好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)如圖，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N.試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得PQN與APM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最?。咳绻嬖?，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由解：(1)b2，c3; (2)設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為(0，m)，對(duì)稱軸是直線x1，點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，m)，由(1)可知拋物線解析式為yx22x3(x1)24，E(1，4)直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，0)，E(1，4)，利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為y2x6，點(diǎn)F在BE上，m2×262，即點(diǎn)F坐標(biāo)為(0，2)(3)存在，滿足題意的點(diǎn)Q的

34、坐標(biāo)為(，)或(，)3(2017·撫順)如圖，拋物線yax2bx4交y軸于點(diǎn)A，并經(jīng)過(guò)B(4，4)和C(6，0)兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，0)，連接AD，AB，BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線DC運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線EF交直線AB于點(diǎn)F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角EFG.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時(shí)，求出t的值；(3)設(shè)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G都與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BCG的面積為4時(shí)，直接寫出相應(yīng)的t值，并直接寫出點(diǎn)G從出發(fā)到此

35、時(shí)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824242)解：(1)拋物線的解析式為yx2x4；(2)點(diǎn)G(t，4t)，將(t，4t)代入到拋物線得4t(t)2×t4，解得t10(舍去)，t2，當(dāng)t時(shí)，G落在拋物線上；(3)t1，此時(shí)路徑長(zhǎng)度為，t25，此時(shí)路徑長(zhǎng)度為12.類型四與相似三角形結(jié)合1如圖，已知直線yx3與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以每秒 個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)求拋物線的解析式；(2)問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，APQ為直

36、角三角形；(3)過(guò)點(diǎn)P作PEy軸，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QFy軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EFPQ時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(4)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為M，連接BP，BM，MQ，問(wèn)：是否存在t值，使以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)拋物線的解析式為yx22x3；(2)OPt，AQt，則PA3t，OAOB3，BOA90°，QAP45°.當(dāng)PQA90°時(shí)，如解圖，PAAQ，即3t×t，解得t1；當(dāng)APQ90°時(shí)，如解圖，AQAP，即t(3t)，解得t；綜上所述，當(dāng)t1或t時(shí)，PQA是

37、直角三角形；圖(3)如解圖，延長(zhǎng)FQ交x軸于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，0)，PAPE，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t，t3)，易得AQH為等腰直角三角形，AHHQAQ·tt，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3t，t)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3t，t24t)，F(xiàn)Qt24ttt23t，EPFQ，EFPQ，四邊形PQFE為平行四邊形，EPFQ.即3t3tt2，解得t11，t23(舍去)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，3)；圖圖(4)存在當(dāng)t時(shí)，以B，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似 2.(2017·河南)如圖，直線yxc與x軸交于點(diǎn)A(3，0)，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B.(1)求點(diǎn)B的坐

38、標(biāo)和拋物線的解析式；(2)M(m，0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N.點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M，P，N中恰有一點(diǎn)是其他兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外)，則稱M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”請(qǐng)直接寫出使得M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824243)解：(1)B(0，2)，拋物線的解析式為yx2x2；(2)由(1)可知直線解析式為yx2，M(m，0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N，P(m，m2)，N(m，m2m2

39、)，PMm2，AM3m，PNm2m2(m2)m24m，BPN和APM相似，且BPNAPM，BNPAMP90°即BPNAPM，或NBPAMP90°，當(dāng)BNP90°時(shí)，則有BNMN，BNOMm，即，解得m0(舍去)或m2.5；M(2.5，0)；當(dāng)NBP90°時(shí)，即BPNMPA，則有，A(3，0)，B(0，2)，P(m，m2)，0m3，BPm，AP(3m)，解得m0(舍去)或m，M(，0)；綜上可知當(dāng)以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與APM相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2.5，0)或(，0)；當(dāng)M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為或1或. 3.(2016·湖州)

40、如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc(b，c為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，1)，點(diǎn)C(0，4)，頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作ABx軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連接BC.(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移m(m0)個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在ABC的內(nèi)部(不包括ABC的邊界)，求m的取值范圍；(3)點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與BCD相似，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過(guò)程) 解：(1)二次函的數(shù)解析式為yx22x4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，5)；(2)設(shè)直線AC的解析式為ykxm，把點(diǎn)A(3，1)，C

41、(0，4)代入得 解得直線AC的解析式為yx4，如解圖所示，對(duì)稱軸直線x1與ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，把x1代入直線AC解析式y(tǒng)x4，得y3，則點(diǎn)E坐標(biāo)為(1，3)，點(diǎn)F坐標(biāo)為(1，1)，15m3，解得2m4；(3)符合題意的點(diǎn)P坐標(biāo)有4個(gè)，分別為P1(，)，P2(，)，P3(3，1)，P4(3，7)類型五與角有關(guān)的探究1(2017·錦州)如圖，拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)B(1，0)，D(2，5)兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，點(diǎn)H是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H的直線PQx軸，分別交直線AD、拋物線于點(diǎn)Q、P.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)P，使APB90°，若存在，求出點(diǎn)

42、P的橫坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；(3)連接BQ，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BQ以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到Q，再沿線段QD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)t最少？解：(1)拋物線的解析式為yx22x3；(2)假設(shè)存在點(diǎn)P(m，n)，使得APB90°，如解圖，連接PA，PB.PHAB，可得PAHBPH，即PH2AH·BH，(n)2(3m)(m1)，整理得n2m22m3，點(diǎn)P在拋物線上，nm22m3，n2n，解得n1或n0(舍)將n1代入拋物線得m22m31，解得m11，m21，滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，橫坐標(biāo)分別為1，1；圖圖(3)如解圖，過(guò)D作DEx軸于點(diǎn)E，D(2，5)，DE5，OE2.AEOEOA5