知識講解-條件概率與獨立事件-基礎

1、知識講解-條件概率與獨立事件-基礎條件概率與獨立事件編稿：張林娟 審稿：孫永釗【學習目標】1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念.2.通過實例探究條件概率計算公式的推導過程和事件獨立性的概念，學會判斷事件獨立性的方法.3.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于實踐又服務于實踐，發(fā)展數(shù)學的應用意識.【要點梳理】要點一：條件概率1.概念設、為兩個事件，求已知發(fā)生的條件下，發(fā)生的概率，稱為發(fā)生時發(fā)生的條件概率，記為，讀作：事件發(fā)生的條件下發(fā)生的概率。要點詮釋：我們用韋恩圖能更好的理解條件概率，如圖，我們將封閉圖形的面積理解為相應事件的概率，那么由條件概率的概率，我們僅局限于事件這個范圍來考察事件發(fā)生的概率

2、，幾何直觀上，相當于在內的那部分（即事件）在中所占的比例。2.公式當時，.要點詮釋：（1）對于古典（幾何）概型的題目，可采用縮減樣本空間的辦法計算條件概率：古典概型：，即；幾何概型：.（2）公式揭示了、的關系，常常用于知二求一，即要熟練應用它的變形公式如，若0，則，該式稱為概率的乘法公式（3）類似地，當時，發(fā)生時發(fā)生的條件概率為：.3. 性質（1）非負性：；（2）規(guī)范性：（其中為樣本空間）；（3）可列可加性：若兩個事件、互斥，則.4.概率與的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：事件，都發(fā)生了。區(qū)別： 在中，事件，發(fā)生有時間上的差異，事件先發(fā)生，事件后發(fā)生；在中，事件，同時發(fā)生；基本事件空間不同在中，事件成為基本

3、事件空間；在中，基本事件空間保持不變，仍為原基本事件空間。 要點二：獨立事件1.定義：事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，即，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。若與是相互獨立事件，則與，與，與也相互獨立。2相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式：對于事件和事件，用表示事件、同時發(fā)生。（1）若與是相互獨立事件，則；（2）若事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即：。要點詮釋（1）（）=（）（）使用的前提是、為相互獨立事件，也就是說，只有相互獨立的兩個事件同時發(fā)生的概率，才等于每個事件發(fā)生的概率的積（2）兩個事件、相互獨立事件的充要條件是。3相互獨立事件與互斥事

4、件的比較互斥事件與相互獨立事件是兩個不同的概念，它們之間沒有直接關系?；コ馐录侵竷蓚€事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立事件是指一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響。一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件是不可能同時發(fā)生的，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提的。相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積,這一點與互斥事件的概率和也是不同的。4. 幾種事件的概率公式的比較已知兩個事件，它們發(fā)生的概率為（），（），則：，中至少有一個發(fā)生記為事件+（或）；，都發(fā)生記為事件（或）；都不發(fā)生記為事件（或）；恰有一個發(fā)生記為事件；至多有一個發(fā)生記為事件.則它們的概率間的

5、關系如下表所示：概率，互斥，相互獨立（+）（）+（）（·）0（）·（）1（）+（）（）+（）11（）·（）【典型例題】類型一：條件概率例1甲、乙兩名推銷員推銷某種產品，據(jù)以往經驗，兩人在一天內賣出一份產品的概率分別為和，兩人在一天內都賣出一份產品的概率為，問：（1）在一天內甲先賣出一份產品乙后賣出一份產品的概率是多少？（2）在一天內乙先賣出一份產品甲后賣出一份產品的概率是多少？【思路點撥】這兩小問都是求條件概率，注意各事件發(fā)生的先后順序：（1）求；（2）求.【答案】記事件=“甲在一天內賣出一份產品”，事件=“乙在一天內賣出一份產品”.由題意可知，。（1）因為“在一

6、天內甲先賣出一份產品乙后賣出一份產品”這一事件是甲在一天內賣出一份產品后，乙賣出一份產品，所以由條件概率公式，可得（2）因為“在一天內乙先賣出一份產品甲后賣出一份產品”這一事件是乙在一天內賣出一份產品后，甲賣出一份產品，所以由條件概率公式，可得【總結升華】這類條件概率的應用問題，首先分清一前一后兩事件的發(fā)生，前面的事件對后面的事件的發(fā)生有沒有影響若沒有影響，就是無條件概率；若有影響，就是條件概率，然后根據(jù)相應的公式計算即可。舉一反三：【變式】甲、乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天占的比例分別為20和18，兩地同時下雨的比例為12，問： （1）乙地為雨天時，甲

7、地也為雨天的概率為多少？ （2）甲地為雨天時，乙地也為雨天的概率為多少？【答案】設表示“甲地為雨天”，表示“乙地為雨天”，則根據(jù)題意有（）=，（）=，（）= （1）；（2）例2.盒中裝有5件產品，其中3件一等品，2件二等品，從中不放回地抽取產品，每次抽取1件。求：取兩次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。【思路點撥】本題為古典概型，采用縮減樣本空間的辦法計算條件概率較簡便.【解析】記事件為“第二次取到一等品”，事件為“第一次取得二等品”，則“第二次取得一等品，第一次取得的是二等品”可表示為.把3件一等品編上序號1，2，3；把2件二等品編上序號甲，乙，于是事件A的所有結果，可用樹

8、狀圖直觀的表示：則，所以所以，第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率為.【總結升華】求條件概率的關鍵就是要抓住事件作為條件和事件與同時發(fā)生這兩件事，然后具體問題具體對待。舉一反三：【變式1】拋擲一枚質地均勻的骰子所出現(xiàn)的點數(shù)的所有可能結果為，記事件，則（ ）. . D.【答案】 方法一：根據(jù)條件概率的定義因為，事件，所以，所以，.方法二：利用縮減樣本空間計算：因為，則，所以，.【變式2】某學校一年級共有學生100名，其中男生60人，女生40人；來自北京的有20人，其中男生12人，若任選一人是女生，問該女生來自北京的概率是多少？【答案】依題意知，該校一年級男女學生情況如下表所示：來自北京非

9、北京人總數(shù)男生124860女生83240 由條件概率的定義可知，“該女生來自北京的概率”就是來自北京的女生占女生總人數(shù)的比例，為. 具體解析如下：用表示事件“任選一人是女生”，表示事件“任選一人來自北京”，則事件“任選一人是女生，該女生來自北京”用表示.則，所以，.【變式3】在10支鉛筆中，有8支正品，2支次品，若從中任取2支，則在第1次取到的是次品的條件下，第二次取到正品的概率是（ ）A B C D【答案】利用縮小樣本空間的方法求解。因為第一次取到1支次品，還剩9支鉛筆，其中有8支正品，所以第二次取正品的概率是。類型二：獨立事件例3. 容器中盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球 （1）“從8個球中

10、任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”這兩個事件是否相互獨立為什么 （2）“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“把取出的1個白球放回容器，再從容器中任意取出1個，取出的是黃球”這兩個事件是否相互獨立為什么 【思路點撥】 從相互獨立事件的定義入手 【解析】 （1）“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨立事件 （2）由于把取出的白球放回容器，故對“從中任

11、意取出1個，取出的是黃球”的概率沒有影響，所以二者是相互獨立事件 【總結升華】 判斷兩事件是否相互獨立的方法有： （1）通過計算（|）=（）可以判斷兩個事件相互獨立： （2）通過驗證（）=（）（）也可以判斷兩個事件相互獨立舉一反三：【變式】判斷下列各對事件是互斥事件還是相互獨立事件 （1）運動員甲射擊1次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”； （2）甲、乙兩運動員各射擊1次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”： （3）甲、乙兩運動員各射擊1次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”； （4）甲、乙兩運動員各射擊1次，“至少有1人射中目標”與“甲射中目標，但乙沒有射中目標”【答案】（1）甲射擊1次

12、，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”這兩個事件不可能同時發(fā)生，二者是互斥事件（2）甲、乙各射擊1次，“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對“乙射中9環(huán)”的概率沒有影響，二者為相互獨立事件（3）甲、乙各射擊1次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒有射中目標”不可能同時發(fā)生，二者是互斥事件（4）甲、乙各射擊1次，“至少有1人射中目標”與“甲射中目標，但乙沒有射中目標”可能同時發(fā)生，二者構不成互斥事件，但也不可能是相互獨立事件例4. 某商場推出二次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動如果兩次兌獎活動的中獎概率都是 ，求兩次抽獎中以下事件的概率：（1）

13、都抽到某一指定號碼； （2）恰有一次抽到某一指定號碼；（3）至少有一次抽到某一指定號碼；（4）兩次都沒有抽中指定號碼【思路點撥】用、分別表示兩次抽中某一指定號碼，則事件、相互獨立.利用概率的加法公式和獨立事件解決問題.【解析】 記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件, “第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件 ，則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件由于兩次抽獎結果互不影響，因此與相互獨立 則.（1）“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”為事件，則,所以兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率為.（2）設“兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”為事件，則： =0. 05× ) + ) × = 0

14、. 095.所以，兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼的概率為.（3）設“兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”為事件，則: = +0. 095 = 0. 097.所以，兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼的概率為.（4）設“兩次都沒有抽中指定號碼”為事件，則，所以，兩次都沒有抽中指定號碼的概率為.【總結升華】 審題應注意關鍵的詞句，例如“恰好有一個發(fā)生”“至多（至少）有一個發(fā)生”“都（不）發(fā)生”等，應學會在求復雜事件的概率時對事件等價拆分來求解舉一反三：【變式1】甲、乙各進行一次射擊，若甲、乙擊中目標的概率分別為、求下列事件的概率： （1）兩人都擊中目標； （2）至少有一人擊中目標； （3）恰有一人

15、擊中目標【答案】記為“甲射擊一次，擊中目標”，為“乙射擊一次，擊中目標”，則與相互獨立.由已知，（）=，（）=，（1）兩人都擊中目標的概率 （）=（）·（）=×=（2）至少有一人擊中目標的概率 =×+×+×= （3）恰有一人擊中目標的概率=×+×=【變式2】甲、乙兩個袋中均裝有紅、白兩種顏色的球，這些球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個紅球、2個白球，乙袋裝有1個紅球、5個白球。若分別從甲、乙兩袋中各隨機取出一個球，求取出的兩球都是紅球的概率?！敬鸢浮恳驈募状腥∫磺驗榧t球的概率為，從乙袋中取一球為紅球的概率為，故從兩袋中各

16、取一球，取出的都是紅球的概率為?！咀兪?】在某段時間內，甲地下雨的概率為，乙地下雨的概率為，若在這段時間內兩地是否下雨之間沒有影響，則在這段時間內，甲、乙兩地都不下雨的概率為（ ） D【答案】D甲乙兩地不下雨的概率為：=(1×(1=.例5甲、乙、丙三位同學完成6道數(shù)學自測題，已知他們及格的概率依次為，。求（1）三人中有且只有兩人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率。【思路點撥】 三件（或三件以上）相互獨立的事同時發(fā)生，和兩個相互獨立的事同時發(fā)生是類似的，都用乘法公式。【解析】設甲、乙、丙三位同學答題及格分別為事件，則事件，相互獨立。（1）三人中有且只有兩人及格的概率為；（2

17、）三人中至少有一人不及格的概率為?！究偨Y升華】明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義。在求事件的概率時，有時會遇到求“至少”或“至多”等事件的概率問題，它們是諸多事件的和或積，可以從正面或對立面解決問題。如果從正面考慮這些問題，求解過程繁瑣，但“至少”或“至多”這些事件的對立事件卻相對簡單，其概率也易求出，此時，可逆向思維，運用“正難則反”的原則求解。舉一反三：【變式1】某道路的、三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上行駛時，三處都不停車的概率是（ ）. . . D.

18、 【答案】在、三處不停車的概率分別為，故三處都不停車的概率是?！咀兪?】甲射擊命中目標的概率是，乙射擊命中目標的概率是，丙射擊命中目標的概率是，若現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率是（ ） D【答案】設“甲射擊命中目標”為事件，“乙射擊命中目標”為事件，“丙射擊命中目標”為事件。因擊中目標表示事件，中至少有一個發(fā)生：目標可能被一人、兩人或三人擊中。因目標被擊中的事件的對立事件是目標未被擊中，即三人都未擊中目標，它可以表示為，而三人射擊結果是相互獨立的，故目標被擊中的概率為，故目標被擊中的概率?！咀兪?】設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響已知在某1 h內，甲、乙都需要照顧的概率為，甲、丙都需要照顧的概率為，乙、丙都需要照顧的概率為 （1）求甲、乙、丙在這1 h內需要照顧的概率分別是多少； （2）計算這1 h內至少有一臺機器需要照顧的概率【答案】記“機器甲需要照顧”為事件，“機器乙需要照顧”為事件，“機器丙需要照顧”為事件由題意，各臺