知識(shí)講解-條件概率與獨(dú)立事件-基礎(chǔ)

1、知識(shí)講解-條件概率與獨(dú)立事件-基礎(chǔ)條件概率與獨(dú)立事件編稿：張林娟 審稿：孫永釗【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.通過實(shí)例探究條件概率計(jì)算公式的推導(dǎo)過程和事件獨(dú)立性的概念，學(xué)會(huì)判斷事件獨(dú)立性的方法.3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐，發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：條件概率1.概念設(shè)、為兩個(gè)事件，求已知發(fā)生的條件下，發(fā)生的概率，稱為發(fā)生時(shí)發(fā)生的條件概率，記為，讀作：事件發(fā)生的條件下發(fā)生的概率。要點(diǎn)詮釋：我們用韋恩圖能更好的理解條件概率，如圖，我們將封閉圖形的面積理解為相應(yīng)事件的概率，那么由條件概率的概率，我們僅局限于事件這個(gè)范圍來考察事件發(fā)生的概率

2、，幾何直觀上，相當(dāng)于在內(nèi)的那部分（即事件）在中所占的比例。2.公式當(dāng)時(shí)，.要點(diǎn)詮釋：（1）對于古典（幾何）概型的題目，可采用縮減樣本空間的辦法計(jì)算條件概率：古典概型：，即；幾何概型：.（2）公式揭示了、的關(guān)系，常常用于知二求一，即要熟練應(yīng)用它的變形公式如，若0，則，該式稱為概率的乘法公式（3）類似地，當(dāng)時(shí)，發(fā)生時(shí)發(fā)生的條件概率為：.3. 性質(zhì)（1）非負(fù)性：；（2）規(guī)范性：（其中為樣本空間）；（3）可列可加性：若兩個(gè)事件、互斥，則.4.概率與的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：事件，都發(fā)生了。區(qū)別： 在中，事件，發(fā)生有時(shí)間上的差異，事件先發(fā)生，事件后發(fā)生；在中，事件，同時(shí)發(fā)生；基本事件空間不同在中，事件成為基本

3、事件空間；在中，基本事件空間保持不變，仍為原基本事件空間。 要點(diǎn)二：獨(dú)立事件1.定義：事件（或）是否發(fā)生對事件（或）發(fā)生的概率沒有影響，即，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立。2相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：對于事件和事件，用表示事件、同時(shí)發(fā)生。（1）若與是相互獨(dú)立事件，則；（2）若事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即：。要點(diǎn)詮釋（1）（）=（）（）使用的前提是、為相互獨(dú)立事件，也就是說，只有相互獨(dú)立的兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，才等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積（2）兩個(gè)事件、相互獨(dú)立事件的充要條件是。3相互獨(dú)立事件與互斥事

4、件的比較互斥事件與相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念，它們之間沒有直接關(guān)系。互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是指一個(gè)事件是否發(fā)生對另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響。一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录遣豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生的，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提的。相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積,這一點(diǎn)與互斥事件的概率和也是不同的。4. 幾種事件的概率公式的比較已知兩個(gè)事件，它們發(fā)生的概率為（），（），則：，中至少有一個(gè)發(fā)生記為事件+（或）；，都發(fā)生記為事件（或）；都不發(fā)生記為事件（或）；恰有一個(gè)發(fā)生記為事件；至多有一個(gè)發(fā)生記為事件.則它們的概率間的

5、關(guān)系如下表所示：概率，互斥，相互獨(dú)立（+）（）+（）（·）0（）·（）1（）+（）（）+（）11（）·（）【典型例題】類型一：條件概率例1甲、乙兩名推銷員推銷某種產(chǎn)品，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，兩人在一天內(nèi)賣出一份產(chǎn)品的概率分別為和，兩人在一天內(nèi)都賣出一份產(chǎn)品的概率為，問：（1）在一天內(nèi)甲先賣出一份產(chǎn)品乙后賣出一份產(chǎn)品的概率是多少？（2）在一天內(nèi)乙先賣出一份產(chǎn)品甲后賣出一份產(chǎn)品的概率是多少？【思路點(diǎn)撥】這兩小問都是求條件概率，注意各事件發(fā)生的先后順序：（1）求；（2）求.【答案】記事件=“甲在一天內(nèi)賣出一份產(chǎn)品”，事件=“乙在一天內(nèi)賣出一份產(chǎn)品”.由題意可知，。（1）因?yàn)椤霸谝?/p>

6、天內(nèi)甲先賣出一份產(chǎn)品乙后賣出一份產(chǎn)品”這一事件是甲在一天內(nèi)賣出一份產(chǎn)品后，乙賣出一份產(chǎn)品，所以由條件概率公式，可得（2）因?yàn)椤霸谝惶靸?nèi)乙先賣出一份產(chǎn)品甲后賣出一份產(chǎn)品”這一事件是乙在一天內(nèi)賣出一份產(chǎn)品后，甲賣出一份產(chǎn)品，所以由條件概率公式，可得【總結(jié)升華】這類條件概率的應(yīng)用問題，首先分清一前一后兩事件的發(fā)生，前面的事件對后面的事件的發(fā)生有沒有影響若沒有影響，就是無條件概率；若有影響，就是條件概率，然后根據(jù)相應(yīng)的公式計(jì)算即可。舉一反三：【變式】甲、乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲、乙兩地一年中雨天占的比例分別為20和18，兩地同時(shí)下雨的比例為12，問： （1）乙地為雨天時(shí)，甲

7、地也為雨天的概率為多少？ （2）甲地為雨天時(shí)，乙地也為雨天的概率為多少？【答案】設(shè)表示“甲地為雨天”，表示“乙地為雨天”，則根據(jù)題意有（）=，（）=，（）= （1）；（2）例2.盒中裝有5件產(chǎn)品，其中3件一等品，2件二等品，從中不放回地抽取產(chǎn)品，每次抽取1件。求：取兩次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題為古典概型，采用縮減樣本空間的辦法計(jì)算條件概率較簡便.【解析】記事件為“第二次取到一等品”，事件為“第一次取得二等品”，則“第二次取得一等品，第一次取得的是二等品”可表示為.把3件一等品編上序號(hào)1，2，3；把2件二等品編上序號(hào)甲，乙，于是事件A的所有結(jié)果，可用樹

8、狀圖直觀的表示：則，所以所以，第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率為.【總結(jié)升華】求條件概率的關(guān)鍵就是要抓住事件作為條件和事件與同時(shí)發(fā)生這兩件事，然后具體問題具體對待。舉一反三：【變式1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的所有可能結(jié)果為，記事件，則（ ）. . D.【答案】 方法一：根據(jù)條件概率的定義因?yàn)?，事件，所以，所以?方法二：利用縮減樣本空間計(jì)算：因?yàn)椋瑒t，所以，.【變式2】某學(xué)校一年級(jí)共有學(xué)生100名，其中男生60人，女生40人；來自北京的有20人，其中男生12人，若任選一人是女生，問該女生來自北京的概率是多少？【答案】依題意知，該校一年級(jí)男女學(xué)生情況如下表所示：來自北京非

9、北京人總數(shù)男生124860女生83240 由條件概率的定義可知，“該女生來自北京的概率”就是來自北京的女生占女生總?cè)藬?shù)的比例，為. 具體解析如下：用表示事件“任選一人是女生”，表示事件“任選一人來自北京”，則事件“任選一人是女生，該女生來自北京”用表示.則，所以，.【變式3】在10支鉛筆中，有8支正品，2支次品，若從中任取2支，則在第1次取到的是次品的條件下，第二次取到正品的概率是（ ）A B C D【答案】利用縮小樣本空間的方法求解。因?yàn)榈谝淮稳〉?支次品，還剩9支鉛筆，其中有8支正品，所以第二次取正品的概率是。類型二：獨(dú)立事件例3. 容器中盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球 （1）“從8個(gè)球中

10、任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”這兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立為什么 （2）“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“把取出的1個(gè)白球放回容器，再從容器中任意取出1個(gè)，取出的是黃球”這兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立為什么 【思路點(diǎn)撥】 從相互獨(dú)立事件的定義入手 【解析】 （1）“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件 （2）由于把取出的白球放回容器，故對“從中任

11、意取出1個(gè)，取出的是黃球”的概率沒有影響，所以二者是相互獨(dú)立事件 【總結(jié)升華】 判斷兩事件是否相互獨(dú)立的方法有： （1）通過計(jì)算（|）=（）可以判斷兩個(gè)事件相互獨(dú)立： （2）通過驗(yàn)證（）=（）（）也可以判斷兩個(gè)事件相互獨(dú)立舉一反三：【變式】判斷下列各對事件是互斥事件還是相互獨(dú)立事件 （1）運(yùn)動(dòng)員甲射擊1次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”； （2）甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊1次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”： （3）甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊1次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”； （4）甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)，但乙沒有射中目標(biāo)”【答案】（1）甲射擊1次

12、，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，二者是互斥事件（2）甲、乙各射擊1次，“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對“乙射中9環(huán)”的概率沒有影響，二者為相互獨(dú)立事件（3）甲、乙各射擊1次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”不可能同時(shí)發(fā)生，二者是互斥事件（4）甲、乙各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)，但乙沒有射中目標(biāo)”可能同時(shí)發(fā)生，二者構(gòu)不成互斥事件，但也不可能是相互獨(dú)立事件例4. 某商場推出二次開獎(jiǎng)活動(dòng)，凡購買一定價(jià)值的商品可以獲得一張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)券上有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)碼，可以分別參加兩次抽獎(jiǎng)方式相同的兌獎(jiǎng)活動(dòng)如果兩次兌獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)概率都是 ，求兩次抽獎(jiǎng)中以下事件的概率：（1）

13、都抽到某一指定號(hào)碼； （2）恰有一次抽到某一指定號(hào)碼；（3）至少有一次抽到某一指定號(hào)碼；（4）兩次都沒有抽中指定號(hào)碼【思路點(diǎn)撥】用、分別表示兩次抽中某一指定號(hào)碼，則事件、相互獨(dú)立.利用概率的加法公式和獨(dú)立事件解決問題.【解析】 記“第一次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件, “第二次抽獎(jiǎng)抽到某一指定號(hào)碼”為事件 ，則“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼”就是事件由于兩次抽獎(jiǎng)結(jié)果互不影響，因此與相互獨(dú)立 則.（1）“兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼”為事件，則,所以兩次抽獎(jiǎng)都抽到某一指定號(hào)碼的概率為.（2）設(shè)“兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼”為事件，則： =0. 05× ) + ) × = 0

14、. 095.所以，兩次抽獎(jiǎng)恰有一次抽到某一指定號(hào)碼的概率為.（3）設(shè)“兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼”為事件，則: = +0. 095 = 0. 097.所以，兩次抽獎(jiǎng)至少有一次抽到某一指定號(hào)碼的概率為.（4）設(shè)“兩次都沒有抽中指定號(hào)碼”為事件，則，所以，兩次都沒有抽中指定號(hào)碼的概率為.【總結(jié)升華】 審題應(yīng)注意關(guān)鍵的詞句，例如“恰好有一個(gè)發(fā)生”“至多（至少）有一個(gè)發(fā)生”“都（不）發(fā)生”等，應(yīng)學(xué)會(huì)在求復(fù)雜事件的概率時(shí)對事件等價(jià)拆分來求解舉一反三：【變式1】甲、乙各進(jìn)行一次射擊，若甲、乙擊中目標(biāo)的概率分別為、求下列事件的概率： （1）兩人都擊中目標(biāo)； （2）至少有一人擊中目標(biāo)； （3）恰有一人

15、擊中目標(biāo)【答案】記為“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”，為“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”，則與相互獨(dú)立.由已知，（）=，（）=，（1）兩人都擊中目標(biāo)的概率 （）=（）·（）=×=（2）至少有一人擊中目標(biāo)的概率 =×+×+×= （3）恰有一人擊中目標(biāo)的概率=×+×=【變式2】甲、乙兩個(gè)袋中均裝有紅、白兩種顏色的球，這些球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球。若分別從甲、乙兩袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，求取出的兩球都是紅球的概率?！敬鸢浮恳驈募状腥∫磺?yàn)榧t球的概率為，從乙袋中取一球?yàn)榧t球的概率為，故從兩袋中各

16、取一球，取出的都是紅球的概率為?！咀兪?】在某段時(shí)間內(nèi)，甲地下雨的概率為，乙地下雨的概率為，若在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否下雨之間沒有影響，則在這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩地都不下雨的概率為（ ） D【答案】D甲乙兩地不下雨的概率為：=(1×(1=.例5甲、乙、丙三位同學(xué)完成6道數(shù)學(xué)自測題，已知他們及格的概率依次為，。求（1）三人中有且只有兩人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率?！舅悸伏c(diǎn)撥】 三件（或三件以上）相互獨(dú)立的事同時(shí)發(fā)生，和兩個(gè)相互獨(dú)立的事同時(shí)發(fā)生是類似的，都用乘法公式?！窘馕觥吭O(shè)甲、乙、丙三位同學(xué)答題及格分別為事件，則事件，相互獨(dú)立。（1）三人中有且只有兩人及格的概率為；（2

17、）三人中至少有一人不及格的概率為?！究偨Y(jié)升華】明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義。在求事件的概率時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到求“至少”或“至多”等事件的概率問題，它們是諸多事件的和或積，可以從正面或?qū)α⒚娼鉀Q問題。如果從正面考慮這些問題，求解過程繁瑣，但“至少”或“至多”這些事件的對立事件卻相對簡單，其概率也易求出，此時(shí)，可逆向思維，運(yùn)用“正難則反”的原則求解。舉一反三：【變式1】某道路的、三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上行駛時(shí)，三處都不停車的概率是（ ）. . . D.

18、 【答案】在、三處不停車的概率分別為，故三處都不停車的概率是?！咀兪?】甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙射擊命中目標(biāo)的概率是，丙射擊命中目標(biāo)的概率是，若現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率是（ ） D【答案】設(shè)“甲射擊命中目標(biāo)”為事件，“乙射擊命中目標(biāo)”為事件，“丙射擊命中目標(biāo)”為事件。因擊中目標(biāo)表示事件，中至少有一個(gè)發(fā)生：目標(biāo)可能被一人、兩人或三人擊中。因目標(biāo)被擊中的事件的對立事件是目標(biāo)未被擊中，即三人都未擊中目標(biāo)，它可以表示為，而三人射擊結(jié)果是相互獨(dú)立的，故目標(biāo)被擊中的概率為，故目標(biāo)被擊中的概率?！咀兪?】設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響已知在某1 h內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為，甲、丙都需要照顧的概率為，乙、丙都需要照顧的概率為 （1）求甲、乙、丙在這1 h內(nèi)需要照顧的概率分別是多少； （2）計(jì)算這1 h內(nèi)至少有一臺(tái)機(jī)器需要照顧的概率【答案】記“機(jī)器甲需要照顧”為事件，“機(jī)器乙需要照顧”為事件，“機(jī)器丙需要照顧”為事件由題意，各臺(tái)