趣味數(shù)學與推理

1、目 錄總體規(guī)劃課程實施第一節(jié) 有趣的數(shù)學謎語第二節(jié) 3根指揮棒和12個直角第三節(jié) 數(shù)學中的簡單邏輯推理問題第四節(jié) 欺騙眼睛的幾何問題第五節(jié) 抽屜原理的簡單應用第六節(jié) 帕斯卡三角形與道路問題第七節(jié) 數(shù) 獨第八節(jié) 古代數(shù)學中的算法思想第九節(jié) 算法思想的應用第一部分 總體規(guī)劃為了切實提高高中學生的數(shù)學推理能力，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，落實普通高中數(shù)學新課程標準，發(fā)揮數(shù)學學科在培養(yǎng)學生動手動腦、自主創(chuàng)新、合作探究、提高邏輯思維能上的重要作用，以適應未來學習、生活和工作的需要，我們根據(jù)新課標中的總體設計，面向高中一、二年級的同學開設校本課程趣味數(shù)學與推理。趣味數(shù)學與推理選取不同題材的數(shù)學故事與實際問題，

2、使學生在自主閱讀的同時能夠提高興趣，積極思考，努力探索，找到解決問題的方案，同時提高學生的思維推理能力，在不知不覺中感受數(shù)學，融入數(shù)學。一、課程性質數(shù)學是最重要的學習工具，是各門功課的橋梁與基礎。趣味性與邏輯推理的統(tǒng)一是本課程的基本特點。趣味數(shù)學與推理一課，旨在通過對趣味數(shù)學故事的研讀與學習，培養(yǎng)與提高學生的基本推理能力，培養(yǎng)學生的應用能力和思維發(fā)散的意識，在數(shù)學的魅力中提高個人的數(shù)學素養(yǎng)，從而提高人生素養(yǎng)。課本選取的各類數(shù)學故事、數(shù)學背景都是非常經典的且具有比較高的欣賞學習價值，能夠提高學生分析問題和邏輯推理的能力。用數(shù)學氛圍去感染學生，用數(shù)學情趣去陶冶學生，用數(shù)學益智去激勵學生，進而把學生

3、一步一步領進數(shù)學的殿堂。二、課程理念1、本著以生為本、主動發(fā)展的原則選擇符合學生需要的知識內容編寫課本。2、本著以實際生活為本，以興趣、求知為基點，以能力提高為目標開展教學。3、本著學以致用、理論聯(lián)系實際、知識指導生活的原則推動每一位學生主動發(fā)展，自我提高。三、課程目標1、通過對課本的研讀，引導學生體會身邊的數(shù)學，感受數(shù)學無處不在的實用性和數(shù)學在邏輯推理中重要作用，切實轉變學生對數(shù)學原有的枯燥無味的看法，真正開始喜歡數(shù)學。2、學生在喜歡數(shù)學的基礎上，能夠發(fā)揮主觀能動性，積極主動地思考問題、探索問題、合作探究問題，以尋找解決問題的方法，并能開拓思維，提高思維創(chuàng)新能力。3、提升學生的思辨能力和邏輯

4、推理能力，能夠在平時的學習中加以充分應用，進行主動地、創(chuàng)造性地學習。第二部分 課程實施實施對象：高一、高二學生實施時間：校本選修課實施步驟：分四步：1）自行研讀，思考 2）合作探究、推理 3）老師指導、解答 4）創(chuàng)新運用、提高實施計劃：擬在高一和高二兩個年級實施，共需20課時。高一、高二年級每周1課時。課時安排：第一節(jié)：有趣的數(shù)學謎語，2課時第二節(jié)：3根指揮棒和12個直角，1課時第三節(jié)：數(shù)學中的簡單邏輯推理問題，2課時第四節(jié)：欺騙眼睛的幾何問題，1課時第五節(jié)：抽屜原理的簡單應用，2課時第六節(jié)：帕斯卡三角形與道路問題，2課時第七節(jié)：數(shù)獨，4課時第八節(jié)：古代數(shù)學中的算法思想，2課時第九節(jié)：算法思想

5、的應用，2課時考核：2課時評價與考核本課程采用考核與考試相結合的評價方式。數(shù)學小論文：由學生撰寫解決問題的數(shù)學小論文，以評價學生的思辨能力和表達能力。測試：結合課本中出現(xiàn)的推理問題及所學的相關推理知識，以試卷形式，考查學生的推理能力和解決問題的能力，以了解學生對該校本課程的掌握。第一節(jié) 有趣的數(shù)學謎語猜謎是一種非常有趣有益的智力活動，猜謎語也是鍛煉思維能力的一種好方法。聽了謎語以后，就會動腦筋想：這說的是什么東西呢？“思源于疑”，“疑”是思維的開始,是創(chuàng)造的基礎，大家覺得是不是呢？今天我們就來猜謎語！先看幾個簡單例子：1一加一不是二。（打一字）“一”字、加號“”、再來一個“一”字，組合在一起，

6、得到的字不是“二”，而是“王”。謎底是王。2一減一不是零。（打一字）“一”字、減號“-”、再來一個“一”字，組合在一起，得到的字不是“零”，而是“三”。謎底是三。3八分之七。（打一成語）“八分之七”用數(shù)學符號寫出來，把數(shù)字7寫在分數(shù)線上面，8寫在分數(shù)線下面，謎底是成語“七上八下”。在上面這些謎語里，用一些很簡單的數(shù)學知識，對謎語的文字作出新的理解，可以幫助猜出答案。另外一類謎語，謎底是數(shù)學名詞。還是來看幾個例子：4七六五四三二一。（打一數(shù)學名詞）平常報數(shù)目，是從小到大順著數(shù)，就像流行歌曲里唱的，“一二三四五六七，我的朋友在哪里”?，F(xiàn)在他說“七六五四三二一”，是從大到小，倒過來數(shù)了，所以謎底是“

7、倒數(shù)”。5討價還價。（打一數(shù)學名詞）買東西討價還價，要經過反復協(xié)商，才能達成雙方都同意的錢數(shù)。這種協(xié)商錢數(shù)的過程，可以戲稱為“商數(shù)”。謎底是商數(shù)。6你盼著我，我盼著你。（打一數(shù)學名詞）“你盼著我”，是你在等候我；“我盼著你”，是我在等候你。兩人互相等候，可謂“相等”。謎底是相等。7成績是多少？（打二數(shù)學名詞）學習成績是用得分的數(shù)目計算的。問“多少”，可以換一個說法，改問“幾何？”在中國古代數(shù)學書里，問一種物品有多少個，總是問“物有幾何？”直到現(xiàn)在，有些地區(qū)的方言里，買東西問價錢，還是說“幾何？”所以，問“成績多少”，等于是問“分數(shù)，幾何？”謎底是兩個數(shù)學名詞：分數(shù)、幾何。今天我們見到的謎語都與

8、數(shù)學有關，被我們稱為數(shù)學謎語，根據(jù)謎面和謎底的不同，數(shù)學謎語有不同的分類。同學們不妨一猜，可在緊張學習之余博得一樂，還可以提高學習數(shù)學的興趣。請同學們在說謎底的時候，將你的猜謎思路和過程有條理地向大家展示。一、以數(shù)學用語為謎底的謎語1. 五角一趟 2. 兩羊打架 3. 完全合算 4. 勤點鈔票5. 兩邊清點 6. 有情人終成眷屬 7. 合法開支 8. 打得鴛鴦各一方9. 垂釣 10. 馬術 11. 戽 12. 歲歲重陽今又重陽13. 追本溯源 14. 對癥下藥 15. 多十分 16. 集體釣魚17. 協(xié)議離婚 18. 打成和局 19. 團體賽 20. 刮胡子21. 摩拳擦掌 22. 誰押林沖去

9、滄州（打兩個數(shù)學用語）二、以數(shù)字為謎面的謎語23. 一（打一成語） 24. 十百千（打一成語）25. 一二三四五六七九十（打一字） 26. 壹貳叁肆伍陸柒捌玖（打一古書名）27. 三八二十四（打一體育用語） 28. 7×9（打一古軍事書名，卷簾格）三、以方程為謎面的謎語29. x=只-吾（打一工業(yè)用語） 30. x=旭÷3（打一化學用語）四、以數(shù)學家為謎底的謎語31. 東坡游春 32. 回眸一笑百媚生五、以數(shù)學科目為謎面的謎語33. 解析幾何（打一口頭用語）六、以運算符號為謎面的謎語34. +-×（打一成語）謎底：1.一元二次（推算法） 2.對頂角 3.絕對值 4

10、.常數(shù)（通假法） 5.分數(shù) 6.同心圓 7.有理數(shù) 8.公分母 9.等于（通假法） 10.乘法 11.內角（分解法） 12.循環(huán)節(jié) 13.求根 14.開方 15.余角（換算、通假） 16.公垂線 17.約分 18.平角 19.公共角 20.平角（詞性通假） 21.等角22.兩個解、差（問答法。答曰：兩個解差，分開即是） 23.大有人在 24.萬無一失（別解為沒有“一”和“萬”） 25.口（謎面意為“只”少“八”） 26.拾遺記（意為忘記寫“拾”） 27.女子雙打（雙打即兩打，二十四） 28.三十六計（7×9計六十三，反序讀之即得） 29.成品（八口減五口為三口，三口即成“品”字） 3

11、0.結晶（九日除以3得3日，結合為“晶”） 31.蘇步青 32.楊樂 33.十八斤（謎面別解為把“析”分解開是多少？） 34.支離破碎（把支分解開即為“+、-、×”） 你能總結出猜數(shù)學謎語的基本方法嗎？【猜一猜，練一練】第一組：1.群策群力 2.裁判職責 3.批準法規(guī) 4.彈簧彈性5.人人富裕 6.啦叭套子 7.主動爭取 8.聽候下令9.財政赤字 10.偽造賬目 11.追問到底 12.準備參賽13.交換賽場 14.熱身賽 15.團體賽 16.互相呼喊17.中秋明月 18.平原鐵道 19.貨真價實 20.提弦調音謎底：1.公理 2.定理 3.定律 4.有限5.無窮 6.大于號 7.不等

12、號 8.等號9.負數(shù) 10.無理數(shù) 11.求根 12.等比13.更比 14.相似 15.合比 16.對稱17.圓 18.直徑 19.絕對值 20.正弦第二組：1.斷紗接頭 （打一數(shù)學名詞）2.抬頭望月 正好初八 （打一三角函數(shù)名）3.一筆債務 （打一數(shù)學名詞）4.兩牛打架 （打一數(shù)學名詞）5.大甩賣 （打一數(shù)學名同）6.再見吧媽媽 （打一數(shù)學名詞）7.醫(yī)生提筆 （打一數(shù)學名詞）8.99 （打一成語）9.110 （打一成語）10.103與1002 （打一成語）11.大同小異 （打一數(shù)學名詞）12.并駕齊驅 （打一數(shù)學名詞）13.周而復始 （打一數(shù)學名詞）14.考試不作弊 （打一數(shù)學名詞）15.夏

13、周之間 （打一數(shù)學名詞）16.捷道 （打一數(shù)學名詞）17.算盤珠 （打一數(shù)學名詞）18.聯(lián)合國憲章 （打一數(shù)學名詞）19.歲歲重陽，今又重陽 （打一數(shù)學名詞）謎底：1.延長線；2.正弦；3.負數(shù)；4.對頂角；5.絕對值；6.分子分母；7.開方；8.百無一是；9.一成不變； 10.千變萬化；11.近似；12.平行；13.循環(huán)；14.真分數(shù)； 15.商； 16.直徑； 17.代數(shù)；18.最大公約數(shù)； 19.循環(huán)節(jié)?！緮?shù)學謎語集錦】（一）、打數(shù)學名詞方面的1.五四三二一； 2.缺了會計； 3.郵寄賬本； 4.信件統(tǒng)計； 5.替人查賬； 6.查賬； 7.開獎； 8.算術老師的教鞭； 9.一筆債務； 1

14、0.商店盤貨； 11.用； 12.同室操戈；13.團體賽； 14.兵對兵，將對將； 15.左右夾攻； 16.重判；17.輕判； 18.車站告示； 19.背著喇叭； 20.待命沖鋒；21.朱元璋登基； 22.婚姻法； 23.演員招考制度； 24.五角；25.員；26.刀口； 27.海峽兩岸盼統(tǒng)一； 28.有情人終成眷屬；29.馬路沒彎兒；30.兩個寨子隔條崗，南寨沒有北寨強；南寨好漢有五條，不及北寨人一雙。31.健全法制； 32.兒童儲蓄； 33.聚散無常； 34.千絲萬縷；35.身高； 36.會談； 37.欲言又止； 38.保持距離，同時起飛；39.五角錢一趟； 40.浮萍； 41.互盼； 4

15、2.合家歡；43.恰如其分； 44.一望無際； 45.一模一樣； 46.哨聲響了；47.減法沒算對； 48.垂釣； 49.走致富之路； 50.北；51.抬頭望月，正好初八； 52.二胡調音； 53.時刻盼望上戰(zhàn)場（打數(shù)學二名詞）； 54.丞（打數(shù)學三名同）； 55.一個郵遞員掀起了信箱的蓋子，在清點有多少信件。你能根據(jù)這一情況猜出三個數(shù)學名詞嗎？（二）、打數(shù)學家名字方面的1.虎丘游春；2.博覽群書。（三）、打其它方面的1.八十五（打一影片名）； 2.三八二十四（打一體育名詞）；3.四加四（打一字）；4.+-×÷（打一政治名詞）； 5.圓規(guī)畫雞蛋（打一城市名稱）； 6.力（打

16、一珠算口訣）；7.千古興亡多少事（打三學科名稱）；8.向陽村和青松村比賽籃球。向陽隊是東方鄉(xiāng)的冠軍，而青松隊是長豐鄉(xiāng)的冠軍，這場兩個冠軍隊的比賽打得非常激烈、精彩，每球必爭，比分不相上下，直到最后一分鐘，向陽隊罰進一球才分出勝負。當有人問起勝負情況和比分時，向陽隊的球員說，這次比賽是“白”字比“雜”字，我們只贏了一分。你知道兩個隊各得幾分？謎底：（一）、1.倒數(shù)：2.無理數(shù)；3.函數(shù)；4.函數(shù)；5.代數(shù)；6.對數(shù)；7.對數(shù)；8.指數(shù)：9.負數(shù)；10.復數(shù)； 11.半角； 12. 內角； 13.公共角；14.同位角；15.兩面角；16.加法（謎面意即“加罰”，“罰”與“法”諧音）；17.減法；1

17、8.乘法（乘車方法，取乘法）；19.負號；20.等號；21.消元；22.結合律；23.優(yōu)選法；24.半圓；25.圓心；26.切點；27.同心圓；28.同心圓；29.直徑；30.算盤；31.圓規(guī)；32.微積分；33.不定積分；34.繁分式；35.立體幾何；36.集合論；37.控制論；38.平行；39.一元二次；40.不定根；41.相等；42.共圓；43.精確值；44.無窮大；45.全等；46.集合；47.誤差；48.等于（“于”與“魚”諧音）；49.趨向無窮；50.反比（反扣法，“北”反為“比”）；51.正弦（假借法，因為初八月亮是上弦，“上”含“正”，故為“正弦”）；52.正弦；53.等角、正

18、切；54.大于、小于、分子（用增損法猜測）；55.開立方、函數(shù)、幾何。（二）、1.蘇步青；2.張廣厚。（三）、1.月到中秋；2.女子雙打（“三八”扣“女子”，“二十四”扣“雙打”，因為十二為一打）；3.積（“四加四”和是八，再由“和八”拼成“積”字）；4.分裂主義；5.太原（“原”與“圓”諧音）；6.二一添作五；7.歷史、代數(shù)、幾何；9.九十九比九十八（“白”是“百”減“一”：“雜”是“九”、“十”、“八”的組合）。注：1、不同的謎面有時有相同的謎底；2、同一個謎面它的謎底有時是由幾部分組成的，且這幾部分都是并列的，必須都猜出來才算全對；3、第五十五個謎語屬啞謎，最后一個謎語屬故事謎。猜數(shù)學謎

19、語可鍛煉思維能力，提高學習數(shù)學的興趣。在猜謎的過程中，有時需要一步步地深入，前面猜測的結果可能成為下一步的前提。因此，算法思想始終滲透在數(shù)學謎語中，條理清晰，理由充分，推理正確，才能一步步地貼近謎面。同時，請學生表述答案的過程是提高表達能力的過程。第二節(jié) 3根指揮棒和12個直角英國發(fā)明家瓦特（17361819）獲得了蒸汽機專利后，從一個大學實驗員一躍成為波士頓瓦特公司的老板，還成為英國皇家學會的會員，引起了許多舊貴族的不滿。據(jù)說，在一次皇家音樂會上，有個貴族故意嘲諷地對瓦特說：“樂隊指揮手里拿的東西在物理學家眼里僅僅是根棒子而已?！蓖咛鼗卮鸬溃骸笆堑?，那的確是根棒子但是我可以用這樣3根棒子組成

20、12個直角，而你卻不能做到。”那個貴族不服氣地用3根指揮棒在桌上擺來擺去，可始終無法擺出12個直角。 你能拼出12個直角嗎？試試看！下面我們一起來討論一下：如果把圖1中最下面的一根指揮棒向左平移，就擺成了6個直角（見圖2）。如果把圖2中最下面的指揮棒往上平移，就可以擺出8個直角（見圖3）。這時候，我們會發(fā)現(xiàn)，在桌面無論怎樣擺法，直角數(shù)都不會超過8個。于是，我們可以得出結論：在桌面上，無法用3根指揮棒拼出12個直角。圖1 圖2 圖3 但是，瓦特并沒有說“我能在桌面上拼出12個直角！”因此，我們應該離開桌面來討論這個問題。我們重新來考慮一下：如果把2根指揮棒十字交叉地放在桌面上

21、，另一根指揮棒的一端擺在前2根指揮棒的交叉處并使這根棒與桌面垂直（如圖4），這時拼出的直角也是8個。如果把擺在桌面上的兩根指揮棒離開桌面，緊挨著與桌面垂直的小棒向上方平移（如圖5）。那么，這時我們會發(fā)現(xiàn)，12個直角出現(xiàn)了。 圖4 圖5一位心理學家曾經出過這樣一個測驗題:在一塊土地上種植四棵樹,使得每兩棵樹之間的距離都相等.受試的學生在紙上畫了一個又一個的幾何圖形:正方形、菱形、梯形、平行四邊形然而，無論什么四邊形都不行。這時，心理學家公布出了答案，其中一棵樹可以種在山頂上！這樣，只要其余三棵樹與之構成正四面體的話，就能符合題意要求了。這些受試的學生考慮了那樣長的時間卻找不到答案，原因在于他們沒

22、有學會使用一種創(chuàng)造性的方法立體思維法。人們進行思維活動時總會受過去的生活經驗和已有思維方法的影響。對于這些受試者來說，平面幾何是他們比較熟悉的知識。于是，當他們碰到幾何問題的時候，也往往先從平面幾何而不是立體幾何的角度來進行思考。這時，為他們所牢固掌握的平面幾何也就成了他們思考問題的框框，于是也就想不出正確的結果來。立體思維要求人們跳出點、線、面的限制，有意識地從上下左右、四面八方各個方向去考慮問題，也就是要“立起來思考”。其實，有不少東西都是躍出平面，伸向空間的結果。小到彈簧、發(fā)條，大到奔馳長嘯的列車，聳入云天的摩天大廈最典型的要數(shù)電子王國中的“格里佛小人”集成電路了。在電子線路板上也制造出

23、立體形的，它不僅在上下兩面有導電層，而且在線路板的中間設有許多導電層，從而大大節(jié)約了原材料，提高了效率。從大的來說有立體網(wǎng)箱養(yǎng)魚技術、大型立交橋等。杭州市青少年業(yè)余發(fā)明學校的學生利用立體思維發(fā)明了立體文具盒、立體工具箱、立體報刊架等，收到了明顯的效果?？茖W家在研制飛機、導彈和衛(wèi)星時需要運用非常復雜的電于設備，裝配這些設備往往需要幾十萬甚至幾百萬個晶體管、電阻、電容等電子元件，這樣的設備體積十分龐大，攜帶和使用也不方便。后來，他們將各種電子元件由平面式的接線方式改為立體式的連接，充分利用真空擴散、表面處理等方法，制成了平面型的晶體管、電阻、電容。這些很薄很薄的元件通過層層重疊的方式組裝起來，就構

24、成了微型組合電路，再在一個單晶硅片上做成集成電路。這樣，一個5平方毫米的硅片上可集成27000個元件。正是由于有了這種集成電路才有了電子手表、電子計算器等袖珍電子產品。課后，請同學們思考這樣一個問題：我們知道，以3根火柴為邊可以組成一個三角形。那么，用6根火柴能組成4個三角形嗎？第三節(jié) 數(shù)學中的簡單邏輯推理問題一、“被墨水蓋住”的算式如果要想具備福爾摩斯那樣神奇的破譯密碼的本領，不但應具有非凡的推理能力，還要懂得大量的其他知識。然而，只要你有心，也可以破譯一些簡單的密碼。 現(xiàn)在我們來看一個例子：據(jù)傳說，英國物理學家牛頓（16421727）小的時候，學習成績幾乎在學校是倒數(shù)第一。后來他下決心改變

25、這一令人沮喪的狀況。有一次，他把自己的作業(yè)做得干凈整齊，沒有任何錯誤，但正當他把筆和本子收起來時，糟糕的事情發(fā)生了：墨水灑了，正好在他的一道算術題上留下了一塊墨跡。下圖顯示了這個令人不快的結果。式中只剩下了3個數(shù)字較為清晰。小牛頓盡了一切努力，最后終于記起來整道題湊巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10個數(shù)字，一樣一個。如果這是一種從0到9這10個數(shù)字編制的密碼，你能破譯出被墨水蓋住的都是哪些數(shù)字嗎？由于被墨水蓋住的是10個數(shù)字，所以原式應為：2 8 ？+？4？ 我們可以把這個算式寫成：28A+CB4GFED其中每個英文字母分別表示數(shù)字0、1、3、5、6、7、9中的某一

26、個。我們先考慮千位上的G。兩個三位數(shù)相加，和是四位數(shù)，由于兩個百位上的數(shù)相加，和最多向千位進1，所以，G只能是1，這時，算式就成了：28A+CB41FED 再看百位上的C和F。如果要保證向千位進1，C不能小于7，即C只可能是7或9中的一個。設C=9，那么如果十位不進位到百位，F(xiàn)=1；如果十位進位到百位，F(xiàn)=2。這都和已知的數(shù)字重復。所以C9。所以C=7，F(xiàn)=0。即28A+7B410ED這時，B可能是3、5、6、7中的某一個。如果B=3，那么應有E=1或2，但這不可能；如果B=5，那么E=3，但6+49，9+46；如果B=6，那么E=5，這時令A=9，則有D=3。整理出來就是：A=9，

27、B=6，C=7，D=3，E=5，F(xiàn)=0，G=1。于是，小牛頓的算式應為：289+7641053二、問路問題有這樣一個故事：在太平洋中有AB兩個相鄰的小島。A島居民都是誠實的人，B島的居民都是騙子。當你問一個問題時，A島的居民會告訴你正確的答案，而B島的居民給你的答案都是錯誤的。一天，一個旅游者獨自登上了兩島中的某個島。他分辨不清這個島是A島還是B島，只知道這個島上的人既有本島的居民又有另一島的來客。他想問島上的人“這是A島還是B島？”卻又無法判斷被問者的答案是否正確。旅游者動腦筋想了會一兒，終于想出一個辦法，他只需要問他所遇到的任意一人一句話，就能從對方的回答中準確無誤地斷定這里是哪個島。你能

28、猜出旅游者所問的問題嗎？如果旅游者直接問“這是A島還是B島？”那么當被問者是A島人時，他會得到正確的回答；當被問者是B島人時，他會得到錯誤的回答。兩種回答截然相反，而旅游者又無法知道他得到的答案對不對，因此這樣問話達不到問路的目的。聰明的旅游者的問話是，“你是這個島的居民嗎？”如果對方回答“是”，那么這個島一定是A島；如果對方回答“不是”，那么這個島一定是B島。你能說出這是為什么嗎？下面我們就對上面的問題進行分析：我們知道，旅游者提出問題時并不知道提問地是何島，也不知道被問者是何島居民。他要從所聽到的第一句回答來判斷問話地是何島。因此，所提問題的答案必須是因提問地而異，而不由被問者是A島居民或

29、是B島居民發(fā)生變化。根據(jù)上述特點，我們設法找到這樣的問題：1、使得在A島提問時，被問者（不論是何島居民）都回答同樣的一種答案；2、在B島提問時，被問者都回答另一種答案。于是，我們就可以根據(jù)任一人的回答來判斷提問地為何島了。顯然，這樣的問題必須與提問地相關，并且還要與被問者有關，如果在A島提出這樣的問題時，A島居民應作肯定回答（B島居民也會作肯定回答，但這種回答與客觀實際相反），那么在B島提出同一問題時，A島居民應作否定回答（B島居民也會做否定回答，但回答與實際情況相反）?！澳闶沁@個島的居民嗎？”這一問題就是一個滿足以上要求的問題，我們通過下表表示在不同的提問地的不同的被問者對問題的相應回答。問

30、題：你是這個島的居民嗎？問話地被問者A島居民B島居民A島回答是是B島不是不是由上表可以一目了然地發(fā)現(xiàn)：在A島提問時，回答總為“是”；在B島提問時，回答總為“不是”。這就為旅游者判斷提問地是哪個島提供了依據(jù)，于是“問路問題”得以解決。請想一想，如果旅游者的問題為“你是相鄰的另一島上的居民嗎？”，那么能根據(jù)任一人的回答來判斷提問地是何島嗎？為什么？試通過列表的方式說明理由。數(shù)學中有個分支叫做數(shù)理邏輯，它通過數(shù)學方法來研究邏輯規(guī)律。在數(shù)理邏輯中，列表法是一種基本的研究方法，只是其中表的形式與本文中的表有許多不同，使用了一些有關命題、真值的抽象符號，但其基本思想與我們用表討論問題的思想是大體一致的，都

31、是通過列表來分析和說明問題。數(shù)學是以邏輯推理為重要研究方法的學科。所謂邏輯推理，就是合乎事理的、有根有據(jù)的推導判斷。上面的兩個問題正是運用到邏輯推理的問題，同學們應在數(shù)學學習中注意提高自己的邏輯推理能力，使自己勤于思考并且善于思考，成為聰明人。第四節(jié) 欺騙眼睛的幾何問題生活中我們常常相信親眼所見，但又常常為自己的眼睛所騙，魔術就是一個很好的例子。數(shù)學中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數(shù)學魔術，我們先看一個問題：問題1：在下面的兩個圖形中，如果將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開來重新拼接成圖2，我們會發(fā)現(xiàn)，與圖1相比，圖2多出了一個洞！這怎么可能呢？我們自然會提出這樣的疑問。奧妙何在我們姑且按下不表，讓同

32、學們先動動腦子！上面的題目有些復雜，下面我們來看一個簡單一些的問題。問題2：將圖3中面積為13×13=169的正方形裁剪成圖中標出的四塊幾何圖形，然后重新拼接成圖4，計算可知長方形的面積為8×21168，比正方形少了一個單位的面積，非常不可思議，這是為什么呢？這兩個問題是這樣的令人驚奇和難以理解，值得我們花費一些時間動手按照所說的剪裁方法做一做。我們先來分析一下問題2：我們在白紙上將正方形量好畫出，剪成四塊，重新安排后拼成長方形，除非圖形做得很大并且作圖和剪裁都十分精確，我們一般是不會發(fā)現(xiàn)拼接成的長方形在對角線附近發(fā)生了微小的重疊，正是沿對角線的微小重疊導致了一個單位面積的

33、丟失。要證實這一點我們只要計算一下長方形對角線的斜率和正方形拼接各片相應邊的斜率，比較一下就會清楚了。問題2中涉及到四個數(shù)據(jù)5、8、13和21，有一定數(shù)學基礎的同學會認出這是著名的斐波那契數(shù)列中的四項，斐波那契數(shù)列的特征是它的每一項都是前兩項之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，。我們還可以使用這個數(shù)列中的其他相鄰四項來試驗這個過程，無論選取哪四項，都可以發(fā)現(xiàn)正方形和長方形的面積是不會相等的，有時正方形的面積比長方形多一個單位面積，有時則正好相反。多做幾次上述實驗，我們就會得出斐波那契數(shù)列的一個重要性質：這個數(shù)列任意一項的平方等于它前后相鄰兩項之積加1或減1。用公式表示就是：。其中表

34、示正方形的面積，表示長方形的面積。知道了這個事實，我們就可以自己構造類似于問題2的幾何趣題。上面的這個斐波那契數(shù)列是以1，1兩數(shù)開始的，廣義的斐波那契數(shù)列可以從任意兩數(shù)開始。比如說，用廣義斐波那契數(shù)列2，2，4，6，10，16，做上述試驗，就會多得或丟失四個單位的面積。如果用a、b、c表示廣義斐波那契數(shù)列的相鄰三項，以x表示“得”或“失”的數(shù)字，則下列兩式成立： 。我們還可以來研究這樣一個有趣的問題：把正方形按上述方法剪成四塊，是否會拼接成一個與它面積相等的長方形？要回答這個問題，可以令方程組中的x等于零，再解之得唯一正解是：。其中恰是著名的黃金分割比，通常用 來表示，它是一個無理數(shù)，等于1.

35、618033。這就是說，唯一的每項平方等于前后相鄰兩項之積的斐波那契數(shù)列是：1，。要證明它的確是斐波那契數(shù)列，只要證明它等價于數(shù)列1，+1，2+1，3+2，就可以了。只有用這個數(shù)列相鄰項數(shù)表示的長度來分割正方形，才可以拼出面積不變的長方形。我們再回到問題1，題中涉及到的數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契數(shù)列的前七項，因此問題1實際上是問題2的一個復雜化版本，計算一下圖中兩個大小三角形斜邊的斜率，那么一開始的疑問已不講自明。             

36、0;    最后再給喜歡思考的同學提出一個與前兩個問題略有不同的問題 3，圖5這個正方形按圖中標出的數(shù)據(jù)分割成了五塊幾何圖形，剪開后重新拼接成圖6，奇怪，又多出了一個洞！這次斜線處并無疊合，少掉的一個單位面積哪里去了呢？這個問題最初是由美國魔術師保羅卡瑞提出的，雖然它曾經難倒了許多美國人，但相信它難不倒聰明的中國學生。為幫助大家思考，提示一下：不要忘了計算！最后送給大家一句華羅庚教授的話：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。第五節(jié) 抽屜原理的簡單應用 “任意367個人中，必有生日相同的人?！薄皬娜我?雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。”“從數(shù)1，2，1

37、0中任取6個數(shù)，其中至少有2個數(shù)為奇偶性不同?！贝蠹叶紩J為上面所述結論是正確的。這些結論是依據(jù)什么原理得出的呢？這個原理叫做抽屜原理。抽屜原理又稱鴿籠原理或狄利克雷原理，它是數(shù)學中證明存在性的一種特殊方法。它的內容可以用形象的語言表述為：“把m個東西任意分放進n個空抽屜里（m>n），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個東西?！迸e個最簡單的例子，把3個蘋果按任意的方式放入兩個抽屜中，那么一定有一個抽屜里放有兩個或兩個以上的蘋果。這是因為如果每一個抽屜里最多放有一個蘋果，那么兩個抽屜里最多只放有兩個蘋果。運用同樣的推理可以得到：原理1 把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個

38、或2個以上的物體。原理2 把多于mn個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m+1個或多于m+l個的物體。下面我們用抽屜原理來分析前面的例子：第一個結論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當于把367個東西放入366個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。在第二個結論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。例：利用上述原理證明：“任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?！狈治觯阂?/p>

39、為任一整數(shù)除以3時余數(shù)只有0、1、2三種可能，所以7個整數(shù)中至少有3個數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)。如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西?！背閷显淼膬热莺喢鳂闼?，易于接受，它在數(shù)學問題中有重要的作用。許多有關存在性的證明都可用它來解決。一、抽屜原理和六人集會問題1958年6/7月號的美國數(shù)學月刊上有這樣一道題目：“證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識。”這個問題可以用如下方法簡單明了地證出：在平面上用6個點A、B、C、D、E

40、、F分別代表參加集會的任意6個人。如果兩人以前彼此認識，那么就在代表他們的兩點間連成一條紅線；否則連一條藍線?？紤]A點與其余各點間的5條連線AB，AC，.，AF，它們的顏色不超過2種。根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設AB，AC，AD同為紅色。如果BC，BD，CD3條連線中有一條（不妨設為BC）也為紅色，那么三角形ABC即一個紅色三角形，A、B、C代表的3個人以前彼此相識：如果BC、BD、CD3條連線全為藍色，那么三角形BCD即一個藍色三角形，B、C、D代表的3個人以前彼此不相識。不論哪種情形發(fā)生，都符合問題的結論。圖1六人集會問題是組合數(shù)學中著名的拉姆塞定理的一個最簡單的特例，這

41、個簡單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結論。這些結論構成了組合數(shù)學中的重要內容-拉姆塞理論。從六人集會問題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應用。二、抽屜原理與“電腦算命”“電腦算命”看起來挺玄乎，只要你報出自己出生的年、月、日和性別，一按按鍵，屏幕上就會出現(xiàn)所謂性格、命運的句子，據(jù)說這就是你的“命”。其實這充其量不過是一種電腦游戲而已。我們用數(shù)學上的抽屜原理很容易說明它的荒謬。如果以70年計算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應為70×365×251100，我們把它作為“抽屜”數(shù)。我國現(xiàn)有人口11億，我們把它作為“物體”數(shù)。由于1.1×=21526&

42、#215;51100+21400，根據(jù)原理2，存在21526個以上的人，盡管他們的出身、經歷、天資、機遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！在我國古代，早就有人懂得用抽屜原理來揭露生辰八字之謬。如清代陳其元在庸閑齋筆記中就寫道：“余最不信星命推步之說，以為一時（注：指一個時辰，合兩小時）生一人，一日生十二人，以歲計之則有四千三百二十人，以一甲子（注：指六十年）計之，止有二十五萬九千二百人而已，今只以一大郡計，其戶口之數(shù)已不下數(shù)十萬人（如咸豐十年杭州府一城八十萬人），則舉天下之大，自王公大人以至小民，何啻億萬萬人，則生時同者必不少矣。其間王公大人始生之時，必有庶民同時而生者，

43、又何貴賤貧富之不同也？”在這里，一年按360日計算，一日又分為十二個時辰，得到的抽屜數(shù)為60×360×12259200。所謂“電腦算命”，不過是把人為編好的算命語句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據(jù)出生的年月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機械地到電腦的各個“柜子”里取出所謂命運的句子。這種在古代迷信的亡靈上罩上現(xiàn)代科學光環(huán)的勾當，是對科學的褻瀆。第六節(jié) 帕斯卡三角形與道路問題蘇珊很為難，她步行去學校，路上老是遇到斯廷基。斯廷基：“嘿嘿，蘇珊，我可以陪你一起走嗎？”蘇珊：“不！請走開?！碧K珊心想：我有辦法了，每天早上我走不同的路線去學校，這樣斯廷

44、基就不知道在哪兒找到我了。下面這張地圖表示蘇珊的住所和學校之間的所有街道，蘇珊去學校時，走路的方向總是朝南或朝東，她總共有多少條路線呢?蘇珊：“我真想知道有多少條路線可走，讓我想一想，要算出多少條路線看來并不簡單。嗯，啊哈！一點不難，簡單得很！”蘇珊想到了什么好主意呢？她的推理如下：蘇珊：“在我家這個角點上寫一個1，因為我只能從這一點出發(fā)，然后在與此相隔一個街區(qū)的兩個角點上各寫一個1，因為到那里只有一條途徑。現(xiàn)在，我在這個角點上寫上2，因為到達那里可以有兩條途徑。蘇珊發(fā)現(xiàn)2是1加1之和，她忽然領悟：若到某一個僅有一條途徑，則該角點上的數(shù)字為前一個角點上的數(shù)字；若有兩條途徑，則為前兩個角點上的數(shù)

45、字之和。蘇珊：“瞧，又有四個角點標上了數(shù)字，我馬上把其他角點也標上數(shù)字?！闭埬闾嫣K珊把剩下的角點標上數(shù)字，并且告訴她步行到學校共有多少條不同的路線。蘇珊的家H1112131 1？ ？ ？ 3  ？學校G剩下的5個點，自上而下，從左至右分別標以1，4，10，5，15。最后一點上的15表示蘇珊去學校共有十五條最短路徑。蘇珊所發(fā)現(xiàn)的是一種快速而簡單的算法，用來計算從她家到學校的最短路徑共有多少條。要是她把這些路徑一條一條地畫出來，然后再計數(shù)，這樣肯定麻煩，還容易出錯。如果街道的數(shù)目很多，那么這種方法根本就行不通。你不妨把這十五條路線都畫出來，這樣你就更能體會到

46、蘇珊的算法是多么地有效了。你對這種算法是否已經理解，可以再畫一些不同的街道網(wǎng)絡，然后用這種算法來確定從任意點A到另一任意點B的最短路線共有多少條。網(wǎng)絡可以是矩形網(wǎng)格，三角形網(wǎng)格，平行四邊形網(wǎng)格和蜂窩狀的正六邊形網(wǎng)格。也可以用其他方法(例如組合公式)求解，但這種方法十分復雜，需要很高的技巧。在國際象棋棋盤上，“車”從棋盤的一角到對角線上另一角的最短路徑共有多少條？就像蘇珊給街道交點標上數(shù)字一樣，把棋盤上所有格子也都填上數(shù)字，于是問題就迎刃而解了?！败嚒敝荒苎刂疑戏较虺硪粋€角的目標移動，便可以求出共有多少條最短路徑。如圖所示：1836120330792171634321728842104629

47、24171616215612625246279215153570126210330141020355684120136101521283612345678車1111111把整個棋盤正確標號，根據(jù)所標的數(shù)字，一眼就能看出在棋盤上從一個角出發(fā)到任意一角，有多少條最短路線.右上角的數(shù)字是3432，所以“車”從一角到對角線的另一角的最短路徑共有3432條。讓我們把棋盤沿著左上至右下的對角線一截為二，使其成為如下圖所示的陣列。此三角形上的數(shù)字與著名的帕斯卡三角形(我國叫做楊輝三角形)的數(shù)字是相同的，當然，計算街道路徑條數(shù)的算法，恰恰就是構造帕斯卡三角形所依據(jù)的過程。這種同構現(xiàn)象使得帕斯卡三角形成為無數(shù)有

48、趣特性的不竭的源泉。111121133114641利用帕斯卡三角形立即可以求出二項式展開的系數(shù)，即求(a+b)的任意次冪，同樣也可以用來解出初等概率論中的許多問題。請注意，上圖中自頂部至底部，從邊沿一格來說是1，隨著向中間移動，數(shù)字逐漸增加。也許你見過根據(jù)怕斯卡三角形所制成的一種裝置：在一快傾斜的板上，成百個小球滾過木釘進入各格的底部。全部小球呈現(xiàn)出一條鐘形的二項式分布曲線，因為到達每個底部孔位的最短路徑的條數(shù)就是二項式展開的系數(shù)。顯然，蘇珊的算法同樣適用于由矩陣格子組成的三維結構。設有一個邊長為3的立方體，分成27個立方體單元，把它看成棋盤，處于某一個角格上的“車”可以向三個坐標上的任何位置

49、作直線移動，試問“車”到空間對角線的另一個角格有多少條最短路徑？第七節(jié) 數(shù) 獨數(shù)獨是個數(shù)字解謎游戲，完全不必要用到算術，會用到的只是推理與邏輯，所以要玩報章、雜志上的數(shù)獨題目時，只要有一支筆就可以開始了！對于數(shù)獨游戲的解法，通常采用直觀法和候選數(shù)法。我們在這里主要介紹直觀法。直觀法，顧名思義，就是通過對謎題中現(xiàn)有的數(shù)字進行分析，繼而逐一確定剩余空格中的數(shù)字的方法。它是最常用并且相對簡單的方法，對于比較容易的謎題，可以快速求解并收到良好的效果。但是遇到比較復雜的題目，直觀法就稍顯力不從心了。經常在報章、雜志上看到的數(shù)獨謎題，一般就算再難都可以用直觀法來解決。你只要有相對銳利的眼光和一定的邏輯分析

50、能力，就可以準確地把空余的數(shù)字逐個填出來。實際上，直觀法就是對數(shù)獨游戲規(guī)則的充分利用。它不需要任何輔助工具，從接到數(shù)獨謎題的那一刻起就可以立即開始解題，絕不猜測。數(shù)獨直觀法解題技巧主要有：基礎摒除法、唯一解法、唯余解法、區(qū)塊摒除法、單元摒除法、余數(shù)測試法。 一、基礎摒除法：基礎摒除法就是利用的數(shù)字1 9在每一行、每一列、每一個九宮格都只能出現(xiàn)一次的規(guī)則進行解題的方法?；A摒除法可以分為行摒除、列摒除、九宮格摒除。實際尋找解的過程為：尋找行摒除解：找到了某數(shù)在某行可填入的位置只余一個的情形即找到了該數(shù)在該行中的填入位置；尋找列摒除解：找到了某數(shù)在某列可填入的位置只余一個的情形即找到了該數(shù)在該列中

51、的填入位置；尋找九宮格摒除解：找到了某數(shù)在某一個九宮格可填入的位置只余一個的情形即找到了該數(shù)在該九宮格中的填入位置。 利用基礎摒除法解題的過程就是依次從數(shù)字1 9 在行、列、九宮格尋找能放入該數(shù)唯一的一個位置，需要綜合用到行摒除、列摒除、九宮格摒除的方法。例如：利用基礎摒除法解決數(shù)獨問題。利用基礎摒除法確定題目如下：B2、C8、E7、F6、I5的數(shù)字嗎？題目如下：*29*8*5*58*7*1*9*3*78*6*3*94*5*1*7*968*35*分析：（見左圖）A9=9，則行其它格排除9G1=9，第1列排除數(shù)字9D3=9，第3列排除數(shù)字9由基礎摒除法，第A1所在的九宮格內9只有一個唯一的位置，

52、即確定B2=9。分析：（見左圖）A4=9，則4列其它格排除9G1=9，第G行排除數(shù)字9H9=9，第H行排除數(shù)字9由基礎摒除法，第G4所在的九宮格內9只有一個唯一的位置，即確定I5=9。分析：（見左圖）A4=9，則4列其它格排除9D3=9，第D行排除數(shù)字9I5=9，第5列排除數(shù)字9由基礎摒除法，第D4所在的九宮格內9只有一個唯一的位置，即確定F6=9。分析：（見左圖）A4=9，則A行其它格排除9B2=9，第B行排除數(shù)字9H9=9，第9列排除數(shù)字9由基礎摒除法，第A7所在的九宮格內9只有一個唯一的位置，即確定C8=9。分析：（見左圖） C8=9，則8列其它格排除9D3=9，第D行排除數(shù)字9F6=9，第F行排除數(shù)字9H9=9