微積分方法建模12傳染病模型數(shù)學(xué)建模案例分析

1、§12 傳染病模型 建立傳染病模型的目的是描述傳染過程、分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律、預(yù)報高潮期到來的時間等等。 為簡單起見假定，傳播期間內(nèi)所觀察地區(qū)人數(shù)不變，不計生死遷移，時間以天為計量單位。 模型（一）（SI模型）模型假設(shè)1、人群分為健康者和病人，在時刻這兩類人中所占比例分別為和，即。2、平均每個病人每天有效接觸人數(shù)是常數(shù)，即每個病人平均每天使個健康者受感染變?yōu)椴∪?，稱為日接觸率。模型建立與求解 據(jù)假設(shè)，在時刻，每個病人每天可使個健康者變成病人，病人數(shù)為，故每天共有個健康者被感染，即又由假設(shè)1和設(shè)時的比例，則得到模型 （1）（1）的解為 （2） 0 0 1模型解釋1、當(dāng)時，達最大值，

2、這個時刻為，即高潮到來時刻，越大，則越小。 2、當(dāng)時，這即所有的人都被感染，主要是由于沒有考慮病人可以治愈，只有健康者變成病人，病人不會再變成健康者的緣故。模型（二）（SIS模型）在模型（一）中補充假設(shè) 3、病人每天被治愈的占病人總數(shù)的比例為，稱為日治愈率。模型修正為 （時刻每天有病人轉(zhuǎn)變成健康者） （3）（3）的解為 （4）可以由（3）計算出使達最大的高潮期。（最大值在時達到）。記，可知 0 0 模型解釋 可知（刻畫出該地區(qū)醫(yī)療條件的衛(wèi)生水平）為一個閾值，當(dāng)時，當(dāng)時，增減性取決于的大小，但其極限，且愈大，它也愈大。模型（三）（SIR模型）模型假設(shè) 1、人群分為健康者，病人和移出者（病愈免疫者

3、），三類人在時刻在總?cè)藬?shù)中占比例分別為，即2、病人日接觸率為，日治愈率，傳染期間接觸數(shù)模型建立與求解隨變化規(guī)律仍同模型（二），對應(yīng)有 ，且于是得到模型 （5） 從（5）中消去，并注意到的意義，可得 （6）求出（6）的解為 （7）從（5）中無法得到和的解析解，轉(zhuǎn)到相平面上討論解的性質(zhì)。 1i1 O 1 可根據(jù)（5），（7）及上圖分析的變化情況： 1、無論如何，即病人終將消失。2、最終未被感染的健康者比例是方程 （8）在內(nèi)的單根。 3、若，則當(dāng)時，達到最大值，先增后減至0。 4、若，則。模型解釋 1、是一個閾值，當(dāng)時傳染病會蔓延，時就不會蔓延。 2、表明愈小，愈大，也愈小，從而愈有利。注：重要參數(shù)可由（8）中令（通常開始時很小）得到估計值（其中可由實驗得出估計）模型應(yīng)用 1、被傳染比例的估計由 由（8），當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變時，就不變，這個比例也不變。2、群體免疫和預(yù)防由于當(dāng)時不會蔓延，故降低也是種手段。由，于是可表示為，即通過群體免疫使初始時刻的移出者比例，就可制止