概率統(tǒng)計：第三章 二維隨機變量(第一,二節(jié))

1、 第三章 二維隨機變量 引入二維隨機變量目的、用處: 在第二章中,我們討論了用一個隨機變量描述試驗結(jié)果以及隨機變量的概率分布問題.但在實際和理論研究中,有許多隨機試驗,僅用一個隨機變量描述不夠用.需要引入二維、三維、維隨機變量描述其規(guī)律性.例如,對平面上的點目標(biāo)進(jìn)行射擊,彈著點的位置需要用橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)才能確定.由于和的取值都是隨著試驗結(jié)果而變化.因此和都是隨機變量, 彈著點的位置是.又如空中飛行的飛機(其重心)需要用三個隨機變量才能確定它的位置.等等.因此需要考慮多個隨機變量及其取值規(guī)律問題.定義:設(shè)試驗的樣本空間為,而是定義在上的隨機變量,把個隨機變量構(gòu)成的有序隨機變量組稱為維隨機變量(或

2、維隨機向量);對任意實數(shù)，函數(shù)稱為維隨機變量的分布函數(shù)或稱為個隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù).第一節(jié) 隨機向量與聯(lián)合分布一. 定義和基本性質(zhì)定義1 設(shè)試驗的樣本空間為,而是定義在上的兩個隨機變量.稱由這兩個隨機變量組成的向量為二維隨機變量或二維隨機向量.例如 擲兩顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).設(shè)為第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù), 為第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù),為定義在 上的兩個隨機變量, 為二維隨機變量,它描述了擲兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)情況.對任意實數(shù),隨機事件有概率. 定義2 設(shè)為二維隨機變量, 對任意實數(shù),二元函數(shù),稱為二維隨機變量的分布函數(shù), 或稱為隨機變量和的聯(lián)合分布函數(shù).記，則 分布函數(shù)的性質(zhì)：的定義域，；（1），且

3、 ， ；（2）對或?qū)握{(diào)不減，即 ，（由及概率的單調(diào)性）， ；（3）對或?qū)τ疫B續(xù)，即有 ， ；（4）對任意實數(shù)有 ，事實上 ， .可以證明:凡滿足上述性質(zhì)的二元函數(shù)必定是某個二維隨機變量的分布函數(shù).例1 設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為,(1) 確定常數(shù);(2) 求.解(1) 利用分布函數(shù)的性質(zhì), ,由的任意性得, , ,由的任意性得, 從而 ,;(2) . 例2設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為 ,(1) 確定常數(shù);(2) 求.解 (1) 利用分布函數(shù)的性質(zhì),由的任意性,得 ,所以 ;(2) . 二. 二維離散型隨機變量定義3 若二維隨機變量的所有取值為有限對或可列對,則稱是離散型隨機變量.記稱它為二維離

4、散型隨機變量的(概率)分布律,或稱為和的聯(lián)合(概率)分布律.分布律的表示法:(1)公式法,(2)列表法.例如 隨機變量的分布律為YX 12-110二維離散型隨機變量的(概率)分布律具有下列基本性質(zhì):(1) (2) .利用分布律可計算概率定理 設(shè)的分布律為則隨機點落在平面上任一區(qū)域內(nèi)的概率為,其中和式是對所有使的求和;特別有 . 例1 甲、乙兩盒內(nèi)均有3只晶體管,其中甲盒內(nèi)有1只正品,2只次品; 乙盒內(nèi)有2只正品,1只次品.第一次從甲盒內(nèi)隨機取出2只管子放入乙盒內(nèi); 第二次從乙盒內(nèi)隨機取出2只管子.以分別表示第一、二次取出的正品管子的數(shù)目.試求的分布律以及其中. 解 根據(jù)題意知,的可能取值為0,

5、1;的可能取值為0,1,2.因此, 的可能取值為(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2).是離散型隨機變量.表示從甲盒內(nèi)取出2只次品管子放入乙盒內(nèi),此時乙盒內(nèi)有2只正品,3只次品,利用乘法公式可得 ,表示從甲盒內(nèi)取出1只正品和1只次品管子放入乙盒內(nèi),此時乙盒內(nèi)有3只正品,2只次品,利用乘法公式可得 ,于是得的分布律為YX01 201 .例2 某射手在射擊中,每次擊中目標(biāo)的概率為,射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止,表示第一次擊中目標(biāo)時所進(jìn)行的射擊次數(shù), 表示第二次擊中目標(biāo)時所進(jìn)行的射擊次數(shù),試求二維隨機變量的分布律. 解 設(shè)第次射擊時擊中目標(biāo), 根據(jù)題意,且相互獨立,所

6、以的分布律為 , ; .例3 接連不斷地擲一顆勻稱的骰子,直到出現(xiàn)點數(shù)大于2為止, 以表示擲骰子的次數(shù).以表示最后一次擲出的點數(shù).求二維隨機變量的分布律.解 依題意知, 的可能取值為;的可能取值為3,4,5,6 設(shè)第次擲時出1點或2點,第次擲時出點,則,“擲骰子次,最后一次擲出點,前次擲出1點或2點” ,(各次擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)相互獨立)于是的分布律為 , ,.(例如 )三. 二維連續(xù)型隨機變量 定義4 設(shè)二維隨機變量的分布函數(shù)為,若有非負(fù)可積函數(shù),使得對任意實數(shù),恒有 ,則稱是二維連續(xù)型隨機變量,稱函數(shù)為連續(xù)型隨機變量的概率密度, 或稱為隨機變量和的聯(lián)合概率密度.的概率密度具有下列基本性質(zhì):

7、(1) , ;(2) . 反之,可以證明,若二元函數(shù)滿足上面兩條基本性質(zhì),那么它一定是某個二維隨機變量的概率密度. 顯然,如果概率密度在點處連續(xù),則有 .利用概率密度計算概率 定理 設(shè)的概率密度為,則有 (1),(2)設(shè)為平面上任一區(qū)域, .例3 設(shè)二維隨機變量具有概率密度 ,(1)確定常數(shù);(2)求分布函數(shù);(3)求解（1）由概率密度的性質(zhì) ，即得 ；（2） ，（A）當(dāng)時， ，（B）當(dāng)時 ，（C）當(dāng)或時，對有， 于是得所求分布函數(shù) ；（3）設(shè)， .四. 常用的二維連續(xù)型隨機變量有下面兩種:(1)均勻分布若隨機變量概率密度為 ,其中為有界區(qū)域的面積.則稱在區(qū)域上服從均勻分布.記為.(2)二維正態(tài)分布若隨機變量概率密度為 其中均為常數(shù),且,則稱隨機變量服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,記作 .上述五個參數(shù)的意義將在第五章中說明.第二節(jié) 邊沿分布函數(shù)(或邊緣分布函數(shù))概念:設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為,分量的分布函數(shù)記為,稱為關(guān)于的邊沿分布函數(shù); 分量的分布函數(shù)記為,稱為關(guān)于的邊沿分布函數(shù)