概率統(tǒng)計：第十三章馬氏鏈第二節(jié)(下)

1、 三.有限維概率分布 馬爾可夫鏈在初始時刻的概率分布, 稱為初始分布.初始分布與轉(zhuǎn)移概率完全地確定了馬爾可夫鏈的任何有限維分布.下面的定理二正是論述這一點.不妨設(shè)齊次馬爾可夫鏈的參數(shù)集和狀態(tài)空間都是非負整數(shù)集,那么有定理二 設(shè)齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間,則對任意個非負整數(shù)和內(nèi)的任意個狀態(tài),有, (13.9)證 由概率的乘法公式和馬爾可夫性 ,由全概率公式,上式等號右端第一因式化為 ,于是得到, 證畢 .例6 在本節(jié)例5中,設(shè)初始時輸入0和1的概率分別為和,求第2、3、6步都傳輸出1的概率.解 由題設(shè)知 , 由式(13.9) 馬爾可夫鏈在任何時刻的一維概率分布 ,又稱為絕對概率,或稱為瞬時概率.由

2、全概率公式得 , 如果馬爾可夫鏈具有齊次性,那么上式化為, (13.10)由式(13.10)遞推得到, (13.11)式中是初始時刻.式(13.11)表明:齊次馬爾可夫鏈在時刻的瞬時概率完全地由初始分布和步轉(zhuǎn)移概率所確定.將公式(13.11)寫成向量形式得,步轉(zhuǎn)移概率矩陣.例7 本節(jié)例2中,設(shè)質(zhì)點在初始時刻恰處在狀態(tài)2,試求在時刻,質(zhì)點處在各個狀態(tài)的概率.解 由本節(jié)例2中的轉(zhuǎn)移概率矩陣,求得二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為= 按題意有,由公式(13.11)得,.方法二 按題意有 =(0,0,1,0,0), 二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為= =(0,0,1,0,0) =.四.平穩(wěn)分布 如果一維分布與無關(guān),那么式(13.1

3、0)化為式(13.12),于是有定義4 對于齊次馬爾可夫鏈,一步轉(zhuǎn)移概率矩陣,如果存在概率分布(即, ),滿足 ， (13.12)則稱為平穩(wěn)分布,稱具有平穩(wěn)性,是平穩(wěn)齊次馬爾可夫鏈.改寫成向量:平穩(wěn)分布律要滿足=,即 , , . 顯然有=. 定理 如果齊次馬爾可夫鏈的初始分布 ,是一個平穩(wěn)分布,則 , .證明 由(13.11)式和平穩(wěn)分布的性質(zhì),得=,證畢例 設(shè)齊次馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為,且初始概率分布為 。(1) 求;(2) 求;（3）求平穩(wěn)分布.解 (1) ;(2) ; (3) 平穩(wěn)分布滿足方程組，, , 解之得 ；故平穩(wěn)分布為 。例8 帶一個反射壁的一維隨機游動,以表示在時刻粒子處于狀態(tài),狀態(tài)空間,轉(zhuǎn)移概率 , , ( ), , ( ),求平穩(wěn)分布解 根據(jù)題設(shè)條件，知轉(zhuǎn)移概率矩陣平穩(wěn)分布應(yīng)滿足 ,即應(yīng)滿足 ,由(1)得 ,由(2)得 , ,