概率統(tǒng)計(jì)：第二章 隨機(jī)變量及其分布(第四節(jié))

1、第二章 隨機(jī)變量及其分布第四節(jié) 常用離散型隨機(jī)變量的分布律一、兩點(diǎn)分布 定義 若隨機(jī)變量的分布律為 ,則稱服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布,或稱(01)分布.兩點(diǎn)分布描述的隨機(jī)試驗(yàn)的例子:一般來說,凡是只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),都可用服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量來描述.例如,賭博中的輸和贏;抽簽的中和不中;設(shè)備質(zhì)量的好和壞;輿論調(diào)查的贊成和反對(duì)等都可以看作(0-1)分布.服從(0-1)分布的試驗(yàn)叫做貝努利試驗(yàn)。二、泊松分布定義 若隨機(jī)變量的分布律為， ,其中,則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記作. (用到) 泊松分布的實(shí)例:泊松分布也是一種很有用的數(shù)學(xué)模型,在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用.例如,在一段時(shí)間內(nèi),某電話交換臺(tái)接

2、到的呼叫次數(shù);到達(dá)某機(jī)場的飛機(jī)數(shù);紡織廠生產(chǎn)的布匹上疵點(diǎn)的個(gè)數(shù);一批牧草種子中雜草種子的個(gè)數(shù);晴朗的夜晚,觀察某片天空出現(xiàn)的流星個(gè)數(shù)等等,這些隨機(jī)變量都可以認(rèn)為是服從泊松分布的.三、超幾何分布設(shè)一批產(chǎn)品中有件正品,件次品.從中任意取件,則取到的次品數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它的概率分布為, ,這個(gè)分布稱為超幾何分布. 一般地, 若隨機(jī)變量的分布律為, ,則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布. 超幾何分布在產(chǎn)品的質(zhì)量檢查與控制中有它的應(yīng)用.四、二項(xiàng)分布 二項(xiàng)分布來源于重貝努里(Bernoulli)試驗(yàn),為此,先介紹重貝努里試驗(yàn).(1) 次相互獨(dú)立的試驗(yàn):把某種試驗(yàn)重復(fù)做次.如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率不依賴于

3、其它各次試驗(yàn)的結(jié)果,則稱這試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.例如,有放回抽樣次,一枚勻稱的硬幣連續(xù)投擲次; 一顆勻稱的骰子連續(xù)投擲次等等,都可以作為次相互獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn).(2) 重貝努里試驗(yàn):設(shè)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果:和.出現(xiàn)的概率記為,出現(xiàn)的概率記為.將試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)做次,則稱這一串獨(dú)立地重復(fù)試驗(yàn)為重貝努里試驗(yàn).貝努里試驗(yàn)是一種非常重要的數(shù)學(xué)模型，不但理論上有重要意義，而且在實(shí)際中有廣泛應(yīng)用。如產(chǎn)品的質(zhì)量檢查，“有放回”抽樣是貝努里試驗(yàn).對(duì)無放回抽樣，當(dāng)整批產(chǎn)品的數(shù)量相對(duì)于抽樣個(gè)數(shù)很大時(shí)，也可以近似當(dāng)作貝努里試驗(yàn)。又如一射手射擊目標(biāo)次；觀察某單位的個(gè)同型設(shè)備在同一時(shí)刻是否正常工作等等，都可近似看作重貝努里試驗(yàn)

4、。（3）分布律 設(shè)重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)為.易知為隨機(jī)變量,它的所有可能取值為. 事件“事件在重貝努里試驗(yàn)中恰好發(fā)生了次”.也就是發(fā)生了次而發(fā)生了次. 令“第次試驗(yàn)時(shí)發(fā)生”, .則相互獨(dú)立.,; ,;, (2.6)顯然,; , 即式(2.6)滿足概率分布的基本性質(zhì).所以式(2.6)是隨機(jī)變量的概率分布. 隨機(jī)變量的分布律為,. 名稱來源:由于恰是二項(xiàng)式的展開式中的一般項(xiàng),所以稱概率分布,為二項(xiàng)分布.(4)二項(xiàng)分布的定義如果隨機(jī)變量的概率分布律為,則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布,記作. (5) 二項(xiàng)分布應(yīng)用舉例例1 某射手射擊一目標(biāo),設(shè)他每次命中目標(biāo)的概率均為.現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊5次，求：（1） 目標(biāo)

5、恰好被擊中3次的概率； （2）目標(biāo)被擊中的概率. 解 把射擊目標(biāo)一次看作一次試驗(yàn),令“擊中目標(biāo)” ,由題設(shè),對(duì)目標(biāo)射擊5次可以看作5重貝努里試驗(yàn). 記為5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù),則.于是 (1) 目標(biāo)恰好被擊中3次, ; (2) 目標(biāo)被擊中, . 例 袋中有10件產(chǎn)品,其中6件一級(jí)品,4件二級(jí)次品,作有放回抽取5次,每次取一件,求:(1)恰取到2件一級(jí)品的概率;(2)至少取到4件一級(jí)品的概率. 解 設(shè)取到一級(jí)品,記為5次抽取中取到一級(jí)品的次數(shù),則.于是 (1) 恰取到2件一級(jí)品, ; (2) 至少取到4件一級(jí)品, .例2 設(shè)一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率(如果是很小的正數(shù),則稱為小概率事件),把試驗(yàn)

6、獨(dú)立地重復(fù)做次,求事件至少發(fā)生一次的概率. 解 記為次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù),由題設(shè)知. 令事件至少發(fā)生一次,.易知,當(dāng)時(shí),.這說明,當(dāng)充分大時(shí),事件遲早要發(fā)生.從而得出一個(gè)重要結(jié)論:“小概率事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中是遲早要發(fā)生的”.因此,在試驗(yàn)次數(shù)很大的情況下,小概率事件是不容忽視的.這個(gè)結(jié)論在實(shí)際中很有用. (概率論中的這一個(gè)結(jié)論告訴人們,不能忽視小概率事件,一個(gè)看來可能性很小的事件,在大量重復(fù)之下,可能性就會(huì)很大.例如,在山林里丟一顆煙頭,引起火災(zāi)是小概率事件,但如果很多人都那么做,則“遲早會(huì)引起火災(zāi)”,這是人人都明白的常識(shí),所以大家在旅游點(diǎn)看到“嚴(yán)禁煙火”.中國的樸素哲學(xué)有幾條:“惡有惡報(bào),

7、善有善報(bào),不是不報(bào)時(shí)侯沒到,時(shí)侯一到一定要報(bào)”,“常在河邊走，那能不濕鞋” ，“多行不義必自斃”，“逃過初一，躲不過十五”，“智者千慮，終有一失”，“愚者百思，終有一得”等等,這些是深入人心的信念,大家還可舉例說明.本題的結(jié)果從數(shù)學(xué)理論上對(duì)上述現(xiàn)象給了定性的證明。) 五、二項(xiàng)分布的近似計(jì)算和泊松分布查表當(dāng)二項(xiàng)分布的很大，很小的時(shí)候，概率分布非常接近泊松分布的概率分布，下面將說明這一點(diǎn)。將代入二項(xiàng)分布的，那么有 這里在保持和不變的情形下,令 ,則有, ,所以 ,(,)特別地，當(dāng)很大,比較小(一般時(shí)，有近似公式：其中. 泊松分布查表:設(shè) , ,(算的是余項(xiàng)).(這里為正整數(shù))P359,附表一的構(gòu)造

8、及查法請(qǐng)同學(xué)們自學(xué)一下.例3 某保險(xiǎn)公司有5000個(gè)同年齡的人參加人壽保險(xiǎn).規(guī)定:參加保險(xiǎn)者在一年的第一天交付100元保險(xiǎn)金.若在一年內(nèi)被保險(xiǎn)者死亡,其家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取3萬元賠償費(fèi).設(shè)在一年里被保險(xiǎn)者的死亡率為 1.2.試求該保險(xiǎn)公司在這一年中至少盈利20萬元的概率. 解 記為5000個(gè)被保險(xiǎn)者在一年內(nèi)死亡的人數(shù),則, ,保險(xiǎn)公司一年共收入(萬元),支付賠償費(fèi)共(萬元).設(shè)保險(xiǎn)公司至少盈利20萬元, . 可見, 該保險(xiǎn)公司在這一年中有近百分之九十六的把握至少可以盈利20萬元.例 將次品率為0.016一批集成電路進(jìn)行包裝,要求一盒中至少有100只正品的概率不小于0.9,問一盒至少應(yīng)裝多少只集

9、成電路？解 設(shè)至少應(yīng)裝只集成電路,(也就是說裝了只)記為次品個(gè)數(shù),根據(jù)題意, ,設(shè)至少有100只正品 =至多有只次品, ,查泊松分布表得,故至少應(yīng)裝只集成電路.六、小概率事件和實(shí)際推斷原理 設(shè)一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率(是很小的正數(shù),稱為小概率事件). “小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生”原理(概率論中稱它為實(shí)際推斷原理).它是指人們根據(jù)長期的經(jīng)驗(yàn)堅(jiān)持這樣一個(gè)信念：概率很小的事件在一次實(shí)際試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的。如果發(fā)生了，人們?nèi)匀粓?jiān)持上述信念，而寧愿認(rèn)為該事件的前提條件起了變化。例如，認(rèn)為所給有關(guān)數(shù)據(jù)（資料）不夠準(zhǔn)確，或認(rèn)為該事件的發(fā)生并非隨機(jī)性，而是人為安排的，或認(rèn)為該事件的發(fā)生屬一種反?，F(xiàn)象等等。小概率原理又稱實(shí)際推斷原理，它是概率論中一個(gè)基本而有實(shí)際價(jià)值的原理，就在日常生活中也有廣泛應(yīng)用。人們出差，旅行可以放心大