342基本不等式的應(yīng)用（1）(求最值）

1、基本不等式的應(yīng)用（基本不等式的應(yīng)用（1）求最值求最值重要不等式：重要不等式：均值不等式均值不等式：222abab( ,0)2ababa b2(0,0)abab ab2( ,0)2ababa b222() ( ,)22ababa bR2(0)baabab 2211 1802yxxxx例求的最小值并求出相應(yīng)的 值。22118.22xxx 當(dāng)且僅當(dāng)即是“”成立222211828422yxxxx解(1).4,21函數(shù)有最小值時(shí)即當(dāng)x,2a bab（2）若實(shí)數(shù)滿足33ab則的最小值為直接運(yùn)用直接運(yùn)用均值不等式求最值均值不等式求最值判斷下列函數(shù)能否用判斷下列函數(shù)能否用均值不等式求最值均值不等式求最值？ 0

2、81122xxxy )sin7(sin2xxy 212322xxy練習(xí)練習(xí) 例例2 2、已知：、已知：0 0 x x31，求函數(shù)，求函數(shù)y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值分析一：分析一：原函數(shù)式可化為：原函數(shù)式可化為：y=-3x2+x，分析二：分析二：挖掘隱含條件挖掘隱含條件即即x=x=61時(shí)時(shí) y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1為定值，且為定值，且0 0 x x31則則1-3x1-3x0 0；00 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3

3、x） 2)2313(31xx121當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法“湊用湊用”均值不等式求最值均值不等式求最值220,lglgxyxy（1）若則的最大值是 變式： 。 2(83 )02yxxx最大值為416,.33x 當(dāng)時(shí) 函數(shù)有最大值1lg5（3）、若）、若x1)的最小值。 41xx2x求函數(shù)y=(x1)的最小值及相應(yīng)變式：的x的值。22331xx4引申1：x求函數(shù)y=的最小值.“拆用拆用”均值不等式求最值均值不等式求最值取不到等號時(shí)用函數(shù)單調(diào)性求最值取不到等號時(shí)用函數(shù)單調(diào)性求最值:4522xxy引申引申2 2：求函數(shù)：求函數(shù) 的最小值的最小值

4、. .利用函數(shù)利用函數(shù) (t0)的單調(diào)性的單調(diào)性.1ytt t(0,1 單調(diào)遞減單調(diào)遞減t1,)單調(diào)遞增單調(diào)遞增依據(jù)依據(jù): :正解正解: :2222x5x41yx4x4 221x4x4 2tx4 令令1(2)yttt 則min52,:0,2txy當(dāng)即時(shí),三不等 常用單調(diào)性1 1、已知：、已知：0 0 x x81，求函數(shù)，求函數(shù)y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值解：解：12100 xx811-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121maxy錯(cuò)在哪里：錯(cuò)在哪里：2 2、已知正數(shù)、已知正數(shù)x x、y y滿足滿足

5、2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值解解: :221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值為的最小值為yx1124過程中兩次運(yùn)用了過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取均值不等式中取“=”號過渡，而這兩次取號過渡，而這兩次取“=”號的條件是不同的，號的條件是不同的，故結(jié)果錯(cuò)。故結(jié)果錯(cuò)。錯(cuò)在哪里：錯(cuò)在哪里：2 2、已知正數(shù)、已知正數(shù)x x、y y滿足滿足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值正解正解1：223當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)yxxy2即即:xy2時(shí)取時(shí)取“=”號號122yxxy而222221yx即此時(shí)即此時(shí)223minyyx11yy

6、xxyx22yxxy233已知函數(shù)已知函數(shù) ，求函數(shù)的最，求函數(shù)的最小值和此時(shí)小值和此時(shí)x的取值的取值xxxf1)(11:( )22112.fxxxxxxxx 解當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)函數(shù)取到最小值 運(yùn)用均值不等式的過程中，忽略了運(yùn)用均值不等式的過程中，忽略了“正數(shù)正數(shù)”這個(gè)條件這個(gè)條件4已知函數(shù)，已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值求函數(shù)的最小值)2(23)(xxxxf。的最小值是時(shí)，函數(shù)即當(dāng)且僅當(dāng)解：6323223223)(xxxxxxxxxf 用均值不等式求最值，必須滿足用均值不等式求最值，必須滿足“定值定值”這這個(gè)條件個(gè)條件45 sin0sin2y求函數(shù)其中（ ，的最小值。函數(shù)的最小值為解：4, 4sin4

7、sin2sin4siny用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必須注意必須注意 “相等相等” 的條的條件件.如果取等的條件不成立如果取等的條件不成立,則不能取到該最值則不能取到該最值. 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并說明此時(shí)并說明此時(shí)x,y的值的值3 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值yxu11課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：當(dāng)當(dāng)x=6,y=4時(shí)時(shí),最小值為最小值為482 22( )f xxx2.已知已知x0，求函數(shù)，求函數(shù) 的最大值的最大值.32 21 1、設(shè)、設(shè) 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,2 2、設(shè)則的最大值為、設(shè)則的最大值為_。, 12, 0, 022baba21 ba、設(shè)、設(shè) 滿足滿足 ，且，且 則則 的最大值是（的最大值是（ ）yx,404 yx0, 0 yxyx lglg A、40 B、10 C、4 D、224423、若，則函數(shù)的最小值是、若，則函數(shù)的最小值是_。1x11072xxxy小結(jié)：小結(jié)：應(yīng)用均值不等式求最值的問題應(yīng)用均值不等式求最值的問題(1)利用均值不等式求函數(shù)最值的步驟利用均值不等式求函數(shù)最值的步驟:一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等,2(0,0)abab ab 一不正 常用(2)先變形再利用均值不等式求函數(shù)最值先變形再利用均值不等