高次方程、分式方程、無理方程的解法

1、高次方程、分式方程、高次方程、分式方程、無理方程的解法無理方程的解法 內(nèi)容概況內(nèi)容概況 無理方程無理方程 高次方程高次方程 分式方程分式方程一次或二次方程一次或二次方程 整式方程整式方程有理方程有理方程 因式分解、因式分解、 換元換元兩邊同乘以最簡公分母、兩邊同乘以最簡公分母、 換元換元兩邊平方、換元兩邊平方、換元 2、高次方程的解法、高次方程的解法 我們可通過我們可通過因式分解因式分解和和換元換元將一元高次方程將一元高次方程 轉(zhuǎn)化為一元一次方程和一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程和一元二次方程 一、高次方程的解法一、高次方程的解法知識要點知識要點1、什么是高次方程什么是高次方程 整式方程中，未知

2、數(shù)的次數(shù)大于或等于整式方程中，未知數(shù)的次數(shù)大于或等于3的方程稱為的方程稱為高次方程高次方程 典型例題典型例題03423xxx0) 34(2 xxx0)3)(1(xxx所以所以例例1（1）解方程解方程 解：因式分解解：因式分解 3, 1, 0321xxx 典型例題典型例題013x043)21(122xxx0) 1)(1(123xxxx因為因為 所以所以 01x所以所以 例例1（2）解方程解方程 解：解： 因式分解因式分解1x典型例題典型例題例例1（3） 解方程解方程084223xxx解：解：因式分解因式分解0)2(4)2(2xxx0)2)(4(2xx0)2)(2(2xx所以所以2, 2321xx

3、x典型例題典型例題例例2（1）解解 方方 程程024)5(2)5(222xxxx解：解： 換元換元 令令 xxt52則原方程可以化為則原方程可以化為 02422 tt即即 0)4)(6(tt 故故 6t或或4t即即 652 xx或或 452 xx解得：解得： 4, 1, 6, 14321xxxx典型例題典型例題例例2（2）解方程解方程 19)7)(4)(1)(2(xxxx22(514)(54)19xxxx解：解：原方程即原方程即 換元換元 令令 2514xxt原方程可化為原方程可化為 19)18(tt解得解得 19t或或 1t即即 251419xx 或或 25141xx典型例題典型例題解得：解

4、得： 2551x2552x28553x28554x例例2（3） 解方程解方程解：解：原方程即原方程即 換元換元 令令 原方程可化為原方程可化為 解得解得 或或 即即 12)66)(86()76(2xxx72) 176)(176()76(2xxx76 xt72) 1(22tt92t82t（舍去）（舍去）3t解得解得 376x32x或或 35x解得解得 解高次方程的一般步驟解高次方程的一般步驟 1 1、整理方程，右邊化為、整理方程，右邊化為0.0. 2 2、將方程左邊因式分解，或者進(jìn)行換元、將方程左邊因式分解，或者進(jìn)行換元 3 3、將方程轉(zhuǎn)化為若干個一次或二次方程、將方程轉(zhuǎn)化為若干個一次或二次方程

5、 4 4、寫出原方程的根、寫出原方程的根. .解高次方程的思路是：解高次方程的思路是：高次高次方程方程一次或二次方程一次或二次方程因式分解、換元因式分解、換元方法提煉方法提煉1.可通過可通過因式分解因式分解將高次方程轉(zhuǎn)化為將高次方程轉(zhuǎn)化為 一次或二次方程一次或二次方程2.可通過可通過換元換元將高次方程轉(zhuǎn)化為將高次方程轉(zhuǎn)化為一次或二次方程一次或二次方程3. n次方程次方程最多最多有有n個實數(shù)根個實數(shù)根二、分式方程的解法二、分式方程的解法知識要點知識要點1、什么是分式方程什么是分式方程 分母中含有未知數(shù)的方程叫分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程分式方程.2 2、分式方程的解法、分式方程的解法我們可通

6、過我們可通過將方程兩邊同乘以最簡公分母將方程兩邊同乘以最簡公分母 或者或者換元換元將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程. 3 3、解分式方程的注意點、解分式方程的注意點在解分式方程后都必需在解分式方程后都必需檢驗檢驗,這是因為從分式這是因為從分式 方程到整式方程的轉(zhuǎn)化方程到整式方程的轉(zhuǎn)化有時不是等價的有時不是等價的.典型例題典型例題例例3（1） 解方程解方程 xx527解：解： 兩邊同乘以最簡公分母兩邊同乘以最簡公分母) 2( xx得得 )2(57xx解得解得5x 經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗， 5x是原方程的解是原方程的解. 典型例題典型例題例例3（2） 解方程解方程化簡為化簡為 13252xx

7、xx解：解： 兩邊同乘以最簡公分母兩邊同乘以最簡公分母xx 2得得 )( 3) 1)(25(2xxxx0) 1(2x解得解得 1x經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗 1x是增根，原方程無解是增根，原方程無解. 為什么會產(chǎn)為什么會產(chǎn)生增根？生增根？增根的定義增根的定義增根增根:在去分母在去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中出現(xiàn)的不適合于原方程的根的過程中出現(xiàn)的不適合于原方程的根.產(chǎn)生的原因產(chǎn)生的原因:分式方程兩邊同乘以一個分式方程兩邊同乘以一個后后,所得的根是整式方程的根所得的根是整式方程的根,而不是分式方程而不是分式方程的根的根.所以我們解分式方程時一定要代入最簡所以我們解分式方程時一定

8、要代入最簡公分母檢驗公分母檢驗使最簡公分母值為零的根使最簡公分母值為零的根解分式方程的一般步驟解分式方程的一般步驟 1 1、在方程的兩邊都乘以、在方程的兩邊都乘以最簡公分母最簡公分母，約去分母，約去分母，化成化成整式方程整式方程. . 2 2、解這個整式方程、解這個整式方程. . 3 3、把整式方程的解代入、把整式方程的解代入最簡公分母最簡公分母，如果最簡公，如果最簡公分母的值分母的值不為不為0 0，則整式方程的解是原分式方程的解；，則整式方程的解是原分式方程的解；否則否則，這個解不是原分式方程的解，必須舍去，這個解不是原分式方程的解，必須舍去. . 4 4、寫出原方程的根、寫出原方程的根.

9、.解分式方程的思路是：解分式方程的思路是：分式分式方程方程整式整式方程方程去分母去分母一化二解三檢驗一化二解三檢驗典型例題典型例題例例4 解方程解方程22) 12(31222222xxxx解：解：令令txx12222原方程可化為原方程可化為 23tt即即 0322 tt解得解得 1, 321tt所以所以 312222xx或或 112222xx典型例題典型例題即即 0172x或或 032x解得解得 3, 3,77,774321xxxx經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗 以上均為原方程的根以上均為原方程的根.換元可以使運算變得簡便換元可以使運算變得簡便典型例題典型例題x) 1)(2(21221xxaxxxxxa已知關(guān)于

10、已知關(guān)于 的方程的方程 的解為負(fù)數(shù)的解為負(fù)數(shù)的范圍的范圍. .例例5 求實數(shù)求實數(shù) 解：解： 左邊通分左邊通分) 1)(2(2) 1)(2(54xxaxxxx所以所以 所以所以 axx254ax 52，25ax且且 125 a解得解得 5a且且 7a0方法提煉方法提煉1.在分式方程在分式方程兩邊同乘以最簡公分母兩邊同乘以最簡公分母， 可把分式方程化為整式方程可把分式方程化為整式方程 2.換元換元可以使解方程的過程變得簡便可以使解方程的過程變得簡便3. 解分式方程時應(yīng)注意解分式方程時應(yīng)注意檢驗檢驗一化二解三檢驗一化二解三檢驗三、無理方程的解法三、無理方程的解法知識要點知識要點1、什么是無理方程什

11、么是無理方程 根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫無理方程無理方程.2 2、無理方程的解法、無理方程的解法我們可通過我們可通過將方程兩邊平方將方程兩邊平方或者或者換元換元 將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程. 3 3、解無理方程的注意點、解無理方程的注意點在解無理方程后必需在解無理方程后必需檢驗檢驗,這是因為從無理這是因為從無理 方程到有理方程的轉(zhuǎn)化方程到有理方程的轉(zhuǎn)化有時不是等價的有時不是等價的.典型例題典型例題例例6（1）解方程解方程 解：解： 17xx0107*) 1(72xxxx解得解得 2x3x為增根為增根 （）此題也可先解出方程此題也可先解出方程*的根，的

12、根， 再代回原方程檢驗再代回原方程檢驗. 為什么會產(chǎn)為什么會產(chǎn)生增根？生增根？典型例題典型例題例例6（2）解方程解方程解：解： 5122xx移項移項， 5212xx兩邊平方兩邊平方，化簡得，化簡得 0121122xx解得解得 4x或或 23x經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗， 4x是原方程的根，是原方程的根， 23x是增根是增根. 典型例題典型例題例例6（2）解方程解方程 5122xx此題也可令此題也可令 tx12轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 t的一元二次方程的一元二次方程 512tt求解求解. 即即062tt解得解得)0( t3t或或2t（舍去）（舍去）即即312x解得解得4x典型例題典型例題例例7 解方程解方程解：解： 33

13、23xx移項移項得得 3323xx兩邊平方兩邊平方，整理得，整理得 xx733再兩邊平方再兩邊平方，化簡得，化簡得 022232xx解得解得 22, 121xx經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗 11x為原方程的根，為原方程的根， 222x是增根是增根. 方程一邊出現(xiàn)兩個根號時要先移項方程一邊出現(xiàn)兩個根號時要先移項.解無理方程的一般步驟解無理方程的一般步驟 1 1、將方程的兩邊、將方程的兩邊平方平方，化成，化成有理方程有理方程. .有時要先有時要先移項，再平方移項，再平方 2 2、解這個有理方程、解這個有理方程. . 3 3、把有理方程的解代入原方程檢驗、把有理方程的解代入原方程檢驗 4 4、寫出原方程的根、寫出原方程的根. .解無理方程的思路是：解無理方程的思路是：無理無理方程方程有理有理方程方程去根號去根號一化二解三檢驗一化二解三檢驗典型例題典型例題例例8 解方程解方程解：解： 215215322xxxx令令txx152則原方程化為則原方程化為 )0( t05232 tt解得解得 35, 121tt（舍去）（舍去） 所以所以 1152 xx解得解得 0, 521xx經(jīng)檢驗經(jīng)檢驗 0, 521xx都是原方程的根都是原方程的根.通過通過換元換元可將原方程化為關(guān)于可將原方程化為關(guān)于 t的一