九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、22.1 一元二次方程 知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的定義 等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下幾點(diǎn)： 只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2；是整式方程。 知識(shí)點(diǎn)二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax²+ bx + c = 0(a 0).其中，ax²是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。 知識(shí)點(diǎn)三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過(guò)程中驗(yàn)根的依據(jù)。 22.2 降次解一元二次方程

2、配方法 知識(shí)點(diǎn)一 直接開(kāi)平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開(kāi)平方。一般地，對(duì)于形如x²=a(a0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=. （2） 直接開(kāi)平方法適用于解形如x²=p或(mx+a)²=p(m0)形式的方程，如果p0，就可以利用直接開(kāi)平方法。 （3） 用直接開(kāi)平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。 （4） 直接開(kāi)平方法解一元二次方程的步驟是：移項(xiàng)；使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1；兩邊

3、直接開(kāi)平方，使原方程變?yōu)閮蓚€(gè)一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。 知識(shí)點(diǎn)二 配方法解一元二次方程 通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解。 配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開(kāi)。 （1） 把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊； 方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)； 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式； 若等號(hào)右邊為非負(fù)數(shù)，直接開(kāi)平方求出方程的解。 公式法 知識(shí)點(diǎn)一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，對(duì)于一元二次方程ax²+bx+c=0(a0)，如果b²-4ac0，那么方

4、程的兩個(gè)根為x=，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a0)的過(guò)程。 （3） 公式法解一元二次方程的具體步驟： 方程化為一般形式：ax²+bx+c=0(a0)，一般a化為正值 確定公式中a,b,c的值，注意符號(hào)； 求出b²-4ac的值； 若b²-4ac0，則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b²-4ac0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根。 知識(shí)點(diǎn)二

5、一元二次方程根的判別式 式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，即=b²-4ac. 0，方程ax²+bx+c=0(a0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 一元二次方程 =0，方程ax²+bx+c=0(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 根的判別式 0，方程ax²+bx+c=0(a0)無(wú)實(shí)數(shù)根 22.23 因式分解法 知識(shí)點(diǎn)一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個(gè)一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的詳細(xì)

6、步驟： 移項(xiàng)，將所有的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為0； 把方程的左邊分解成兩個(gè)因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一個(gè)因式分別為零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知識(shí)點(diǎn)二 用合適的方法解一元一次方程 方法名稱 理論依據(jù) 適用范圍 直接開(kāi)平方法 平方根的意義 形如x²=p或（mx+n）²=p(p0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 當(dāng)ab=0，則a=0或b=0 一邊為0，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的積的一元二次方程。 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 若一元二次方程x²

7、;+px+q=0的兩個(gè)根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程ax²+bx+c=0(a0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,則有x1+x2=-b/a，,x1x2=c/a 22.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程 知識(shí)點(diǎn)一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟： （1） 審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。 （2） 設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。 （3） 列：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等含義，然后列代數(shù)式表示這個(gè)相等關(guān)系中的各個(gè)量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出

8、未知數(shù)的值。 （5） 驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證實(shí)際問(wèn)題有意義，符合題意。 （6） 答：寫出答案。 知識(shí)點(diǎn)二 列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見(jiàn)類型 （1） 數(shù)字問(wèn)題 三個(gè)連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1。 三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2。 三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個(gè)三位數(shù)是100a+10b+c. （2） 增長(zhǎng)率問(wèn)題 設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長(zhǎng)率或平均降低率為x，則經(jīng)過(guò)兩次的增長(zhǎng)或降低后的等量關(guān)系為a（1）²=b。 （3）利潤(rùn)問(wèn)題 利潤(rùn)問(wèn)題常用的相等關(guān)系式有：總利

9、潤(rùn)=總銷售價(jià)-總成本；總利潤(rùn)=單位利潤(rùn)×總銷售量；利潤(rùn)=成本×利潤(rùn)率 （4）圖形的面積問(wèn)題 根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，建立一元二次方程。 二次函數(shù) 1.定義：一般地，如果y=ax²+bx+c（a,b,c是常數(shù), ），那么y叫做x的二次函數(shù). 2.二次函數(shù)y=ax²的性質(zhì) (1)拋物線y=ax²的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸.(2)函數(shù)y=ax²的圖像與的符號(hào)關(guān)系. 當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn) 3.二次函數(shù)y=ax²+bx+c

10、 的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線. 4.二次函數(shù)y=ax²+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)²+k的形式，其中h=-b/2a,k=4ac-b²/4a. 5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式： y=ax²；y=ax²+k；y=a(x-h)²；y=a(x-h)²+k；y=ax²+bx+c. 6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). a決定拋物線的開(kāi)口方向： 當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. 平行于y軸(或重合)的直線記作x=h.特別地，y軸記作

11、直線x=0. 7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. 8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 (1)公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. (2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是. (3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失 9.拋物線中，a,b,c的作用 (1)a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的a完全一樣. (2

12、)b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線,故： b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸； (即a、b同號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在y軸左側(cè)； (即a、b異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在y軸右側(cè). (3)c的大小決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)x=0時(shí)，y=c，拋物線與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，c)： c=0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); c0,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則. 10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下： 函數(shù)解析式 開(kāi)口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) x=0(y軸) （0,0） 當(dāng)a0時(shí) x=0(y軸) (0,k) 開(kāi)口向上 x=h(h,0) 當(dāng)

13、a0時(shí) x=h(h,k) 開(kāi)口向下 11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式. (2)頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. (3)交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：. 12.直線與拋物線的交點(diǎn) (1)y軸與拋物線得交點(diǎn)為(0,c) (2)與y軸平行的直線x=h與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h, ). (3)拋物線與x軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸相交；

14、 一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上) 拋物線與x軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與x軸相離. (4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. (5)一次函數(shù)的圖像l與二次函數(shù)的圖像G的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定： 方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn); 程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)； 程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn). (6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與x軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故 13二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系： (1)一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)y的值為0時(shí)的情況

15、(2)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)時(shí)自變量x的值，即一元二次方程的根 (3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 14.二次函數(shù)的應(yīng)用： (1)二次函數(shù)常用來(lái)解決最優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大(小)值； (2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系； 運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題中的最

16、大(小)值 15.解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的基本思路：(1)理解問(wèn)題；(2)分析問(wèn)題中的變量和常量；(3)用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對(duì)問(wèn)題加以拓 第二十三章 旋轉(zhuǎn) 23.1 圖形的旋轉(zhuǎn) 知識(shí)點(diǎn)一 旋轉(zhuǎn)的定義 在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。 我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。 知識(shí)點(diǎn)二 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。 理解以下幾點(diǎn)： （1

17、） 圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。 知識(shí)點(diǎn)三 利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖 旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為： 連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心； 轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過(guò)一定角度（作旋轉(zhuǎn)角） 截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； 接：即連接到所連接的各點(diǎn)。 23.2 中心對(duì)稱 知識(shí)點(diǎn)一 中心對(duì)稱的定義 中心對(duì)

18、稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。 注意以下幾點(diǎn)： 中心對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；只有一個(gè)對(duì)稱中心；繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩個(gè)圖形能夠完全重合。 知識(shí)點(diǎn)二 作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圖形 要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對(duì)稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)。最后將對(duì)稱點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來(lái)，即可得出成中心對(duì)稱圖形。 知識(shí)點(diǎn)三 中心對(duì)稱的性質(zhì) 有以下幾點(diǎn)： （1） 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且都被對(duì)稱中心平分； （2） 關(guān)于

19、中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠互相重合，是全等形； （3） 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等。 知識(shí)點(diǎn)四 中心對(duì)稱圖形的定義 把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。 知識(shí)點(diǎn)五 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為（-x,-y）。 第二十四章 圓 24.1 圓 24.1.1 圓 知識(shí)點(diǎn)一 圓的定義 圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定

20、的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。 比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。 知識(shí)點(diǎn)二 圓的相關(guān)概念 （1） 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑。 （2） 弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。 （3） 等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。 （4） 等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。 弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或

21、等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長(zhǎng)度相等的弧。 24.1.2 垂直于弦的直徑 知識(shí)點(diǎn)一 圓的對(duì)稱性 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。 知識(shí)點(diǎn)二 垂徑定理 （1） 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。 24.1.3 弧、弦、圓心角 知識(shí)點(diǎn) 弦、弧、圓心角的關(guān)系 （1） 弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。 （2）

22、 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。 （3） 注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。 24.1.4 圓周角 知識(shí)點(diǎn)一 圓周角定理 （1） 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。 （2） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)弦是直徑。 （3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤?/p>

23、同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。 知識(shí)點(diǎn)二 圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì) 圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系 24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 （1） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。 （2） 用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)O的半徑是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有： 點(diǎn)P在圓外 dr； 點(diǎn)p在圓上 d=r； 點(diǎn)p在圓內(nèi) dr。 知識(shí)點(diǎn)二 過(guò)已知點(diǎn)作圓 （1） 經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓

24、（如點(diǎn)A） 以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A為半徑作圓即可，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。 （2） 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A、B） 以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A（或OB）為半徑作圓即可，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。 （3） 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓 經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A（或OB、OC）的長(zhǎng)為半徑作圓即可，這樣的圓只能作

25、一個(gè)。 知識(shí)點(diǎn)三 三角形的外接圓與外心 （1） 經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。 （2） 外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。 知識(shí)點(diǎn)四 反證法 （1） 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。 （2） 反證法的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論； 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。 24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系 （1） 直線與圓

26、的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。 （2） 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示 若設(shè)O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有： 直線l和O相交 d r； 直線l和O相切 d = r； 直線l和O相離 d r。 知識(shí)點(diǎn)二 切線的判定和性質(zhì) （1） 切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 （2） 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。 （3） 切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。 知識(shí)點(diǎn)三 切線長(zhǎng)定理 （1） 切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和

27、切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。 （2） 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 （3） 注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)是切點(diǎn)。 知識(shí)點(diǎn)四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心 (1) 三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。 (2) 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。 (3) 注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)和

28、內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。 24.2.3 圓和圓的位置關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一 圓與圓的位置關(guān)系 （1） 圓與圓的位置關(guān)系有五種： 如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種； 如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種； 如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。 （2） 圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示： 若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分別是r1 r2,且r1 r2，則有 兩圓外離dr1+r2 兩圓外切 d=r1+r2 兩圓相交 r2-r1dr1+r2 兩圓內(nèi)切 d=r2-r1 兩圓內(nèi)含 dr2-r1 24.3 正多邊形和圓 知識(shí)點(diǎn)一 正多邊形的

29、外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形 正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。 正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。 正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。 正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。 知識(shí)點(diǎn)二 正多邊形的性質(zhì) （1） 正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。 （2） 所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱

30、軸都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的中心就是對(duì)稱中心。 （3） 正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，中心角和外角相等，等于。 24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積 知識(shí)點(diǎn)一 弧長(zhǎng)公式l= 在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2R，所以n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式l=×2R=。 知識(shí)點(diǎn)二 扇形面積公式 在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的扇形面積就是圓的面積S=R²，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=。 比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn)： S扇形= 知識(shí)點(diǎn)三 圓錐的側(cè)面積和全面積 圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，容易得到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2r，因此圓錐的側(cè)面積。圓錐的全面