舉例說明函數(shù)奇偶性的幾種判斷方法[1]

1、舉例說明函數(shù)奇偶性的幾種判斷方法在函數(shù)奇偶性概念的學(xué)習(xí)中，應(yīng)多方面、多角度地思考概念的內(nèi)涵，要掌握函數(shù)奇偶性定義的等價形式，注重尋求簡捷的解題方法，函數(shù)奇偶性的定義是：如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有（或），那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)（或偶函數(shù)）。函數(shù)奇偶性的定義反映在定義域上：若是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則對于定義域D上的任意一個x，都有，即定義域是關(guān)于原點對稱的。函數(shù)奇偶性定義給出了判斷奇偶函數(shù)的方法。下面給出函數(shù)奇偶性判斷的其他等價形式，尋求比較簡便的判別方法。1. 相加判別法對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù)。例1 判斷函數(shù)的奇偶性。解法1：利用定義判斷，由，可知是奇函

2、數(shù)。解法2：由xR，知。因為，所以是奇函數(shù)。2. 相減判別法對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù)。例2 判斷函數(shù)的奇偶性。解：由xR，知。因為，所以是偶函數(shù)。3. 相乘判別法對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù)。例3 證明函數(shù)是偶函數(shù)。證明：由xR，知。因為，所以是偶函數(shù)。4. 相除判別法對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，設(shè)，若，則是奇函數(shù)；若，則是偶函數(shù)。例4 證明函數(shù)是奇函數(shù)。證明：由，知且，所以定義域關(guān)于原點對稱。因為，所以是奇函數(shù)。點評：上述各例，若用定義判定，則困難程度可想而知。用等價定義判斷解析式較為復(fù)雜的函數(shù)的奇偶性時，方便快捷，可化繁為簡，

3、會使大家感到思路清晰，目標(biāo)明確，思維視野大為開闊，值得同學(xué)們注意。練一練：已知是定義在R上的函數(shù)，且對任意的xR，都有，。若，則_。答案：1（提示：由，所以其中等號均成立，。由得，從而有）函數(shù)的奇偶性1函數(shù)f（x）=x(-1x1)的奇偶性是（ ）A奇函數(shù)非偶函數(shù)B偶函數(shù)非奇函數(shù)C奇函數(shù)且偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)2. 已知函數(shù)f（x）=ax2bxc（a0）是偶函數(shù)，那么g（x）=ax3bx2cx是( ）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)3.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且f(2)=0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是 ( )A.(-¥,2)

4、B. (2,+¥) C. (-¥,-2)È(2,+¥)D. (-2,2)4已知函數(shù)f(x)是定義在(,+)上的偶函數(shù). 當(dāng)x(,0)時，f(x)=x-x4，則 當(dāng)x(0.+)時，f(x)=.5. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)lg(-x);(2)f(x)+(3) f（x）=6.已知g(x)=x23,f(x)是二次函數(shù)，當(dāng)x-1,2時，f(x)的最小值是1，且f(x)+g(x)是奇函數(shù)，求f(x)的表達(dá)式。7.定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x）是減函數(shù)，且f(1-a)+f(1-a2)<0,求a的取值范圍8.已知函數(shù)是奇函數(shù),且上是增函數(shù),(1

5、)求a,b,c的值;(2)當(dāng)x-1,0)時,討論函數(shù)的單調(diào)性.9.定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0對任意xR恒成立，求實數(shù)k的取值范圍10下列四個命題：（1）f（x）=1是偶函數(shù)；（2）g（x）=x3，x（1，1是奇函數(shù)；（3）若f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則H（x）=f（x）·g（x）一定是奇函數(shù)；（4）函數(shù)y=f（|x|）的圖象關(guān)于y軸對稱，其中正確的命題個數(shù)是（ ）A1 B2C3D411下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減

6、的是( )A.B.C.D.12若y=f（x）（xR）是奇函數(shù)，則下列各點中，一定在曲線y=f（x）上的是（ ）A（a，f（a） B（sina，f（sina）C（lga，f（lg） D（a，f（a）13. 已知f（x）=x4+ax3+bx8，且f（2）=10，則f（2）=_。14.已知是R上的奇函數(shù)，則a =15.若f(x)為奇函數(shù)，且在(-,0)上是減函數(shù)，又f(-2)=0，則xf(x)<0的解集為_16.已知y=f(x)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則f(1x2)是增函數(shù)的區(qū)間是17.已知（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）證明f（x）>0。答案1.【提示或答案】D 【基礎(chǔ)知識聚焦】掌

7、握函數(shù)奇偶性的定義。2.【提示或答案】A 【基礎(chǔ)知識聚焦】考查奇偶性的概念3.【提示或答案】D 【基礎(chǔ)知識聚焦】考查奇偶性的概念及數(shù)形結(jié)合的思想【變式與拓展】1：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，它在上遞減，那么一定有( ）ABCD【變式與拓展】2：奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3，7上遞增，且最小值為5，那么在區(qū)間7，3上是（ ）A增函數(shù)且最小值為5B增函數(shù)且最大值為5C減函數(shù)且最小值為5D減函數(shù)且最大值為54. 【提示或答案】f(x)=-x-x4【變式與拓展】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，x>0時，f（x）=x22x+3，則f（x）=_。【基礎(chǔ)知識聚焦】利用函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式5【提示或答案】

8、解(1)此函數(shù)的定義域為R.f(-x)+f(x)lg(+x)+lg(-x)lg10f(-x)-f(x)，即f(x)是奇函數(shù)。(2)此函數(shù)定義域為2，故f(x)是非奇非偶函數(shù)。（3）函數(shù)f（x）定義域（，0）（0，+），當(dāng)x0時，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.當(dāng)x0時，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù). 【基礎(chǔ)知識聚焦】考查奇偶性的概念并會判斷函數(shù)的奇偶性6解：設(shè)則是奇函數(shù)（1）當(dāng)時，最小值為：（2）當(dāng)時,f(2)=1無解；（3）當(dāng)時，綜上得：或【基礎(chǔ)知識聚焦】利用函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式，滲透數(shù)形結(jié)合7. 【提示或答案】-1&l

9、t;1-a<1 -1<1-a2<1f(1-a)<- f(1-a2)=f(a2-1),1-a> a2-1得0<a<1【基礎(chǔ)知識聚焦】考查奇偶性解決抽象函數(shù)問題8【提示或答案】解(1)是奇函數(shù)，則 由, 由又.當(dāng)當(dāng)a=1時,b=1,【基礎(chǔ)知識聚焦】結(jié)合具體函數(shù)，考查函數(shù)性質(zhì)9【提示或答案】分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明

10、(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0令y=x，代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)對任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)f(k·3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3-3+9+2，3-(1+k)·3+20對任意xR都成立令t=30，問題等價于t-(1+k)t+20對任意t0恒成立令f(t)=t2(1+k)t+2,其對稱軸當(dāng)時,f(0)=2>0,符合題意;當(dāng)時,對任意t>0,f(t)>0恒成立綜上所述,所求k的取值范圍是【基礎(chǔ)知識聚焦】考查奇偶性解決抽象函數(shù)問題，使學(xué)生掌握方法。10【提示或答案】B11【提示或答案】D 12【提示或答案】D【基礎(chǔ)知識聚焦】掌握奇偶函數(shù)的性質(zhì)及圖象特征13【提示或答案】6【基礎(chǔ)知識聚焦】考查奇偶性及整體思想 【變式與拓展】：f（x）=ax3+bx8，且f（2）=10，則f（2）=_。14【提示或答案】由f(0)=0得a=1【基礎(chǔ)知