巧用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解數(shù)列題

1、巧用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解數(shù)列題永福中學(xué)：陳容麗構(gòu)造法作為一種重要的數(shù)學(xué)方法，而不是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，沒(méi)有嚴(yán)格的定義。解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問(wèn)題按照這樣 的思維方式來(lái)尋求解題途徑比擬困難，甚至無(wú)從下手。在這種情況下，經(jīng)常要求我 們改變思維方向，換一個(gè)角度思考，以找到一條繞過(guò)障礙的新途徑，從而使問(wèn)題得 解而構(gòu)造法就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論的特征，以問(wèn)題中的數(shù)學(xué)元素為“元 件數(shù)學(xué)關(guān)系為“框架構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并得 到簡(jiǎn)便解決的方法。它的特點(diǎn)是：創(chuàng)造性地使用條件，創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí), 極大限度地發(fā)散思維。本文主要淡淡構(gòu)造法在高中數(shù)列問(wèn)題的應(yīng)用。數(shù)

2、列是高中很重要且有相當(dāng)難度的一章內(nèi)容，在近幾年的高考中，一般有一道 中檔的填空題和一道壓軸的解答題，所占分值較高。數(shù)列問(wèn)題中的構(gòu)造新數(shù)列在近 幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，這類(lèi)題目的難度及區(qū)分度往往很大，學(xué)生不容易掌握，有 時(shí)甚至無(wú)從下手。下面來(lái)專(zhuān)門(mén)談一談構(gòu)造法在研究數(shù)列中的靈活運(yùn)用。一、型如為常數(shù)且；亠的數(shù)列，其本身并不是等差或等比數(shù)列，但經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃魏?，即可?gòu)造出一個(gè)新數(shù)列，利用這個(gè)數(shù)列可求 其通項(xiàng)公式。1. 八c為常數(shù)，可構(gòu)造等比數(shù)列求解.心2，求通項(xiàng)耳.爲(wèi)二二 一31 一衛(wèi)丁1 一丐二門(mén).>解由，得。，又-，所以數(shù)列 r-做=1 汪1 _ 肉一= 1+_ 丄是首項(xiàng)為二，公比為'

3、的等比數(shù)列，二；.注：一般地，遞推關(guān)系式' p、q為常數(shù)，且p工0，p工1可等價(jià)盤(pán)和1宀二去耳宀務(wù)宀丁地改寫(xiě)成 '-'，那么-' 為等比數(shù)列，從而可求"".2. '"為等比數(shù)列，可構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列求解。 口' 'I f為常b二生，令 ，那么可轉(zhuǎn)化為* ' 5的形式求解.51例21丨數(shù)列an中，ai = -%1，=-a +3 "2數(shù)列滿(mǎn)足1 ':，+:口二 22二三+ 1，令；解1由條件，得3,求通項(xiàng)7廠，求通項(xiàng)、.數(shù))，兩邊同除以：得了 '7，那么:;，即"，

4、二數(shù)列'-"''為等比數(shù)列，故有23+ 3"2-%+i二玉+三務(wù)+12由條件，得；亠，；，即-2"2，故數(shù)列瀘是以»2 為3首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列,*=1+3-1三.<，故法一、構(gòu)造等差數(shù)列求解:在數(shù)列i /中，1假設(shè)''二 Z +1 = +1 + (2劃尸(mwTT)，其的通項(xiàng)公式；2 假設(shè)戒二住十習(xí)片+2用3+l)S + 2)，求通項(xiàng)外.解 1由條件可得(2 Y+1+1，二數(shù)列是首2?項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列，故=«+22由條件可得： ,數(shù)列|：" -是首項(xiàng)為纟一-.二一總兄 +

5、1)(4厘-1)1 :-亠，公差為2的等差數(shù)列，.-'法二、構(gòu)造等比數(shù)列求解:例5數(shù)列：“滿(mǎn)足二',Ji -"丨，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解 設(shè)'- ''_，將條件代入此式，整理后得5- 3x(5+2x?+4+7=3rx2"+3，令+尸即，解得1.右d+i+ 5x2卻十2 二 3(終,+5x2"+ 2)角2二 1+12 二 13工0侗，乂，口 盤(pán).+5天2"+2 工 D 擠來(lái)zei+ 5x2" +2 B n, it. +5x2l + 2= 1+12 = 13 、/ “且，故數(shù)列'是以為首項(xiàng)，以3為公比的

6、等比數(shù)列，.亠匸八，故'U ：_.、形如''''"4-的復(fù)合數(shù)列，可先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，再用疊加法、疊乘法、迭代法等方法求解.f/j 1n -i d - ? 珀總-可叫+i十可叫 a在數(shù)列中，?,】，求曲 一_ 叫)e _ I打 一口* 二 1由條件可得數(shù)列酣是以叫町1為首-盤(pán)* 一G 二項(xiàng)，以-為公比的等比數(shù)列，:故 一，-.-，-+-"- 一亠 I例7數(shù)列 何】滿(mǎn)足班=1 ,勺二2 , 4叫柘二也齢一叫 ©Ebf，求叭.1 b 1 .1? 1 3毎祐_ _爲(wèi)+】-_耳+1 一_務(wù)也 一一口 1二2_ _二_解由可得

7、：'，又】-?,所以數(shù)3是首項(xiàng)為：、公比為匚的等比數(shù)列,列亦即2叫"+6，又?業(yè)=2,數(shù)列；是首3n-2項(xiàng)為2、公差為6的等差數(shù)列，"_' ；，一.一 .三、一些較為特殊的數(shù)列，可利用“取倒數(shù)的方法構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列 求解.例8數(shù)列；"中，二，門(mén) ",，求.1 _說(shuō)利_ 1門(mén) 內(nèi)二丄由，得J 一一，設(shè)匚，那么二 十,故.是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,_丄_1婦=1十31=用即叫虬用例9數(shù)列丨，其中r, _ ',且：，求通項(xiàng)an.丄一丄仃，丄#解由條件得，設(shè) ，A，那么',令、+*，解得，于是有一：數(shù)列兒-是一個(gè)以一廠

8、為首項(xiàng)，公比是一3的等比數(shù)列,Vi'，即代入加二，得匚$例io假設(shè)數(shù)列：“中，|，二是數(shù)列i二的前叮項(xiàng)之和，且I ： 1 ， 求數(shù)列的通項(xiàng)公式J氐 丄三3 丄+4+ 1= ?(卻叫，得粘 也，令陰屛 ， 42= X +2) + 2 + 2 = 3那么有-，故=二 ，數(shù)列二是以：為首項(xiàng)，3丄+ 2為公比的等比數(shù)列，二 ="'1于，當(dāng)*1時(shí)，由飛-'m-1C«=D-2 3s32"-8-3*-bl2(«>2)四、對(duì)某些特殊的數(shù)列，可利用特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.a,如滿(mǎn)足化+。 A，B，C，D為常數(shù)，且笑“的數(shù)列,可令特

9、征方程為Ax + B' -，變形為“m 一，假設(shè)方程有二異根匚，% 一口那么可令一'“3為待定常數(shù)，那么數(shù)列2廠 是首項(xiàng)為旳一14?L - «，公比為1的等比數(shù)列；假設(shè)方程有二重根工:，那么可令宀 -丿 r為待定常數(shù)，那么數(shù)列是首項(xiàng)為匚1,公差為的等差數(shù)列。然后代入的值可求得，值，于是可求得坷三2,弓=叫十2他2 2jt+ 2例11數(shù)列1 滿(mǎn)足''-1，求數(shù)列 亠-;的通項(xiàng)_耶卄1_1二匚聽(tīng)_1解令 - ，化簡(jiǎn)得" - | ,解得亠L(fēng).i 一，令：1“-，41_c 吐二c =-由 ，得 _，可得 '、，氣，-13數(shù)列務(wù)+u是以呦+1礙

10、 _ 1 _ 1比的等比數(shù)列，>1 -：，解得._ J-曲二2衛(wèi)曲二絲二丄擰礦例12數(shù)列1滿(mǎn)足匚求數(shù)列的通項(xiàng).不11X -tiXj Xj 二一一解令，即，解得-3 宀 - = 1由得V ,求得-，二數(shù)列是以'：為首項(xiàng)，以I為公差的12313-5«&曽,=_:-故'i |? -=-1- a. + 等差數(shù)列,'2五、其它特殊數(shù)列的特殊構(gòu)造方法1 通過(guò)取對(duì)數(shù)來(lái)構(gòu)造新的數(shù)列求解.例13假設(shè)數(shù)列匚中，=3且Ji；' n是正整數(shù)，那么它的通項(xiàng)公式是旭細(xì)492 = £解 由題意知5 >0，將門(mén)一 兩邊取對(duì)數(shù)得比.，即;J所以數(shù)列是以=為

11、首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，2 通過(guò)換元來(lái)構(gòu)造新的數(shù)列求解.例14分析此題的難點(diǎn)是遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列卩；，令i +：，這樣就巧妙地去掉了根式，將通項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，便于化簡(jiǎn)變 形.解令-：-''，那么二，即、:，那么原條件可化為2434化簡(jiǎn)得他二您+ M，即込譏二氏十？，比數(shù)列,變形得'，二數(shù)列宀一二是以：-'='為首項(xiàng)，為公比的等if-1 2s-' +32-'+124 "3x2'3對(duì)于兩個(gè)數(shù)列的復(fù)合問(wèn)題，也可構(gòu)造等差或等比數(shù)列求解。+i = X十1恐例15在數(shù)列嚴(yán)、®中，碼皿"，且也“+弘

12、，求巴、直的通項(xiàng)公式.解構(gòu)造新數(shù)列宀一 '，那么15+7 #4R得'=或-=5 ,二數(shù)列一卡是首項(xiàng)，公比qJ+5的等比數(shù)列，即：當(dāng)' = 3時(shí)，''、 是首項(xiàng)為° ' =，q=5+=2的等比數(shù)列，故孤叫二一仆/=一£鼻；留神=5時(shí)，嚴(yán)* 是首項(xiàng)為兩+為=6，q +5=10的 等比數(shù)列，故，J'=6 "，丄命1眄1%二一幻廣門(mén)曠聯(lián)立二式，得g +歎= 60 ，解得4,A 二?10"】+ 妙“4o注：1 并不是任何數(shù)列都可以求出其通項(xiàng)的，能夠求出通項(xiàng)的只是一些特殊 的數(shù)列。例如數(shù)列1,就沒(méi)有通項(xiàng)公式；2同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如數(shù)列一1, 1,1, 1,左=J-1為奇數(shù)其通項(xiàng)公式為，或叫b隔偶勉；3 數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要 注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同，因此在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí)既要注意函數(shù)方 法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性。從上述各題構(gòu)建新數(shù)列的過(guò)程中，可以 看出對(duì)題設(shè)中遞推式的觀察、分析，并據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理變形，是成功構(gòu)造新 數(shù)列的關(guān)鍵。構(gòu)造新數(shù)列的目的是為了化繁為簡(jiǎn)、 化未知為、化不熟悉為熟悉， 這也是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的共性之所在。由上所舉眾多例子，不言而喻，正是在問(wèn)題按照定向、按照常規(guī)難以解決的情 況