賓館預(yù)定策略數(shù)學(xué)建模

1、摘要本題為賓館的預(yù)定策略問題，涉及價(jià)格制定和經(jīng)營策略問題。通過對(duì)題目中提供的數(shù)據(jù)，以及對(duì)所要求解的問題的分析，本小組認(rèn)為符合時(shí)序預(yù)測(cè)問題的基本條件。對(duì)于第一問，要求估計(jì)第九周和第十周參考標(biāo)準(zhǔn)間房價(jià)，屬于短期預(yù)測(cè)。將對(duì)未來價(jià)格的預(yù)測(cè)問題分解為兩個(gè)問題：對(duì)一周內(nèi)各天價(jià)格所占一周內(nèi)總價(jià)的比例，和各周價(jià)格變化趨勢(shì)適。采用多段的、三次多項(xiàng)式趨勢(shì)外推法解決第一個(gè)問題，模型的誤差最大為0.39%，可見模型是十分精準(zhǔn)的；同時(shí)采用三次多項(xiàng)式外推和一次移動(dòng)平均法求解第二個(gè)問題，通過對(duì)比，一次移動(dòng)平均法比趨勢(shì)外推得到的數(shù)據(jù)，與已知數(shù)據(jù)更為符合。同時(shí)，其預(yù)測(cè)值比較符合經(jīng)濟(jì)規(guī)律，因而，其預(yù)測(cè)結(jié)果具有可靠性。對(duì)于問題二，

2、賓館采用升級(jí)客房檔次或賠款來解決超額接受客房預(yù)訂的糾紛。采用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型可以得到k個(gè)客人取消訂單的概率；在計(jì)算出賓館利潤的期望值，通過在賠償和客房數(shù)量上的限制條件，和保證賓館最大利潤的目的，可以確定出賓館超額提供預(yù)定的最大數(shù)。對(duì)于問題三，要求為賓館制定一個(gè)長期的經(jīng)營策略，通過一二問的分析，可以得出合理的方案。一 問題重述某著名的旅游城市的A級(jí)賓館主要提供舉辦會(huì)議和游客使用的?？头客ㄟ^電話或互聯(lián)網(wǎng)預(yù)定，這種預(yù)定具有很大的不確定性，客戶很可能由于各種原因取消預(yù)定。賓館為了爭取更大的利潤，一方面要爭取客戶，另一方面要降低客戶取消預(yù)定遭受的損失。為此，賓館采用一些措施。首先，要求客戶提供信用卡號(hào)，

3、預(yù)付第一天房租作為定金。如果客戶在前一天中午以前取消預(yù)定，定金將如數(shù)退還，否則定金將被沒收。其次，賓館采用變動(dòng)價(jià)格，根據(jù)市場(chǎng)需求情況調(diào)整價(jià)格，一般來說周末價(jià)格比較高。研究的問題是：(1) 試建立客房預(yù)定價(jià)格的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)以下實(shí)例作分析。表1給出了某賓館8周標(biāo)準(zhǔn)房價(jià)格(單位: 美元)，用你的模型說明價(jià)格變動(dòng)的規(guī)律，并據(jù)此估計(jì)第9周和第10周的標(biāo)準(zhǔn)房參考價(jià)格。你還可以收集更多的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證你模型的價(jià)值（要求注明出處）。（2）在旅游旺季，賓館往往可以預(yù)定出超過實(shí)際套數(shù)的客房數(shù), 以減低客戶取消預(yù)定時(shí)賓館的損失。當(dāng)然這樣做可能會(huì)帶來新的風(fēng)險(xiǎn), 因?yàn)槿f一屆時(shí)有超出客房數(shù)的客戶出現(xiàn), 賓館要通過升級(jí)客房檔

4、次或賠款來解決糾紛, 為此賓館還會(huì)承擔(dān)信譽(yù)風(fēng)險(xiǎn). 某賓館有總統(tǒng)套房20套，豪華套房100套，標(biāo)準(zhǔn)間500套。試為該賓館制定合理的預(yù)定策略, 并論證你的理由。（3）請(qǐng)為該賓館制定一個(gè)長期的經(jīng)營策略；并給總經(jīng)理寫一篇短文有關(guān)管理經(jīng)營的建議書。二、問題假設(shè)以及符號(hào)說明A：假設(shè)1， 在求解第一問中，假設(shè)第一周至第十周處在一個(gè)穩(wěn)定的市場(chǎng)狀態(tài)（淡季或旺季）；2， 假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)間的價(jià)格總體走勢(shì)僅由兩方面分量合成，即，每一周內(nèi)的7日價(jià)格變化走勢(shì)，周均價(jià)走勢(shì)；2，假定所提供的數(shù)據(jù)與未來數(shù)據(jù)是連續(xù)的，不存在重大變故的干擾；3，假設(shè)賓館的三類客房比例與市場(chǎng)需求比例相同，不存在巨大的入住率差異；4，假設(shè)客人取消預(yù)定都是在

5、前一天中午以前；5，假設(shè)賓館除開客房開支以外，總的運(yùn)營成本，等于至少六成的客房有人入住時(shí)所得的利潤；6，假設(shè)賓館對(duì)為得到房間的以預(yù)定客人的賠償為：同類房間利潤的一倍。7，假設(shè)客人訂房沒有批量預(yù)定的情況。B:符號(hào)說明主要符號(hào)代表含義Yi 一周內(nèi)星期i的房價(jià)所占周總價(jià)比例的標(biāo)準(zhǔn)間價(jià)格的走比例Yk 標(biāo)準(zhǔn)間價(jià)格的周均價(jià)內(nèi)走勢(shì)yk,i第k周，星期i的標(biāo)準(zhǔn)間均價(jià)k 第k周I 星期im1,m2,m3 接受預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的數(shù)量A 客人入住每間客房的利潤D 每位已經(jīng)預(yù)定而又沒有得到客房的賠償C1,C2,C3 除客房以外的其他總成本，分?jǐn)偟饺惙块g的分別總和P 一個(gè)已定客房的旅客在在前一天中午

6、以前取消預(yù)定的概率gkk 人未按時(shí)入住的概率LR(k) 設(shè)賓館相應(yīng)與每種gk的利潤Y(LR) 那么賓館的利潤期望為三、 問題分析顯然，從本題提供的數(shù)據(jù)和所要求解的問題來看，它是屬于時(shí)間序列的預(yù)測(cè)問題，故考慮用多項(xiàng)式趨勢(shì)外推和移動(dòng)平均法等方法求解。第一問：題目中給出了八周的標(biāo)準(zhǔn)間房價(jià)數(shù)據(jù)，要求預(yù)測(cè)第九、第十周的標(biāo)準(zhǔn)間房價(jià)，屬于短期預(yù)測(cè)問題。顯然，從所給數(shù)據(jù)來看，要建立單一時(shí)間變量的函數(shù)來確定房價(jià)是很難的，不過更具日常經(jīng)驗(yàn)和經(jīng)濟(jì)學(xué)規(guī)律分析，可將影響標(biāo)準(zhǔn)間的房價(jià)變動(dòng)的因素歸納到兩方面：即，一周內(nèi)房價(jià)的分布，和以周均價(jià)為代表的長期上漲規(guī)律。第二問:顯然，預(yù)定了客房的客人取消預(yù)定的概率是相互獨(dú)立的，則，

7、m個(gè)預(yù)定中，有k個(gè)客人取消訂單的事件符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型；同時(shí)，由于k的不同導(dǎo)致賓館利潤的不同，故先計(jì)算出賓館利潤對(duì)于某一個(gè)k值的函數(shù)，在通過概率加權(quán)的辦法算出賓館利潤的期望，通過取定合適的m值，使得利潤期望最大，從而得出合適的賓館客房超額預(yù)定策略。第三問：通過一二問的求解，提供建議四、模型建立4.1對(duì)于第一問：顯然，在未來某一周內(nèi)，由于工作日和雙休日的固定，以及其所導(dǎo)致的對(duì)賓館客房的需求的固定，可以推定：該周內(nèi)任意一天的標(biāo)間價(jià)格所占的七天總價(jià)的比例yi與yi的關(guān)系是不變的;同時(shí)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)規(guī)律可知，標(biāo)準(zhǔn)間的周均價(jià)yk隨時(shí)間的推移是按某種規(guī)律上漲的，因此，可以建立周數(shù)k與yk的關(guān)系。那么，未來第

8、k周，星期i的標(biāo)準(zhǔn)間的價(jià)格yk,i上述兩種決定價(jià)格變動(dòng)規(guī)律的因素共同決定的。由此可得 yk,i的表達(dá)式：yk,j=yi*yk4.2對(duì)于第二問，根據(jù)訂房客人取消預(yù)定的變化，賓館的利潤也是變化的。為了確定一個(gè)最優(yōu)的預(yù)定策略，將所有可能的情況根據(jù)其概率進(jìn)行加權(quán)運(yùn)算，最終得到具有代表性的總體利潤的期望，從而確定一個(gè)合理的預(yù)定策略。k 人未按時(shí)入住的概率為gk，賓館相應(yīng)與每種gk的利潤為LR(k)，那么賓館利潤的期望為：五、求解方法5.1第一問的求解5.1.1首先對(duì)標(biāo)準(zhǔn)間在每個(gè)周內(nèi)的價(jià)格走勢(shì)作分析，建立其周內(nèi)變化模型。對(duì)一周內(nèi)各天的均價(jià)走勢(shì)的研究，得到一周內(nèi)的價(jià)格變動(dòng)，可以反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)間價(jià)格變動(dòng)因素中的一個(gè)

9、周期性因素。通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析得到前八周內(nèi)，星期一至周日分別的標(biāo)準(zhǔn)間價(jià)格均值：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日標(biāo)間均價(jià)50.550.546.75119125.2595.554.25其折線圖如下：于是得到一周內(nèi)各天的均價(jià)比例如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日標(biāo)準(zhǔn)間均價(jià)50.550.546.75119125.2595.554.25周均價(jià)541.75541.75541.75541.75541.75541.75541.75比例9.32%9.32%8.63%21.97%23.12%17.63%10.01%由于題目中已明確說明：，賓館采用變動(dòng)價(jià)格，根據(jù)市場(chǎng)需求情況調(diào)整價(jià)格，一般來說周

10、末價(jià)格比較高。同時(shí)結(jié)合上圖，對(duì)建立的各周內(nèi)模型采用分段的多項(xiàng)式趨勢(shì)外推法建立函數(shù)。分別用線性趨勢(shì)外推，以及三次多項(xiàng)式外推，建立的分段函數(shù)如下：通過matlab求解方程組（代碼見附錄代碼一），得到趨勢(shì)外推法的解如下其模擬的效果如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日均價(jià)50.550.546.75119125.2595.554.25總價(jià)541.75541.75541.75541.75541.75541.75541.75比例0.0932160.0932160.0862940.2196590.2311950.1762810.100138擬合比例0.0932530.0932530.0862940

11、.21910.23210.17570.1003誤差0.04%0.04%0.00%0.25%0.39%0.33%0.16%從驗(yàn)證值與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差來看，誤差最大的為0.39%，在允許范圍內(nèi)，模擬效果比較理想。5.1.2.再對(duì)標(biāo)準(zhǔn)間前八周的周均價(jià)走勢(shì)作分析，建立周間均價(jià)變化模型，并預(yù)測(cè)九十周均價(jià)。、多項(xiàng)式外推法求解（代碼見附錄代碼二）對(duì)周間標(biāo)準(zhǔn)間的價(jià)格變化的研究，得到其周均價(jià)的價(jià)格走勢(shì)，可以較為直觀的反應(yīng)在較長時(shí)間段內(nèi)整體的價(jià)格趨勢(shì)，以便于作短期預(yù)測(cè)。通過對(duì)題目所提供的數(shù)據(jù)，分析得到前八周各自的均價(jià)， 根據(jù)對(duì)周均價(jià)走勢(shì)的分析，和題目其他已知條件，首先通過趨勢(shì)外推法建立模型如下三次多項(xiàng)式外推其擬合前

12、后對(duì)比如下周次每周價(jià)格走勢(shì)擬合函數(shù)值偏差143.5714285730.116930.88%24967.351937.45%35389.957969.73%4169100.147240.74%590.42857143100.131710.73%670.4285714392.123730.80%776.1428571478.33522.88%867.5714285760.97849.76%擬合曲線見下圖?？梢姡湔`差以十分明顯。其中，前6周誤差都超過10%，最大的第三周甚至達(dá)到69.73%。而且根據(jù)它預(yù)測(cè)的第九、十周均價(jià)分別為42.2653，24.4082元。根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn)可知，均價(jià)隨時(shí)間的推移是逐

13、步上漲的，這與之不符。故，此時(shí)采用三次趨勢(shì)外推是不合理的；若采用更高次的多項(xiàng)式外推法，可使前八周內(nèi)誤差減小，但其預(yù)測(cè)將變得更加不合常規(guī)。于是，此處不能采用多項(xiàng)式趨勢(shì)外推。接下了，本文將采用一次移動(dòng)平均的方法對(duì)第九第十周預(yù)測(cè)。采用一次移動(dòng)平均法求解（代碼見附錄代碼三）為了使數(shù)據(jù)最終結(jié)果與原始數(shù)據(jù)比較符合，并減小統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中由于偶然因素較大的數(shù)據(jù)的影響，取移動(dòng)平均的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)為8。其最終擬合結(jié)果如下（為了便于繪圖，在原始數(shù)據(jù)中令第九十周均價(jià)為0，不過這不影響算法的準(zhǔn)確度）設(shè)未來第k周的周均價(jià)值為yk,則yk+1=18j=k-7kyj其對(duì)九、十周的預(yù)測(cè)結(jié)果為77.3929元，與 81.6205元，比較符

14、合均價(jià)整體走勢(shì)。5.1.3.綜上，可得未來第k周，星期i的標(biāo)準(zhǔn)間價(jià)格的預(yù)測(cè)值yk,i得表達(dá)式： 根據(jù)以上公式計(jì)算出來的第九第十周標(biāo)準(zhǔn)間價(jià)格如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第九周50.52 50.52 46.75 118.70 125.74 95.19 54.34 第十周53.28 53.28 49.30 125.18 132.61 100.39 57.31 5.2求解第二問僅考慮賠償現(xiàn)金的情況下：賓館標(biāo)準(zhǔn)客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的實(shí)有數(shù)量分別為n1,n2,n3;設(shè)賓館接受預(yù)定的標(biāo)準(zhǔn)客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的數(shù)量分別為m1,m2,m3;客人入住的客房的利潤為A元每間；已經(jīng)預(yù)定而

15、又沒有得到客房的賠償為D元每間；賓館除客房以外的其他成本分?jǐn)偨o三類房間，分別總共為C1,C2,C3元；設(shè)一個(gè)已定客房的旅客在在前一天中午以前取消預(yù)定的概率為p；其中k 人未按時(shí)入住的概率為gk，則有： gk=Cmkpk(1-p)(m-k)；當(dāng)m很大時(shí)，為了便于計(jì)算gk，根據(jù)泊松分布和二項(xiàng)分布的聯(lián)系知道，此時(shí)可以用前者計(jì)算后者的近似值：即有，gk=(mp)ke-(mp)k！;設(shè)賓館相應(yīng)與每種gk的利潤為LR，那么LR(k)=m-kA-c, (m-k)nnA-m-k-nD-c, m-k>n那么賓館的利潤期望為根據(jù)假設(shè)，除去客房開支以外，賓館總的運(yùn)營成本，等于至少六成的客房有人入住時(shí)所得的利潤

16、；即C=0.6nA。顯然，賓館的n,D,A,p短期內(nèi)都是已知常數(shù)。過可以通過數(shù)值模擬的方法取定m，使得Y(LR)最大。對(duì)Y(LR)進(jìn)行等價(jià)變形得：對(duì)標(biāo)準(zhǔn)間而言對(duì)豪華間而言對(duì)總統(tǒng)包間而言顯然，隨著p的增大，即1-p的減小，利潤是逐漸增大的。根據(jù)m和p取不同的值，利潤的期望變化如下：A根據(jù)下圖，標(biāo)準(zhǔn)間的最大利潤在1-p=0.95時(shí)，在m1=530時(shí)取得。B根據(jù)模擬計(jì)算圖，豪華間在所有情況下，都在m2=100左右取得最大利潤。C，根據(jù)模擬計(jì)算圖，總統(tǒng)包間在所有情況下，都在m3=20左右取得最大利潤假設(shè)取1-P=0.95。此時(shí)，賓館為了取得最大期望利潤率，根據(jù)前述計(jì)算結(jié)果可知，標(biāo)準(zhǔn)客房的預(yù)訂水平因該取

17、530、豪華套房的預(yù)訂水平取100、總統(tǒng)套房的預(yù)訂水平取20時(shí)，賓館利潤最大。而其中，豪華套房、總統(tǒng)套房的最大利潤分別在101和21處取得，m的數(shù)量太少，不適合超額預(yù)訂，況且賠率較大，賓館從經(jīng)濟(jì)的角度考慮，豪華套房、總統(tǒng)套房不應(yīng)該接受超額預(yù)訂。根據(jù)求出的數(shù)據(jù)可知，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)客房來說，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)客房的超額預(yù)訂水平為530 時(shí)， 最大可能超額入住5人，且概率為0.0796，即說明，最大可能賠償5個(gè)人。5.2.2在同時(shí)考慮升級(jí)客房檔次或賠款的情況下對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)房間，由于沒有更低級(jí)的房間升級(jí)到標(biāo)準(zhǔn)房間，故在不同的概率值下， 期望利潤率隨訂房水平的變化情況相似。 由5.1 的求解可知，在1-P=0.95 的情況下

18、，賓館為達(dá)到，最大期望收益率，標(biāo)準(zhǔn)客房的超額預(yù)訂水平為530，豪華套房和總統(tǒng)套房不需要超額預(yù)訂。在標(biāo)準(zhǔn)客房的530 超額預(yù)訂水平下，最大可能是需要賠償5 個(gè)人。我們不妨假設(shè)賓館此時(shí)的處理方式是給其中2 人退預(yù)定金，并賠償標(biāo)準(zhǔn)間利潤的一倍；給另外3 人升級(jí)為豪華套房。于是，對(duì)于豪華套房來說，由于客滿，已經(jīng)預(yù)定豪華套房的客人不能入住的概率將增加。由于豪華套房本身不超額預(yù)訂，那么，賓館最明智的處理方式是預(yù)留3 個(gè)房間，提供給不能住標(biāo)準(zhǔn)客房的客人，以減少損失。結(jié)論是：當(dāng)賓館的處理方式是賠償客人費(fèi)用或升級(jí)客人鎖定房間的等級(jí)時(shí)，賓館的預(yù)訂策略是標(biāo)準(zhǔn)客房預(yù)訂水平定為530，豪華客房預(yù)訂水平定為97，總統(tǒng)套房

19、的預(yù)訂水平定為20。5.3為該賓館制定一個(gè)長期的經(jīng)營策略；并給總經(jīng)理寫一篇短文有關(guān)管理經(jīng)營的建議書。根據(jù)第一二問的求解，可以知道，賓館的有關(guān)經(jīng)營定價(jià)策略；不過對(duì)于長期的預(yù)測(cè)與規(guī)劃，本模型同樣適用，只是涉及的具體參數(shù)，計(jì)算數(shù)據(jù)等要隨時(shí)間的推移和市場(chǎng)的變化而更新，從而可以制定科學(xué)合理的經(jīng)營策略。同時(shí)，也要適度靈活處置市場(chǎng)即時(shí)變更，以適應(yīng)波動(dòng)的市場(chǎng)。六、計(jì)算機(jī)結(jié)果及分析6.1.第一問結(jié)果為第九第十周標(biāo)準(zhǔn)間價(jià)格如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第九周50.52 50.52 46.75 118.70 125.74 95.19 54.34 第十周53.28 53.28 49.30 125.

20、18 132.61 100.39 57.31 6.2第二問的結(jié)果為A僅考慮賠償現(xiàn)金的情況下賓館的超額預(yù)訂策略是標(biāo)準(zhǔn)客房預(yù)訂水平定位530，同時(shí)，其賠償額度為每間賠償以相當(dāng)于一間同等級(jí)別的客房利潤的現(xiàn)金，豪華套房和總統(tǒng)套房不提供超額預(yù)訂。B在同時(shí)考慮升級(jí)客房檔次或賠款的情況下賓館的預(yù)訂策略是標(biāo)準(zhǔn)客房預(yù)訂水平定為530，豪華客房預(yù)訂水平定為97，總統(tǒng)套房的預(yù)訂水平定為20。6.3本模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：模型的精確度較高，比如第一問的誤差不超過1%，結(jié)果可靠； 采用多種方法對(duì)比計(jì)算，結(jié)果優(yōu)化程度較好。 結(jié)合各種市場(chǎng)數(shù)據(jù)和經(jīng)濟(jì)規(guī)律，結(jié)果的可靠度較高。缺點(diǎn)：模型的建立中考慮的因素不夠全面，比如第二問的求解當(dāng)

21、中，還可以將超額預(yù)訂對(duì)賓館的信譽(yù)度，一致于入住率的影響加入考慮。七、參考文獻(xiàn)1： 蒲俊，數(shù)學(xué)建模講義； 2： 曾建軍，李世行，matlab語言與數(shù)學(xué)建模，安徽理工大學(xué)；3： 李順初，概率統(tǒng)計(jì)教程；科學(xué)出版社；4： 孫 岳，楊永均，湯玚，中國礦業(yè)大學(xué)暑期數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)；八、附錄、某賓館8周標(biāo)準(zhǔn)房價(jià)格(單位: 美元)周次周一周二周三周四周五周六周日129.00 29.00 29.00 69.00 79.00 35.00 35.00 235.00 35.00 35.00 69.00 99.00 35.00 35.00 335.00 35.00 35.00 89.00 99.00 39.00 39.00

22、 439.00 39.00 39.00 329.00 329.00 329.00 79.00 579.00 79.00 79.00 119.00 119.00 119.00 39.00 639.00 39.00 39.00 99.00 99.00 89.00 89.00 789.00 89.00 59.00 89.00 89.00 59.00 59.00 859.00 59.00 59.00 89.00 89.00 59.00 59.00 、代碼代碼一：x= 3 4 5 6 7y1=0.0862944160.2196585140.2311952010.1762805720.10013844y= 0 0 0 0 0wc=zeros(1,7)figurehold onplot(x,y1,'r-')b=polyfit(x,y1,3)plot(x,polyval(b,x),'g-&