初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第30講從創(chuàng)新構(gòu)造入手

1、第三十講 從創(chuàng)新構(gòu)造入手 有些數(shù)學(xué)問題直接求解比較困難，可通過創(chuàng)造性構(gòu)造轉(zhuǎn)化問題而使問題獲解所謂構(gòu)造法，就是綜合運(yùn)用各種知識和方法，依據(jù)問題的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚順?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模式，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是建立在對問題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的深刻認(rèn)識基礎(chǔ)上的 構(gòu)造法的基本形式是以已知條件為“原料”，以所求結(jié)論為“方向”，構(gòu)造一種新的數(shù)學(xué)形式，初中階段常用的構(gòu)造解題的基本方法有： 1構(gòu)造方程； 2構(gòu)造函數(shù)； 3構(gòu)造圖形； 4對于存在性問題，構(gòu)造實(shí)例； 5對于錯(cuò)誤的命題，構(gòu)造反例；6構(gòu)造等價(jià)命題等【例題求解】【例1】 設(shè)、都為實(shí)數(shù)，滿足，求證

2、： 思路點(diǎn)撥 可以從展開已知等式、按比例性質(zhì)變形已知等式等角度嘗試仔細(xì)觀察已知等式特點(diǎn)，、可看作方程的兩根，則，通過構(gòu)造方程揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律，解題思路新穎而深刻 注：一般說來，構(gòu)造法包含下述兩層意思：利用抽象的普遍性，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；利用具體問題的特殊性，給所解決的問題設(shè)計(jì)一個(gè)框架，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模是前一層意思的代表，而后一層意思的“框架”含義更為廣泛，如方程、函數(shù)、圖形、“抽屜”等 【例2】 求代數(shù)式的最小值思路點(diǎn)撥 用一般求最值的方法很難求出此代數(shù)式的最小值，于是問題轉(zhuǎn)化為：在 軸上求一點(diǎn)C(1，0)，使它到兩點(diǎn)A(一1，1)和B(2，3)的距離和(CA+CB)

3、最小，利用對稱性可求出C點(diǎn)坐標(biāo)這樣，通過構(gòu)造圖形而使問題獲解【例3】 已知、為整數(shù)，方程的兩根都大于且小于0，求和的值 思路點(diǎn)撥 利用求根公式，解不等式組求出、的范圍，這是解本例的基本思路，解法繁難由于二次函數(shù)與二次方程有深刻的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，令，從討論拋物線與軸交點(diǎn)在與0之間所滿足的約束條件入手 【例4】 如圖，在矩形ABCD中，AD=，AB=，問：能否在Ab邊上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成三個(gè)彼此相似的三角形?若能找到，這樣的E點(diǎn)有幾個(gè)?若不能找到，請說明理由思路點(diǎn)撥 假設(shè)在AB邊上存在點(diǎn)E，使RtADERtBECRtECD，又設(shè)AE=，則，即，于是將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元

4、二次方程是否有實(shí)根，在一定條件下有幾個(gè)實(shí)根的研究，通過構(gòu)造方程解決問題【例5】 試證：世界上任何6個(gè)人，總有3人彼此認(rèn)識或者彼此不認(rèn)識思路點(diǎn)撥 構(gòu)造圖形解題，我們把“人”看作“點(diǎn)”，把2個(gè)人之間的關(guān)系看作染成顏色的線段比如2個(gè)人彼此認(rèn)識就把連接2個(gè)人的對應(yīng)點(diǎn)的線段染成紅色；2個(gè)人彼此不認(rèn)識，就把相應(yīng)的線段染成藍(lán)色，這樣，有3個(gè)人彼此認(rèn)識就是存在一個(gè)3邊都是紅色的三角形，否則就是存在一個(gè)3邊都是藍(lán)色的三角形，這樣本題就化作：已知有6個(gè)點(diǎn)，任何3點(diǎn)不共線，每2點(diǎn)之間用線段連結(jié)起來，并染上紅色或藍(lán)色，并且一條邊只能染成一種顏色證明：不管怎么染色，總可以找出三邊同色的三角形注：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺少

5、時(shí)難入微”數(shù)形互助是一種重要的思想方法，主要體現(xiàn)在： (1)幾何問題代數(shù)化； (2)利用圖形圖表解代數(shù)問題； (3)構(gòu)造函數(shù)，借用函數(shù)圖象探討方程的解 利用代數(shù)法解幾何題，往往是以較少的量的字母表示相關(guān)的幾何量，根據(jù)幾何圖形性質(zhì)列出代數(shù)式或方程(組)，再進(jìn)行計(jì)算或證明 特別地，證明幾何存在性的問題可構(gòu)造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代數(shù)模型求證；應(yīng)用為韋達(dá)定理，討論幾何圖形位置的可能性 有些問題可通過改變形式或換個(gè)說法，構(gòu)造等價(jià)命題或輔助命題，使問題清晰且易于把握對于存在性問題，可根據(jù)問題要求構(gòu)造出一個(gè)滿足條件的結(jié)論對象，即所謂的存在性問題的“構(gòu)造性證明”學(xué)歷訓(xùn)練1若關(guān)于的方程的所有根都

6、是比1小的正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 2已知、是四個(gè)不同的有理數(shù)，且，那么的值是 3代數(shù)式的最小值為 4A、B、C、D、E、F六個(gè)足球隊(duì)單循環(huán)賽，已知A、B、C、D、E五個(gè)隊(duì)已經(jīng)分別比賽 了5、4、3、2、1場，則還未與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是 5若實(shí)數(shù)、滿足，且，則的取值范圍是 6設(shè)實(shí)數(shù)分別、分別滿足，并且，求的值 7已知實(shí)數(shù)、滿足，求證： 8寫出10個(gè)不同的自然數(shù)，使得它們中的每個(gè)是這10個(gè)數(shù)和的一個(gè)約數(shù)，并說明寫出的10個(gè)自然數(shù)符合題設(shè)條件的理由9求所有的實(shí)數(shù)，使得 10若是不全為零且絕對值都小于106的整數(shù)求證： 11已知關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍12設(shè)0，求證13從自然數(shù)l，2，3，354中任取178個(gè)數(shù)，試證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差為177 14已知、是滿足，的實(shí)數(shù)，