數(shù)學(xué)中的美原

1、數(shù) 學(xué) 中 的 美郭會才 指導(dǎo)教師 董永權(quán) 副教授摘 要隨著教育與娛樂的發(fā)展，將有更多的人欣賞音樂與繪畫。但是，能夠真正欣賞數(shù)學(xué)的人數(shù)是很少的。藝術(shù)追求美，數(shù)學(xué)也追求美，數(shù)學(xué)美是科學(xué)美的一種，數(shù)學(xué)不但體現(xiàn)了科學(xué)美也體現(xiàn)了藝術(shù)美。數(shù)學(xué)在其知識內(nèi)容、形式上等方面具有自身的許多獨特美，因此數(shù)學(xué)美是生動的、具體的、形象的。這篇文章主要以高中數(shù)學(xué)為背景，探討了數(shù)學(xué)美的三個主要方面：數(shù)學(xué)的簡潔美、數(shù)學(xué)的對稱美、數(shù)學(xué)的和諧美。其中，數(shù)學(xué)的簡潔美分為數(shù)學(xué)概念的簡潔、數(shù)學(xué)符號的簡潔、數(shù)學(xué)證明的簡潔、數(shù)學(xué)結(jié)論的簡潔四部分；數(shù)學(xué)的對稱美分為：幾何中的對稱美，代數(shù)中的對稱美兩部分；數(shù)學(xué)的和諧美分為：數(shù)學(xué)從不和諧走向和

2、諧,數(shù)學(xué)比例的和諧美, 數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的和諧美三部分。并在其中相應(yīng)的列舉了例子來加以說明論證。數(shù)學(xué)中的美無處不在，只要認(rèn)真觀察細(xì)心體會，數(shù)學(xué)就會把它的美主動的無私的呈現(xiàn)出來，那時數(shù)學(xué)就不再枯燥無味。關(guān)鍵詞 簡潔美 對稱美 和諧美正文 前 言作為一門科學(xué)，數(shù)學(xué)的最大特點就是它的真，真中見美，如果公正地看，數(shù)學(xué)包含的不僅是真理，也是無上的美 一種冷峭而嚴(yán)峻的美，恰像一尊雕刻一樣。感覺到數(shù)學(xué)的美，感覺到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實的美的感覺。數(shù)學(xué)中蘊含的美的因素是深廣博大的，數(shù)學(xué)的研究對象是數(shù)、形、式，數(shù)的美，形的美，式的美，隨處可見，它的表現(xiàn)形式主要有簡潔美、對稱

3、美、和諧美。一、簡 潔 美世界原本就是簡潔的，簡潔是一種美。數(shù)學(xué)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性決定它必須精煉、簡潔。數(shù)學(xué)的簡潔美體現(xiàn)在以下四方面：、數(shù)學(xué)概念是簡潔的。數(shù)學(xué)概念敘述語言的高度概括，可以說它的語言精煉到“一字千金”的程度。精煉準(zhǔn)確的概念多一個字就有種煩瑣感，去掉一個字就有歧義或錯誤。比如向量的定義是“既有大小又有方向的量。”如在“既”前加上“我們稱”或在“大小”后加上“的”則有煩瑣感；若去掉“既-又-”則敘述就有表達(dá)不清的歧義感。數(shù)學(xué)概念的簡潔是一種精煉的簡單，憑借這些簡單而精煉的語言能夠刻畫復(fù)雜的現(xiàn)象，如“函數(shù)”這個簡潔的概念能刻畫出這樣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象：設(shè)、兩個非空集合，是從到的一個對應(yīng)法則，則到上的

4、映射：稱為到上的函數(shù)。其它數(shù)學(xué)概念也是簡潔、精煉的，如果試著加上或去掉任一個字通過仔細(xì)推敲、琢磨就會發(fā)現(xiàn)此定義不再簡潔或準(zhǔn)確。在空間幾何里，兩條直線有以下三種位置關(guān)系：（1）相交直線有且只有一個公共點；（2）平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點；（3）異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點誰能否定這樣的敘述不簡練準(zhǔn)確？數(shù)學(xué)規(guī)律、性質(zhì)等的表述也是如此。如排列組合中的分類計數(shù)原理：完成一件事，有類辦法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法、數(shù)學(xué)符號是簡潔的。符號是最簡潔的文字，其表達(dá)的內(nèi)容豐富而廣泛，數(shù)學(xué)就是用簡潔的符號表現(xiàn)

5、復(fù)雜的事物，也正是這些簡潔的數(shù)學(xué)符號才使書寫、運算、推理等更方便更快捷。比如“兩條直線平行”用數(shù)學(xué)符號表示為“”,直線和平面垂直用“”表示,“直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”用數(shù)學(xué)符號寫成“”等。數(shù)學(xué)符號的特有的美感有時比漢字更具魅力。歐拉公式：e=,把實數(shù)域中看不出有任何關(guān)系的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，在復(fù)數(shù)域中巧妙地聯(lián)系在一起，其特例e+=把、五個重要常量簡單巧妙地結(jié)合在一起，絕對耐人尋味。三角函數(shù)中數(shù)學(xué)sin+cos=.把三角和實數(shù)統(tǒng)一起來，把復(fù)數(shù)與實數(shù)統(tǒng)一起來，建立了各知識點之間的聯(lián)系和橋梁。符號是數(shù)學(xué)科學(xué)抽象化程度的高度表現(xiàn)。另外，數(shù)學(xué)圖形中的點、線、面、體也是對客觀事物的抽象

6、概括，也是簡潔實用的。比如著名的“哥尼斯堡七橋問題”最終也是通過數(shù)學(xué)手段巧妙地將實際問題抽象簡化到數(shù)學(xué)中的一筆畫問題而解決的。用點代表河岸和小島，用線代表橋，于是得到下面一個簡單的圖形，如圖 圖（）、數(shù)學(xué)證明是簡潔的。數(shù)學(xué)的簡潔也體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)答案的獲得上力求一種簡潔的方式。對于完全平方式的推導(dǎo)可以通過面積法來證明。也就是大正方形的面積等于四個小矩形的面積的和。圖（）學(xué)數(shù)學(xué)的人常有這樣的經(jīng)歷：面對一個復(fù)雜的難題冥思苦想，不得其解，突然靈感突發(fā)思路頓悟，就是簡簡單單的轉(zhuǎn)換一下思路而已，不絕稱贊數(shù)學(xué)的靈活多變和方法的巧妙。數(shù)學(xué)思維是邏輯美和簡潔美。比如：求證，不存在這樣的兩個既約分?jǐn)?shù)，其乘積與和均為

7、整數(shù)。分析：此題如果用直接證法將會是非常煩瑣的，需要無窮性的列舉兩個既約分?jǐn)?shù)，再驗證其乘積與和不能同時為整數(shù)，而換用一種簡潔的靈活的方法即間接證法。證明：假設(shè)存在兩個既約分?jǐn)?shù)和,且+=為整數(shù)，·=為整數(shù)，那么 和 ,應(yīng)為方程 +的兩個根。于是有 （）·+=0,從而有 =·· (*) , , 均為整數(shù)， (*)式右端為整數(shù)，但是，與互質(zhì), 與也互質(zhì)，(*)左端不可能為整數(shù)，因此，得出了矛盾，所以不存在這樣的兩個既約分?jǐn)?shù)，其乘積與和均為整數(shù)。此例充分可以說明數(shù)學(xué)證明語言的簡練與精確，也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯體系的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性。、數(shù)學(xué)結(jié)論是簡潔的數(shù)學(xué)通過簡潔的證

8、明得到的結(jié)果也給人簡潔之美，如：=；，圓標(biāo)準(zhǔn)方程等等。解數(shù)學(xué)題時,當(dāng)面對一個復(fù)雜問題通過冥思苦想最終獲得一個簡潔而完美的答案時,那種心情將是非常愉快的，解數(shù)學(xué)題可以培養(yǎng)人的性格，陶冶人的情操。比如由一組算式：通過觀察分析，可以總結(jié)出一個規(guī)律：把拆開，中間插入，插入的個數(shù)比第一個因式的個數(shù)少個，那么利用這個規(guī)律可以輕松地解答出下列算式：，。二、對 稱 美對稱和美緊密相連，具有對稱的東西給人以圓滿的勻稱美感與精神享受。數(shù)學(xué)中的對稱美很普遍。 、幾何中的對稱美。 在平面幾何中有軸對稱、中心對稱，正方形、圓形、等腰三角形都是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，圓是最美的平面圖形；在立體幾何中的正方體、長方體、

9、正四面體都是對稱的幾何體，球在各個方面都是對稱的，是一切立體幾何中最美的圖形。數(shù)學(xué)中的對稱圖形在日常生活中的應(yīng)用比比皆是，都給人以完美的藝術(shù)享受。比如：幾何中的海倫公式便是以對稱形式出現(xiàn)的：=,它是那么的耐人尋味，既然把作為一個因子，那么一定也要把請出來，可是的單位取算術(shù)根后，得不出面積的單位，怎么辦？只要在號下再乘上一個，但乘上那條邊呢？乘上？乘上？乘上？都不行，因為這樣一來對于、就不公平了，想來想去還是乘上吧，一方面它的單位是，更重要的是，=對于來說，、是平等的、對稱的。、代數(shù)中的對稱美。代數(shù)式+=+, (+)=+,（+）=+ 都有對稱性，代數(shù)中的很多平滑曲線，也給人以對稱美的感受。橢圓、

10、雙曲線、拋物線的圖象，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，正弦、余弦函數(shù)的圖象等。比如函數(shù)的圖象除對稱美外還給人一種“一江春水向東流”的視覺美。 圖（） 再如函數(shù)，的圖像給人一種“飛流直下三千尺”的山水美、對稱美。如圖（4）圖（4） 若，則當(dāng)時，求的取值范圍。它的圖形也是一種典型的對稱圖形。 圖（）再如前面所提到的“哥尼斯堡七橋問題”抽象成的數(shù)學(xué)圖形也是一種很美的對稱圖。另外某些有關(guān)連或?qū)α⒌母拍钜卜Q為對稱。例如：有奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)、有理數(shù)和無理數(shù)、實數(shù)與虛數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)；從常量到變量，從有限到無限都能體現(xiàn)一種無形的對稱美。“共軛”概念也蘊涵著對稱性，或者可以看成對稱概念的推廣，例如：

11、A=(a)與=(a) 稱為共軛矩陣。在集合運算中，以下公式也具有對稱性：=,=，,。數(shù)學(xué)的對稱美還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)容本身在結(jié)構(gòu)上的有機(jī)統(tǒng)一。 從宏觀上講，中學(xué)數(shù)學(xué)分為代數(shù)與幾何，各數(shù)學(xué)分支在結(jié)構(gòu)意義下達(dá)到完美統(tǒng)一。從微觀講，數(shù)學(xué)各知識點之間又是有機(jī)統(tǒng)一的，例如：在實數(shù)的運算中加法和減法是統(tǒng)一的，乘法和除法也是統(tǒng)一的，乘方和開方是統(tǒng)一的，而實數(shù)的運算和有理數(shù)的運算以及自然數(shù)的運算的法則又是統(tǒng)一的。三、和 諧 美美是和諧，和諧美也是數(shù)學(xué)美的一種。和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)、形式結(jié)構(gòu)無矛盾性。數(shù)學(xué)家一直在努力追求數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、和諧。、數(shù)學(xué)從不和諧走向和諧。數(shù)學(xué)在努力消除數(shù)學(xué)中的不和諧東西，比如悖論，在很大意義上講悖

12、論對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著舉足輕重的作用。數(shù)學(xué)史上的“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是由于某些數(shù)學(xué)理論不和諧所致，但也正是通過消除這些不和諧事例的研究促進(jìn)了數(shù)學(xué)本身的進(jìn)一步發(fā)展。正如數(shù)學(xué)家貝爾和戴維斯所說的那樣：數(shù)學(xué)過去的錯誤和未解決的困難，為它未來的發(fā)展提供契機(jī)。、數(shù)學(xué)比例的和諧美。數(shù)學(xué)中和諧的比例與優(yōu)美的曲線或圖形都能給人以強(qiáng)烈的形式美。比如直角三角形斜邊的平方等于其兩直角邊的平方和；最負(fù)盛名的黃金分割，具有美神之稱，它是黃金三角形的底與腰的比，也是黃金矩形的寬與長之比，人體自身的軀干寬高比約為，層高的樓房，或?qū)幼罴眩恍┟嫷闹黝}大部分也畫在畫面的處。再如圓周長公式這個初等數(shù)學(xué)公式，揭示了圓周長和半徑之間的一種簡

13、潔、奇妙、和諧的比例美。世界上存在著很多圓，但是數(shù)學(xué)定義中的圓比任何畫家、藝術(shù)家所能描繪的圓更完美更和諧。、數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的和諧美。和諧指理論體系內(nèi)部的嚴(yán)謹(jǐn)、統(tǒng)一。數(shù)學(xué)體系是把自然規(guī)律抽象成一些概念、公式或定理，并通過簡潔的推理證明出各種令人驚嘆的公式和定理，充分表現(xiàn)了其內(nèi)在的和諧性與統(tǒng)一性，從中感受到一種崇高、博大、妙不可言的和諧美，就象音樂家憑借7個音符譜寫出令人心醉的樂章所帶給人們藝術(shù)美的享受一樣。例如,從等式出發(fā)（1）已知求這要用到乘方運算;（2） 已知求用到開方運算,（3）由和諧美原則,知求用到一種新的運算即對數(shù)運算。又如棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺等形狀各異但他們的體積公式都能

14、統(tǒng)一到同一公式中。數(shù)學(xué)有很多分支很多內(nèi)容，這些內(nèi)容不是互不相干的堆積起來的，而是互相聯(lián)系成一個有機(jī)的整體。這種有機(jī)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，而且，通過這種聯(lián)系和統(tǒng)一使得整個數(shù)學(xué)內(nèi)容顯得線條清晰，結(jié)構(gòu)簡潔，體現(xiàn)了一種簡潔的美。整個數(shù)學(xué)體系的前后關(guān)聯(lián)、交相呼應(yīng)、渾然一體、天衣無縫，構(gòu)成一個龐大的知識網(wǎng)，千絲萬縷，有理可依，有論可劇絕對是世上最完美的美、最和諧的美。試問，有哪個人能推翻數(shù)學(xué)體系？又有誰能創(chuàng)建出另一套思維邏輯體系而與數(shù)學(xué)不發(fā)生任何聯(lián)系？我們的答案是否定的，數(shù)學(xué)才是美麗的皇后。四、結(jié) 束 語音樂可以描繪成感覺的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)也可以描繪成理性的音樂，音樂家可以感覺到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家也可以感受到

15、音樂音樂是夢想，數(shù)學(xué)是工作的一生每一方都經(jīng)由對方達(dá)到盡善盡美的境地，大自然是美好的：美麗的山川，璀璨的星空，豐富的色彩，多姿的生活，寶貴的生命這些美好事物的背后都深藏著許多數(shù)學(xué)奧妙，可以說數(shù)學(xué)美無處不在。用當(dāng)今數(shù)學(xué)家克萊因的一句話來概括數(shù)學(xué)的美就是：“音樂能激發(fā)或撫慰人的情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)能使人獲得智慧，科技可以改變物質(zhì)生活，但是數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！睌?shù)學(xué)的簡潔美、對稱美、和諧美，在萬物世界的各個方面都能表現(xiàn)出來。只要認(rèn)真觀察、細(xì)心體會，那么不管他以前是否喜歡數(shù)學(xué)還是反感數(shù)學(xué)，他都會從此喜歡上數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)難題、喜歡挑戰(zhàn)自己。參考文獻(xiàn)：1吳振奎 吳憫：數(shù)

16、學(xué)中的美.上海：上海教育出版社，2002.92孫維剛：孫維剛教育文叢.北京：北方婦女兒童出版社，1999.73張景中：數(shù)學(xué)家的眼光.北京：中國少年兒童出版社，2002.14馮培軍：淺談新課程理念下學(xué)生數(shù)學(xué)審美能力的培養(yǎng).中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué).北京：中國人民大學(xué)書報資料中心，2005年第4期.5莊亞棟主編：高中數(shù)學(xué)教與學(xué).江蘇：中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部，2006年第1期.6張順燕主編：心靈之化.北京：北京大學(xué)出版社，2002.11.The Beauty Of MathematicsGuo Hui Cai Directed by Associate Professor Dong Yong QuanAbstr

17、act As education and leisure develop more people will enjoy music and painting. But the number of people who really enjoy mathematics is very small. Art follows beauty and mathematics is also The beauty of mathematics is a kind of the beauty of science.Among mathematics,it has its own beauty at the

18、aspects of content ,construction ,shape ,and etc ,so the beauty of mathematics is vivid , concrete and visiual.The article approachs the three chief beauty of mathematics : the beauty of laconic , the beauty of symmetry , the beauty of harmony . the beauty of concision contains the concision of mathematical concepts, mathematical symbols mathematical proofs and mathematical conclusions. The beauty of symmetry contains mathematical changes from unaccordance to accordance , the accordance of mathematical proportion and knowledge structure