反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用【摘要】 本文就反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及應(yīng)用反例教學(xué)時(shí)應(yīng)注意的問題提出了幾點(diǎn)看法?！娟P(guān)鍵詞】 反例；反例教學(xué)；應(yīng)用 1引言著名的數(shù)學(xué)家蓋兒鮑姆（Gel Baum）曾說數(shù)學(xué)由兩大類證明和反例組成。而數(shù)學(xué)的發(fā)展也是朝著這兩個主要目標(biāo)提出證明或構(gòu)造反例。當(dāng)某些問題經(jīng)人們絞盡腦汁去推演卻仍懸而未決時(shí)（即使這種不徹底的推理并無差錯）。則應(yīng)允許人們對此命題的真?zhèn)萎a(chǎn)生懷疑，這就需要去尋找符合題設(shè)條件而與命題相悖的反例。反例因其具有簡明、直觀、說服力強(qiáng)等特點(diǎn),決定了他在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著不可替代的作用。在教學(xué)過程中適當(dāng)運(yùn)用反例對提高學(xué)生的創(chuàng)造能力有良好的誘導(dǎo)作用，從而也會給數(shù)學(xué)

2、教學(xué)帶來美妙的感受和良好的效果。教師在日常教學(xué)中，可經(jīng)常選擇一些發(fā)散性強(qiáng)的典型數(shù)學(xué)知識或問題，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，引導(dǎo)學(xué)生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，從而提高學(xué)生思維的發(fā)散性.那么在教學(xué)的過程中反例的運(yùn)用、構(gòu)建是猜想、試驗(yàn)、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體。反例教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已越來越被人們重視和認(rèn)可. 通過反例教學(xué)，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)中概念的理解，同時(shí)也解決了教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，使學(xué)生在認(rèn)識上產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而提高了教學(xué)的有效性。2 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用2.1利用反例加深對數(shù)學(xué)概念的理解數(shù)學(xué)概

3、念本身是抽象的，引入概念之后，還必須有一個去粗取精、去偽存真的過程，必須在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上對概念作辨證的分析，用不同的方式進(jìn)一步揭示概念的本質(zhì)屬性。通過構(gòu)造反例，往往能夠從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識，把握概念的要素和本質(zhì)，從而達(dá)到學(xué)好的效果。 例2.1 人教版必修1函數(shù)的基本性質(zhì)一節(jié)中，對函數(shù)的奇偶性這樣定義：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。學(xué)生利用定義判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)往往忽略“定義域內(nèi)任意一個”，直接去利用與之間的關(guān)系去判斷，從而得出錯誤的結(jié)論。如果教師只是從正面去解釋“定義域內(nèi)任意一個

4、”學(xué)生就會感覺很抽象。若教師利用反例會使學(xué)生感覺更直、更觀容易理解。例如判斷的奇偶性。若忽略“定義域內(nèi)任意一個” 這個大前提就會得到從而得出此函數(shù)是偶函數(shù)的結(jié)論，而實(shí)際是不在定義域內(nèi)，所以此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。又例如：在等差數(shù)列的定義中，舉出例子：（1）2，4，6，7，8    （2）-6，-4，-3，-1，1讓學(xué)生理解“第二項(xiàng)起” ，“同一”常數(shù)的含義。2.2反例是理解定理、法則的有利工具例2.2 初中在教三角形全等的判定定理時(shí)，三角形三邊和三個角六個元素中，一般需要三個元素對應(yīng)相等（但其中至少有一邊）比如兩角和夾邊（ASA），兩邊和夾角（SAS），三邊對應(yīng)相等

5、（SSS）兩角和一對邊（AAS）。特別強(qiáng)調(diào) “對應(yīng)”、“夾邊”、“夾角”。為了對定理的深刻理解可以采用反例教學(xué)，去掉“夾角”，如有兩邊及其其中一邊所對的角對應(yīng)相等(SSA)的兩個三角形是否全等。構(gòu)造反例可以先固定,在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考若說明可以通過以下作圖方法來畫出：以或者為圓心，為半徑畫弧，只要滿足一定的條件，此時(shí)所畫的弧就很可能與所在的直線有兩個交點(diǎn)，這是再構(gòu)造出不全等的三角形就減少了難度。另外可以進(jìn)一步討論去掉“對應(yīng)”，六個元素中已知三個元素相等能否判斷兩個三角形全等，六個元素中已知四個元素相等能否判斷兩個三角形全等，六個元素中已知五個元素相等能否判斷兩個三角形全等。六個元素中已

6、知三個元素相等兩個三角形全等三角的反例比較容易列舉，例如邊長不等的兩個等邊三角形，三個角分別相等但兩個三角形不全等。六個元素中已知四個元素相等兩個三角形全等三角的反例也比較容易列舉，例如邊長為1和邊長為2的兩個等腰直角三角形，三個角分別相等，斜邊與另一三角形的直角邊相等但兩個三角形不全等。判斷五個元素對應(yīng)相等的兩三角形全等是否正確.對于這個問題，很多初中學(xué)生感到模棱兩可.反例也較難列舉，比如三角形三邊分別是和的兩個三角形，這里,則他們相似，故有三個角相等，加之兩邊，該三角形共有五個元素分別相等，但是兩個三角形卻不等.如 反例的給出讓學(xué)生對三角形的全等條件有了進(jìn)一步的了解和掌握，使學(xué)生注意到兩個

7、全等三角形中“邊”相等不是任意給出的.那么在這道題中，反例的及時(shí)出現(xiàn)給學(xué)生眼前一亮的感覺。讓學(xué)生體會到反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是不可忽視的，加深對三角形全等判定定理的理解。2.3利用反例可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高教學(xué)效果一個問題的解答，通常我們會用各種方式驗(yàn)證結(jié)果，反例將會引導(dǎo)我們追尋問題的所在，從反例中修補(bǔ)相關(guān)知識，從而獲得正確結(jié)論和解答.那么恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)學(xué)生使用反例可以更好的提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。例2.3 試問：在三角形中，邊長越長，面積越大嗎？ 分析：在三角形中若知道其三邊，便可以計(jì)算其面積，這個事實(shí)早在兩千多年前已為古希臘學(xué)者海倫所發(fā)現(xiàn)，他給出公式：（海倫公式）其中為三角形三邊長，另外我國數(shù)

8、學(xué)家秦九韶在數(shù)學(xué)九章中提出的公式-“三斜求積”式實(shí)質(zhì)上是相同的. （三斜求積式）從兩個公式中，均無法明顯得出邊長越大三角形面積越大的結(jié)論.乍一看，很多學(xué)生對此毫無疑問，可是考慮下面的例子. 已知三角形ABC的三邊，又邊上高為，在延長線上取使 ，另取使 若，只需，（為過點(diǎn)的垂線），顯然有，但.具體的例子如：取且，;又考慮中（=1），令,則,;顯然，而 注1 對于兩個銳角三角形來說，若它們的邊長滿足定理?xiàng)l件，則命題結(jié)論一定成立.這也可以用反證法去考慮，如下圖兩銳角和中，若，而。這樣，由之則有，由設(shè),故，所以，從而有=（矛盾）那么這個題目說明了能夠恰當(dāng)?shù)囊梅蠢跀?shù)學(xué)教學(xué)的過程中還是有很大作用的。關(guān)

9、鍵是我們能找到說服力強(qiáng)的反例通過這個反例的講解讓學(xué)生再次覺得反例在揭示錯誤時(shí)有特殊的威力，從而能更好的激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的效果。讓學(xué)生體會到反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是不可忽視的，從而增強(qiáng)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱情。2.4 反例可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性數(shù)學(xué)思維就是解決數(shù)學(xué)問題的心智活動，所以問題是思維的“啟發(fā)劑”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，舉反例也是提出問題的常用方法.運(yùn)用反例可以增強(qiáng)思維的縝密性，彌補(bǔ)解決問題出現(xiàn)的漏洞，培養(yǎng)思維的批判性，從而去發(fā)展學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維，全面提高思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).尋找一個反例往往比證明更需要想像力和創(chuàng)造力。例2.4 若關(guān)于的方程有

10、兩個不等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.不少學(xué)生是這樣做的：由 可以得到： （1） （2）從而將問題轉(zhuǎn)化為方程，即，在內(nèi)有兩相異的根，求的取值范圍。 乍看這種解法是正確的，但仔細(xì)分析便可發(fā)現(xiàn)該解法是錯誤的，這是因?yàn)樵冢?）中，而在（2）中可正可負(fù)，即（1）與（2）并非等價(jià)，問題就出在 兩邊平方后擴(kuò)大了的取值范圍，因此，在解題時(shí)必須重視思維的嚴(yán)密性。通過這個例題可以看出有些題目對學(xué)生思維嚴(yán)密性的考查，也有了一定的要求.因此，注重對技巧的實(shí)質(zhì)把握，弄清通性、通法是十分重要的。學(xué)生的模仿能力強(qiáng)，課堂講授的知識容易接受，但題目一旦改樣或時(shí)間稍久我們就無所適從.因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了高效地傳授知識及基本技能

11、外，還要通過一些題目的反例的學(xué)習(xí)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。以上的例子說明：反例思想是數(shù)學(xué)分析中的重要思想，在我們進(jìn)行問題的研究和論證中都具有不可替代的獨(dú)特作用.同時(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用反例能更好的培養(yǎng)學(xué)生們的思維嚴(yán)密性。3 數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用反例應(yīng)注意的問題 在教學(xué)中重視和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例，不僅可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，養(yǎng)成重視條件，嚴(yán)格推理的習(xí)慣，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)能力.教學(xué)中運(yùn)用反例必須注意：(1) 適當(dāng)時(shí)候講授反例.要在學(xué)生對所學(xué)知識有了一定的認(rèn)識和理解的基礎(chǔ)上，才能講授.決不能在學(xué)生剛剛接觸或者還沒有完全掌握時(shí)就提出反例給學(xué)生，這樣不但起不到好的教學(xué)效果，有時(shí)還會把學(xué)生搞糊涂，弄巧成拙.

12、教師可根據(jù)學(xué)生知識掌握情況和接受原則，在習(xí)題課或復(fù)習(xí)課時(shí)提出反例。(2) 教學(xué)中主要講授概念、定理和方法，對于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴(yán)格的證明和推導(dǎo).舉反例重在說明結(jié)論，學(xué)生對反例的掌握要求不能太高，反例應(yīng)是圍繞主要類容的有效輔助有效手段。(3) 反例必須從教學(xué)實(shí)踐中來，真實(shí)、生動.如果是教師自己編寫的也必須符合客觀實(shí)際。(4) 反例必須精煉.選擇反例的數(shù)量不能多，運(yùn)用反例的目的是為了使學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)，不能不加選擇地大量地羅列反例，只需要選擇那些高質(zhì)量的少數(shù)典型反例.因?yàn)榉蠢虒W(xué)法是使教師和學(xué)生借助分析少數(shù)有代表性的反例，從而獲得整體性、全面性的知識的方法，我們不可能在短時(shí)間里收

13、集和列舉所有的實(shí)際反例，可以抓住與某部分知識有關(guān)的幾個典型例子加以剖析，從而把握概念的本質(zhì)特征。(5) 反例必須典型。反例要能代表概念性質(zhì)對象的特點(diǎn)，倘若隨手拈來幾個反例，則其意義和教育價(jià)值就有局限性，典型的反例可以是綜合知識量大的部分，也可以是概念、知識點(diǎn)的某個性質(zhì)。(6) 反例必須有針對性.應(yīng)該針對所講的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)實(shí)際和學(xué)生的接受能力來選擇和編排反例。(7) 反例必須具有系統(tǒng)性.在教學(xué)中選用的反例應(yīng)該相互聯(lián)系，由簡單到復(fù)雜，分層次地有序地編排，反例整體排列結(jié)構(gòu)的合理化能發(fā)揮反例教學(xué)法的最大教育功效。4結(jié)論反例是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中必不可少的部分，他開拓?cái)?shù)學(xué)的新領(lǐng)域, 是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個調(diào)節(jié)器，他不僅可以發(fā)現(xiàn)錯誤和漏洞，而且還可以從中得到修補(bǔ)，獲得問題的正確結(jié)論或解答.數(shù)學(xué)反例是調(diào)整思維方法和認(rèn)知策略，促進(jìn)正遷移，預(yù)防和糾正錯誤的有力工具。在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)反例的運(yùn)用，可以使學(xué)生加深理解、鞏固知識，而且還能使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中思維得到發(fā)散，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情達(dá)到良好的教學(xué)效果?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1 陳曉春。談反例在高等數(shù)學(xué)中的作用J。高等理科教育，2003，6：99-101 B.22 B.R.蓋爾鮑姆，J.M.H.奧姆斯特得分析中的反例上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983年版,87-88.3 羅增儒著 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論 陜西師范大學(xué)出版社 1997，65-67.4 席振偉著