反例在數(shù)學教學中的應用

1、 反例在數(shù)學教學中的應用【摘要】 本文就反例在數(shù)學教學中的應用及應用反例教學時應注意的問題提出了幾點看法?！娟P鍵詞】 反例；反例教學；應用 1引言著名的數(shù)學家蓋兒鮑姆（Gel Baum）曾說數(shù)學由兩大類證明和反例組成。而數(shù)學的發(fā)展也是朝著這兩個主要目標提出證明或構造反例。當某些問題經(jīng)人們絞盡腦汁去推演卻仍懸而未決時（即使這種不徹底的推理并無差錯）。則應允許人們對此命題的真?zhèn)萎a(chǎn)生懷疑，這就需要去尋找符合題設條件而與命題相悖的反例。反例因其具有簡明、直觀、說服力強等特點,決定了他在數(shù)學教學和數(shù)學的發(fā)展中起著不可替代的作用。在教學過程中適當運用反例對提高學生的創(chuàng)造能力有良好的誘導作用，從而也會給數(shù)學

2、教學帶來美妙的感受和良好的效果。教師在日常教學中，可經(jīng)常選擇一些發(fā)散性強的典型數(shù)學知識或問題，通過創(chuàng)設問題情景，引導學生構建反例，引導學生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，從而提高學生思維的發(fā)散性.那么在教學的過程中反例的運用、構建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創(chuàng)造性活動，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學生創(chuàng)造力的一種很好的載體。反例教學在數(shù)學教學中的重要性已越來越被人們重視和認可. 通過反例教學，加深了學生對數(shù)學中概念的理解，同時也解決了教學中的重點、難點問題，使學生在認識上產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而提高了教學的有效性。2 反例在數(shù)學教學中的作用2.1利用反例加深對數(shù)學概念的理解數(shù)學概

3、念本身是抽象的，引入概念之后，還必須有一個去粗取精、去偽存真的過程，必須在感性認識的基礎上對概念作辨證的分析，用不同的方式進一步揭示概念的本質(zhì)屬性。通過構造反例，往往能夠從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認識，把握概念的要素和本質(zhì)，從而達到學好的效果。 例2.1 人教版必修1函數(shù)的基本性質(zhì)一節(jié)中，對函數(shù)的奇偶性這樣定義：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。學生利用定義判斷函數(shù)的奇偶性時往往忽略“定義域內(nèi)任意一個”，直接去利用與之間的關系去判斷，從而得出錯誤的結論。如果教師只是從正面去解釋“定義域內(nèi)任意一個

4、”學生就會感覺很抽象。若教師利用反例會使學生感覺更直、更觀容易理解。例如判斷的奇偶性。若忽略“定義域內(nèi)任意一個” 這個大前提就會得到從而得出此函數(shù)是偶函數(shù)的結論，而實際是不在定義域內(nèi)，所以此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。又例如：在等差數(shù)列的定義中，舉出例子：（1）2，4，6，7，8    （2）-6，-4，-3，-1，1讓學生理解“第二項起” ，“同一”常數(shù)的含義。2.2反例是理解定理、法則的有利工具例2.2 初中在教三角形全等的判定定理時，三角形三邊和三個角六個元素中，一般需要三個元素對應相等（但其中至少有一邊）比如兩角和夾邊（ASA），兩邊和夾角（SAS），三邊對應相等

5、（SSS）兩角和一對邊（AAS）。特別強調(diào) “對應”、“夾邊”、“夾角”。為了對定理的深刻理解可以采用反例教學，去掉“夾角”，如有兩邊及其其中一邊所對的角對應相等(SSA)的兩個三角形是否全等。構造反例可以先固定,在此基礎上引導學生進一步思考若說明可以通過以下作圖方法來畫出：以或者為圓心，為半徑畫弧，只要滿足一定的條件，此時所畫的弧就很可能與所在的直線有兩個交點，這是再構造出不全等的三角形就減少了難度。另外可以進一步討論去掉“對應”，六個元素中已知三個元素相等能否判斷兩個三角形全等，六個元素中已知四個元素相等能否判斷兩個三角形全等，六個元素中已知五個元素相等能否判斷兩個三角形全等。六個元素中已

6、知三個元素相等兩個三角形全等三角的反例比較容易列舉，例如邊長不等的兩個等邊三角形，三個角分別相等但兩個三角形不全等。六個元素中已知四個元素相等兩個三角形全等三角的反例也比較容易列舉，例如邊長為1和邊長為2的兩個等腰直角三角形，三個角分別相等，斜邊與另一三角形的直角邊相等但兩個三角形不全等。判斷五個元素對應相等的兩三角形全等是否正確.對于這個問題，很多初中學生感到模棱兩可.反例也較難列舉，比如三角形三邊分別是和的兩個三角形，這里,則他們相似，故有三個角相等，加之兩邊，該三角形共有五個元素分別相等，但是兩個三角形卻不等.如 反例的給出讓學生對三角形的全等條件有了進一步的了解和掌握，使學生注意到兩個

7、全等三角形中“邊”相等不是任意給出的.那么在這道題中，反例的及時出現(xiàn)給學生眼前一亮的感覺。讓學生體會到反例在數(shù)學教學中的作用是不可忽視的，加深對三角形全等判定定理的理解。2.3利用反例可以激發(fā)學生學習的興趣，提高教學效果一個問題的解答，通常我們會用各種方式驗證結果，反例將會引導我們追尋問題的所在，從反例中修補相關知識，從而獲得正確結論和解答.那么恰當?shù)囊龑W生使用反例可以更好的提高學生學習興趣。例2.3 試問：在三角形中，邊長越長，面積越大嗎？ 分析：在三角形中若知道其三邊，便可以計算其面積，這個事實早在兩千多年前已為古希臘學者海倫所發(fā)現(xiàn)，他給出公式：（海倫公式）其中為三角形三邊長，另外我國數(shù)

8、學家秦九韶在數(shù)學九章中提出的公式-“三斜求積”式實質(zhì)上是相同的. （三斜求積式）從兩個公式中，均無法明顯得出邊長越大三角形面積越大的結論.乍一看，很多學生對此毫無疑問，可是考慮下面的例子. 已知三角形ABC的三邊，又邊上高為，在延長線上取使 ，另取使 若，只需，（為過點的垂線），顯然有，但.具體的例子如：取且，;又考慮中（=1），令,則,;顯然，而 注1 對于兩個銳角三角形來說，若它們的邊長滿足定理條件，則命題結論一定成立.這也可以用反證法去考慮，如下圖兩銳角和中，若，而。這樣，由之則有，由設,故，所以，從而有=（矛盾）那么這個題目說明了能夠恰當?shù)囊梅蠢跀?shù)學教學的過程中還是有很大作用的。關

9、鍵是我們能找到說服力強的反例通過這個反例的講解讓學生再次覺得反例在揭示錯誤時有特殊的威力，從而能更好的激發(fā)他們學習數(shù)學的興趣，達到提高教學質(zhì)量的效果。讓學生體會到反例在數(shù)學教學中的作用是不可忽視的，從而增強了他們學習數(shù)學的興趣，也激發(fā)了他們的學習熱情。2.4 反例可以培養(yǎng)學生思維的嚴密性數(shù)學思維就是解決數(shù)學問題的心智活動，所以問題是思維的“啟發(fā)劑”，在數(shù)學教學中，舉反例也是提出問題的常用方法.運用反例可以增強思維的縝密性，彌補解決問題出現(xiàn)的漏洞，培養(yǎng)思維的批判性，從而去發(fā)展學生的逆向思維和發(fā)散思維，全面提高思維能力和數(shù)學素養(yǎng).尋找一個反例往往比證明更需要想像力和創(chuàng)造力。例2.4 若關于的方程有

10、兩個不等的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.不少學生是這樣做的：由 可以得到： （1） （2）從而將問題轉化為方程，即，在內(nèi)有兩相異的根，求的取值范圍。 乍看這種解法是正確的，但仔細分析便可發(fā)現(xiàn)該解法是錯誤的，這是因為在（1）中，而在（2）中可正可負，即（1）與（2）并非等價，問題就出在 兩邊平方后擴大了的取值范圍，因此，在解題時必須重視思維的嚴密性。通過這個例題可以看出有些題目對學生思維嚴密性的考查，也有了一定的要求.因此，注重對技巧的實質(zhì)把握，弄清通性、通法是十分重要的。學生的模仿能力強，課堂講授的知識容易接受，但題目一旦改樣或時間稍久我們就無所適從.因而在數(shù)學教學中，除了高效地傳授知識及基本技能

11、外，還要通過一些題目的反例的學習加強學生思維的嚴密性。以上的例子說明：反例思想是數(shù)學分析中的重要思想，在我們進行問題的研究和論證中都具有不可替代的獨特作用.同時在數(shù)學教學中利用反例能更好的培養(yǎng)學生們的思維嚴密性。3 數(shù)學教學中運用反例應注意的問題 在教學中重視和恰當?shù)倪\用反例，不僅可以調(diào)動學生學習的積極性，養(yǎng)成重視條件，嚴格推理的習慣，還可以提高學生的數(shù)學能力和學習能力.教學中運用反例必須注意：(1) 適當時候講授反例.要在學生對所學知識有了一定的認識和理解的基礎上，才能講授.決不能在學生剛剛接觸或者還沒有完全掌握時就提出反例給學生，這樣不但起不到好的教學效果，有時還會把學生搞糊涂，弄巧成拙.

12、教師可根據(jù)學生知識掌握情況和接受原則，在習題課或復習課時提出反例。(2) 教學中主要講授概念、定理和方法，對于基本的命題和結論應予以嚴格的證明和推導.舉反例重在說明結論，學生對反例的掌握要求不能太高，反例應是圍繞主要類容的有效輔助有效手段。(3) 反例必須從教學實踐中來，真實、生動.如果是教師自己編寫的也必須符合客觀實際。(4) 反例必須精煉.選擇反例的數(shù)量不能多，運用反例的目的是為了使學生掌握抽象的數(shù)學概念、性質(zhì)，不能不加選擇地大量地羅列反例，只需要選擇那些高質(zhì)量的少數(shù)典型反例.因為反例教學法是使教師和學生借助分析少數(shù)有代表性的反例，從而獲得整體性、全面性的知識的方法，我們不可能在短時間里收

13、集和列舉所有的實際反例，可以抓住與某部分知識有關的幾個典型例子加以剖析，從而把握概念的本質(zhì)特征。(5) 反例必須典型。反例要能代表概念性質(zhì)對象的特點，倘若隨手拈來幾個反例，則其意義和教育價值就有局限性，典型的反例可以是綜合知識量大的部分，也可以是概念、知識點的某個性質(zhì)。(6) 反例必須有針對性.應該針對所講的教學內(nèi)容和教學實際和學生的接受能力來選擇和編排反例。(7) 反例必須具有系統(tǒng)性.在教學中選用的反例應該相互聯(lián)系，由簡單到復雜，分層次地有序地編排，反例整體排列結構的合理化能發(fā)揮反例教學法的最大教育功效。4結論反例是數(shù)學教學過程中必不可少的部分，他開拓數(shù)學的新領域, 是數(shù)學課堂教學中一個調(diào)節(jié)器，他不僅可以發(fā)現(xiàn)錯誤和漏洞，而且還可以從中得到修補，獲得問題的正確結論或解答.數(shù)學反例是調(diào)整思維方法和認知策略，促進正遷移，預防和糾正錯誤的有力工具。在數(shù)學教學中加強反例的運用，可以使學生加深理解、鞏固知識，而且還能使學生在學習的過程中思維得到發(fā)散，從而激發(fā)他們的學習熱情達到良好的教學效果?！緟⒖嘉墨I】1 陳曉春。談反例在高等數(shù)學中的作用J。高等理科教育，2003，6：99-101 B.22 B.R.蓋爾鮑姆，J.M.H.奧姆斯特得分析中的反例上?？茖W技術出版社，1983年版,87-88.3 羅增儒著 數(shù)學解題學引論 陜西師范大學出版社 1997，65-67.4 席振偉著