數(shù)學(xué)建模復(fù)習(xí)資料學(xué)習(xí)

1、關(guān)于2012數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)1、 數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù)的間接來源：如果與研究內(nèi)容有關(guān)的原信息已經(jīng)存在，我們只是對這些原信息重新加工、整理，使之成為我們進行統(tǒng)計分析可以使用的數(shù)據(jù)，則把它們稱為間接來源的數(shù)據(jù)。從搜集的范圍看，這些數(shù)據(jù)可以取自系統(tǒng)外部，也可以取自系統(tǒng)內(nèi)部。數(shù)據(jù)取自系統(tǒng)外部的主要渠道有；統(tǒng)計部門和各級政府部門公布的有關(guān)資料，如定期發(fā)布的統(tǒng)計公報，定期出版 各類統(tǒng)計年鑒；各類經(jīng)濟信息中心、信息咨詢機構(gòu)、專業(yè)調(diào)查機構(gòu)、各行業(yè)協(xié)會和聯(lián)合會提供的市場信息和行業(yè)發(fā)展的數(shù)據(jù)情報；各類專業(yè)期刊、報紙、書籍所提供的文獻資料；各種會議，如博覽會、展銷會、交易會及專業(yè)性、學(xué)術(shù)研討會上交流的有關(guān)資料；從互聯(lián)網(wǎng)或圖書

2、館查閱到的相關(guān)資料等等。取自系統(tǒng)內(nèi)部的資料，如果就經(jīng)濟活動而言，則主要包括業(yè)務(wù)資料，如與業(yè)務(wù)經(jīng)營活動有關(guān)的各種單據(jù)、記錄；經(jīng)營活動過程中的各種統(tǒng)計報表，各種財務(wù)、會計核算和分析資料等。數(shù)據(jù)的直接來源：（1） 通過調(diào)查方法獲得數(shù)據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)方法：隨機抽樣調(diào)查、分層抽樣調(diào)查、系統(tǒng)抽樣調(diào)查收集數(shù)據(jù)的方法：問卷、面訪、電話、收集數(shù)據(jù)應(yīng)考慮的幾個問題：1、抽樣框中的有關(guān)信息 2、目標(biāo)總體的先后 3、調(diào)查問題的內(nèi)容 4、有形輔助物的使用 5、實施調(diào)查的資源 6、管理與控制 7、質(zhì)量要求（2） 通過實驗方法獲利數(shù)據(jù)實驗方法獲得數(shù)據(jù)要注意控制變量法的應(yīng)用，實驗過程中會遇到一些問題如人的意愿、心理問題、道德問題，

3、實驗獲得數(shù)據(jù)還要考慮采用好的統(tǒng)計方法2、 數(shù)據(jù)分析1、 圖表展示分析數(shù)據(jù)，根據(jù)圖表可以直觀地看出數(shù)據(jù)分布情況及走勢。（統(tǒng)計圖：表格、條形統(tǒng)計圖、拆線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)分析直方圖、頻率分布直方圖）2、 數(shù)學(xué)參數(shù)分析數(shù)據(jù)集中程度：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)（即出現(xiàn)次數(shù)最多的，在一定 程度上可以代表一組數(shù)據(jù)，異眾比率（）能夠說明眾數(shù)是否準確刻畫整組數(shù)據(jù)，比率大則可以用眾數(shù)代表整組數(shù)據(jù)）離散程度：異眾比率、方差、標(biāo)準差、極差分布形狀：偏態(tài)SK（偏態(tài)是對數(shù)據(jù)分布對稱性的測度：，如果一組數(shù)據(jù)的分布是對稱的，則偏態(tài)系數(shù)等于0；如果偏態(tài)系數(shù)明顯不等于0，表明分布是非對稱的。若偏態(tài)系數(shù)大于1或小于-1，被稱為高

4、度偏態(tài)分布；若偏態(tài)系數(shù)在0.51或-1-0.5之間，被認為 是中等偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)越接近0，偏斜程度就越低）、峰態(tài)K（峰態(tài)是刻畫平峰或尖峰程度的測度峰態(tài)通常是與標(biāo)準正態(tài)分布相比較而方的。如果一組數(shù)據(jù)服從標(biāo)準正態(tài)分布，則峰態(tài)系數(shù)的值等于0；若峰態(tài)系數(shù)的值明顯不等于0，則表明分布比正態(tài)分布更平或更尖，通常稱為平峰分布或尖峰分布）數(shù)學(xué)期望3、 數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理有是優(yōu)化處理的內(nèi)容好壞，即如何有效有利用、選擇數(shù)據(jù)常見方法有分組取組中的平均數(shù)進而減少數(shù)據(jù)量分析數(shù)據(jù)所反應(yīng)的信息。4、 線性回歸一元線性回歸模型； 在一元線性回歸模型中，是的線性函數(shù)加上誤差項，反映了由于的變化而引起的的線性變化；是被稱為誤差

5、項的隨機變量，反映了除和之間的線性關(guān)系之外的隨機因素對的影響，是不能由和之間的線性關(guān)系所解釋的變異性。式中稱為模型的參數(shù)上述模型的前提是（1） 因變量與自變量有線性關(guān)系（2） 在重復(fù)抽樣中，自變量的取值是固定的，即自變量不是隨機的（3） 誤差項是一個期望值為0的隨機變量，即（4） 對于所有的自變量，的方差都相同 （5） 誤差項是一個服從正太分布的隨機變量，且獨立，即描述因變量的期望值如何中依賴于自變量的方程稱為回歸方程樣本統(tǒng)計量和代替回歸方程中的未知參數(shù)，得到估計的回歸方程 （該方程用最小二乘法來實現(xiàn)，即用MATLAB程序來實現(xiàn) PLOYFIT(X,Y,2) )利用回歸方程進行預(yù)測預(yù)測是指通過

6、自變量的取值來預(yù)測因變量的取值用Excel時行回歸分析的操作步驟；1、 選擇工具下拉菜單，并選擇數(shù)據(jù)分析選項2、 在分析工具中選擇回歸，然后單擊確定3、 當(dāng)對話框出現(xiàn)時；在Y值輸入?yún)^(qū)域方框內(nèi)輸入數(shù)據(jù)區(qū)域（$A$2:$a$26），在X值輸入?yún)^(qū)域方框內(nèi)輸入數(shù)據(jù)區(qū)域($B$2:$B$26)，在置信度選項中給出所需的數(shù)值，在輸出選項中選擇輸出區(qū)域($c$30)，在殘差分析選項中選擇所需的選項相關(guān)系數(shù)（Multiple R）反映兩個變量之間線性關(guān)系強度的統(tǒng)計量不相關(guān)或相關(guān)程度極弱低度相差中度相關(guān)高度相關(guān)判定系數(shù)（R Square）是對估計的回歸方程擬合優(yōu)度（回歸直線與各觀測點的接近程度）的度量，其取值范

7、圍【0，1】判定系數(shù)越接近于1則回歸直線與各觀測點越接近。反之，越接近于0則回歸直線的擬合程度越差。調(diào)整的判定系數(shù)（Adjusted R Square）標(biāo)準誤差 觀測值的個數(shù)顯著性水平（Significance F）五、時間序列分析和預(yù)測第一部份、時間序列及其分解時間序列是同一現(xiàn)象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的序列。它可以分平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類，平穩(wěn)是基本上不存在趨勢序列。非平穩(wěn)序列是包含趨勢、季節(jié)性或周期性的序列，它可能只含有其中的一部份，也可能是幾種成分的組合。趨勢是時間序列在長時期內(nèi)呈現(xiàn)出來的某種持續(xù)上升或持續(xù)下降的變動，也稱為長期趨勢。時間序列中的趨勢可以是線性也可以非線性的

8、。季節(jié)性也稱為季節(jié)變動，它是時間序列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動周期性也稱循環(huán)波動，它是時間序列中呈現(xiàn)出 來的圍繞長期趨勢的一種波浪形或振蕩式變動。時間序列中除去趨勢、周期性和季節(jié)性之后的偶然性變動，稱為隨機性，也稱為不規(guī)則波動綜合上述時間序列可分為；傳統(tǒng)時間序列分析的一一項主要內(nèi)容就是把這些成分從時間序列中分離出來，并將它們之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)關(guān)系予以表達，而后分別進行分析。按4種成分時間序列的影響方式不同，時間序列可分解為加法模型、乘法模型等。其中較為常用的是乘法模型，其表現(xiàn)形式第二部份、時間序列的描述分析1、 圖形描述作圖可以為選擇預(yù)測模型提供基本依據(jù)2、 增長率分析增長率是對現(xiàn)象在不同時間

9、的變化狀況所做的描述。由于對比的基期不同，增長率有不同的計算方法。增長率也稱增長速度，它是時間序列中報告其觀察值與基期觀察值之比減1后的結(jié)果，用%表示。由于對比基期不同，增長率可以分為環(huán)比增長率和定基增長率。環(huán)比增長率是報告期觀察值與前一時期觀察值之比減1，說明現(xiàn)象逐期增長變化的程度；定基增長率是報告期觀察值與某一固定時期觀察值之比減1，說明現(xiàn)象在整個觀察期內(nèi)總的增長變化程度。設(shè)增長率為G，則環(huán)比增長率和定基增長率可表示為；平均增長率；也稱平均增長速度，它是時間序列中逐期環(huán)比值的幾何平均數(shù)減1后的結(jié)果，計算公式為；關(guān)于增長率分析中應(yīng)注意以下兩個問題1、 當(dāng)時間序列中有觀察值出現(xiàn)0或負數(shù)時，不宜

10、計算增長率2、 在有些情況下，不能單純就增長率論增長率，要注意增長率與絕對水平的結(jié)合分析。第三部份、時間序列預(yù)測的程序?qū)r間序列進行預(yù)測包括以下步驟；1、 確定時間序列所包含的成分，也就是確定時間序列的類型第1、 確定趨勢成分確定趨勢成分是否存在，可以從繪制時間序列的線圖入手。觀察是否存在趨勢，以及所存在的趨勢是線性的還是非線性的。判斷趨勢成分是否存在的另一種方法是利用回歸分析擬合一條趨勢線，然后對回歸系數(shù)進行檢驗。如果回歸系數(shù)顯著，就可以得出線性趨勢顯著的結(jié)論。第2、 確定季節(jié)成分確定季節(jié)成分至少需要兩年的數(shù)據(jù)，而且數(shù)據(jù)需要按季度、月份、周或天等來記錄。確定季節(jié)成份也可以從繪制時間序列的線圖

11、入手，但這里需要一種特殊的時間序列圖，即年度折疊時間序列圖。繪制該圖時，需要將每年的數(shù)據(jù)分開畫在圖上，也就是橫軸只有一年的長度，每年的數(shù)據(jù)分別對應(yīng)縱軸。如果時間序列只存在季節(jié)成分,年度折疊時間序列圖中的折線將會有交叉；如果時間序列既含有季節(jié)成份又含有趨勢，那么年度折疊時間序列圖中的折線將不會交叉，而且如果趨勢是上升的，后面年度的折線將會高于前面年度的折線，如果趨勢是下降的，后面年度的折線將低于前面年度的折線。2、 找出適合此類時間序列的預(yù)測方法關(guān)于平穩(wěn)序列折預(yù)測1、 簡單平均法簡單平均法適合對較為平穩(wěn)的時間序列進行預(yù)測，即當(dāng)時間序列沒有趨勢時，用該方法比較好。但如果時間序列有趨勢或季節(jié)成份，該

12、方法預(yù)測不準確。此外簡單平均法將遠期的數(shù)值和近期的數(shù)值看做對未來對等重要。但從預(yù)測的角度看，近期的數(shù)值要比遠期的數(shù)值對未來有更大的作用，因此簡單平均法預(yù)測的結(jié)果不夠準確。簡單平均是根據(jù)過去已有的t期觀察值通過簡單平均來預(yù)測下一期的數(shù)值。設(shè)時間序列已有的t期觀察值為則t+1期的預(yù)測值；2、 移動平均法移動平均法是通過對時間序列逐期遞移求得平均數(shù)作為預(yù)測值的一種預(yù)測方法，其方法有簡單移動平均法和加權(quán)移動平均法。這里只說簡單平均移動平均法。移動平均法只使用最近k期的數(shù)據(jù)，在每次計算移動平均值時，移動的間隔都為k。該方法也主要適合對較為平穩(wěn)的時間序列預(yù)測。應(yīng)用時，關(guān)鍵是確定合理的移動間隔長度K。對于同

13、一個時間序列采用不同的移動步長預(yù)測的準確性是不同的。確定移動步長時，可通過試驗的方法，選擇一個使均方誤差達到最小的移動步長。（3)指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法是通過對過去的觀察值加權(quán)平均進行預(yù)測的一種方法，該方法使t+1期的預(yù)測值等于t期的實際觀察值與t期的預(yù)測值的加權(quán)平均值。指數(shù)平滑法是加權(quán)平均的一種特殊形式，觀察值時間越遠，其權(quán)數(shù)也跟著呈現(xiàn)指數(shù)下降，因而稱為指數(shù)平滑。指數(shù)平滑法有一次指數(shù)平滑、二次指數(shù)平滑等一次指數(shù)平滑法也稱為單一指數(shù)平滑法，它只有一個平滑系數(shù)，而且當(dāng)觀察值離預(yù)測時期越久遠時，權(quán)數(shù)變得越小。一次指數(shù)平滑是以一段時期的預(yù)測值與觀察值的線性組合作為t+1期的預(yù)測值。其預(yù)測模型為用Exc

14、el進行指數(shù)平滑預(yù)測的操作步驟；1、 選擇工具下拉菜單2、 選擇數(shù)據(jù)分析選項，并選擇指數(shù)平滑然后確定3、 當(dāng)對話出現(xiàn)時；在輸入?yún)^(qū)域中輸入數(shù)據(jù)區(qū)域在阻尼系數(shù)中輸入的值（注：阻尼系數(shù)=）在輸出區(qū)域中選擇預(yù)測結(jié)果的輸出位置（通常選擇與第一期數(shù)值對應(yīng)的單元格）關(guān)于趨勢型序列的預(yù)測（1） 線性趨勢預(yù)測線性趨勢是指現(xiàn)象隨著時間的推移而呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長或下降的線性變化趨勢。模型為；（2） 非線性趨勢預(yù)測序列中的趨勢通?？梢哉J為是由于某種固定的因素作用于同一方向所形成的。若這些因素隨著時間的推移按線性變化，可以對時間序列擬合趨勢直線；若呈現(xiàn)某種非線性趨勢，則需要擬合適當(dāng)?shù)内厔萸€。1、 指數(shù)曲線指數(shù)曲線用于描述

15、以幾何級數(shù)遞增或遞減的現(xiàn)象，即時間序列的觀察值按指數(shù)規(guī)律變化，或者說時間序列的逐期觀察值按一定的增長率增長或衰減。指數(shù)曲線的趨勢方程為；2、 修正指數(shù)曲線在一般指數(shù)曲線的基礎(chǔ)上增長一個常數(shù)K，即為修正指數(shù)曲線其趨勢方程為；3、 Gompertz曲線Gompertz曲線是以英國統(tǒng)計學(xué)家和數(shù)學(xué)家B.Gompertz命名的。它的特點是：初期增長緩慢，以后逐漸加快，當(dāng)達到一定的程度后，增長率又逐漸下降，最后接近一條水平線。該曲線的兩端都有漸近線，其上漸近線為Y=K，下漸近線為Y=0。Gompertz曲線通常用于描述事物的發(fā)展由萌芽、成長到飽和的周期過程。其趨勢方程為4、 多階曲線多階曲線主要是對數(shù)據(jù)的

16、擬合，即一階多項式、二階多項式、三階多項式等的一個模擬。它主要對多拐點的變化曲線的預(yù)測。5、 復(fù)合型序列的分解預(yù)測復(fù)合型序列是指含有趨勢、季節(jié)、周期和隨機成分的序列。對這類序列的預(yù)測方法通常是將時間序列的各個因素依次分解出來，然后進行預(yù)測。由于周期成分的分析需要有多年的數(shù)據(jù)，實際中很難得到多年的數(shù)據(jù)來發(fā)現(xiàn)周期成分，因此采用分解模型為分解法的預(yù)測通常包括以下幾個步驟：1、 確定并分離季節(jié)成分。1.1計算季節(jié)指數(shù)，以確定時間序列中的季節(jié)成分。然后將季節(jié)成分從時間序列中分離出去產(chǎn)，即用每一個時間序列觀測值除以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，以消除季節(jié)性。 季節(jié)指數(shù)刻畫了序列在一個年度內(nèi)各季度的典型季節(jié)特征。在乘法模

17、型中，季節(jié)指數(shù)是以其平均數(shù)等于100%為條件而構(gòu)成的，它反映了某一月份或季度的數(shù)值占全年平均數(shù)值的大小。如果現(xiàn)象的發(fā)展沒有季節(jié)變動，則各期的季節(jié)指數(shù)應(yīng)等于100%；如果一月份或季度有明顯的季節(jié)變動，則各期的季節(jié)指數(shù)應(yīng)大于或小于100%。因此，季節(jié)變動的程度是根據(jù)各季節(jié)指數(shù)與其平均數(shù)（100%）的偏差程度來測定的。我們用平均趨勢剔除法其實施步驟：第1步；計算移動平均值，并將其結(jié)果進行中心化處理，也就是移動平均的結(jié)果再進行一次2項移動平均，即得到中心化移動平均值（CMA)第2步；計算移動平均的比值，也稱為季節(jié)比率，即將序列的各觀察值除以相應(yīng)的中心化移動平均值，然后再計算出各比值的季度平均值第3步；

18、季節(jié)指數(shù)調(diào)整。由于各季節(jié)指數(shù)的平均數(shù)應(yīng)等于1或100%,若根據(jù)第2步計算的季節(jié)比率的平均值不等于1，則需要進行調(diào)整。具體方法是；將第2步計算的每個季節(jié)比率的平均值除以它們的總平均值。1.2分離季節(jié)性成分。計算出季節(jié)指數(shù)后，就可將各實際觀察值分別除以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，將季節(jié)性成分從時間序列中分離出去。用公式表示為2、 建立預(yù)測模型并進行預(yù)測。對消除了季節(jié)成分的時間序列建立適當(dāng)?shù)念A(yù)測模型，并根據(jù)這一模型進行預(yù)測。由季節(jié)分離求出趨勢線性方程，計算出各期的預(yù)測值。3、計算最后的預(yù)測值。用預(yù)測值乘以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，得到最終的預(yù)測值。3、 對可能的預(yù)測方法時行評估，以確定最佳預(yù)測方案評價的方法就是找出預(yù)測值

19、與實際值的差距，這個差值就是預(yù)測誤差。最優(yōu)預(yù)測方法也不是預(yù)測誤差達到最小的方法。預(yù)測誤差的計算方法有平均誤差、平均絕對誤差、均方誤差、平均百分比誤差和平均絕對百分比誤差等。（1） 平均誤差（2）平均絕對誤差(3) 均方誤差（4） 平均百分比誤差（MPE）和平均絕對百分比誤差(MAPE)ME、MAD和MSE的大小受時間序列數(shù)據(jù)的水平和計量單位的影響，有時并不能真正反映預(yù)測模型的好壞，它們只有在比較不同模型對同一數(shù)據(jù)預(yù)測時才有意義。而平均百分比誤差和平均百分比誤差則不同，它們消除了時間序列數(shù)據(jù)的水平和計量單位的影響，是反映誤差大小的相對值。4、 利用最佳預(yù)測方案進行預(yù)測六、優(yōu)化處理與分析優(yōu)化處理；

20、線性規(guī)劃、最值（最大值與最小值）優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步優(yōu)選法；根據(jù)生產(chǎn)和科學(xué)研究中的不同問題，利用數(shù)學(xué)原理，合理安排實驗，以最小的試驗次數(shù)迅速找到最佳點的科學(xué)實驗方法。選擇優(yōu)選法的目的在于減少試驗的次數(shù)。影響實驗?zāi)繕?biāo)的量稱為因數(shù)，在一個試驗過程 中只有一個因素在變化的問題稱為單因數(shù)問題，另外，在試驗中可以人為調(diào)控的因素叫做可控因數(shù)，反之，那些不能控制的因素稱為不可控因素。實驗中表示目標(biāo)與因素之間的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)主要因素確定之后，接下的任務(wù)就是選擇某種方法安排試驗點（試點）通過試驗找出最佳點，使得試驗的結(jié)果目標(biāo)最好。在兩個試驗點中較好一個稱為好點，較差的一個稱為差點。把因素范圍分

21、為兩部份，并秒好點所在那個區(qū)域為存優(yōu)范圍。單峰函數(shù)；類似于一元二次函數(shù)，在單峰函數(shù)中最佳點與好點必大差點的同側(cè)。黃金分割法0.618法黃金分割史；試驗精度黃金分割法的核心就在于使得每次劃分的比例都等于0.618案例；煉鋼時通過加入含有特定化學(xué)元素的材料，使煉出鋼滿足一定的指標(biāo)要求。假設(shè)為了煉出特定用途的鋼，每噸需要加入某元素的量在1000g到2000g 之間，問如何通過試驗法找到它的最優(yōu)加入量？用一張紙條標(biāo)示1000g到2000g，以1000為起標(biāo)點標(biāo)出刻度，找出它的黃金分割點作為第一試點，再對折紙條，找出的對稱點作為第2試點，如圖所示這兩點的材料加入量是分數(shù)法；類似于黃金分割法，要先找到一個

22、分數(shù)然后把區(qū)域分成分母的分數(shù)找第一個點即為分子位置而第二個點用加兩頭、減中間的方法求得連分數(shù)簡史；案例；在配置某清洗液時，需加入某種材料。經(jīng)驗表明，加入量大于130ml肯定不好，用150ml的錐形量杯計量加放量，該量杯的量程分別為15格，每格代表10ml。用試驗法找出這種材料的最優(yōu)加入量。把試驗范圍定為0130ml.我們把它分為13格。對時的漸進分數(shù)列，如果用來代替0.618，那么我們有；七、風(fēng)險與決策一般地，對于給定的行動方案D 和狀態(tài)H，用L(D,H)表示行動方案D在狀態(tài)H下的損失大小，并稱L(D,H)為損失函數(shù)一般地，我們把各個狀態(tài)出現(xiàn)的概率稱為狀態(tài)分布列一般地，我們用R(D)表示行動方案D所對應(yīng)損失函數(shù)的均值，并且稱R(D)為行動方案