2010年數(shù)學(xué)建模D題的答案參考

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ 2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目（請先閱讀“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽論文格式規(guī)范”）D題 對學(xué)生宿舍設(shè)計方案的評價學(xué)生宿舍事關(guān)學(xué)生在校期間的生活品質(zhì), 直接或間接地影響到學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)和健康成長。學(xué)生宿舍的使用面積、布局和設(shè)施配置等的設(shè)計既要讓學(xué)生生活舒適，也要方便管理, 同時要考慮成本和收費的平衡, 這些還與所在城市的地域、區(qū)位、文化習(xí)俗和經(jīng)濟發(fā)展水平有關(guān)。因此，學(xué)生宿舍的設(shè)計必須考慮經(jīng)濟性、舒適性和安全性等問題。 經(jīng)濟性：建設(shè)成本、運行成本和收費標(biāo)準(zhǔn)等。 舒適性：人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風(fēng)等。 安全性：人員疏散和防盜等

2、。附件是四種比較典型的學(xué)生宿舍的設(shè)計方案。請你們用數(shù)學(xué)建模的方法就它們的經(jīng)濟性、舒適性和安全性作出綜合量化評價和比較。對學(xué)生宿舍設(shè)計方案的評價摘要本文主要從經(jīng)濟性、舒適性、安全性三個方面對四種學(xué)生宿舍的設(shè)計方案做出綜合量化和比較。在評價過程中，主要運用了模糊決策和層次分析法，并利用MATLAB軟件進行求解。由于本問題的許多條件比較模糊，具有隱藏性，我們先對附件中的數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，從中提取與評價相關(guān)的因素，然后利用層次分析法確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，從而建立學(xué)生宿舍設(shè)計方案的評價模型。具體結(jié)果為：（1）經(jīng)濟性方面：得出四種學(xué)生宿舍設(shè)計方案在此方面的的組合權(quán)向量為：，根據(jù)指標(biāo)越小，優(yōu)先選擇程度越大的

3、準(zhǔn)則得出：方案1是經(jīng)濟性最優(yōu)的，其次為方案4、方案3，最后為方案2。（2）舒適性方面：得到組合權(quán)向量為：，根據(jù)指標(biāo)越大，優(yōu)先選擇程度越大的準(zhǔn)則得出：方案2是舒適度最高的，其次為方案4、方案3，最后為方案1。（3）安全性方面：得到組合權(quán)向量為：，利用和（2）同樣的準(zhǔn)則，得出了方案2是安全性最強的，其次為方案3、方案4，最后為方案1。（4）綜合分析方面：得到組合權(quán)向量為：，由此得出方案2是綜合指標(biāo)最高的，其次為方案3、方案4、最后為方案1。最后，對以上建立的模型進行合理化的評價和深入的探討，分析了模型的優(yōu)缺點，并提出了進一步的改進方向。關(guān)鍵詞：評價模型 層次分析法 權(quán)重 MATLAB10 / 10

4、1.問題重述現(xiàn)如今的學(xué)生宿舍的使用面積、布局和設(shè)施配置等的設(shè)計既要讓學(xué)生生活舒適，也要方便管理, 同時要考慮成本和收費的平衡, 這些還與所在城市的地域、區(qū)位、文化習(xí)俗和經(jīng)濟發(fā)展水平有關(guān)。因此，學(xué)生宿舍的設(shè)計必須考慮經(jīng)濟性、舒適性和安全性等問題。請用數(shù)學(xué)建模的方法，從經(jīng)濟性、舒適性、安全性方面對附件中給出的四種學(xué)生宿舍的設(shè)計方案作出綜合量化和比較。2.問題分析本問題要解決的問題是對四種典型的學(xué)生宿舍設(shè)計方案進行評價與比較。題目中的數(shù)據(jù)比較模糊，具有隱藏性，而且是用圖表的方式展示給我們的，因而解決這一問題的關(guān)鍵點有兩個：（1）如何把附件中四個平面設(shè)計圖中所隱藏的數(shù)據(jù)量化；（2）在建立評價比較模型時

5、如何確定各個因素之間的權(quán)重與影響。因而我們采用模糊決策和層次分析法相結(jié)合的方法構(gòu)架評價模型，來評判各個宿舍設(shè)計方案的優(yōu)劣。3.模型假設(shè)1) 我們以附件中的四個圖片作為研究的對象；2) Design1、Design2、Design3和Design4分別對應(yīng)層次結(jié)構(gòu)中的方案層P；3) 假設(shè)收集到的數(shù)據(jù)與理論根據(jù)是準(zhǔn)確合理的；4) 不考慮宿舍未住滿、設(shè)施損毀等情形；5) 單位面積內(nèi)的建設(shè)成本我們假設(shè)為定值。4.符號說明符號含義表示、不同層次結(jié)構(gòu)下的目標(biāo)層、不同層次結(jié)構(gòu)下的準(zhǔn)則層、不同層次結(jié)構(gòu)下的決策層準(zhǔn)則層下的經(jīng)濟性因素準(zhǔn)則層下的舒適性因素準(zhǔn)則層下的安全性因素子準(zhǔn)則層下的建設(shè)成本因素子準(zhǔn)則層下的運行

6、成本因素子準(zhǔn)則層下的收費標(biāo)準(zhǔn)因素子準(zhǔn)則層下的人均面積因素子準(zhǔn)則層下的使用方便因素子準(zhǔn)則層下的互不干擾因素子準(zhǔn)則層下的采光通風(fēng)因素子準(zhǔn)則層下的人員疏散因素子準(zhǔn)則層下的防盜因素一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)一致性比率正互反矩陣的特征值建設(shè)成本、運行成本、收費標(biāo)準(zhǔn)分別對經(jīng)濟的權(quán)向量經(jīng)濟情況下四種方案之間的權(quán)向量舒適情況下四種方案之間的權(quán)向量安全情況下四種方案之間的權(quán)向量經(jīng)濟性、舒適性、安全性分別對綜合評價的權(quán)向量四種設(shè)計方案之間的權(quán)向量表15.模型的建立與求解5.1經(jīng)濟性方面在這個層面上，把經(jīng)濟性設(shè)為目標(biāo)層，把建設(shè)成本、運行成本、收費標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為準(zhǔn)則層，四種方案設(shè)為決策層，層次結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。在這里我們的評

7、價準(zhǔn)則為：指標(biāo)越小，優(yōu)先選擇程度越大，也就是說，所需的經(jīng)費越少。目標(biāo)層準(zhǔn)則層決策層方案1方案2方案3方案4經(jīng)濟性B1收費標(biāo)準(zhǔn)C3建設(shè)成本 C1運行成本 C2圖2得到其相對應(yīng)的成對比較矩陣如下面所示：第二層對第一層的成對比較矩陣為：=求得其最大特征根為，經(jīng)一致性檢驗：查找相應(yīng)的平均隨機一致性指標(biāo)（見上表3），計算一致性比率為：說明矩陣的不一致程度是可以接受的，矩陣的權(quán)向量為：第三層對第二層的成對比較矩陣為：= = =通過MATLAB編程計算可得兩兩判斷矩陣在單一準(zhǔn)則下的權(quán)向量、最大特征根與一致性指標(biāo)，具體求解結(jié)果見下表4：0.10610.03980.03990.04580.19290.50280

8、.56600.57080.70100.34290.26740.19760.11450.12670.18583.00924.21384.17074.06200.00790.07920.06320.0229表4上述一致性比率均小于0.1，可以判斷矩陣具有滿意的一致性。于是得出，單在經(jīng)濟性方面上四種設(shè)計方案的組合權(quán)向量為：作出綜合評價結(jié)論為：方案1在經(jīng)濟性上的權(quán)重占0.0440，方案2占0.5627，方案3占0.2265，方案4占0.1668。因而方案1是經(jīng)濟性最優(yōu)的，其次為方案4、方案3，最后是方案2。5.2 舒適性方面同上面的方法，建立了舒適性方面如圖3所示的層次結(jié)構(gòu)圖。舒適性B2使用方便C5互

9、不干擾C6采光通風(fēng)C7人均面積 C4方案1方案2方案3方案4目標(biāo)層準(zhǔn)則層決策層圖3在這里我們的評價準(zhǔn)則為：指標(biāo)越大，優(yōu)先選擇程度越大，也就是說，舒適性就越好。從而得到其相對應(yīng)的成對比較矩陣如下所示：第二層對第一層的成對比較矩陣為：=第三層對第二層的成對比較矩陣為：=通過MATLAB編程計算可得兩兩判斷矩陣在單一準(zhǔn)則下的權(quán)向量、最大特征根與一致性指標(biāo)，具體結(jié)果見下表：0.47390.05150.05490.50810.12130.31490.54300.60230.15700.68500.11660.15480.12600.27210.13590.09460.25070.21680.06280.

10、05784.06584.18924.12134.04884.17660.02440.07010.04560.01810.0654表5上述一致性比率均小于0.1，可以判斷矩陣具有滿意的一致性。于是得出，單在舒適性方面上四種設(shè)計方案的組合權(quán)向量為：作出綜合評價結(jié)論為：方案1在舒適性上的權(quán)重占0.1124，方案2占0.5301，方案3占0.1576，方案4占0.1999。因而方案2是舒適度最高的，其次為方案4、方案3，最后是方案1。5.3 安全性方面此方面僅考慮了人員的疏散與防盜，而不考慮其他的特殊情況。用同5.1中的方法建立了安全性方面的層次結(jié)構(gòu)圖，如圖4所示。在這里我們的評價準(zhǔn)則為：指標(biāo)越大，優(yōu)

11、先選擇程度越大，也就是說，安全性就越高。目標(biāo)層準(zhǔn)則層決策層圖4人員疏散C8方案1方案2方案3方案4安全性B3 防 盜 C9經(jīng)過分析我們得到了如下的成對比較矩陣：第二層對第一層的成對比較矩陣為：=第三層對第二層的成對比較矩陣為： = =通過MATLAB編程計算可得兩兩判斷矩陣在單一準(zhǔn)則下的權(quán)向量、最大特征根與一致性指標(biāo)，具體結(jié)果見下表6：0.83330.10220.05010.16670.37030.64310.27200.25050.25550.056324.06884.262700.01580.0973表6于是上述一致性比率均小于0.1，可以判斷矩陣具有滿意的一致性。最后得出，單在安全性方面

12、上四種設(shè)計方案的組合權(quán)向量為：由此可見，作出綜合評價結(jié)論為：方案1在安全性上的權(quán)重占0.0935，方案2占0.4158，方案3占0.2684，方案4占0.2223。因而方案2是安全性最強的，其次為方案3、方案4，最后是方案1。5.4 綜合分析綜合考慮經(jīng)濟性、舒適性、安全性三個方面之間的權(quán)重，層次分析結(jié)構(gòu)圖見圖1，我們得到了如下的成對比較矩陣為：=通過MATLAB計算可得兩兩判斷矩陣在單一準(zhǔn)則下的權(quán)向量為：最大特征根與一致性指標(biāo)，則說明矩陣不一致程度是可以接受的。于是得到最終的組合權(quán)向量為：各層的一致性檢驗及組合一致性檢驗全部通過；上面的組合權(quán)向量可以作為四個學(xué)生宿舍設(shè)計方案評價的依據(jù)。由此得出

13、最終的綜合評價為：方案2是綜合指標(biāo)最高的，其次為方案3、方案4，最后是方案1。6.模型的分析我們所建立的模型是評價模型，對四種典型宿舍設(shè)計方案作出了評價與比較。近幾年，隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，人民生活水平的不斷提高，學(xué)生可以根據(jù)自己的實際情況選擇宿舍類型，對于不同層次的學(xué)生人群，可以根據(jù)我們的模型進行選擇。比如對于經(jīng)濟性要求比較高的學(xué)生來說，可以根據(jù)模型分解（經(jīng)濟性方面）進行評價選擇；若對舒適性要求比較高的學(xué)生來說，可以根據(jù)模型分解（舒適性方面）進行擇優(yōu)選擇。綜合三個指標(biāo)，方案二是最優(yōu)選擇，它既在一定程度上滿足學(xué)生對居住私密性的要求，又能創(chuàng)造一個優(yōu)美舒適，富有文化氣氛的學(xué)習(xí)、休息和交往的居住環(huán)境，

14、并在一定程度上為學(xué)生對宿舍的選擇提供了依據(jù)。7.模型的評價與推廣7.1 模型的評價本文主要運用模糊決策和層次分析法，對宿舍的經(jīng)濟性、舒適性、安全性作出科學(xué)合理的決策，克服了主觀定性分析的弊端。在建立模型時所考慮的影響因素全面且符合實際，并對各影響因素進行了合理的量化處理。通過對已知數(shù)據(jù)的加工整合，巧妙的構(gòu)建了成對比較矩陣，并用MATLAB軟件求出模型的結(jié)果。此外，模型運用大量的圖表，使得到的結(jié)果非常直觀，易于理解，讓問題很明了，思路很清晰。 本模型的弊端是針對附件中的四個設(shè)計圖之間的對比，由于受現(xiàn)有資料的限制，無法代表所有學(xué)生宿舍的構(gòu)建情況，這樣大大局限了模型的靈活性。7.2 模型的推廣本文構(gòu)造的模型，能更準(zhǔn)確的評價宿舍的優(yōu)劣，該模型還可以應(yīng)用到選撥決策中，在日常生活中經(jīng)常會遇到各式各樣的選撥，比如