北京市高考數(shù)學分項精華版專題14推理與證明、新定義(含解析)(一)

1、【備戰(zhàn)2015】（十年高考）北京市高考數(shù)學分項精華版專題14推理與證明、新定義（含解析）1.12006高考北京理第8題】下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A,B,C的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中xi,X2,必分別表示該時段單位時間通過路段Ab,?c,Ca的機動車輛數(shù)（假設：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數(shù)相等），則20,30;35,30;55,50()(Ax1x2x3(B) xix3x2(C) x2x3x1(D) x3x2xi【答案】C【解析】依題意，有xi=50+x3-55=x35,xix3,同理，x2=30+xi20=xi+10x1x2,同

2、理，x3=30+x235=x25x3x2故選C2.12009高考北京理第8題】點P在直線l:yx1上，若存在過P的直線交拋物線yx2于A,B兩點,且|PA|AB|,則稱點P為“那點”，那么下列結論中正確的是（）A.直線l上的所有點都是“.點”B.直線l上僅有有限個點是“"I點”C.直線l上的所有點都不是“。制點”D.直線l上有無窮多個點（點不是所有的點）是“,也點”【答案】A【解析】試題分析：本題采作數(shù)形結合法易于求解，如圖,設-U出產(chǎn)I二91K工一11,1,；£jt_2打一十一21，r.-T-、L二療丁且2在上,X'"二同一上一1-J用S-；消去胃,整理

3、得關于工的方程.，J(1),."A-(4陰一D“一4(2k-。=Sk-嗚十二。恒成立.二方程恒有實數(shù)解，二應透著點工創(chuàng)新題型.|3.12014高考北京理第8題】學生的語文、數(shù)學成績均被評為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人【答案】B【解析】試題分析:用d、B、C分別表示優(yōu)秀、及格和丁*儂題嵩事件.小5。中都最多只有一個元素，所以只有

4、秘，滿足條件若點；合憎推理，中等題.I4.12005高考北京理第14題】已知n次式項式Pn(x)a0xna1xn1an1xan.如果在一種算法中，計算Xo(k2,3,4,n)的值需要k1次乘法，計算P3(xo)的值共需要9次運算(6次乘法，3次加法)，那么計算P10(xo)的值共需要次運算.下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：Po(x)=ao,Pk+i(x)=xPk(x)+ak+i(k=0,1,2,，n1).利用該算法，計算P3(X。)的值共需要6次運算，計算Pio(X。)的值共需要次運算.【答案】+21：一【解析】試題分析:由題意知道4的值需要k-1次運算即進行t-lrl.V的乘法運售可得到丫的

5、結果對于二口-工-3困KJ口.M-工這里A'=小>-XX¥*進行了?由運國：/上；二/乂豌乂.進行了二次運算*7.進行，次運算濟/.4匕1&£二墨之間的加法運算進行了3欷這樣臉)總共進行了力十2十1十3=7,運算對于耳(丁)=口二工-空尸+-&篦產(chǎn)-行”;口+門-1.-2+.+1=，二，決乘法運算及，行欠加法運苴所總共進行上L,=3-rfcr一a-V由改進蕾法可知IW(,£)=%R-1(三)十碘！只/、R；(k：)+%一1£S：)=?*：)-口>？(界J=用運算次數(shù)從后往前萼和為；2+】+-2=1印次著點，信息題.5.

6、12007高考北京理第20題】(本小題共13分)已知集合aa1,a2,L,ak(k2),其中aiZ(i1,2,L,k),由A中的元素構成兩個相應的集合：S(a,b)aA,bA,abA,T(a,b)aA,bA,abA.其中(a,b)是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n.若對于任意的aA,總有aA,則稱集合A具有性質P.(I)檢驗集合01,2,3與1,2,3是否具有性質P并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合S和T;(II )對任何具有性質 P的集合A,證明：nk(k 1)14(III)判斷m和n的大小關系，并證明你的結論.【高考考點】集合語言的理解，反證法，創(chuàng)新怠識和綜合應用藪學知識

7、分析問題、解決問題的能力.【試B析】解：集合盤不具有性質產(chǎn).集合TL%具有性后P,其相應的集合S和7是5:,7=G，-1）.（2,3.（in證明：苜先，由月中元素梅成的有序數(shù)對目,學）共有.因為OJL所以7（f=bZ->又因為當之亡且時e-aAr所以當（巴町”丁時*（日，硝"-8t）.I#0從而，集合中元素的個數(shù)最多為1（產(chǎn)-蜀=竺辿，即匕4民與口.一,（m）解=w=n=證明如下:（1）對于（G5）wS'”根據(jù)定義，£7edFaJL且04占Ed，從而h）£r.如果（3占）與"，d）是S的不同兀素,那么s=u與占=H中至少有一個不成立'

8、;從而金-弓=與占二/中也至少有一個不成立.故I.H-與仁-出力也是的不同元嘉.可見，$中元素的個數(shù)不麴于中元素的個散，即巧M管，（2）對于3乏T*根據(jù)定義，&wa,ficJj_&£T-icAt從而（a-2b）eS.如果（小與與（GW）是了的不局元素，那么4=c與占=4中至少有一個不成立，從而在b=w-H與3=d中也丕至少有一個不成立，故S-如拉與s-4吟也是5的不同元素.可見,中元素的個數(shù)不多于5中元素的個數(shù)，即五工明，由（1）C2）可知，附=3【易偌提起不能正確理解題總【備考提示】教學考法大綱提出：“創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力是理性思維的高層次表現(xiàn).”命題時要設計“研究型

9、、探索型或開放型的題目，讓考生獨立思考，自我探索1發(fā)揮主現(xiàn)能動性新題型即創(chuàng)新題型有較好的信度和效度.從而有較好的區(qū)分度，能充分考查學生的將創(chuàng)新意識和創(chuàng)造白匕|3因此，在近年高著題中經(jīng)常出現(xiàn).本題屬于新定義熟勰遷移幽，解這關題的策略是；仔細閱讀分析材料，捕捉相關信息，緊扣定義，圍繞定義與條件，結合所學的數(shù)學知識和方法，通過歸納、探索、推理,發(fā)現(xiàn)解題方法，始后解決問題.6.12008高考北京理第20題】（本小題共13分）對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A:ai,a2,L,%,定義變換工，T1將數(shù)列A變換成數(shù)列Ti(A)：n,ai1,a?1,L,an1.對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列B： bi,bm ,定義變換

10、丁2 , 丁2將數(shù)列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列T2(B)；又定義S(B)2(b12b2Lmbm)b12b2Lb；.設Ao是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令AiT2(Ti(Ak)(k0,1,2,L).(I)如果數(shù)列A0為5,3,2,寫出數(shù)列A,A2;(n)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A,證明S(T1(A)S(A);(出)證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0,存在正整數(shù)K,當k>K時，S(Aki)S(Ak).【答案】3)解:電：532,不司=月(匯($)印3,工建孤士)心,2,10,UD證明：設每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列3為公七，一，則看Q0尢露g1111r，1

11、t從而SOX4K=2.42(研T)+3Cfl:-1)c+1)(%-DI-+(做-D：+(的一1尸+(4-Dt又SQt)=2(4-2牝m,)i比+電一,-1'1叮二，所以,5工(一切一發(fā)且)=平一一"Si)+x%+口、+-+口)+片一二口-P£7r+-牛口”)+七三一轉(犀1)+”-+二-0故5區(qū)(用)=50).(出)證明：設A是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列a1,a2,L,an.當存在iWxjW*庚得aWg時，交換救列a的第1項與第J項得至顧到風則s(為5Q。="4+jq-也山)二%力g4)Wo.當停在1W陰Ch使得已1t.i二"二二二0時，可"

12、;S例5，不，.人為C.Br*d-I，則s(G=s(a).所以smc功w"h.從而對于任意給定的政列.k由±T二40(了E二OIL)可知55jJWS(EQ").又由(II)可知5(2；U)>=SQ、J，所以：W;，即對于上百"要么有5口一)=乂4，區(qū)必有5(d：_jW5CA)-1.因為友4)是大于二的整敷，所以經(jīng)過有限步后，必有義$)=義工j)=S(jy)=一.即存在正整數(shù)K,當后三K時，(.")=$($)7.12010高考北京理第20題】(13分)已知集合$=XX=(xi,X2,，xn),XiC0,1,i=1,2,，n(n>2).

13、對于A=(ai,a2,，an),B=(bi,b2,，bn)C&,定義A與B的差為AB=(|aibi|,|a2nb2|,，|an-bn|)；A與B之間的距離為d(A,場=abii(i)證明：Va,B,CCS,有A-BCS,且d(AC,B-C)=d(A,場；(2)證明：Va,B,CCS,d(A,B),d(A,C),d(B,。三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù);(3)設P=S,P中有m曄2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為mnd(Pl,證明：d(P)2(mi)答案：證明：(i)(理(i),文(2)設八=(ai,a2,，an),B=(bi,b2,，bn),C=(ci,C2,，Cn)CS.因為ai

14、,bie0,i,所以|aibi|0,i(i=i,2,，n).從而A-B=(|ai-bi|,|a2-b2|,，|anbn|)e3.n又d(ACB>-C)=|aq|bjg|,i1由題意知4a,o.E。甘工=1,為.js）.當c=o時，|Srl-b-&.|=|a-£）;當4?.=1時,I|a一c|瓦一口11a）一（1一九）|=|配一瓦I.所以d（ACtQ=:卜h廣忒品JjJ.kl設戶（建，raj*A（B，上,，bj,C=（cjG.，Q£&rfU歷=Jbd（A。=工4J=71.記片（5。.，oe由刃zdA=dAA,F©h或&爪4G三鞏再一備。

15、一用=小&c-）J-d（ff,0=dg羸C=h.所以|匕二比I（尸L2，刀中1的個數(shù)|w一旬|G=1,2，加中1的個數(shù)為上談f是使IL盤|二|匚一a1=1成立的J的個魴則±=升Ji-2t-由此可知，蛇上,力三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即成乩初卜前46成吊口三個數(shù)中至少有一"b是偶數(shù).、，b3=，仆戶/“動.其中4,1（尸挑4引表示尸中所有兩個元就甌自離的總和,U設F中所有元素的第個位置的數(shù)字中共有匕個1,lt個V則qHEp/（4切=2依一t）.-1R.由千士（khs匕=1",，Jj,所以力團W=.4從而牙（與二33第P，（4初H駕=.c；4CJ2舊一1）8.12

16、011高考北京理第20題】若數(shù)列An： a1,a2,，an (n 2)滿足1 aki ak | 1 (k 1 , 2, ,n1）,則稱An為E數(shù)列。記S（An）aia?L4.（1）寫出一個滿足aa§0,且S（As）0的E數(shù)列A5；（2）若ai12,n2000,證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an2011；（3）對任意給定的整數(shù)n（n2）,是否存在首項為0的E數(shù)列An,使得S（An）0?如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列An；如果不存在，說明理由。【解析（I）61，21，0是一具滿件的（答案不唯一，如b0,1，0也是一個滿V條件的E為數(shù)列A'（II）必要性.因為E數(shù)列工是

17、圉善數(shù)列，所以/t-2二.二匕,1999）.所以限是苜項為他公差為1的等差數(shù)列.所以立二產(chǎn)12+（20001）Xl=20十）性m由于.：&-：<1,比:一1：二立a：<l3rUAa<19999.即又因1a：=12-4產(chǎn)2011所以比:產(chǎn)比十L909.故&Z4=1>0代=1Tz7以也即&是星增數(shù)切.綜上，絡亦得證。CIII）令q=/n一%=1>0（4：=LZA：*-1）=則=±L因為%=q+6+/=勺+心十三4=鼻+g屯+A4GH4;所以鼠4'=31+（m-1）5+（制2乂？十。一3）Gn+A十七時=一口F拗1）十。PG_2

18、HA71匚QL因為q=±L所以1一公為偶藪信=1人/二鱉所以（1一,）（仙-1）+（1-chXw-H*7丁d士用）為偶數(shù)j所以要使S（從J=伉必須使刑：”為偶就即4整除制值一1）二亦即科=4出或孔=4粗41胴jV*）.當科=4加十1（切七.V*時歹山4用頂滿足或=0.%1=1，口#=1<Ar=L21A,吟時，有二口工5（4）=0;口a=1（九=L1L。"=口時有,="（4）=0;當m=4m-bl（w?WN*附:碣列4的吭藺足，日舉冬才三°上儀墉-2=T,當科=4m十2或村=4m+i（jkN時.雙徵一1）不能被4整除，此時不存在E數(shù)列心使得=口3（4

19、）=。.9.12012高考北京理第20題】(本小題共13分)設A是由mn個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1,且所有數(shù)的和為零.記Sm,n為所有這樣的數(shù)表組成的集合.對于ASm,n,記(A)為A的第i行各數(shù)之和(1領Jim),Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1蒯jn);記k(A)為r1(A)2(A),rm(A),|g(A),|q(A),cn(A)中的最小值.(1)對如下數(shù)表A,求k(A)的值；110.80.10.31(2)設數(shù)表AS2,3形如11cab1求k(A)的最大值;(3)給定正整數(shù)t,對于所有的AS2,2t1，求k(A)的最大值.【答案】解1由題意可知圖sA|

20、87;1.Lic,|?1r»-1,S二皿=0.7(2)先用反證法證明有工i<ii若力，>iriJ=a-1=-：7-1>1,'.>0同理可知>0由題目所有數(shù)和為0割少一占一七一一1,4二11一匕41與題目條件矛盾-<IW11易知當ab0時，kA1存在kA的最大值為1f-1“）軸揄的最大值為二苜先由造滿是聯(lián)工=的=4；）空=1二二二L二二一|t+_i_r-I口:l=收：='-=aLi=Lal,r-l二q-：='=aL：i-l=-71r -r + 1經(jīng)計算知.a中管個元素的絕對值者阮1、工口所有亓¥_F為:L且小可小丁=

21、二=")1=1>1+-«+Tf-2|匚1（且）口匚1（月）|=1+-=T'，十.，十下面證明三擔是最大值，若不然則存在一個數(shù)表Aw5*2+1）,庾得kQ%=x>三二r+?r2由支口）的定義如a的母KJ由個數(shù)之和由絕對值都不小于天，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，具般MB不超過故的每一列兩個數(shù)之和的缸同值都在間x中，由于；VA1.故4的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于，道且中有g列的列和為正，有2列的列印1為員.由飛稱性不虹俄gvL則gVr/3r-L另外，由對稱性不妨設A的第一行行和為正，第二行行卡為負.考庵T的第一行，由前面結詒知月的第

22、一行盧一個正數(shù)和r：Z于T+1個負數(shù)，母個正教的絕忖值不超過1即每個正數(shù)均不超過L）,每個負部白口他對值不小于K-l1即每個負數(shù)均不超過1-工）因此|3（*4）=q（=7+（2上1）（1力=2?+1（r+1>t=x+（2f+-«+2jc）<Xi散H的第一行行和的絕對值小于工，與假設才盾一因此利川的最大值為土已（IbyIFQ10.12014高考北京理第20題】（本小題滿分13分）對于數(shù)萬寸序列P：Mn),(a2,b2),L,(anh),記Ti(P)&bi,Tk(P)bkMaxTki(P)ea?Laj(2kn),其中MaxTk"),4a?Laj表示T-(P)和aa2Lak兩個數(shù)中最大的數(shù).(1)對于數(shù)對序