第二章第二節(jié) 離散型隨機變量及其分布律——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(李長青版)

1、第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布一、離散型隨機變量的定義一、離散型隨機變量的定義定義定義2 若隨機變量若隨機變量 X 的所有可能取值為有限多的所有可能取值為有限多注注 若要掌握一個離散型隨機變量的若要掌握一個離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律,個或者可列無窮多個，則稱個或者可列無窮多個，則稱 X 為離散型隨機變量。為離散型隨機變量。只需知道它的所有可能取值，以及它取每一個可能只需知道它的所有可能取值，以及它取每一個可能 值的概率即可值的概率即可.定義定義3 若離散型隨機變量若離散型隨機變量 X 的所有可能取值的所有可能取值P X = xk = pk, k = 1,2,

2、則稱上式為離散型隨機變量則稱上式為離散型隨機變量 X 的分布律或概率分布的分布律或概率分布. 分布律常用下面的表格表示：分布律常用下面的表格表示： XX1X2xkpkp1p2pk為為 x1, x2, ，且，且離散型隨機變量的分布律的性質(zhì)：離散型隨機變量的分布律的性質(zhì)：(1)0,1,2,;kpk1(2)1.kkp例例1 將將 1 枚硬幣擲枚硬幣擲 3 次次, X 表示出現(xiàn)的正面次數(shù)表示出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差試求與反面次數(shù)之差試求X的分布律的分布律.解解 由題意知由題意知 X 的所有可能的取值為的所有可能的取值為 3, 1, 1及及3.X = 3 相當于在相當于在3次拋擲中出現(xiàn)的全是反面，次

3、拋擲中出現(xiàn)的全是反面，每次拋擲每次拋擲正面和反面出現(xiàn)的概率均為正面和反面出現(xiàn)的概率均為 , ,812133XP同理可得同理可得 2131131 =,228P XC 由二項概率公式由二項概率公式, 有有 同理可得同理可得 2131131 =,228P XC 2231131 =,228P XC 30331113 =,228P XC 由此得由此得 X 的分布律為的分布律為 例例2 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為的分布律為X012345pk0.0625 0.1875 0.06250.250.18750.252,3,0.53P XP XPX求解解 顯然顯然 2012XXXX由此得由此得

4、2012P XP XP XP X0.06250.18750.06250.3125同理可得同理可得 30.4375,P X 0.530.25.PX 例例3 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為的分布律為,0,1,2,!kaP Xkkk0. a 為常數(shù)，試求常數(shù)解解 由分布律的性質(zhì)由分布律的性質(zhì), 有有 001e!kkkkaaakkea由此得由此得 注注 此處使用了此處使用了 ex 的麥克勞林展開式：的麥克勞林展開式： 2011e1!2!kxkkxxxxkk ()x 例例4 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈信號燈, 每盞信號燈以每盞信號

5、燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過的概率允許或禁止汽車通過. 以以 X 表示汽車首次停下時表示汽車首次停下時, 它已通過的信號燈的盞數(shù)它已通過的信號燈的盞數(shù), 求求X的分布律的分布律. (設(shè)各組信號燈的工作是相互獨立的設(shè)各組信號燈的工作是相互獨立的).解解出發(fā)地出發(fā)地甲地甲地依題意依題意, X 的可能的取值為的可能的取值為0, 1, 2, 3, 4. 由各信號燈工作由各信號燈工作的獨立性的獨立性, 有有 3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk3 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk,) 4(4pXPkpk 0 1 2 3 40.6 0.24 0.0960.0384

6、 0.0256代入代入4 . 0p二、典型的離散型隨機變二、典型的離散型隨機變量量1、兩點分布、兩點分布、01分分布布若隨機變量若隨機變量 X 的可能取值只有的可能取值只有x1, x2 兩個兩個, 它的它的12,1P Xxp P Xxp 稱稱 X 服從參數(shù)服從參數(shù) p 為為 的兩點分布的兩點分布.特別地特別地, 若隨機變量若隨機變量 X 只可能取只可能取0或或1兩個值兩個值, 則則X01pkqp分布律為分布律為稱稱 X 服從參數(shù)服從參數(shù) p 為的為的01分布分布, 記為記為Xb(1, p)，它的，它的分布律為分布律為其中其中 .1pq注注 兩點分布是一種比較簡單的分布兩點分布是一種比較簡單的分

7、布, 任何一個任何一個2、二項分布、二項分布只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象, 例如在產(chǎn)品的一次檢例如在產(chǎn)品的一次檢驗中出現(xiàn)驗中出現(xiàn)“正品正品”或或“次品次品”;做一次試驗事件做一次試驗事件“A發(fā)發(fā)生生”或或“A不發(fā)生不發(fā)生”均均可用這一數(shù)學模型描述可用這一數(shù)學模型描述.以以 X 表示表示 n 重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件 A 發(fā)生的次發(fā)生的次數(shù)數(shù),則則 X 的分布律為：的分布律為：,0,1,2,kkn knP XkC p qkn稱稱 X 服從參數(shù)服從參數(shù) n, p 為為 的二項分布的二項分布, 記為記為Xb(n, p) 例例6 一種一種40瓦的燈泡瓦的燈泡, 規(guī)定

8、其使用壽命超過規(guī)定其使用壽命超過2000小時的為正品小時的為正品, 否則為次品否則為次品. 已知有很大一批這樣的已知有很大一批這樣的燈泡燈泡, 其次品率為其次品率為0.2. 現(xiàn)從該批燈泡中隨機地抽取現(xiàn)從該批燈泡中隨機地抽取20只做壽命試驗只做壽命試驗, 問這問這20只燈泡中恰有只燈泡中恰有k只次品的概率是只次品的概率是多少？多少？解解這雖是無放回抽樣的問題這雖是無放回抽樣的問題, 總數(shù)很大總數(shù)很大, 常小常小, 這樣做會把問題大大簡化這樣做會把問題大大簡化, 很小很小.但由于這批燈泡的但由于這批燈泡的且抽出燈泡的數(shù)量相對于燈泡總數(shù)來說非且抽出燈泡的數(shù)量相對于燈泡總數(shù)來說非因此因此, 可以把這種

9、試驗當作有放回抽樣來處理可以把這種試驗當作有放回抽樣來處理. 雖然會有一些誤差雖然會有一些誤差, 但誤差但誤差我們將觀測一只燈泡的使用壽命是否超過我們將觀測一只燈泡的使用壽命是否超過2000小時小時看成是一次試驗看成是一次試驗, 利試驗利試驗. 用用 X 表示表示20只燈泡中次品的只數(shù)只燈泡中次品的只數(shù), 則則 (20, 0.2)Xb于是于是, 2020( ; 20, 0.2)(0.2) (0.8)kkkb kP XkC0,1,2,20k 分布列如下：分布列如下： 觀測觀測20只燈泡相當于做只燈泡相當于做20次貝努次貝努3、泊松分布、泊松分布若隨機變量若隨機變量 X的分布律為（的分布律為（ 0

10、0）e,0,1,2,!kP Xkkk則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 記為記為X().泊松分布是一種非常重要的分布泊松分布是一種非常重要的分布, 具有廣泛的具有廣泛的 應用應用 在某個時段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).一個容器中的細菌數(shù)；一個容器中的細菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)；應應用用場場合合放射性物質(zhì)發(fā)出的放射性物質(zhì)發(fā)出的 粒子數(shù)；粒子數(shù)；例

11、例7 某一無線尋呼臺某一無線尋呼臺, 每分鐘內(nèi)收到尋呼的次數(shù)每分鐘內(nèi)收到尋呼的次數(shù)泊松定理泊松定理 ( ,)lim,nnnXb n pnp，設(shè)設(shè)且且lim e!knP Xkk服從參數(shù)為服從參數(shù)為3 的泊松分布的泊松分布, 試求試求: (1)一分鐘內(nèi)恰好收到一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率次尋呼的概率; (2)一分鐘內(nèi)收到一分鐘內(nèi)收到2至至5次尋呼的概率次尋呼的概率. 則對任意非負則對任意非負 即對于較大的即對于較大的 n, 有有 X( ) 近似地近似地 整數(shù)整數(shù) k, 有有 利用泊松分布直接計算即可利用泊松分布直接計算即可. 4 4、幾何分布、幾何分布在獨立重復試驗中在獨立重復試驗中, 事件事件

12、 A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 p, 若若X-1(1),1,2,kP Xkpp k若一個隨機變量若一個隨機變量 X的分布律由上式給出的分布律由上式給出, 則稱則稱 X 表示直到表示直到 A發(fā)生為止所進行的試驗次數(shù)發(fā)生為止所進行的試驗次數(shù), 則則服從參數(shù)服從參數(shù)p為為 的幾何（的幾何（Geometric）分布）分布.幾何分布具有無記憶性幾何分布具有無記憶性, , 即即|,1,2,P Xmn XmP Xnm n無記憶性是指幾何分布對過去的無記憶性是指幾何分布對過去的m次失敗的信息次失敗的信息在后面的計算中被遺忘了在后面的計算中被遺忘了. .反之反之, , 一個取自然數(shù)值的一個取自然數(shù)值的隨機變量隨機

13、變量, , 如果具有無記憶性如果具有無記憶性, , 則該隨機變量一定則該隨機變量一定服從幾何分布服從幾何分布. .因此因此, , 無記憶性是幾何分布的一個特無記憶性是幾何分布的一個特性性. . 例例 9 一個袋子中裝有一個袋子中裝有N 個球個球, 其中有其中有 N1個白球個白球, 若一個隨機變量若一個隨機變量 的分布律為的分布律為12,0,1,2,kn kNNnNC CP XkkC則稱則稱 X 為服從超幾何分布為服從超幾何分布.5 5、超幾何分布、超幾何分布N2個黑球個黑球, 從中不放回地抽取從中不放回地抽取 n 個球個球, 求取到白球的求取到白球的個數(shù)個數(shù) X 的分布律的分布律.X 的分布律就是下面的超幾何