函數(shù)模型應用實例(使用 )

1、 例1 一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關系如圖3.2-7所示。（1） 求圖3.2-7中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；解：（1）陰影部分的面積為501+801+901+751+651=360陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km圖3.2-7（2） 假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)s km與時間t h的函數(shù)解析式，并作出相應的圖象。這個函數(shù)的圖象如圖3.2-8所示S =解：根據(jù)圖3.2-7，有50t+2004 80(t-1)+205490(t-2)+213475(t-3)+222465(t-4)+

2、22990t11t22t33t44t5t01234520002100220023002400圖3.2-8s圖3.2-7 從這個練習我們看到，在解決實際問題的過程中，圖象函數(shù)是能夠發(fā)揮很大的作用，因此，我們應當注意提高讀圖的能力。另外，在本題中我們用到了分段函數(shù)，由此我們也知道，分段函數(shù)也是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型。大家在運用分段函數(shù)的時候要注意它的定義域。那么應該如何解函數(shù)的應用問題呢？例例2 人口問題是當今世界各國普通關注的問題。認識人人口問題是當今世界各國普通關注的問題。認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)。早在據(jù)。早在1798

3、年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯就提出了年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：自然狀態(tài)下的人口增長模型：表表3-8是是19501959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：年我國的人口數(shù)據(jù)資料：rteyy0其中其中t表示經(jīng)過的時間，表示經(jīng)過的時間，y0表示表示t=0時的人口數(shù)，時的人口數(shù)，r表示表示人口的年平均增長率。人口的年平均增長率。（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與

4、實際人口數(shù)據(jù)這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；是否相符；解：解：（1）設）設19511959年的人口增長率分別為年的人口增長率分別為 r1，r2，r9.由由55196 (1+r1) =56300可得1951年的人口增長率 r10.0200。同理可得，r20.0210r30.0229r40.0250r50.0197r60.0223r70.0276r80.0222r90.0184于是，19511959年期間，我國人口的年均增長率為r=（r1+r2+r9）90.0221令y0=55196，則我國在19501959年期間的人口增長模型為Nteyt,551960221.0

5、根據(jù)表3-8中的數(shù)據(jù)作出散點圖，并作出函數(shù)的圖象（圖3.2-9）。由圖3.2-9可以看出，所得模型與19511959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合。97531024685000055000600006500070000圖3.2-9ty（2）如果按表3-8的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達到13億？解：將 y=130000代入由計算器可得t38.76所以，如果按表3-8的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國的人口就已達到13億。由此可以看到，如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力。Nteyt,551960221.0 從以上的例子可以看到，用

6、已知的函數(shù)模型刻畫實際問題的時候，由于實際問題的條件與得出已知模型的條件有所不同，因此通過模型得出的結果往往會與實際問題存在一定的誤差。因此，往往需要對模型進行修正。例3、某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶裝水的進價是5元。銷售單價與日均銷售量的關系如下表所示：請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部那樣定價才能獲得最大利潤。解：根據(jù)上表，銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶。設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元，而在此情況下的日均銷售量就為xx40520)1(40-480200)40520(,130, 040520, 0 xxyxxx于是可得即且由于潤。元，

7、就可獲得最大的利定為所以，只需將銷售單價有最大值。時，易知，當5 .115 . 6130 ,200520402yxxxx題型 1 利用給定的函數(shù)模型解決實際問題【例 1】 某市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種產(chǎn)品在投放市場的 30 天中， 其銷售價格 P 元和時間 t 天(tN)的關系如圖 3-2-4 所示.圖 3-2-4(1)寫出銷售價格 P(單位：元)和時間 t(單位：天)的函數(shù)解析式；(2)若日銷售量 Q(單位：件)與時間 t(單位：天)的函數(shù)關系是 Qt40(0t30，tN)，求該商品的日銷售金額 y(單位：元)與時間 t(單位：天)的函數(shù)解析式；(3)問：當該產(chǎn)品投放市場第幾天時，日銷售額最高，最高

8、為多少元？題型 2 建立確定性的函數(shù)模型解決問題【例 2】 我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調(diào)控等手段來達到節(jié)約用水的目的.某市用水收費的方法是：水費基本費超額費損耗費.若每戶每月用水量不超過最低限量 a(單位：m3)時，只付基本費 8 元和每戶每月的定額損耗費 c 元；若用水量超過 a(單位：m3)時，除了付同上的基本費和損耗費外，超過部分每 1 m3 付 b元的超額費.已知每戶每月的定額損耗費不超過 5 元.該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：(1)請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求 a，b，c 的值；(2)寫出某戶在一個月中的水費 y(單位：元)與在這個月中的用水量 x(

9、單位：m3)的函數(shù)關系式.題型 3 建立擬合函數(shù)模型解應用題【例3】 某工廠今年 1 月、2 月、3 月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為 1萬件、1.2 萬件、1.3 萬件，為了估計以后每月的產(chǎn)量，現(xiàn)以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量 y 與月份 x 的關系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù) yabxc(a，b，c 為常數(shù)).已知 4 月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為 1.37 萬件，請問用以上哪個函數(shù)作模擬函數(shù)較好？說明理由.【問題探究】1、某商品進價每個 80 元，零售價每個 100 元，為了促銷，擬采取買一個這種商品，贈送一個小禮品的辦法，實踐表明：禮品價值 1 元，銷售量增加 10%，且在一定范圍內(nèi)

10、，當禮品價值為 n1 元時，比禮品價值為 n(nN*)元時的銷售量增加 10%.(1)寫出當禮品價值為 n 元時，利潤 f(n)(單位：元)與 n 的函數(shù)關系式；(2)請你設計當禮品價值為多少元時，商店獲得最大利潤. 某種細菌隨時間的變化而迅速地繁殖增加，若在某個時刻這種細菌的個數(shù)為200個，按照每小時成倍增長，如下表：問：問：實驗開始后5小時細菌的個數(shù)是多少？練習練習2 2解：解：設實驗時間為x小時，細菌數(shù)為y個，依題意有 20020020，40020021，80020022，160020023此實驗開始后5小時，即x5時，細菌數(shù)為200256400（個） 從而，我們可以將細菌的繁殖問題抽象

11、歸納為一個指數(shù)函數(shù)關系式，即y2002x（xN）解函數(shù)的應用問題，一般地可按以下四步進行：第一步：閱讀理解，認真審題第二步：引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)數(shù)學問題 （即數(shù)學模型）予以解答，求得結果第四步：再轉(zhuǎn)移成具體問題作出解答 實際問題實際問題 數(shù)學模型數(shù)學模型實際問題實際問題 的解的解抽象概括抽象概括數(shù)學模型數(shù)學模型 的解的解還原說明還原說明推理推理演算演算1.通過對給出的圖形和數(shù)據(jù)的分析，抽象出相應 的確定的函數(shù)模型。2.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點圖，并通過觀察 圖象判斷問題所適用的函數(shù)模型，利用計算器 的數(shù)據(jù)得出具體的函數(shù)解析式。再用得到的函 數(shù)模型解決相

12、應的問題。用已知的函數(shù)模型刻畫實際問題的時候，由于實際問題的條件與得出已知模型的條件有所不同，因此，往往需要對模型進行修正。注意注意方法規(guī)律小結1.幾種常見的函數(shù)模型. (1)一次函數(shù)模型：f(x)kxb(k，b為常數(shù)，k0). (2)二次函數(shù)模型：f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0). (3)分段函數(shù)模型：當xA時，yf(x)；當xUA時，yg(x). (4)指數(shù)型函數(shù)模型：f(x)kaxb(k，a，b為常數(shù)，a0，且a1，k0). (5)對數(shù)型函數(shù)模型：f(x)klogaxb(k，a，b為常數(shù)，a0，且a1，k0). (6)冪函數(shù)型模型：f(x)kxnb(k，n，b為常數(shù)，k0，n1).2.利用函數(shù)模型解決實際問題.(1) 一般地，函數(shù)模型方法為“設變量找關系求結果”.(2)利用函數(shù)模型解應用題的基本步驟：審題：弄清題意，分析條件和結論，理順數(shù)量關系，恰當選擇數(shù)學模型；建模：將文字語言、圖形(或者數(shù)表)等轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；還原：將利用數(shù)學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義.3.函數(shù)模型應用的主要類型.(1)利用給定的函數(shù)模型解決實