數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略附中講座

1、數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略涂榮豹(發(fā)表于在南京師大附中聽講座2007.9. 江蘇教育出版社)我今天報(bào)告的題目是“數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略”。關(guān)于教學(xué)的基本策略，我還沒有很深入成熟的思考。講到教學(xué)策略，究竟有哪些教學(xué)策略，或者說教學(xué)的策略究竟是什么，我在概念上還不是很清楚。但是，我想有關(guān)教學(xué)的一些基本的東西，總是可以作為基本策略的。在我頭腦的概念里，策略應(yīng)該比原理要具體，原理的理論性應(yīng)該更強(qiáng)一些，策略應(yīng)該介于操作和原理之間。策略可以指導(dǎo)操作，但是它又沒有固定的程式或具體步驟可循，所以策略比操作要抽象一些，但是比原理具體一些，或者說是原理的具體化。關(guān)于教學(xué)策略這個(gè)問題，我想談三個(gè)方面的策略。第一是教什么的策略，

2、第二是怎么教的策略，第三個(gè)是解題教學(xué)的策略。這些都是中學(xué)教學(xué)重要的基本問題。關(guān)于教什么的問題，記得去年11月初，附中搞了一次高一新課程公開課活動(dòng)，當(dāng)時(shí)我對公開課作了一個(gè)點(diǎn)評，我在點(diǎn)評記錄稿基礎(chǔ)上形成了一篇文章，發(fā)表在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考今年第一、二期合刊上，反響比較好。我對教學(xué)的認(rèn)識(shí)與對教學(xué)一般的認(rèn)識(shí)不太相同。一般認(rèn)為教學(xué)就是 “教師教”，“學(xué)生學(xué)”；我認(rèn)為教學(xué)是“教師教學(xué)生學(xué)”，更強(qiáng)調(diào)教師“教學(xué)生學(xué)什么”。我提出這樣的想法，與這幾年深入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行了實(shí)踐研究有關(guān)系。把“教學(xué)”理解成教師“教”，學(xué)生“學(xué)”，很容易形成“教師教什么，學(xué)生就學(xué)什么”的一種局面，學(xué)生往往就處在被動(dòng)學(xué)習(xí)的地位。如果把“

3、教學(xué)生學(xué)什么”換在“教什么”的位置上，那么就不是具體的“教他什么”，而是教他“你學(xué)什么”。他很可能不知道學(xué)什么，但是通過你的引導(dǎo)，讓他發(fā)現(xiàn)要學(xué)什么。這就是教“學(xué)什么”。“教學(xué)生學(xué)什么”呢？第一是教學(xué)生“學(xué)習(xí)建構(gòu)新概念、新方法”。不是我把概念、方法拿出來你來學(xué)，而是教你“建構(gòu)新概念、新方法”。這時(shí)可能新概念或者新方法還沒有呢，而是通過我的教學(xué)，你來建構(gòu)這個(gè)“新概念、新方法”。第二是教學(xué)生“學(xué)習(xí)科學(xué)研究一般方法”。數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，它的研究方法與其它科學(xué)的研究方法應(yīng)該是相通的，盡管它的對象是抽象的形式化的思想材料，我們?nèi)匀豢梢越梃b實(shí)驗(yàn)科學(xué)的研究方法，只不過數(shù)學(xué)主要是進(jìn)行頭腦里的思想實(shí)驗(yàn)。我們的教學(xué)除

4、了要求學(xué)生掌握知識(shí)以外，可能真正要學(xué)生掌握的就是這種“科學(xué)研究的一般方法”了 。因?yàn)檎莆樟艘话惴椒ň涂梢岳靡话惴椒ㄈW(xué)習(xí)任何東西。這是“教”的一個(gè)內(nèi)容。“教”的另一個(gè)內(nèi)容是，“教學(xué)生怎么學(xué)”?！敖虒W(xué)生怎么學(xué)”就是教學(xué)生“用科學(xué)研究的一般方法去學(xué)”。現(xiàn)在你要學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)建新概念和新方法，那怎么建構(gòu)呢？就要用一般的科學(xué)研究的方法來建構(gòu)，這當(dāng)然就要教學(xué)生學(xué)習(xí)一般科學(xué)研究方法。教他學(xué)習(xí)一般科學(xué)研究的方法，并不是一般意義上的“教”，而是引導(dǎo)他在用的過程中學(xué)，也就是在用科學(xué)研究的一般方法建構(gòu)新概念、新方法的過程中，學(xué)習(xí)一般科學(xué)研究的方法。這同“在游泳中學(xué)游泳”，“在做數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)”是一個(gè)道理。這個(gè)過程同時(shí)

5、就在教他怎么學(xué)了。那么，什么是科學(xué)研究的一般方法？數(shù)學(xué)研究一般可以概括為四個(gè)組成部分，或者是四個(gè)研究階段。第一個(gè)階段就是提出問題，這個(gè)是毫無疑問的。在數(shù)學(xué)課里如何提出問題，總體有兩種。一種是教師提出問題，另一種是學(xué)生提出問題，最好是學(xué)生提出問題。但是進(jìn)入高中階段以后的數(shù)學(xué)，它的問題往往不是學(xué)生能夠直接提出來的，即使是初中階段，依賴學(xué)生有限的生活經(jīng)驗(yàn)要提出數(shù)學(xué)問題，還是有困難，所以主要是教師提出問題。當(dāng)然，教師提出問題的方式是多種多樣，一種是構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)問題的情境，就是問題；另一種是設(shè)計(jì)一些實(shí)際情境，比如說生活的一些畫面情景，來提出問題。提出問題，這個(gè)是最重要，因?yàn)閱栴}是數(shù)學(xué)的心臟，繼而發(fā)生的一

6、切數(shù)學(xué)活動(dòng)都是圍繞問題來展開的。提出問題，其目的是為了要解決問題，但并不是一步就能解決。因此在提出問題以后，接著要提出解決問題的假設(shè)和思想。怎么樣才是解決問題，或者說問題解決以后它是一個(gè)什么狀況呢？要假設(shè)，要猜想。這個(gè)問題被解決以后應(yīng)該是什么樣子，要假設(shè)。這樣你就有了一個(gè)目標(biāo)，就要設(shè)法實(shí)現(xiàn)這個(gè)假設(shè)，或者去驗(yàn)證這個(gè)假設(shè)，或者是修正這個(gè)假設(shè)，當(dāng)然也可能否定這個(gè)假設(shè)。這樣一來，數(shù)學(xué)研究的活動(dòng)就開始了，先提出問題，再提出解決問題的假設(shè)和猜想。提出假設(shè)以后，就要建立這個(gè)研究對象的數(shù)學(xué)模型。要實(shí)現(xiàn)這個(gè)假設(shè)的話，我可能現(xiàn)有的知識(shí)和方法不夠用了，那就要在中間不夠的地方增加一些東西。這個(gè)增加的東西往往是概念。概

7、念是怎么提出來的呢，有一個(gè)宗旨，不是為概念而概念，是為了解決問題而提出必要的概念。在解決這個(gè)問題的過程中，很可能現(xiàn)有的概念不夠用，因?yàn)楝F(xiàn)有的概念不夠用，所以我就來提出新概念，因而就來引導(dǎo)學(xué)生去建立新概念。這樣一來，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)什么了，學(xué)什么學(xué)習(xí)建立新概念。所謂建立新概念也好，新方法也好，新的公式也好，在數(shù)學(xué)里都是建立一種模型。于是你就提出所研究對象的一個(gè)模型了。對于這個(gè)模型或者是概念，或者是關(guān)系，或者是一些定理和公式，從數(shù)學(xué)上來講，還要盡可能用數(shù)學(xué)語言來描述它們，就是用數(shù)學(xué)語言來描述這個(gè)概念，或者說用數(shù)學(xué)符號(hào)建立這個(gè)數(shù)學(xué)模型，給出一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)式。這個(gè)過程，是一個(gè)建構(gòu)的過程，是學(xué)生經(jīng)歷了

8、若干具體的對象，然后抽取它的本質(zhì)特征而形成的。 有了新概念以后，在這個(gè)概念的基礎(chǔ)上，要想解決問題，還要研究解決問題的工具，就是設(shè)計(jì)工具，或者改造已有的工具，或者是創(chuàng)造一個(gè)工具。在高中數(shù)學(xué)里，創(chuàng)造的部分還是比較多的，后面我會(huì)用一些例子來說明。創(chuàng)造一個(gè)工具，然后用這個(gè)工具來解決問題，用這個(gè)工具來解決問題的過程中，將形成說明這個(gè)對象及其活動(dòng)變化規(guī)律的一整套理論，那就是知識(shí)。最后再利用知識(shí)去解決具體的問題，形成解決問題的方法，因?yàn)榻鉀Q問題的過程中，還需要一套方法。我舉一個(gè)計(jì)數(shù)原理的課例。我研究課例的方式，是攝像以后把全部學(xué)生、老師的對話全部記錄下來，其中個(gè)別的有點(diǎn)不一樣。然后把記錄稿分為兩欄，左邊是上

9、課老師的教學(xué)文字記錄，右邊是研究的評注，就是對整個(gè)的教學(xué)過程做一些研究性的說明。我著重于研究的，并不是評價(jià)這個(gè)課上的怎么樣，我覺得應(yīng)該從研究的角度，這節(jié)課應(yīng)該怎么上，這節(jié)課得到了什么，或者還有可以再提高的地方。這節(jié)課一開始，教師就給出一個(gè)問題情境：一個(gè)學(xué)生考上了北京大學(xué)，要從南京去北京上學(xué)，去的過程就有交通工具和路線的選擇，這樣就把兩種計(jì)數(shù)原理的模型具體化，用現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)例作為數(shù)學(xué)模型一個(gè)具體模型，“模型”一般指理論上的抽象模型，抽象模型的實(shí)際原形常常也叫做“模型”，例如生活原形。這節(jié)課所創(chuàng)設(shè)的情境是以實(shí)際生活為背景提出的數(shù)學(xué)問題，是這節(jié)課要解決的數(shù)學(xué)模型的生活原形。 這兩個(gè)數(shù)學(xué)問題情境，暗示

10、了兩種數(shù)學(xué)模型。一個(gè)是分類計(jì)數(shù)的模型，一個(gè)是分步計(jì)數(shù)的模型，就是這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型。我們常講“數(shù)學(xué)是模型科學(xué)”，怎么來理解？實(shí)際上每天我們都在接觸模型，大大小小，有的直接，有的間接，但是我們在中學(xué)階段大多是直接接觸。通過這兩個(gè)問題，學(xué)生對這兩個(gè)模型有了初步的感知體悟，但是，這個(gè)模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)究竟是什么？這個(gè)問題核心的思想是什么？還需要深入思考和探究，于是在提出兩個(gè)模型以后，要學(xué)生思考兩個(gè)小問題：第一個(gè)情境中這兩個(gè)問題有什么異同；第二個(gè)你能不能夠把這個(gè)問題解決，能不能把解決方法一般化。 這個(gè)時(shí)候，學(xué)生就要帶著這兩個(gè)問題來回顧兩個(gè)模型，就會(huì)針對教師提出的思考題，對應(yīng)情境中間的兩個(gè)問題提出一些質(zhì)疑和思考

11、。實(shí)際是讓學(xué)生進(jìn)入孔夫子講的“憤”“悱”狀態(tài)，讓他自己質(zhì)疑，釋疑。他產(chǎn)生疑惑了以后，你教師不直接去告訴他是什么，而是要他去尋找一般的規(guī)律。這已經(jīng)是一種啟發(fā)，表面上沒有結(jié)論，實(shí)際上在暗示，暗示你要去尋找規(guī)律。要尋找這個(gè)規(guī)律，你就要把本質(zhì)的東西異同提煉出來，同在什么地方，不同在什么地方。為了讓學(xué)生理解和提煉模型的本質(zhì)，更合適的是向?qū)W生提出這樣的要求：“我提出了兩個(gè)問題情境，代表了兩種模型，你能不能舉出類似的問題?！边@個(gè)要求的用意是，學(xué)生如果能舉出類似問題，那就表明他對這個(gè)問題的本質(zhì)有所感悟。他如果不能，就說明他對這個(gè)問題的本質(zhì)理解還有欠缺，還沒有抓到本質(zhì)。這時(shí)候正好，不同的舉例就把學(xué)生在對本質(zhì)理解

12、方面存在的問題反饋給你。等到學(xué)生都提出各式各樣問題以后，拿出來一比較，一分析，哦，這個(gè)舉例大家公認(rèn)，反映出來的與模型中問題的本質(zhì)是一致的；那個(gè)舉例呢，有所不同，與模型中的問題有差異，實(shí)際是對模型中問題的本質(zhì)沒有把握住。這時(shí)候大家來一起分析，一起修正，這樣學(xué)生就會(huì)經(jīng)歷既尋找共同屬性，又尋找不同屬性的這樣一種過程，從而把共同的本質(zhì)屬性提取出來。學(xué)生獨(dú)立編制反映模型的不同問題的好處，就是能夠進(jìn)行情境遷移。剛才你提的兩個(gè)問題是這個(gè)學(xué)生到北京上學(xué)，是交通工具和路線的問題。學(xué)生想到的可能就不是交通工具的問題。課堂上實(shí)際舉例時(shí)，有學(xué)生舉的例子是中午到食堂買飯配餐，是買飯，還是面條；然后買什么菜；再買什么湯。

13、這樣就形成了一個(gè)類似的問題。這時(shí)，他涉及的情境就和交通工具完全不是一個(gè)事件，但是他能夠把模型的本質(zhì)遷移到這個(gè)事件上來構(gòu)造問題，表明他對這個(gè)模型本質(zhì)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)很好。所以我主張，要讓學(xué)生在情境上進(jìn)行大范圍遷移。 今天我上午也聽了一節(jié)課，有個(gè)學(xué)生利用的生活經(jīng)歷就是吃麥當(dāng)勞，買什么套餐，有哪幾種套餐，套餐里面配什么主食，配什么飲料，配什么點(diǎn)心。更有學(xué)生提出CBA籃球聯(lián)賽場次的問題，更復(fù)雜一些。學(xué)生們一聽這些非常熟悉的東西，討論積極，氣氛活躍。這樣學(xué)生就把模型問題的本質(zhì)遷移到其他的一個(gè)個(gè)情境中了。通過不同情境的遷移來編制問題，從而抽取問題的本質(zhì)，用這種方式所把握的本質(zhì)的遷移性就高，遷移的價(jià)值就大。學(xué)生越

14、是在不同情境下認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，就越能促進(jìn)他對問題本質(zhì)的把握。從教育心理學(xué)理論可以知道，遷移的能力越強(qiáng)，解決問題的能力就越強(qiáng)。因?yàn)榻鉀Q問題，都是在新的一種情境下來解決的。 第二個(gè)你在讓學(xué)生編題的過程當(dāng)中，先要讓學(xué)生自己編，然后交流，四人小組一交流就是四個(gè)問題，至少不會(huì)與你的問題相同。但這個(gè)前提是先獨(dú)立思考，獨(dú)立編題，然后再交流。這也就是現(xiàn)在獨(dú)立思考與合作交流的一種關(guān)系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)第一是獨(dú)立思考，而且從培養(yǎng)和教育人的角度，首先是培養(yǎng)獨(dú)立思考的能力。如果一個(gè)人經(jīng)過教育的培養(yǎng)以后，不能獨(dú)立思考，什么事情都要依賴別人，沒有別人在旁邊幫助他就做不了決定，那肯定不是我們教育所希望的人。所以獨(dú)立思考，獨(dú)立探究，

15、非常重要，通過這樣一個(gè)獨(dú)立思考，自己提出各種各樣類型的問題，就是在建構(gòu)這個(gè)問題的本質(zhì)性東西。獨(dú)立思考以后，把自己的意見拿出來與大家交流，交流的過程當(dāng)中再進(jìn)行交鋒，“你同意不同意”，“你有什么新的補(bǔ)充”，“你能不能說得更準(zhǔn)確一點(diǎn)”。這些語言都是一種帶有鼓勵(lì)激勵(lì)的作用，暗示或者是提示。暗示和提示其實(shí)差不多，我教師始終沒有告訴你這是什么，只是要你能不能改善一下，能不能說得更好一點(diǎn)，什么是改善，什么是好，你自己判斷。說的過程中，你說他說，最后達(dá)成共識(shí)某一種說法最好。這樣人人都參與了，大家都提高了。這樣一來就把他們的意圖概括提煉出來，這當(dāng)中有本質(zhì)的屬性也有非本質(zhì)的屬性，在概括的過程當(dāng)中非本質(zhì)的屬性舍去，

16、留下來就是本質(zhì)屬性。這個(gè)過程就是用啟發(fā)或者暗示來幫助學(xué)生。到底模型中問題的本質(zhì)屬性是什么呢？他想要表達(dá)清楚，而表達(dá)的過程中總是表達(dá)不清楚，這時(shí)老師給他一點(diǎn)暗示或者提示。這就是“不悱不發(fā)”，他有所“悱”了，你老師點(diǎn)撥他一下，然后他“發(fā)”。在這個(gè)過程中舍棄了非本質(zhì)屬性，提取了本質(zhì)屬性。這是典型的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，數(shù)學(xué)活動(dòng)過程就是要把對象共同的屬性概括出來，把非本質(zhì)屬性舍棄。同時(shí)，在這個(gè)過程中也學(xué)習(xí)了科學(xué)研究的一般方法。一般科學(xué)方法是先提出問題，然后提出問題的假設(shè)。提出問題的假設(shè)，就是提出問題本質(zhì)屬性的假設(shè)。實(shí)際上學(xué)生在構(gòu)造自己的實(shí)例的時(shí)候，就在提出假設(shè)了，提出猜想了，然后通過討論驗(yàn)證假設(shè)，通過對編制的

17、眾多問題的概括提煉，把這個(gè)概念建立起來。建立了什么概念？分類的概念和分步的概念。這是新概念。這個(gè)新概念就是，從計(jì)數(shù)的角度有兩個(gè)模型，分類計(jì)數(shù)模型和分步計(jì)數(shù)模型。這兩個(gè)模型的本質(zhì)是一個(gè)是分類，一個(gè)是分步。學(xué)生把它們的本質(zhì)概括出來，新的概念就建立了。不僅建立新概念，還要求學(xué)生考慮能不能把剛才解決問題的具體方法一般化。前面學(xué)生編制的例子很多，每個(gè)例子都有一個(gè)解決方法，現(xiàn)在要求他把體現(xiàn)在各個(gè)例子中的方法的一般化。因?yàn)榻?jīng)歷的例子很多，學(xué)生把方法一般化是可能的，只不過是語言的準(zhǔn)確性、簡練性可能一時(shí)難以達(dá)到完美。我們對語言的要求不必太高，只要感覺到他的意思對了就行，每個(gè)學(xué)生能夠用自己的語言把數(shù)學(xué)的對象描述出

18、來，就行了。不是要他與書本上數(shù)學(xué)的定義一字不差，他用自己的語言描述出來就行，然后教師幫助他把語言精練一下。這樣新的概念建立了，新的模型產(chǎn)生了，最后又創(chuàng)建了新的方法。 經(jīng)歷了這個(gè)過程以后，到這個(gè)時(shí)候，教師就教學(xué)生學(xué)到了分類和分步的計(jì)數(shù)兩個(gè)數(shù)學(xué)原理。怎么學(xué)會(huì)的呢，是在一個(gè)過程經(jīng)歷中學(xué)會(huì)的。什么過程經(jīng)歷啊？這個(gè)過程經(jīng)歷，不是告訴他程序，第一步是提出問題，第二步是建立模型，第三步提出猜想。這些程序是老師需要清楚知道的，學(xué)生只要經(jīng)歷按程序進(jìn)展的過程。如果學(xué)生在多年的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常經(jīng)歷這樣的過程，通過長期這樣的熏陶，就會(huì)自然而然地逐步的把這種研究問題的方法的銘刻在心，這比記住方法的程序步驟更重要。教師因?yàn)橐?/p>

19、教，所以要搞清楚方法的這些程序步驟，但是對學(xué)生來講是通過方法的運(yùn)用，把方法變成他自己的東西。一旦遇到問題就隨時(shí)拿出來，下意識(shí)地去運(yùn)用這種方法。所以不是記住程序步驟，而是讓他反反復(fù)復(fù)地經(jīng)歷、體驗(yàn)，到那個(gè)時(shí)候用這個(gè)方法，就是在無意識(shí)的按這個(gè)方法去解決了。 我想，這就是在教學(xué)生學(xué)什么。其實(shí)我們很多課里面都有學(xué)什么的問題和怎么學(xué)的問題，記得曾經(jīng)有節(jié)課討論過一個(gè)問題，03年兩個(gè)新西蘭的數(shù)學(xué)教育專家到南師大附中來參觀聽課，內(nèi)容是“到角”公式的建立，就是“一條直線到另一條直線的所成的角”的公式。這個(gè)“到角”是俗稱，并非科學(xué)名詞。上課伊始，教師從已學(xué)習(xí)了直線平行和垂直位置關(guān)系的刻畫，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出課題任意

20、兩條相交直線的位置關(guān)系如何刻畫？在這之前只有“夾角”的概念，但是要刻畫平面內(nèi)的任意相交直線位置關(guān)系的時(shí)候，夾角的概念就不夠用了，自然先要建立新的概念“到角”的概念。建立這個(gè)概念，不是老師告訴學(xué)生。假如告訴學(xué)生，那就沒有什么意思。而如果由學(xué)生自己設(shè)法刻畫，就發(fā)現(xiàn)用“夾角”刻畫會(huì)出現(xiàn)矛盾，這說明原有的“夾角”概念不夠用了。那怎么辦？提出新的概念呀！提出什么樣的新概念呢？大家討論想辦法，經(jīng)過多次假設(shè)、爭辯、驗(yàn)證、修改，提出可以用“到角”刻畫，也就是用“以交點(diǎn)為中心，一條直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到另一條直線時(shí)的角度”來刻畫。這樣一個(gè)新的概念就提出來了“一條直線到另一條直線所成的角”簡稱“到角”。那怎么來計(jì)算這個(gè)

21、“到角”呢，假如能夠找到一個(gè)公式就好了，接著來探究這個(gè)公式。這個(gè)教學(xué)過程就把“教學(xué)生學(xué)什么和怎么學(xué)”的思想體現(xiàn)出來了。老實(shí)說，“計(jì)數(shù)原理”這節(jié)課上好不容易。老師一般覺得“分類和分步”的教學(xué)很簡單，一下子就能夠把學(xué)生講懂。但是你把學(xué)生講懂，與你讓學(xué)生通過一系列類似于科學(xué)研究的活動(dòng)，自己去真正把本質(zhì)搞清楚，提取出來，并且建立新概念，這樣一種搞懂完全不是一回事情。你告訴他，碰到這個(gè)問題就用乘法，碰到那個(gè)問題就用加法，他就把這些記住，那他就變成一個(gè)記憶的工具和實(shí)施的工具，而不是一個(gè)獨(dú)立能動(dòng)的思想者。所以這節(jié)課中的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，就是兩個(gè)新的數(shù)學(xué)模型。我們老師在教的時(shí)候，頭腦里是不是這樣的認(rèn)識(shí)。可能很多老

22、師沒有這樣的認(rèn)識(shí)，沒有把它當(dāng)作數(shù)學(xué)模型來認(rèn)識(shí)。所以，這節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)前提就是你對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)，以及對數(shù)學(xué)模式本質(zhì)的理解。如果你不這樣理解，這節(jié)課的對象你就不可能把它作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型去組織教學(xué)。那我就只要三五分鐘講一講，把“什么是加法原理，怎么算；什么是乘法原理，怎么算”告訴學(xué)生，然后舉兩個(gè)例子，題目一布置，學(xué)生肯定會(huì)做起來，只要模仿嘛。那他就只能解解題，套用模式，而對模型的本質(zhì)完全不知，對科學(xué)研究一般方法的學(xué)習(xí)更是全無。 你告訴他以后，他就不可能去意識(shí)這些，就不可能把今天要學(xué)的東西當(dāng)作一個(gè)探索的對象來學(xué)習(xí)，不把它當(dāng)作一個(gè)不知道的東西，不會(huì)如此這樣的一種滿懷求知欲望地去學(xué)習(xí)。他也不會(huì)知道，在這個(gè)

23、過程中我還能夠獲得科學(xué)研究的一般方法，因?yàn)闆]有這個(gè)過程嘛。如果是直接告訴，那我們就丟失了一個(gè)給予學(xué)生這兩個(gè)方面培養(yǎng)的良好機(jī)會(huì)。 這是我講的第一個(gè)問題，就是教學(xué)生學(xué)什么和教學(xué)生怎么學(xué)，學(xué)習(xí)任何知識(shí)都要把它當(dāng)作學(xué)習(xí)建構(gòu)新概念和新方法，還要學(xué)習(xí)科學(xué)研究的一般方法。但是這個(gè)科學(xué)一般方法的學(xué)習(xí)又不是機(jī)械的，而是把方法用到建構(gòu)新概念和新方法的過程中來學(xué)。所以這個(gè)科學(xué)研究的一般方法，既是他要學(xué)的東西又是他要用的東西，他在用的過程中來學(xué)，在用的過程中不斷領(lǐng)悟科學(xué)研究一般方法的本質(zhì)，不斷提高運(yùn)用科學(xué)研究一般方法的水平。這是第一個(gè)問題。第二個(gè)問題就是“怎么教學(xué)生學(xué)”。既然要教學(xué)生學(xué)，當(dāng)然就有一個(gè)“怎么教”學(xué)生學(xué)的

24、問題。實(shí)際上，剛才講“教學(xué)生學(xué)什么和怎么學(xué)”的過程當(dāng)中，已經(jīng)蘊(yùn)涵了“怎么教”學(xué)生學(xué)的問題。總體上來講，你怎么教學(xué)生學(xué)呢？教師要作為一個(gè)課堂“教學(xué)向?qū)А眮斫虒W(xué)生學(xué)什么和怎么學(xué)。我想，“教學(xué)向?qū)А边@個(gè)概念可能我們還第一次聽說，這是一門新的學(xué)科“學(xué)習(xí)科學(xué)”提出來的觀點(diǎn)，但是目前還沒有引起我國教育界的重視。我對這個(gè)新概念非常感興趣，為什么？因?yàn)槲艺J(rèn)為這就是“教師主導(dǎo)”的真正含義所在。平時(shí)我們講“學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo)”，總是分不清楚。原因在什么地方？教師的“導(dǎo)”是向?qū)?，不是領(lǐng)導(dǎo)，不是主宰，不是以權(quán)威自居。不過教師是向?qū)У闹鹘?。課堂上“教學(xué)向?qū)А庇泻芏啵粌H僅是老師，課本、教具、同學(xué)、環(huán)境等等都是教學(xué)向

25、導(dǎo)，但是在眾多的教學(xué)向?qū)е?，教師是“主角”，是“教學(xué)向?qū)У闹鹘恰?。這樣理解，我覺得更準(zhǔn)確。原來，教師是課堂上“主要的教學(xué)向?qū)А笔沁@樣的“教學(xué)主導(dǎo)”。否則的話，總是分不清楚主導(dǎo)和主體的關(guān)系，究竟哪個(gè)是“主”？我想，這個(gè)關(guān)于“教師主導(dǎo)”的認(rèn)識(shí)可能會(huì)比較準(zhǔn)確、清楚了。 教師怎樣才能成為教學(xué)向?qū)?？就是把學(xué)生放在探究的地位上，讓他自己去探究，自己去發(fā)現(xiàn)，讓他成為一個(gè)主動(dòng)的學(xué)習(xí)者。這個(gè)時(shí)候，教師就是一個(gè)向?qū)Ш鸵龑?dǎo)了：認(rèn)不得路了，帶一下；看不清楚方向，指一下；甚而至于不指，只是暗示一下，提醒一下而已。暗示和提示是杜威的著作思維與教學(xué)里提出來的。這個(gè)“暗示”，我覺得特別好，在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行“暗示”最好，

26、我們不能告訴學(xué)生，但又不能完全不講，那怎么辦？我就給一個(gè)“暗示”，看你學(xué)生能不能獲得這個(gè)暗示。我不明講，讓他自己感悟，這就有了一個(gè)學(xué)生感悟的過程。探究教學(xué)，要用“從無到有”的探究方法來解決。每個(gè)新的知識(shí)、新的問題提出來的時(shí)候，都要按照一個(gè)“從無到有”的過程來進(jìn)行探究。這個(gè)新知識(shí)我還沒有，或者這個(gè)新問題我還不會(huì)解，這不是“無”嗎？然而這個(gè)“無”并不是真正的無，為什么呢，學(xué)生已經(jīng)擁有一些知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)，只不過這個(gè)新東西本身不知道。現(xiàn)在，我用已有的東西可以使它“從無到有”，使這個(gè)無變?yōu)橛?。為什么?qiáng)調(diào)“從無到有”？因?yàn)楸仨毷恰皬臒o到有”才是真正的探究。 之所以要強(qiáng)調(diào)“從無到有”就是要突出“探究”，沒

27、有“從無到有”的過程就沒有探究?！皬臒o到有”就能夠使得學(xué)生從不會(huì)到會(huì)，不懂到懂，不明白到明白。從我們中國目前的現(xiàn)實(shí)條件和現(xiàn)狀來看，探究教學(xué)主要有兩種形式：一種就是“以學(xué)生自主活動(dòng)為主的探究”以“探”為主，另外一種是“教師引導(dǎo)下的學(xué)生主動(dòng)探究”以“導(dǎo)”為主。兩者有什么區(qū)別呢？實(shí)際上可以看到，前者教師引導(dǎo)是次要，是少量的，后者教師引導(dǎo)是主要的，引導(dǎo)是比較多的。在本質(zhì)上來看，“以學(xué)生自主活動(dòng)為主的探究”是學(xué)生自主活動(dòng)，自己主宰自己的活動(dòng)，那就包含一個(gè)尋找目標(biāo)的過程。自主探究中，學(xué)生的目標(biāo)還不清楚，需要在探究的過程中明確目標(biāo)，要找，首先要把目標(biāo)找到，然后再尋找新的目標(biāo)，一個(gè)一個(gè)新的目標(biāo)要靠自己尋找?！?/p>

28、教師引導(dǎo)下的學(xué)生主動(dòng)探究”就是一種目標(biāo)引導(dǎo)的探究，老師通過引導(dǎo)暗示他的探究目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)是不明確的，是暗示，但是仍然是一種目標(biāo)，或明或暗，由暗到明。我比較提倡這種“由暗到明”的引導(dǎo)探究，這樣能使一個(gè)班上不同思維層次的幾十個(gè)人，各種水平的學(xué)生，都能獲得探究的機(jī)會(huì)，得到相應(yīng)的提高。因?yàn)閷W(xué)生獲得暗示是與他的悟性有關(guān)，與他的能力有關(guān)，悟性高、能力強(qiáng)的學(xué)生，給一個(gè)隱蔽的暗示他都能獲得。就像“計(jì)數(shù)原理”這節(jié)課的最后，教師問：“你們通過這節(jié)課有什么收獲？”這似乎是一個(gè)無邊無際的問題，但悟性大的學(xué)生有收獲，他想到，當(dāng)然是通過這節(jié)課的活動(dòng)來總結(jié)有什么收獲啰。但是一些悟性比較低的學(xué)生就想，我有什么收獲啊？覺得這個(gè)

29、問題漫無邊際，對他來說這個(gè)暗示太不明白了，他不知道要收獲什么東西。這個(gè)時(shí)候，就把目標(biāo)明確一下：“通過這幾道題你有什么收獲？”于是他就知道了，是解這幾道題以后我收獲了什么。但是也許還有學(xué)生覺得解這幾道題能有什么收獲？這時(shí)教師再進(jìn)一步明確：“這幾道題是用前面學(xué)習(xí)的原理解決的，那么你對這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用有什么收獲啊？”這樣他就會(huì)明白了。這樣一步一步地暗示，由暗到明，越來越多的學(xué)生就在不斷的概括自己的收獲，逐步的有少到多得到收獲。最后當(dāng)然可能還有少數(shù)學(xué)生概括不出收獲，那么老師就讓學(xué)生把自己概括的收獲相互交流，匯合起來讓所有的學(xué)生都明確，這樣每個(gè)學(xué)生的收獲就大了。但是我們這個(gè)概括收獲的工作往往是老師來

30、做的。一節(jié)課完了，教師把規(guī)律、要點(diǎn)歸納一下，沒有學(xué)生的思考，沒有學(xué)生的歸納，這就叫告訴，還有一種變相告訴好學(xué)生告訴一般的學(xué)生。告訴學(xué)生是最不好的。用發(fā)問來引導(dǎo)學(xué)生探究的時(shí)候，每提出一個(gè)問題，都先不要回答。最初提一個(gè)遠(yuǎn)離目標(biāo)的問題，悟性好學(xué)生明白了你的隱喻，就先行概括總結(jié)；然后靠近目標(biāo)再提一個(gè)問題，又有一些學(xué)生感悟到你的隱喻；以后不斷地接近目標(biāo)發(fā)出一個(gè)個(gè)問題，實(shí)際是一個(gè)個(gè)由遠(yuǎn)及近的暗示，這使得不同層次的學(xué)生都能在相應(yīng)的水平上感悟出你的隱喻。在交流心得的時(shí)候，讓悟性最低的學(xué)生先說，最后讓悟性高的學(xué)生說，這樣所有的學(xué)生都有不斷獲得提高的感受。如果讓悟性高的學(xué)生先說，無異于讓他去告訴其他學(xué)生。你的啟發(fā)

31、是由遠(yuǎn)及近，由對悟性高的學(xué)生到對悟性低的學(xué)生啟發(fā)，而在概括心得的時(shí)候是由低到高，先讓悟性低的學(xué)生概括，逐步到讓悟性高的學(xué)生概括。這樣一來，所有的學(xué)生或者說多數(shù)學(xué)生都會(huì)得到好處，多多少少都會(huì)得到，不論悟性高的、低的，都能得到提高，每個(gè)人都在自己相應(yīng)的水平上獲得提高。即使那些悟性低的學(xué)生，也可以在數(shù)學(xué)智力方面提高一點(diǎn)，當(dāng)然不可能提高到最高水平，但是不要看不起他。他僅僅是對數(shù)學(xué)的悟性不高，他可能對其他的某些東西悟性高，根據(jù)多元智力理論，每個(gè)人有不同的智力強(qiáng)項(xiàng)嘛。數(shù)學(xué)悟性不高沒關(guān)系，其他的悟性高也行啊，拉琴，唱歌、畫畫、運(yùn)動(dòng)等等，他這些方面悟性高，將來照樣成材。這怎么說呢？數(shù)學(xué)好就是好學(xué)生，數(shù)學(xué)不好就

32、是差學(xué)生，這個(gè)不對。為什么呢，數(shù)學(xué)的悟性高的學(xué)生，對其他的悟性不見得高。我們國家重視數(shù)學(xué)，什么選拔考試都要考數(shù)學(xué)，為什么呢？因?yàn)橐话阏J(rèn)為數(shù)學(xué)好的人聰明，當(dāng)然全世界都有這樣一個(gè)共識(shí)。的確，數(shù)學(xué)學(xué)得好一點(diǎn)，表明抽象思維強(qiáng)一些，但抽象思維不能代替一切，進(jìn)入21世紀(jì)，形象思維更重要，并不是抽象思維才至高無上。這兩種探究方式在中國的情況下的數(shù)學(xué)教學(xué)是最合適的。為什么？一是我們中華民族思考方式，就是有一個(gè)孔夫子總結(jié)的“不憤不啟，不悱不發(fā)”這樣一個(gè)特點(diǎn)。他再怎么獨(dú)立思考，也不是一想就成功的，我們也沒有那么多的時(shí)間給他想，不像外國的學(xué)生，他有的是時(shí)間，這個(gè)問題想不好，可以什么事情都不干，光想這個(gè)問題。我們不行

33、，語文、物理這些課總要開，他可以其他課本都不學(xué)，今天我就學(xué)這個(gè)，他們學(xué)校允許，國家制度也允許。我們的教學(xué)總要圍繞目標(biāo)，規(guī)定進(jìn)度，所以教學(xué)中必須學(xué)生的獨(dú)立思考與教師的啟發(fā)點(diǎn)撥相結(jié)合。 二是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)的要求。數(shù)學(xué)畢竟完全靠自己去探究發(fā)現(xiàn)的可能性不大，至少問題的提出不容易，像“負(fù)負(fù)得正”，學(xué)生無論如何也不會(huì)想到，要他從生活中找一個(gè)事例能夠說明負(fù)負(fù)得正，他找不到，只有老師來幫他找，有時(shí)老師也找不出來。這兩種探究模式實(shí)際上與兩種啟發(fā)方式有關(guān)系，或者說與兩種啟發(fā)策略有關(guān)系。我們探究的過程，教師的作用是向?qū)?，就是引?dǎo)，怎么來做向?qū)?？怎么來做引?dǎo)呢？靠啟發(fā)。啟發(fā)有兩大策略，我把它概括成兩大策略，一個(gè)是“憤誹

34、術(shù)”，一個(gè)是“產(chǎn)婆術(shù)”?！爱a(chǎn)婆術(shù)”大家都知道，“憤悱”我們知道，“憤悱術(shù)”可能很少聽說。數(shù)學(xué)講究對稱，我想既然有“產(chǎn)婆術(shù)”，也可以有一個(gè)“憤誹術(shù)”，它的核心內(nèi)涵就是“不憤不啟，不悱不發(fā)”。這兩種啟發(fā)的策略的本質(zhì)需要搞清楚。很奇怪，“憤誹術(shù)”是以探為主，體現(xiàn)地道的建構(gòu)主義思想，恰恰是我們中國的孔夫子提出來的，“憤悱術(shù)”啟發(fā)策略是道道地地的建構(gòu)主義思想。來自古希臘的“產(chǎn)婆術(shù)”倒是平時(shí)不被我們認(rèn)為是徹底建構(gòu)主義思想的策略，是反過來的。為什么呢？“憤誹術(shù)”是“不憤不啟，不悱不發(fā)”，學(xué)生必須去獨(dú)立思考，產(chǎn)生疑問了，但究竟質(zhì)疑的是什么，或明或暗，達(dá)到“憤”的狀態(tài)，你教師及時(shí)“啟迪”，使他豁然開朗。對種種疑

35、問，他經(jīng)過深思熟慮明白了其中的一些真諦，但說不清道不明，滯陷于“悱”的迷茫，這時(shí)候教師再啟發(fā)他，使他撥云見日。這不是典型的學(xué)生在自主活動(dòng)嗎，所以“憤誹術(shù)”是適宜以學(xué)生自主活動(dòng)為主的探究中的啟發(fā)策略。當(dāng)然并不是說其他的探究中就不適合用，其實(shí)以學(xué)生自主活動(dòng)為主的探究有的大，有的小，有的是整節(jié)課進(jìn)行這種探究，有的是在幾分鐘里進(jìn)行這種探究。在幾分鐘的探究里，也可以是以學(xué)生自主活動(dòng)為主的探究，那就使用“憤悱術(shù)”。像剛才我舉的例子中，前面一段15分鐘探究，既有老師引導(dǎo)的學(xué)生主動(dòng)探究，又有以學(xué)生自主活動(dòng)為主的探究。“產(chǎn)婆術(shù)”是古希臘哲學(xué)大師蘇格拉底的啟發(fā)模式。蘇格拉底從來沒有著作，他的思想是通過柏拉圖的著作

36、流傳于世的。他一生就是給學(xué)生提問題，教學(xué)生的方式就是提問，他提問題學(xué)生回答。但是，他只提問而不告訴你答案，那么學(xué)生就要主動(dòng)去思考，主動(dòng)去學(xué)習(xí)，所以是教師引導(dǎo)下學(xué)生主動(dòng)探究。他提出問題，你必須自己去想，自己主動(dòng)思考，思考以后你的想法有了，講出來。他發(fā)現(xiàn)你的想法有問題，于是又提出問題，當(dāng)然他主要是反詰，找出你想法的漏洞，你再去思考。問答就如此不斷進(jìn)行下去，所以“產(chǎn)婆術(shù)”又叫“問答術(shù)”。這樣一來就是以教師引導(dǎo)為主，以教師啟發(fā)為主。他每次發(fā)問就是給你一種暗示，或者一個(gè)目標(biāo)。這就是一種目標(biāo)引導(dǎo)的探究，教師設(shè)問提問，學(xué)生思考求答，這樣的探究過程是一種“目標(biāo)引導(dǎo)的探究”。每次設(shè)問都是給出了一個(gè)目標(biāo)，盡管這個(gè)

37、目標(biāo)有時(shí)是明確的，有時(shí)候是隱蔽的。 不論是“憤誹術(shù)”，還是“產(chǎn)婆術(shù)”，你的啟發(fā)用提示也好，暗示也好，都是用發(fā)問的方式，并不是簡單的告訴。不論“憤啟”的關(guān)系，或者“誹發(fā)”的關(guān)系，你總歸是發(fā)問。為什么要發(fā)問呢？發(fā)問能真正使學(xué)生獨(dú)立思考，去解決問題。而且數(shù)學(xué)跟其他學(xué)科有不同的地方，數(shù)學(xué)教學(xué)中的啟發(fā)，主要是提示或者是暗示。你用提示或者暗示來進(jìn)行，實(shí)際目的在于要學(xué)生通過感悟獲得這個(gè)提示或暗示。提示和暗示的最根本的特點(diǎn)，就在于你不告訴他結(jié)果，結(jié)果一定要他自己去尋找，自己得出來，不論學(xué)什么都要他自己去進(jìn)行。 數(shù)學(xué)啟發(fā)教學(xué)的方法主要是設(shè)計(jì)情境。設(shè)計(jì)情境有多種方法，一種是設(shè)計(jì)問題情境，一種是真實(shí)的生活情境，或者

38、能夠揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的多媒體的動(dòng)態(tài)情境。創(chuàng)設(shè)情境來發(fā)問，可以使得這個(gè)發(fā)問很自然，不是很生硬地牽強(qiáng)的，是水到渠成。前一個(gè)問題解決的同時(shí)，新的問題很自然地跟出來。問題這樣自然連貫地發(fā)生，學(xué)生的探究就以連續(xù)性的思維自然而然進(jìn)行，知識(shí)就自然而然在頭腦中“流淌”出來，而不是我們灌輸進(jìn)去。問題是自然地一個(gè)一個(gè)產(chǎn)生的，解決了前一個(gè)問題就自然產(chǎn)生后一個(gè)問題，這個(gè)問題在思維的延續(xù)的活動(dòng)中自然地出現(xiàn)，然后自然地解決，知識(shí)也就自然地形成。數(shù)學(xué)教學(xué)中，主要的啟發(fā)行為是教師引導(dǎo)下的學(xué)生主動(dòng)探究，也就是這兩種探究形式中的第二種，我想70%，甚至多于70%是教師引導(dǎo)下學(xué)生探究，因?yàn)閿?shù)學(xué)的對象是抽象的思想材料，思想材料就必須要通

39、過大腦去想，完全要學(xué)生自己把今天要學(xué)的問題從生活中提出來，是不太現(xiàn)實(shí)的。比如說，有一次我聽指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，老師設(shè)計(jì)的情境是房地產(chǎn)價(jià)格問題，學(xué)生對這個(gè)情境熟悉，但是要他根據(jù)這個(gè)情境抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，就很困難。這個(gè)問題對應(yīng)的是以指數(shù)函數(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生直接構(gòu)建不太容易，那么就要進(jìn)行教師引導(dǎo)下的學(xué)生主動(dòng)探究。教師要進(jìn)行引導(dǎo)性發(fā)問，這個(gè)發(fā)問我們叫提示，或者暗示。但是究竟什么樣的發(fā)問是屬于提示，還是屬于暗示，我對它有一個(gè)大致的認(rèn)識(shí)。關(guān)于“啟發(fā)性發(fā)問”主要是利用三類提示語：一類叫“元認(rèn)知提示語”，一類是“認(rèn)知性提示語”，還有一種“方法論意義的提示語”。我認(rèn)為“方法論意義的提示語”是最好的一種，本質(zhì)

40、上它也一種元認(rèn)知提示語，但更具方法論意義，我就把它單獨(dú)列為一類。元認(rèn)知提示語是給出了一種提示，但不涉及具體知識(shí)，這樣的提示語就是元認(rèn)知提示語。解決某個(gè)問題要怎么思考，我給你提示，但是并不涉及具體知識(shí)或具體方法。認(rèn)知性提示語就涉及具體知識(shí)。這樣才會(huì)有由遠(yuǎn)到近的提示。距離目標(biāo)遠(yuǎn)，是元認(rèn)知提示，不涉及具體的知識(shí)，但是到你最后要去啟發(fā)那些感悟能力比較弱的學(xué)生的時(shí)候，就是運(yùn)用認(rèn)知性提示語了。啟發(fā)只用元認(rèn)知提示語，是不科學(xué)的。不是對所有的學(xué)生都用一種提示語，對不同的學(xué)生應(yīng)該用不同的提示語，根據(jù)學(xué)生悟性的高低用不同的提示語。對悟性高的學(xué)生，用元認(rèn)知提示語就可以讓他產(chǎn)生感悟；對悟性稍低一些的學(xué)生，減少一些元認(rèn)

41、知成分，多一些認(rèn)知成分，實(shí)際是與目標(biāo)接近一些，他也能感悟；以后提示的認(rèn)知成分越來越多，越來越靠近目標(biāo)，一直到揭示目標(biāo)。這叫做“分級提問”。不要怕他不能感悟目標(biāo)，就直接揭示目標(biāo)。你必須讓他經(jīng)歷這個(gè)過程，經(jīng)歷由元認(rèn)知到認(rèn)知性提示的過程，最后他會(huì)想到，噢，你從元認(rèn)知發(fā)問到認(rèn)知性發(fā)問實(shí)際只是同一個(gè)問題，這就使所有學(xué)生的悟性在他的層次上都能得到一定的提高，他這個(gè)悟性的發(fā)展就明顯。 這就是“教師引導(dǎo)下的學(xué)生主動(dòng)探究”。有人可能要問，教師引導(dǎo)為什么還是學(xué)生主動(dòng)探究呢？因?yàn)榻處熖岢鰡栴}還是要學(xué)生去思考，去回答嘛。蘇格拉底只提問，柏拉圖必須回答問題嘛。我還是用一個(gè)例子來說明吧。 我用“對指、對函數(shù)關(guān)系”這節(jié)課為

42、例來說明。 這節(jié)課里，教師有很多提示語，他自己可能不一定有意識(shí)。但可以說明他在平時(shí)教學(xué)中有所感悟，才會(huì)提出一些問題類似于啟發(fā)性提示語。比如說，他這兒有一段，“學(xué)習(xí)完了一段知識(shí)以后我們要有一個(gè)習(xí)慣，就是能不能把這些知識(shí)橫向聯(lián)系起來。”這雖然不是一個(gè)問題，但是一個(gè)有方法論意義的提示語，提示你要橫向聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)。這個(gè)提示雖然提到了知識(shí)，但它是泛指所有的知識(shí)，不涉及某個(gè)具體知識(shí)，所以是元認(rèn)知提示語。 “你有沒有想法了？你打算怎么研究？”這個(gè)是元認(rèn)知提示，是與研究的方法相關(guān)的提示。然后學(xué)生進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，對比結(jié)束后，教師說“對比完了，有什么樣的發(fā)現(xiàn)？”這還是元認(rèn)知提示，他沒有問“對它們的定義域有什么發(fā)現(xiàn)

43、?。繉λ鼈兊闹涤蛴惺裁窗l(fā)現(xiàn)?。俊边@樣發(fā)問就涉及具體知識(shí)，那就沒有什么意思了，你相當(dāng)于直接告訴他“你在定義域上、值域上去尋找吧”，那學(xué)生還能學(xué)什么思想方法呢？“我們其他同學(xué)還有沒有別的想法，你是怎么研究的？”這個(gè)地方教師不明說，而是用元認(rèn)知提示語暗示學(xué)生可以通過另一種方法研究，研究函數(shù)除了用解析式就是用圖像。學(xué)生獲得了暗示，提出可以畫函數(shù)圖像來研究。教師就用幾何畫板畫出圖像來，讓圖像運(yùn)動(dòng)起來并反復(fù)演示，然后提示學(xué)生：“你們覺得這兩個(gè)圖像成什么關(guān)系？”更好的可以先暗示：“你不是要通過圖像研究嗎？現(xiàn)在研究出什么來了？”這樣又是“由遠(yuǎn)及近”的發(fā)問。然而他那個(gè)暗示比較明白，兩個(gè)圖像“成什么關(guān)系”，只能是

44、“成對稱關(guān)系”。其實(shí)“成對稱關(guān)系”正是你啟發(fā)的目標(biāo)，你的暗示明顯指向目標(biāo)，離目標(biāo)很近，所以是認(rèn)知性提示語。后面那個(gè)發(fā)問沒有明確提出“成什么關(guān)系”，只是“研究出什么來了”，暗示指向不很明確，離目標(biāo)就遠(yuǎn)一些，這個(gè)發(fā)問元認(rèn)知成分就多一些，認(rèn)知成分少一些了。如果你發(fā)問指向很明白，學(xué)生無須思考探究，當(dāng)然不假思索地嘴里蹦出“兩個(gè)圖像對稱”。這樣的發(fā)問，學(xué)生幾乎無須經(jīng)歷“從無到有”，因而不能達(dá)到啟發(fā)探究的目的?！皟蓚€(gè)圖像對稱？那你能證明嗎？你打算怎么想？”“你能證明嗎？”認(rèn)知性發(fā)問；“你打算怎么想？”元認(rèn)知提示語。學(xué)生做了一番闡釋，根據(jù)何在呢？雖然這里并不要求進(jìn)行嚴(yán)格意義上的證明，但總得有一些理論依據(jù)吧。所

45、以教師降低要求，并靠近目標(biāo)進(jìn)行一些發(fā)問：“那我想問一下，當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，C點(diǎn)是不是我們所謂的對數(shù)函數(shù)圖像上的點(diǎn)，我們可以來驗(yàn)證一下嗎？”“驗(yàn)證一下”方法論意義的提示。學(xué)生對兩個(gè)圖像的關(guān)系提出了猜想對稱，按照科學(xué)研究的一般方法，提出了猜想，就要驗(yàn)證猜想。這就蘊(yùn)涵了學(xué)研究一般方法的引導(dǎo)。剛才學(xué)生的闡釋不能看作嚴(yán)格的幾何證明，兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱的嚴(yán)格證明，必須包含完備性和純粹性兩方面，當(dāng)時(shí)沒有證明這兩個(gè)方面。不是嚴(yán)格的證明怎么辦呢？我們可以來驗(yàn)證一下，于是把圖像運(yùn)動(dòng)一下，發(fā)現(xiàn)果然兩個(gè)函數(shù)圖像完全重合。這個(gè)啟發(fā)性提問如果改成：“兩個(gè)圖像對稱？那你能驗(yàn)證嗎？你打算怎么想？”那么由證明改成驗(yàn)

46、證的彎路可能就少走或不走了。這個(gè)探究過程結(jié)束后，教師概括說：“我們研究一個(gè)問題，可能有兩種方法，一個(gè)從純代數(shù)的角度出發(fā)，一個(gè)可以從形的角度出發(fā)。”這是典型的方法論意義的提示語。然后把代數(shù)的角度怎么樣，形的角度怎么樣，就把這兩個(gè)之間的關(guān)系總結(jié)了。這個(gè)概括過程和結(jié)論如果也通過啟發(fā)，由學(xué)生探究出來可能更好。不過如果問題不分巨細(xì)都要啟發(fā)，時(shí)間就不夠了。這節(jié)課里面有很多認(rèn)知性提示，元認(rèn)知提示。比如，“為什么你叫它反函數(shù)？為什么不叫別的名稱？你覺得這個(gè)反到底反在什么地方？”這就與前面的問題聯(lián)系起來了：前面我們把函數(shù)y=ax叫做指數(shù)函數(shù)，這是大家起的名稱，大家為什么給它起這個(gè)名稱？是因?yàn)樽宰兞縳在指數(shù)上，所

47、以叫它指數(shù)函數(shù)。那現(xiàn)在這個(gè)函數(shù)叫它“反函數(shù)”，為什么給它起這樣的名字呢？追問“到底反在何處”？這個(gè)追問既有認(rèn)知性成分，也有方法論意義的成分，同時(shí)把它跟原有的問題聯(lián)系起來，和以前學(xué)過的問題聯(lián)系起來。 這節(jié)課因?yàn)椴⒉皇怯幸庾R(shí)地按照啟發(fā)性提示語進(jìn)行引導(dǎo)，所以提示語不是非常準(zhǔn)確，但是總體上看出，教師已經(jīng)意識(shí)到要用一些提示語來進(jìn)行啟發(fā)，而不是直接告訴學(xué)生，這個(gè)是很重要的意識(shí)。老師一定要有這種意識(shí)，不是什么事情都告訴他，尤其是附中，在南京市幾百個(gè)班中間，這16班的學(xué)生還是屬于高層次，什么結(jié)論告訴他就沒有意義了，而是啟發(fā)，讓他自己來探究。 元認(rèn)知提示語、認(rèn)知性提示語、方法論意義的提示語，實(shí)際上帶有一定程度的

48、隱蔽性。利用提示語隱蔽性的強(qiáng)弱進(jìn)行暗示和提示：隱蔽性強(qiáng)，這個(gè)暗示或提示就弱；隱蔽性弱，這個(gè)暗示或提示就強(qiáng)。最初給出的弱暗示，隱蔽性非常強(qiáng)，然后逐步向隱蔽性弱的方向過渡，過渡到強(qiáng)暗示。這個(gè)過程叫做“分級提問”。通過這樣的分級提問來達(dá)到對不同層次的學(xué)生的啟發(fā)引導(dǎo)。對不同層次的學(xué)生引導(dǎo)，是由弱暗示到強(qiáng)暗示實(shí)現(xiàn)的，是根據(jù)隱蔽程度的不同級別，由隱蔽到明顯的不斷發(fā)問而循序漸進(jìn)發(fā)展的過程。 所以啟發(fā)性提示語的暗示，有一個(gè)“暗”到什么程度的問題。暗示“暗”到什么程度，當(dāng)然要根據(jù)學(xué)生具體的情況。教學(xué)策略里面有一個(gè)非常重要的策略，就是你對學(xué)生的認(rèn)識(shí)和了解，今天來不及細(xì)講了。因?yàn)槟懔私狻⒄J(rèn)識(shí)了你的學(xué)生，你才能把握提

49、示語和暗示語應(yīng)該“暗”到什么樣的程度？這樣的問題我要給他什么樣的暗示？或者對這樣一種提示語，這個(gè)班的同學(xué)會(huì)有什么樣的反應(yīng)？每個(gè)人接觸到的班級和學(xué)生不一樣，你就會(huì)獲得不同的對暗示的把握。 暗示離目標(biāo)越近，暗示就越透明，元認(rèn)知成分就越少，認(rèn)知的成分就越多。這就涉及到教育教學(xué)的理論，什么是元認(rèn)知，什么是認(rèn)知，我這里簡單了說一點(diǎn)，你如果看一些理論性著作的時(shí)候就容易看懂，就是在你的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里先擴(kuò)充一些有關(guān)的知識(shí)。我們搞數(shù)學(xué)的人滿腦袋數(shù)學(xué)，搞物理的人滿腦袋物理，很多人看了一些教學(xué)理論的書籍總會(huì)問，這些東西跟我的專業(yè)怎么聯(lián)系?。吭蚓褪窃姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)里這方面的知識(shí)太少。有一些研究生剛進(jìn)校時(shí)，看教育理論的書，他

50、不知道怎么看，看了以后究竟要學(xué)什么。書上的字都能看懂，最后收獲到什么呢，不知道，就是頭腦里原有知識(shí)結(jié)構(gòu)當(dāng)中缺少相應(yīng)的東西造成的。 有一個(gè)重要問題是，人不會(huì)天生探究，教師要學(xué)生探究，就要教他怎么探究。怎么探究呢？也不是明白告訴他，怎么怎么探究，而是讓他在探究的過程中潛移默化獲得探究的方式方法，或者叫做獲得默會(huì)知識(shí)、體驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)這類東西。他經(jīng)歷得多了以后，探究的策略和方法就越來越多，越來越熟練，實(shí)際上跟我們很多人一樣，比如說搞電腦，你搞多了你就清楚了，一開始連鼠標(biāo)鍵盤都不清楚，一開始雙擊都不清楚，漫漫地經(jīng)歷多了就知道。所以你教他探究，是通過教師暗中引導(dǎo)，他來探究。你的引導(dǎo)一定盡量不讓他覺察出來，這樣

51、學(xué)生會(huì)認(rèn)為是自己搞出來的。當(dāng)然你越來越暗，越來越暗，最后你不暗示提示，他也能探究，那他就達(dá)到最高境界了。 啟發(fā)和探究的關(guān)系，體現(xiàn)為用啟發(fā)性發(fā)問來推動(dòng)探究。啟發(fā)性發(fā)問推動(dòng)的探究，提示語不僅有元認(rèn)知的，還有認(rèn)知的、方法論意義的，啟發(fā)是教師教學(xué)的基本功，啟發(fā)的技巧和水平可以有高低，但是啟發(fā)是必須的。你不能說我不會(huì)啟發(fā)，我就不啟發(fā)，我什么都告訴你。甚而至于：把書打開，看這段內(nèi)容。然后問：看好啦？學(xué)生說：看好了。好，你來完成我黑板上兩個(gè)題。這還有啟發(fā)嗎？沒有啟發(fā)，一點(diǎn)啟發(fā)沒有。用課本，我們怎么用，數(shù)學(xué)教學(xué)用課本和文科教學(xué)用課本可能有不同。如果你要他探究的東西他已經(jīng)看過了，今天來探究，他探究什么？結(jié)論都知

52、道了，你問什么他都知道，一點(diǎn)探究的意思都沒有。實(shí)際上他沒有真正獲得和提高學(xué)什么以及如何用一般科學(xué)研究方法來學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)。 剛才講的是用問題進(jìn)行啟發(fā)。啟發(fā)的時(shí)候，也可以用動(dòng)態(tài)的畫面來提示或暗示。比如說，新課程高一有一個(gè)求方程近似解的內(nèi)容。要求方程的近似解，首先是把求方程解的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的問題，這是第一步。然后，函數(shù)零點(diǎn)有一個(gè)性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)附近兩邊的函數(shù)值正好異號(hào)；這樣問題就轉(zhuǎn)化為尋找使函數(shù)值異號(hào)的自變量x兩個(gè)取值，函數(shù)的零點(diǎn)總歸在x的這兩個(gè)數(shù)值之間；怎么能夠找到精確到0.1水平的近似數(shù)呢？現(xiàn)在x的這兩個(gè)數(shù)值是整數(shù)，要找到精確到0.1水平的近似數(shù)，這就要用逼近思想。但是這個(gè)思想要通過暗示，讓

53、學(xué)生去發(fā)現(xiàn)要用逼近思想，而不是直接告訴他。我想起最近臺(tái)灣抓捕一個(gè)要犯，抓他很困難，他躲到山上，警方來個(gè)大包圍，然后縮小包圍，縮小包圍，最后把他抓到了。這就是應(yīng)用逼近思想的。用通俗的事例，很容易啟發(fā)學(xué)生想到逼近思想，這就是啟發(fā)。問題是你如何創(chuàng)設(shè)情境，把存在他心中的本原的思想激發(fā)出來，通過你的暗示使他能夠感悟出來。這里我創(chuàng)設(shè)了一個(gè)求方程近似解的教學(xué)情境，當(dāng)然我這個(gè)創(chuàng)設(shè)未必是最合適的，老師們可以仁者見仁，智者見智。原來要求近似解的方程是lnx=3-x，學(xué)生對這個(gè)方程比較陌生，因?yàn)榧恿艘粋€(gè)“l(fā)nx”在里面，帶有了超越方程的性質(zhì)，所以學(xué)生不知所措。這個(gè)方程陌生，我們就找一個(gè)比較熟悉的方程來探究求近似解的

54、方法。把陌生的對象轉(zhuǎn)化為熟悉的對象，這是方法論思想，方法論意義的提示語就在這里就有用武之地了。什么方程我們熟悉？當(dāng)然是一元二次方程。于是選擇x2-x-1=0，這個(gè)方程的解只能是近似數(shù)。方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，把函數(shù)f(x)= x2-x-1圖像畫出來，我們給它畫出來。(演示多媒體創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境) 紅點(diǎn)是它的零點(diǎn)，那么，零點(diǎn)兩端附近的函數(shù)值f(x)和f(x)異號(hào)，一下一上，零點(diǎn)就是夾在x和x這兩個(gè)數(shù)之間。現(xiàn)在要把它找到，你看怎么找到？ 然后演示x和x的運(yùn)動(dòng)，你也不講話，就演示，反復(fù)演示幾遍。那么這個(gè)演示的過程實(shí)際上就給學(xué)生暗示，讓他看到把x和x這兩個(gè)數(shù)越來越靠近紅點(diǎn)，也就是函數(shù)零點(diǎn)，那么f(x)和f(x)

55、就越來越接近于0，這樣就能找到。這樣演示以后，提出一個(gè)問題：你能不能提出一個(gè)方案來，求這個(gè)方程解，我不要你求出來，只要你提出一個(gè)能找到這個(gè)解的方案。(元認(rèn)知提示語，方法論意義提示語)然后學(xué)生就去討論，當(dāng)然先獨(dú)立思考，然后討論，以后全體交流?，F(xiàn)在已經(jīng)知道1和2的函數(shù)值異號(hào)，這個(gè)零點(diǎn)必在1，2之間，零點(diǎn)值取1，2都不合精確度要求。要想符合精確度要求，就要讓x和x向零點(diǎn)靠近。怎么來靠近呢？學(xué)生會(huì)提出縮小x，x的范圍。接下來是怎么來縮小呢？這時(shí)候二分法就發(fā)揮作用了，把中點(diǎn)求出來，區(qū)間x，x就被中點(diǎn)一分為二。那么零點(diǎn)在其中哪個(gè)區(qū)間里呢？應(yīng)該在使函數(shù)值異號(hào)的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間里，一看或者一算，就知在1.5

56、，2之間，不過兩個(gè)端點(diǎn)近似值顯然達(dá)不到精確度。那就如法繼續(xù)這個(gè)過程。一直到區(qū)間端點(diǎn)近似值相等，并且精確度達(dá)到要求為止。零點(diǎn)在兩個(gè)端點(diǎn)之間，兩個(gè)端點(diǎn)近似值都相同了，也就是兩個(gè)端點(diǎn)重合，那零點(diǎn)近似值也就是它。找到區(qū)間為1.56，1.52的時(shí)候，兩個(gè)端點(diǎn)的近似值都是1.6，精確度達(dá)到要求，那么x =1.6就是所求的方程的近似解。你如果提出新問題，要求近似到0.01位怎么辦？那就接著再找，再把更多的中點(diǎn)區(qū)間選出，到某一步發(fā)現(xiàn)，符合兩個(gè)端點(diǎn)近似值相等，并且精確到0.01要求的是x =1.62。這個(gè)新問題的過程是在后面，是在學(xué)生領(lǐng)悟了逼近，知道用縮小的方法，并且探究出來用二分法的方法來逼近以后。整個(gè)過程經(jīng)

57、歷了幾個(gè)轉(zhuǎn)化，求方程解的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)問題，求函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求使函數(shù)值異號(hào)的兩個(gè)自變量值的問題，然后由逼近思想轉(zhuǎn)化為縮小這兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間的問題，再轉(zhuǎn)化為如何縮小這兩個(gè)區(qū)間的問題，最后轉(zhuǎn)化為用二分法求區(qū)間中點(diǎn)來縮小區(qū)間的問題，一步一步地進(jìn)行。 通過這樣一個(gè)情境，你沒有告訴他逼近，也沒有告訴他求中點(diǎn)，也沒有告訴他任何東西，僅僅通過動(dòng)態(tài)的畫面讓學(xué)生從中間領(lǐng)悟?？赡苡袑W(xué)生有所感悟，也有一些沒有感悟。我們不能指望通過一個(gè)動(dòng)態(tài)畫面的一次演示便使每個(gè)學(xué)生都能感悟，因而要反復(fù)演示。為什么要多動(dòng)幾次呢，為什么要從左邊動(dòng)動(dòng)，又從右邊動(dòng)動(dòng)，再兩邊一起動(dòng)。這些多次演示實(shí)際都是在由弱到強(qiáng)，由暗到明地進(jìn)行

58、暗示。通過這樣一種啟發(fā)暗示，可以達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)。 教師引導(dǎo)下的學(xué)生主動(dòng)探究，這種探究方式比較符合我們國家目前的國情，我們教學(xué)內(nèi)容容量大，教學(xué)進(jìn)度快，采用以學(xué)生自主活動(dòng)為主的探究，花費(fèi)的時(shí)間多，時(shí)間不允許。再說也沒有必要，人類經(jīng)過幾千年文明史發(fā)現(xiàn)的那么多東西，這些都是人類的遺產(chǎn)，我們接受過來就行了，每個(gè)東西都要發(fā)現(xiàn)一下，人能經(jīng)過幾千年嗎？不可能的事情。這是我講的第二個(gè)問題，就是怎么教學(xué)生學(xué)。第三個(gè)問題是解題教學(xué)。 解題教學(xué)在中學(xué)是十分重要的問題，但是解題教學(xué)這個(gè)問題解決得不是很好。原因有幾個(gè)問題，最主要的什么是解題教學(xué)，這個(gè)問題沒有明確。首先“解題教學(xué)教什么”呢，還是“教學(xué)生學(xué)”啊！這又回到“教學(xué)生學(xué)什么”的這個(gè)問題。解題教學(xué)“教學(xué)生學(xué)什么”呢？教學(xué)生“學(xué)解題”，他要學(xué)習(xí)怎么解題！不是說今天解題課，你拿出幾道題，讓學(xué)生來解，再說說解的過程，就是進(jìn)行解題教學(xué)了。其實(shí)他這是在“解題”，而不是在“學(xué)解題”。學(xué)解題是什么呢？是要學(xué)習(xí)“尋找和發(fā)現(xiàn)解題思路的方法”，以及“與解題活動(dòng)有關(guān)的各式各樣策略”，這才叫“學(xué)解題”。所以，學(xué)生在解題教學(xué)中最主要的任務(wù)不是“解題”，而是“學(xué)解題”。這樣一來，教師教的重點(diǎn)，學(xué)生學(xué)的重點(diǎn)都不在“解”，而在“學(xué)解”。你老師或者哪個(gè)學(xué)生，上黑板把題解一遍，再重復(fù)一遍，這不是解題教學(xué)，這個(gè)是解題，而不是學(xué)解題。