數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教程

1、第一章 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)一 數(shù)列極限與函數(shù)極限一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膹膭⒒盏母顖A術(shù)、裴波那奇數(shù)列研究數(shù)列的收斂性并抽象出極限的定義；理解數(shù)列收斂的準(zhǔn)則；理解函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。二、實(shí)驗(yàn)材料1.1割圓術(shù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注方田章圓田術(shù)中創(chuàng)造了割圓術(shù)計(jì)算圓周率。劉徽先注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積；其次，當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時(shí)，正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積?！案钪畯浖?xì)，所失彌少。割之又割以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣。”這幾句話明確地表明了劉徽的極限思想。以表示單位圓的圓內(nèi)接正多邊形面積，則其極限為圓周率。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角

2、度考察數(shù)列的收斂情況： m=2;n=15;k=10; Fori=2,i<=n,i+, li_:=N2*SinPi/(3*2i),k; (圓內(nèi)接正多邊形邊長(zhǎng)) si_:=N3*2(i-1)*li*Sqrt1-(li)2/4,k; (圓內(nèi)接正多邊形面積) ri_:=Pi-si; di_:=si-si-1; Printi," ",ri," ",li," ",si," ",di t=Tablei,si,i,m,n (數(shù)組) ListPlott (散點(diǎn)圖)1.2裴波那奇數(shù)列和黃金分割 由有著名的裴波那奇數(shù)列。如果令，由

3、遞推公式可得出 ，；1 / 105。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個(gè)角度考察數(shù)列的收斂情況： n=14,k=10; Fori=3,i<=n,i+, t1=(Sqrt5+1)/2; t2=(1-Sqrt5)/2; fi_:=N(t1(i+1)-t2(i+1)/Sqrt5,k; (定義裴波那奇數(shù)列通項(xiàng)) rn=(5(1/2)-1)/2-fi-1/fi;Rn=fi-1/fi;dn=fi-1/fi-fi-2/fi-1; Printi," ",rn," ",Rn," ",dn; t=Tablei,fi-1/fi,i,3,n

4、 ListPlott1.3收斂與發(fā)散的數(shù)列數(shù)列當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散；數(shù)列發(fā)散。1.4函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系用Mathematica程序 m=0;r=10m;x0=0; fx_=x*Sin1/x Plotfx,x,-r,r Limitfx,x->x0觀察的圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，且函數(shù)值不存在，但在點(diǎn)處有極限。 令，作函數(shù)的取值表，畫(huà)散點(diǎn)圖看其子列的趨向情況 k=10;p=25; an_=1/n; tf=Tablen,Nfan,k,n,1,p ListPlottf Limitfan,nInfinity,Direction1分別取不同的數(shù)列(要求)，重做上述過(guò)程，并將各次所得圖形的分析

5、結(jié)果比較，可知各子列的極限值均為上述函數(shù)的極限值。對(duì)于，類似地考察在點(diǎn)處的極限。三、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備 認(rèn)真閱讀實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c實(shí)驗(yàn)材料后要正確地解讀實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上制定實(shí)驗(yàn)計(jì)劃（修改、補(bǔ)充或編寫(xiě)程序，提出實(shí)驗(yàn)思路，明確實(shí)驗(yàn)步驟），為上機(jī)實(shí)驗(yàn)做好準(zhǔn)備。四、實(shí)驗(yàn)思路提示3.1考察數(shù)列斂散性 改變或增大，觀察更多的項(xiàng)（量、形），例如，分別取50，100，200，；擴(kuò)展有效數(shù)字，觀察隨增大數(shù)列的變化趨勢(shì)，例如，分別取20，30，50；或固定50；或隨增大而適當(dāng)增加。對(duì)實(shí)驗(yàn)要思考，例如，定義中的指標(biāo)與柯西準(zhǔn)則中的指標(biāo)間的差異；數(shù)列收斂方式；又例如，如何估計(jì)極限近似值的誤差。3.2考察函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系改變函數(shù)及

6、極限類型，例如，考慮六種函數(shù)極限，既選取極限存在也選取極限不存在的例子；改變數(shù)列，改變參數(shù)觀察更多的量，考察形的變化趨勢(shì)；擴(kuò)展有效數(shù)字，提高計(jì)算精度。要對(duì)實(shí)驗(yàn)思考，歸納數(shù)列斂散與函數(shù)斂散的關(guān)系?；A(chǔ)實(shí)驗(yàn)二 定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)定積分的數(shù)值計(jì)算方法，理解定積分的定義，掌握牛頓-萊布尼茲公式。二、實(shí)驗(yàn)材料2.1定積分的數(shù)值計(jì)算計(jì)算定積分的近似值，可將積分區(qū)間等分而得矩形公式 或 也可用梯形公式近似計(jì)算 如果要準(zhǔn)確些，可用辛普森公式 對(duì)于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序?yàn)?a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx; d=NIntegratefx,x,a,b

7、,k;（計(jì)算精確值） s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（取小區(qū)間左端點(diǎn)的矩形公式） s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; （取小區(qū)間中點(diǎn)的矩形公式） s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; （取小區(qū)間右端點(diǎn)的矩形公式） s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; （梯形公式） s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1

8、,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;（辛普森公式） r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;（誤差） t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100 利用以上程序計(jì)算、，并對(duì)幾個(gè)公式比較。2.2可積條件如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上可積。反之不然。2.3牛頓-萊布尼茲公式設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，而且是的一個(gè)原函數(shù)，則有牛頓-萊布尼茲公式。函數(shù)在不連續(xù)、不存在原函數(shù)，但在上可積；函數(shù)在不連續(xù)，但在上可積、

9、存在原函數(shù)。此外函數(shù)處處不連續(xù)、不存在原函數(shù)，在任意區(qū)間(長(zhǎng)度大于0)上不可積。求原函數(shù)并驗(yàn)證牛頓-萊布尼茲公式的Mathematica程序 fx_:=Sinx; Integratef(x),x（求不定積分） Fx_:=%（定義原函數(shù)） d=NIntegratef(x),x,a,b（求定積分） df=Fb-Fa （計(jì)算原函數(shù)的增量） r=d-df三、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備 認(rèn)真閱讀實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c實(shí)驗(yàn)材料后要正確地解讀實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上制定實(shí)驗(yàn)計(jì)劃（修改、補(bǔ)充或編寫(xiě)程序，提出實(shí)驗(yàn)思路，明確實(shí)驗(yàn)步驟），為上機(jī)實(shí)驗(yàn)做好準(zhǔn)備。四、實(shí)驗(yàn)思路提示3.1定積分的定義 先對(duì)一個(gè)函數(shù)，例如在區(qū)間0,1，在程序中改變（例如、）并適當(dāng)

10、擴(kuò)展有效數(shù)字（例如、），運(yùn)行程序計(jì)算定積分的近似值，分析誤差。再考慮其它函數(shù)。最后對(duì)幾個(gè)公式比較。3.2牛頓-萊布尼茲公式 先對(duì)一個(gè)函數(shù)，例如在區(qū)間0,1, 運(yùn)行程序計(jì)算。再考慮其它函數(shù)，例如指數(shù)函數(shù)、分段連續(xù)函數(shù)、。分析可積條件及牛頓-萊布尼茲公式成立的條件。基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)三 盈虧轉(zhuǎn)折與投入產(chǎn)出一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦斫馕⒂^經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本理論與方法，利用線性代數(shù)的有關(guān)理論和方法解決經(jīng)濟(jì)管理中的盈虧轉(zhuǎn)折及投入產(chǎn)出問(wèn)題。二、實(shí)驗(yàn)材料2.1盈虧轉(zhuǎn)折分析 已知某企業(yè)的產(chǎn)品數(shù)量與成本的若干數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)品數(shù)量（百件）61020成本數(shù)量（千元）104160370 設(shè)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)=20（千元百件），判斷企業(yè)盈虧轉(zhuǎn)折時(shí)的產(chǎn)

11、品數(shù)量的變化范圍及企業(yè)獲取最大利潤(rùn)額時(shí)的產(chǎn)品數(shù)量。設(shè)成本函數(shù)，其中為待定系數(shù)；產(chǎn)值函數(shù) ，于是利潤(rùn)函數(shù) 成本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為邊際成本，利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)稱為邊際利潤(rùn)。設(shè)與為方程的兩個(gè)實(shí)根與稱為盈虧轉(zhuǎn)折點(diǎn)。當(dāng)并且時(shí)，即使企業(yè)獲得利潤(rùn)的產(chǎn)品數(shù)量的范圍為；而在這個(gè)范圍之外企業(yè)不能獲得利潤(rùn)。利潤(rùn)函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)即的最大值點(diǎn)，就是使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)品數(shù)量。 Mathematica程序 data=6，104，10，160，20，370；（原始數(shù)據(jù)） InterpolatingPolynomialdata，x（求內(nèi)插多項(xiàng)式，即成本函數(shù)） Lx_：=2 0*x-（0.5*x2 6*x+50）（利潤(rùn)函數(shù)）

12、RootsLx=0，x（利潤(rùn)函數(shù)的零點(diǎn)） FindMaximumLx，x，0（求利潤(rùn)函數(shù)的極大值） MATLAB程序 >>x=6，10，20； %產(chǎn)品數(shù)量 y=104，160，370； %成本數(shù)量 c=polyfit（x，y，2） %擬合二次多項(xiàng)式 >>c=0，20，0-c； rroots(c) %求盈虧轉(zhuǎn)折點(diǎn) >>r1=roots（polyder（c）%求微分多項(xiàng)式的根 >>L=polyval（c，rl）%求最大利潤(rùn)2.2投人產(chǎn)出分析 某地區(qū)有三個(gè)重要產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵路。開(kāi)采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25

13、元的運(yùn)輸費(fèi)；生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi)；創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路要支付 0.55元的煤費(fèi)及0.10元的電費(fèi)。在某一周內(nèi)，煤礦接到外地金額為50000元的定貨，發(fā)電廠接到外地金額為 25000元的定貨，外界對(duì)地方鐵路沒(méi)有需求，問(wèn)三個(gè)企業(yè)在這一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界的需求？ 設(shè)為煤礦本周內(nèi)的總產(chǎn)值，為電廠本周內(nèi)的總產(chǎn)值，為鐵路本周內(nèi)的總產(chǎn)值，則 （3.1）記 矩陣稱為直接消耗矩陣，稱為產(chǎn)出向量，稱為最后需求向量，則方程組（3.1）表示為 或 （3.2）其中矩陣為單位矩陣，稱為列昂杰夫矩陣，列昂杰夫矩陣為非奇異矩陣。 設(shè)， 矩陣稱為

14、完全消耗矩陣，它與矩陣一起在各個(gè)部門之間的投入產(chǎn)出中起平衡作用。矩陣可以稱為投入產(chǎn)出矩陣，它的元素表示煤礦，電廠，鐵路之間的投入產(chǎn)出關(guān)系。向量稱為總投入向量，它的元素是矩陣的對(duì)應(yīng)列元素之和，分別表示煤礦，電廠，鐵路得到的總投入。由矩陣，向量，和，可得投入產(chǎn)出分析表如下：表3.1 投入產(chǎn)出分析表（單位：元） 煤礦電廠鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦錯(cuò)誤！鏈接無(wú)效。電廠鐵路總投入 Mathematica程序 A2=1,-0.65,- 0.55,- 0.25,0.95,- 0.10,-0.25,-0.05,1（列昂杰夫矩陣） A2.x1，x2，x3=50000，25000，0（方程組） Solve,xl,x2

15、,x3（解方程組，求出總產(chǎn)出） X2=102087.48,0,0,0,56163.02,0,0,0,28330.02 C2=（IdentityMatrix3-A2）.X2（求投入產(chǎn)出矩陣） D2=1,1,l。C2（求總投入） MATLAB程序 >>A= 0，0.65，0.55；0.25，0.05，0.10；0.25，0.05，0； %輸入系數(shù)矩陣 Y=50000，25000，0； %輸入外界需求 X（eye（size（A）-A）Y %求總產(chǎn)出 >>C=A*diag（X）%求投入產(chǎn)出矩陣 >>D=ones（size（X）*C %求總投入量 >>Y=

16、80000，8000，800；%輸入最終需求 >>X=（eye（size（A）-A）；Y %求未來(lái)產(chǎn)出向量2.3練習(xí)題 1、解線性方程組 （1） （2） 2、某機(jī)床廠的產(chǎn)品數(shù)量與成本的數(shù)據(jù)如下： 產(chǎn)品數(shù)量（臺(tái)）51015成本（千元）100155220求其成本函數(shù)，盈虧轉(zhuǎn)折點(diǎn)及最大利潤(rùn)值。 3、在某經(jīng)濟(jì)年度內(nèi)，各經(jīng)濟(jì)部門的投入產(chǎn)出表如下： 單位：（10億元）工業(yè)農(nóng)業(yè)第三產(chǎn)業(yè)最后需求（）總產(chǎn)值（）工業(yè)6211625農(nóng)業(yè)2.2510.21.555第三產(chǎn)業(yè)30.21.81520假設(shè)經(jīng)濟(jì)年度工業(yè)，農(nóng)業(yè)及第三產(chǎn)業(yè)的最后需求均為17（10億元），預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)年度工業(yè)，農(nóng)業(yè)及第三產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)出?；A(chǔ)實(shí)驗(yàn)四

17、 矩陣與幾何變換一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康睦斫饩仃嚨囊恍┬再|(zhì)和特征、矩陣與幾何變換的關(guān)系，了解代數(shù)與幾何的聯(lián)系。二、實(shí)驗(yàn)材料2.1齊次坐標(biāo)和齊次變換矩陣幾何變換是計(jì)算機(jī)輔助圖形設(shè)計(jì)中的基本技術(shù)，有著廣泛的應(yīng)用。為了在形式上將幾何變換統(tǒng)一表示，引入了齊次坐標(biāo)和齊次變換矩陣。二維直角坐標(biāo)系中，直角坐標(biāo)為的點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示為，其中是不為零的常數(shù)，一個(gè)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)不是唯一的。齊次坐標(biāo)和代表同一個(gè)點(diǎn)。二維直角坐標(biāo)系中的齊次變換矩陣形式為，通常將其分塊為，其中，。2.2幾何變換和矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系一個(gè)幾何變換對(duì)應(yīng)一個(gè)形為 的齊次變換矩陣；反之，一個(gè)這種形狀的可逆矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)幾何變換。矩陣的逆與它對(duì)應(yīng)的幾何變換的逆變換相對(duì)應(yīng)

18、，如旋轉(zhuǎn)角度為的變換對(duì)應(yīng)的齊次變換矩陣為 其逆變換對(duì)應(yīng)的齊次變換矩陣恰為此變換矩陣的逆矩陣 平移量為的平移變換、比例系數(shù)與的比例變換、比例系數(shù)的整體比例變換、錯(cuò)切系數(shù)為的向的錯(cuò)切變換、錯(cuò)切系數(shù)為的向的錯(cuò)切變換、關(guān)于軸對(duì)稱的變換、關(guān)于直線對(duì)稱的變換的齊次變換矩陣分別為、。2.3可逆矩陣的初等分解和幾何變換的初等分解 一個(gè)形為的可逆矩陣可以表示為一系列初等矩陣的乘積；一個(gè)幾何變換可以表示為一系列簡(jiǎn)單幾何變換的乘積。 常見(jiàn)的簡(jiǎn)單幾何變換有：平移量為的平移變換，平移量為的平移變換，向比例系數(shù)為的比例變換，向比例系數(shù)為的比例變換，錯(cuò)切系數(shù)為的向的錯(cuò)切變換，錯(cuò)切系數(shù)為的向的錯(cuò)切變換，關(guān)于軸對(duì)稱的變換，關(guān)于

19、直線對(duì)稱的變換。 練習(xí)1 幾何變換能改變圖形的形狀、大小和方位，象比例放縮、平移、對(duì)稱（亦稱鏡象）等，是計(jì)算機(jī)輔助圖形設(shè)開(kāi)的基本方法和工具。在二維直角坐標(biāo)系中，試用一個(gè)矩陣實(shí)現(xiàn)關(guān)于直線對(duì)稱的齊次變換。該變換等于以下五個(gè)變換的乘積：平移量為的平移變換，旋轉(zhuǎn)角度為的旋轉(zhuǎn)變換，關(guān)于軸對(duì)稱的變換，的逆變換，的逆變換。從而所求的矩陣為。Mathematica程序如下： a=- ArcTan3； T1=1，0，0，0，1，0，0，- 5，l； T2=Cosa，Sina，0，- Sina，Cosa，0，0，0，l； T3=1，0，0，0，- 1，0，0，0，1； T=NT1。T2。T3。InverseT2。

20、InverseT1 練習(xí)2 幾何變換也是生成計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)的基本手段和方法。在二維直角坐標(biāo)系中，中心坐標(biāo)為( 0 , 0 ) ,半徑為1的圓繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，要求每隔畫(huà)一個(gè)圓，并給出動(dòng)畫(huà)演示。繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角的齊次變換矩陣為 Mathematica程序如下： x0=0；y0= 0； r=1；n= 30； xp=2；yp=2； a=2Pin； g3= ； g1= ParametricPlot xp+2*Sqrt2Cost，yp+2Sqrt2Sint,t，0，2Pi, AspectRatio->1，PlotRange->-3，6，-3，6，Plotstyle->RGBColor1，0，0， D

21、isplayFunctity> Identity； T11，0，0，0，1，0，-xp，-yp，l； Fori=0，in,i+， T2=Cosa*i，Sina*i，0，-Sina*i，Cosa*i，0，0，0，1； TT= T1.T 2.InverseT； xc= Partx0，y0，1.TT，1； yc=Partx0，y0，l。TT，2； xt_=xc+r*Cost; yt_= yc+ r*Sint； g2=ParametricPlotxt，y t，t，0，2*Pi，AspectRatio->1， PlotRange->-3，6，-3，6，DisplayFunction-&

22、gt; Identity； g3=Appendg3，GraphicsDiskxc，yc，0.1； Showg1，g 2，g 3，DisplayFunction->DisplayFunction 用Mathematica的動(dòng)畫(huà)播放功能，播放這一系列圖形，以理解旋轉(zhuǎn)變換在此的作用，并注意它的用法。 練習(xí) 3 證明矩陣能代表一個(gè)幾何變換，并將其進(jìn)行初等分解。能否代表一個(gè)幾何變換，取決于這一矩陣是否可逆。求矩陣的行列式值的Mathematica程序 T=1，2，0，3，4，0,5，6，1； DetT 結(jié)果為。可見(jiàn)，矩陣是可逆的，能代表一個(gè)幾何變換。又利用矩陣的初等分解方法可知，可以進(jìn)行如下把變換

23、為單位矩陣的過(guò)程，Mathematica程序?yàn)椋?T1=1，0，0，-3，1，0，0，0，1；（矩陣的第一行乘以-3加到第二行） T2=l，0，0，0，1，0，-5，0，1； T3=l，0，0，0，-12，0，0，0，1； T4=1，- 2，0，0，l，0，0，0，1； T5=1，0，0，0，1，0，0，4，l； T5* T4* T3* T2* T1*T （矩陣變換為單位矩陣） 初等行變換矩陣 、分別左乘矩陣得單位矩陣。所以有 矩陣代表的幾何變換可分解出五個(gè)簡(jiǎn)單變換的乘積。練習(xí)4 幾何變換還是產(chǎn)生新圖形的重要方法。令正方形圍繞其中心旋轉(zhuǎn)且放大，得到一組正方形。使得每個(gè)后繼的正方形恰包含前一個(gè)，

24、這樣畫(huà)出過(guò)程中的每個(gè)正方形，便形成了正方形的螺旋線。設(shè)初始正方形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,每次旋轉(zhuǎn)的角度為。很明顯，此問(wèn)題包含旋轉(zhuǎn)和比例兩個(gè)變換，每次旋轉(zhuǎn)的角度為，比例系數(shù)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo)可得為，又相應(yīng)于這兩個(gè)變換的齊次變換矩陣為 ,而且后一個(gè)正方形的各端點(diǎn)等于前一個(gè)正方形相應(yīng)的端點(diǎn)依次經(jīng)過(guò)上述的旋轉(zhuǎn)和比例變換后的結(jié)果。根據(jù)以上分析，可編出求解Mathematica程序如下： x10=-1；y10=-1； x20=1；y20 = -1； x30=l；y30=1； x40=-1；y40=1； a=Pi30； s Sina+Cosa； T1=Cosa，Sina，0，-Sina，Cosa，0，0，0，l；

25、T2=s，0，0，0，s，0，0，0，1； TT=NT1。T 2 G1= ； Fori=1，i < 2 0,i+， v1=Nx10，y1 0，1。TT； v2=N x20，y20，1。TT； v3=Nx30，y30，l。TT； v4=N Fx40，y40，1。TT； xl= Partv1，l； y1=Partvl，2； x2=Partv2，1； y2=Partv2，2； x3=Partv3，1； y3=Partv3，2； x4=Partv4，1； y4=Partv4，2； g1= Appendg1，GraphicsLinexl，y1，x2，y2，x3，y3，x4，y4，x1，y1，Asp

26、ectRatio->1，PlotRange->-10，10，-10，10； x10=x1；y10=y1； x20=x2；y20=y2； x30=x3；y30=y3； x40=x4；y40=y4； Show g1輸入并運(yùn)行此程序，以理解這里的實(shí)現(xiàn)方法。2.4思考題 1、求二維直角坐標(biāo)系中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的齊次變換矩陣，其中點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為。 2、求二維直角坐標(biāo)系的中，關(guān)于直線對(duì)稱的齊次變換矩陣。 3、在二維直角坐標(biāo)系中，中心坐標(biāo)為，長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別為2，1的橢圓，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，要求每隔畫(huà)一個(gè)橢圓，并給出動(dòng)畫(huà)演示。 4、證明矩陣 能代表一個(gè)幾何變換，并將其進(jìn)行初等分解。5、做出正六邊形的螺旋線。

27、提示：比例系數(shù)為，其中為每次旋轉(zhuǎn)的角度，為正六邊形的內(nèi)角?；A(chǔ)實(shí)驗(yàn)五 數(shù)據(jù)擬合與曲線擬合一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?對(duì)于某個(gè)變化過(guò)程中的相互依賴的變量，可建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，用于分析、預(yù)報(bào)、決策或控制該過(guò)程。對(duì)于兩個(gè)變量可通過(guò)用一個(gè)一元函數(shù)去模擬這兩個(gè)變量的取值，但用不同的方法可得到不同的模擬函數(shù)。 使用最小二乘法來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，用基本函數(shù)曲線及其變化模擬給定的曲線，理解擬合方法。二、實(shí)驗(yàn)材料2.1 曲線擬合 （1）初等函數(shù)包括基本初等函數(shù)與它們經(jīng)過(guò)加減乘除復(fù)合等運(yùn)算后所得到的函數(shù)的圖形及其變換。擬合函數(shù)為多項(xiàng)式情形理論上已經(jīng)解決，稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。（2）光滑曲線的有關(guān)內(nèi)容，包括分段函數(shù)的連續(xù)性、一階

28、可導(dǎo)性與高階可導(dǎo)性。（3）方程或方程組的求解，包括超越方程或方程組的近似解法，線性方程組的精確解。2.2最小二乘法給定平面上一組點(diǎn)(,)()作曲線擬合有多種方法，其中最小二乘法是常用的一種。最小二乘法的原理是：求,使達(dá)到最小。擬合時(shí)，選取一定的擬合函數(shù)形式，設(shè)擬合函數(shù)的基底函數(shù)為 擬合函數(shù)為 確定使方差達(dá)到極小，此時(shí)得到的即為所求。為使取到極值，將的表達(dá)式代入，對(duì)求的偏導(dǎo)數(shù)，令其等于零，得到方程組成的方程組，從中求解。當(dāng)=1時(shí)，取擬合函數(shù)，此做法稱為線性擬合，統(tǒng)計(jì)學(xué)上叫做線性回歸。此時(shí)，臨界方程組為 從中解出與，有，其中 ， , 。Mathematica提供了最基本的數(shù)據(jù)擬合函數(shù)Fit，這個(gè)函

29、數(shù)使用最小二乘法產(chǎn)生基函數(shù)的線性組合以構(gòu)造出擬合函數(shù)。函數(shù)的參數(shù)表中包括三項(xiàng)：第一個(gè)參數(shù)是被擬合的數(shù)據(jù)；第二個(gè)參數(shù)是一個(gè)表，用于說(shuō)明擬合用的基函數(shù)；第三個(gè)參數(shù)是擬合變量。2.3 線性擬合練習(xí)1 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中溫度對(duì)產(chǎn)品得率(%)的影響,測(cè)得數(shù)據(jù)如下：10011012013014015016017018019045515461667074788589試求其線性擬合曲線。 Mathematica程序: b1=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78, 180,85,190,89 （將數(shù)據(jù)以表的形式輸入） ft1=Fit

30、b1,1,x,x （用Fit擬合，這里是線性擬合） gp=Plotft1,x,100,190,PlotStyle->RGBColor1,0,0 （作擬合曲線的圖形） fp=ListPlotb1,PlotStyle->PointSize0.05,RGBColor0,0,1 （作散點(diǎn)圖） Showfp,gp （顯示點(diǎn)組與擬合曲線，作圖。下面為計(jì)算殘差的程序） a= ;b= ; （a，b的值由上面的結(jié)果確定） fx_=a*x+b; （擬合函數(shù)） darata=Sum(b1i,2-fb1i,1)2,i,1,10(計(jì)算殘差)改變b1去掉b1中的一組數(shù)據(jù)100，45，求改變后的線性擬合曲線去掉

31、b1中的一組數(shù)據(jù)110，51，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數(shù)據(jù)120，54，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數(shù)據(jù)130，61，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數(shù)據(jù)140，66，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數(shù)據(jù)150，70，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數(shù)據(jù)160，74，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數(shù)據(jù)170，78，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數(shù)據(jù)180，85，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數(shù)據(jù)190，89，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數(shù)據(jù)100，45，110，51求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數(shù)據(jù)100，

32、45，120，54求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數(shù)據(jù)100，45，130，61求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數(shù)據(jù)100，45，140，66求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數(shù)據(jù)100，45，150，70求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數(shù)據(jù)100，45，160，74求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的三組組數(shù)據(jù)100，45，110，51，190，89求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的三組組數(shù)據(jù)100，45，160，74，180，85求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的四組組數(shù)據(jù)110，51，160，74，170，78求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的四組組數(shù)據(jù)120

33、，54，150，70，190，89求改變后的線性擬合曲線增加b1中的一組數(shù)據(jù)125，58，求改變后的線性擬合曲線2.4 非線性擬合練習(xí)2 在某一化學(xué)反應(yīng)里，由實(shí)驗(yàn)得到生物的濃度與時(shí)間（分）的關(guān)系如下123456789101112131415164.06.48.08.49.289.59.79.910.010.210.3210.4210.510.5510.5810.6求濃度與時(shí)間關(guān)系的擬合曲線。 提示：先用ListPlot語(yǔ)句描點(diǎn)，觀察點(diǎn)的分布情況，以確定擬合函數(shù)。 (1)用多項(xiàng)式函數(shù)擬合的Mathematica程序: Cleargp,fp; b2=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,

34、9.28,6,9.5,7,9.7,8,9.86,9,10.0,10,10.2, 11,10.32,12,10.42,13,10.5,14,10.55,15,10.58,16,10.6 gp=ListPlotb3,PlotStyle->RGBColor0,1,0,PointSize0.04 ft2=Fitb3,Tablexi,i,0,4,x （用四次曲線擬合） fp=Plotft2,x,0,17,PlotStyle->RGBColor1,0,0 Showgp,fp fx_=expr; （用擬合的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)定義f(x)） darata=Sum(b2i,2-fb2i,1)2,i,1,1

35、6(計(jì)算殘差) (2)用函數(shù)作擬合，求擬合曲線。作變換,，擬合函數(shù)變形為。Mathematica程序?yàn)? fxx_:=1/x fyy_:=Logy nb=Tablefxb2i,1,fyb2i,2,i,1,16 ft3=Fitnb,1,x,x （擬合） f4=a*Expb/x （a，b的值由上面的結(jié)果確定） t1=Plotf4,x,1,18,PlotStyle->RGBColor1,0,0 t2=ListPlotb2,PlotStyle->RGBColor0,1,0,PointSize0.05 Show%,% (3)用作擬合。Mathematica程序?yàn)? gy_:=1/y sb=T

36、ableb2i,1,gb2i,2,i,1,16 ft5=Fitsb,1,1/x,x f5=1/ft5 t3=Plotf5,x,1,16,PlotStyle->RGBColor0,0,1 Showt1,t2,t3（在一張圖上比較一下用兩種方法得到的函數(shù)曲線） （4）用分段函數(shù)作擬合。2.4 思考題 1、在鋼線碳含量（）對(duì)于電阻（）的效應(yīng)的研究中，得到以下數(shù)據(jù)：0.100.300.400.550.700.800.951518192122.623.826求其線性擬合曲線.2、一種合金在某種添加劑的不同濃度（）之下作抗壓強(qiáng)度（）實(shí)驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下：10.015.020.025.030.025.22

37、9.831.231.729.4以模型作曲線擬合。3、下表是某年美國(guó)轎車價(jià)格的調(diào)查資料, 以模型作曲線擬合:使用年數(shù)12345678910平均價(jià)格2615194314941087765538484290226204 4、待擬合數(shù)據(jù)如下23456789101112131415166.248.29.589.69.6109.939.9910.4710.5910.610.810.610.910.75 試作非線性擬合。第二章 探索數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索實(shí)驗(yàn)一 素?cái)?shù)一、實(shí)驗(yàn)背景與實(shí)驗(yàn)?zāi)康?德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是科學(xué)的女王，而數(shù)論則是數(shù)學(xué)的女王。在數(shù)論這一充滿了趣味而布滿荊棘的領(lǐng)域中，有關(guān)素?cái)?shù)的問(wèn)題(如著名的Gol

38、dbach猜想)始終是最富有魅力最吸引人的研究問(wèn)題。本實(shí)驗(yàn)將探索素?cái)?shù)的規(guī)律及其相關(guān)的某些有趣問(wèn)題。具體地，請(qǐng)同學(xué)們研究下列素?cái)?shù)問(wèn)題：（1）素?cái)?shù)表的構(gòu)造；（2）素?cái)?shù)的判別；（3）最大的素?cái)?shù)；（4）構(gòu)造生成素?cái)?shù)的公式；（5）素?cái)?shù)的分布。我們希望通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)激發(fā)同學(xué)們對(duì)數(shù)論的好奇心，讓同學(xué)們被自然數(shù)的神奇規(guī)律而折服，同時(shí)讓同學(xué)們認(rèn)識(shí)到探索自然數(shù)規(guī)律的艱難性。二、實(shí)驗(yàn)材料2.1素?cái)?shù)的判別與求解如果一個(gè)大于1的自然數(shù)只能被l及它本身整除，則該數(shù)稱為素?cái)?shù)，否則稱為合數(shù)。從數(shù)學(xué)史的黎明時(shí)期開(kāi)始，數(shù)學(xué)家們就一直在探索自然數(shù)的奧秘。遠(yuǎn)在古希臘時(shí)代，歐幾里得就證明了每一個(gè)合數(shù)都可以分解為若干個(gè)素?cái)?shù)的乘積，并且在

39、不計(jì)較素?cái)?shù)排列順序時(shí)這種分解是唯一的，這就是所謂的算術(shù)基本定理。算術(shù)基本定理表明，素?cái)?shù)是構(gòu)造自然數(shù)的基石，正如物質(zhì)的基本粒子一樣。正是由于素?cái)?shù)如此重要的地位才使得一代又一代數(shù)學(xué)家努力地探詢素?cái)?shù)的規(guī)律。首先，一個(gè)最基本的問(wèn)題是素?cái)?shù)到底有多少個(gè)?會(huì)不會(huì)在某一充分大的自然數(shù)以后就沒(méi)有素?cái)?shù)呢?建議同學(xué)們先做以下實(shí)驗(yàn)：假設(shè)已知前個(gè)素?cái)?shù)，它們按從小到大的順序排列為。對(duì)，計(jì)算。問(wèn)：1)是否都是素?cái)?shù)? 2)如果不是素?cái)?shù)，是否含有不同于，的素因子?Mathematica 程序： NumPn_Integer:= Modulei,Num, Num=ProductPrimei,i,1,n+1; PrintNum; P

40、rintPrimeQ Num; PrintFactorIntegerNum DoNumPn,n,1,20根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，猜測(cè)素?cái)?shù)是否有無(wú)窮多個(gè)?試給出證明。關(guān)于素?cái)?shù)的下一個(gè)基本問(wèn)題是:如何求出小于某一給定整數(shù)的所有素?cái)?shù)?古希臘另一位學(xué)者Eratosthenes給出了解決這一問(wèn)題的方法，這一方法被后人稱為Eratosthenes篩法。Eratosthenes篩法的基本思想是，將自然數(shù)列從2開(kāi)始按順序排列至某一整數(shù)。首先，從上述數(shù)列中劃除所有2的倍數(shù)(不包括2)。在剩下的數(shù)中，除2外最小的是3。接著，從數(shù)列中劃掉所有3的倍數(shù)(不包括3)。然后在剩下的數(shù)中，再劃去5的倍數(shù)。這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行下去，則最后

41、剩下的數(shù)就是不超過(guò)的所有素?cái)?shù)。借用Eratosthenes篩法，經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者的艱辛努力，D.N.Iehmer于1914年編織出了10 000 000以內(nèi)的素?cái)?shù)表。利用Eratosthenes篩法，請(qǐng)同學(xué)們手工編寫(xiě)100以內(nèi)的素?cái)?shù)表。據(jù)此，思考如何估計(jì)利用篩法編寫(xiě)10000000以內(nèi)的素?cái)?shù)表的工作量?利用Eratosthenes篩法，通過(guò)計(jì)算機(jī)編程求10000以內(nèi)的所有素?cái)?shù)。Mathematica 程序：Sieven_Integer:= Module t=,i,temp, Fori=2,i<=n,i+,AppendTot,i; Fori=1,Primei<=Sqrtn,i+,temp

42、=Primei; t=Selectt,(#1=temp|Mod#1,temp!=0)& tSieve1000篩法是用乘法尋找素?cái)?shù)。實(shí)際上，也可以用除法判別一個(gè)數(shù)是否是素?cái)?shù)。而且，用除法的效率可能會(huì)更高。假設(shè)我們已經(jīng)找到了前個(gè)素?cái)?shù)，為了尋找下一個(gè)素?cái)?shù)我們從開(kāi)始依次檢驗(yàn)每一個(gè)整數(shù)，看是否能被某個(gè)，整除。如果能被前面的某個(gè)素?cái)?shù)整除，則為合數(shù)。否則即為下一個(gè)素?cái)?shù)，實(shí)際上，為了提高算法的效率，人們不需用前面的每一個(gè)素?cái)?shù)去試除，而只需用不超過(guò)的素?cái)?shù)去除就可以了。利用試除方法，通過(guò)計(jì)算機(jī)編程求10000以內(nèi)的所有素?cái)?shù)。Mathematica 程序：DivPrimen_Integer:= Module

43、 t=,i,j,temp,divided, Fori=2,i<=n,i+, j=1;divided=False; WhilePrimej<=Sqrti&&(!divided), temp=Primej; divided=(Modi,temp=0);j=j+1; If!divided,AppendTot,i ; tDivPrime10000 試將試除法與篩法進(jìn)行比較，哪一個(gè)更有效?在以上Mathematica 程序后分別加上程序TimingSieve10000，TimingDivPrime10000。雖然從理論上來(lái)說(shuō)，Eratosthenes篩法和試除方法可以求出所有

44、的素?cái)?shù)，但是通過(guò)上面的實(shí)驗(yàn)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，利用這些方法構(gòu)造大的素?cái)?shù)表是不切實(shí)際的。例如，要構(gòu)造以內(nèi)的素?cái)?shù)表，利用當(dāng)今最快的計(jì)算機(jī)也得需要近大約一億年。實(shí)際上，數(shù)學(xué)工作者一直在致力擴(kuò)大素?cái)?shù)表的范圍。尋找更大的素?cái)?shù)不僅是數(shù)學(xué)愛(ài)好者的樂(lè)趣，更是實(shí)際應(yīng)用工作者(如密碼編碼者)努力追尋的事。數(shù)十年前，象l l1(23個(gè)1)以及的素性判別問(wèn)題難倒了許多睿智的數(shù)學(xué)家。當(dāng)今，數(shù)學(xué)家研究出了一套非常復(fù)雜而高深的技巧來(lái)對(duì)數(shù)的素性進(jìn)行檢驗(yàn)。尋找到的最大素?cái)?shù)的高峰一股勁地向上無(wú)限攀升。截止到2008年，所找到的最大素?cái)?shù)是，這是第 46個(gè) 梅森(Mersenne)素?cái)?shù)，其十進(jìn)制形式有1300萬(wàn)位！為了領(lǐng)略一下隱藏在這些高深

45、技巧下面的數(shù)學(xué)思想，請(qǐng)同學(xué)們做以下實(shí)驗(yàn)。對(duì)，觀察被整除所得的余數(shù)。從觀察結(jié)果你能得出什么結(jié)論?再取其它的整數(shù) (如3，4，5)，觀察被整除的情況。特別注意觀察當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)的結(jié)果。能否因此確信你的結(jié)論?進(jìn)一步，你所得出的結(jié)論的逆命題是否成立?由此，用你的結(jié)論能否給出判別一個(gè)數(shù)是否是素?cái)?shù)的判別方法? 對(duì)互質(zhì)的整數(shù)及，求使得除的余數(shù)為1的最小整數(shù)。當(dāng)視為素?cái)?shù)時(shí)，觀察與之間的關(guān)系，你能得到什么結(jié)論?類似地，對(duì)做進(jìn)一步的觀察，你能否確信你的結(jié)論?你所得出的結(jié)論的逆命題是否成立?Mathematica 程序： Mn_Integer:=Moduley,k,m=2; k=m(n-1);x=Modk,n; Pri

46、ntn," ",PrimeQn," ",x," ",GCDm,n DoMn,n,2,200上述實(shí)驗(yàn)表明，給出一個(gè)簡(jiǎn)明的素?cái)?shù)判別準(zhǔn)則并不容易，通常需要將更多高深的技巧與之結(jié)合才能給出判別素?cái)?shù)的更有效方法。對(duì)于具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)的素性判別，有更加快捷的方法。這方面最引人注目的例子是Mersenne數(shù)，即形如的數(shù)。利用Mersenne數(shù)可以構(gòu)造出非常大的素?cái)?shù)，如前面指出的最大素?cái)?shù)。對(duì)，判斷哪些Mersenne數(shù)是素?cái)?shù)?如果為合數(shù)，Mersenne數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)?如果為素?cái)?shù)，Mersenne數(shù)是否一定是素?cái)?shù)?Mersenne數(shù)素性判別的Mathematica 程序：Mersennen_Integer:= Module M,i,u=4, If!Prime Qn, False, M=2n-1; Fori=1,i<n-1,i+,u=Modu2-2,M;, Ifu=0,True,False 從實(shí)驗(yàn)中可以看到，Mersenne素?cái)?shù)是極其稀少的。借助大型計(jì)算機(jī)的威力，截止2008年，數(shù)學(xué)家僅發(fā)現(xiàn)了46個(gè)Mersenne素?cái)?shù)?？梢钥闯?，Mersenne素?cái)?shù)的分布是極不規(guī)則的！如何通過(guò)判斷是否是素?cái)?shù)?數(shù)學(xué)家Lucas與Lehme