著名數(shù)學定理1

1、著名數(shù)學定理15定理15-定理是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway，1937-)和W.A.Schneeberger于1993年證明的定理，內容為：如果一個二次多項式可以通過變量取整數(shù)值而表示出115的值(更嚴格的結論是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的話(例如a2+b2+c2+d2)，該二次多項式可以通過變量取整數(shù)值而表示出所有正整數(shù).6714(黑洞數(shù))定理 黑洞數(shù)又稱陷阱數(shù)，是類具有奇特轉換特性的整數(shù).任何一個數(shù)字不全相同整數(shù)，經(jīng)有限“重排求差”操作，總會得某一個或一些數(shù)，這些數(shù)即為黑洞數(shù).“重排求差”操作即把組成該數(shù)的數(shù)字重排后

2、得到的最大數(shù)減去重排后得到的最小數(shù).或者是冰雹原理中的“1”黑洞數(shù).舉個例子，三位數(shù)的黑洞數(shù)為495.簡易推導過程：隨便找個數(shù)，如297，三個位上的數(shù)從小到大和從大到小各排一次，為972和279，相減，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反復都得到495.再如，四位數(shù)的黑洞數(shù)有6174.阿貝爾-魯菲尼定理 定理定義：阿貝爾-魯菲尼定理并不是說明五次或更高次的多項式方程沒有解.事實上代數(shù)基本定理說明任意非常數(shù)的多項式在復數(shù)域中都有根.然而代數(shù)基本定理并沒有說明根的具體形式.通過數(shù)值方法可以計算多項式的根的近似值，但數(shù)學家也關心根的精確值，以及它們能否通過簡單的方式

3、用多項式的系數(shù)來表示.例如，任意給定二次方程ax2+bx+c=0(a0)，它的兩個解可以用方程的系數(shù)來表示：.這是一個僅用有理數(shù)和方程的系數(shù)，通過有限次四則運算和開平方得到的解的表達式，稱為其代數(shù)解.三次方程，四次方程的根也可以使用類似的方式來表示.阿貝爾-魯菲尼定理的結論是：任意給定一個五次或以上的多項式方程： ，那么不存在一個通用的公式(求根公式)，使用  和有理數(shù)通過有限次四則運算和開根號得到它的解.或者說，當n大于等于5時，存在n次多項式，它的根無法用自己的系數(shù)和有理數(shù)通過有限次四則運算和開根號得到.換一個角度說，存在這樣的實數(shù)或復數(shù)，它滿足某個五次或更高

4、次的多項式方程，但不能寫成任何由方程系數(shù)和有理數(shù)構成的代數(shù)式.這并不是說每一個五次或以上的多項式方程，都無法求得代數(shù)解.比如的解就是.具體區(qū)分哪些多項式方程可以有代數(shù)解而哪些不能的方法由伽羅瓦給出，因此相關理論也被稱為伽羅瓦理論.簡單來說，某多項式方程有代數(shù)解，等價于說它對應的域擴張上的伽羅瓦群是一個可解群.對于一般的二次，三次和四次方程，它們對應的伽羅瓦群是二次，三次和四次對稱群：  ，它們都是可解群.但一般的五次方程對應的是五次對稱群，這是一個不可解群.當次數(shù)n大于等于5時，情況也是如此.阿貝爾二項式定理 二項式定理可以用以下公式表示：.其中，又有  

5、;等記法，稱為二項式系數(shù)，即取的組合數(shù)目.此系數(shù)亦可表示為楊輝三角形.它們之間是互通的關系.艾森斯坦因判別法 艾森斯坦判別法是說：給出下面的整系數(shù)多項式如果存在素數(shù)p，使得p不整除an ，但整除其他ai(i=0，1，.，n-1)；p² 不整除a0 ，那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.奧爾定理 離散數(shù)學中圖論的一個定理)如果一個總點數(shù)至少為3的簡單圖G滿足：G的任意兩個點u和v度數(shù)之和至少為n，即deg(u)+deg(v)n，那么G必然有哈密頓回路.它描述了簡單圖擁有哈密頓回路的一個充分條件.表達式deg(u)+deg(v)nG有哈密頓通路相關概念：簡單圖：沒有重

6、邊和環(huán)的無向圖.度數(shù)：某點所連接的邊的數(shù)目.哈密頓回路：經(jīng)過圖的所有的點的一條回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中點定理） AB和BC是O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD.折弦定義：從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦.伯特蘭·切比雪夫定理 伯特蘭·切比雪夫定理說明：若整數(shù)n > 3，則至少存在一個質數(shù)p，符合n < p < 2n 2.另一個稍弱說法是：對于所有大于1的整數(shù)n，存在一個質數(shù)p，符合n < p <

7、 2n.貝亞蒂定理 定義一個正無理數(shù)r的貝亞蒂列Br為Br=r，2r，3r，.=nr(n1)，這里的 是取整函數(shù).若然有兩個正無理數(shù)p，q且，(即) ，則Bp=np(n1)，Bq=nq(n1)構成正整數(shù)集的一個分劃：.布利安桑定理 布利安桑定理敘述如下：如果六邊形的邊交替地通過兩個定點P和Q，則連接六邊形的相對的頂點的三條對角線是共點的.布列安桑(Brainchon)定理是一個射影幾何中的著名定理，它斷言六條邊和一條圓錐曲線相切的六邊形的三條對角線共點，此點稱為該六邊形的布列安桑點.布朗定理 設P(x)為滿足p x的素數(shù)數(shù)目，使得p+ 2也是素數(shù)(也就是說，P(x)是孿生素

8、數(shù)的數(shù)目).那么，對于x 3，我們有：，其中c是某個常數(shù).裴蜀定理(貝祖定理) 對任何整數(shù)a、b和它們的最大公約數(shù)d，關于未知數(shù)x和y的線性不定方程（稱為裴蜀等式）：若a,b是整數(shù),且(a,b)=d，那么對于任意的整數(shù)x,y,ax+by都一定是d的倍數(shù)，特別地，一定存在整數(shù)x,y，使ax+by=d成立。半角定理 做三角形內切圓，在AB，AC，BC邊上的切點分別為D，E，F(xiàn)，令 (其中A，B，C為三角形內角的符號)，則有，.代數(shù)學基本定理：任何復系數(shù)一元n次多項式 方程在復數(shù)域上至少有一根(n1)，由此推出，n次復系數(shù)多項式方程在復數(shù)域內有且只有n個根(重根按重數(shù)計算).簡介

9、：(n1) 代數(shù)學基本定理說明，任何復系數(shù)一元n次多項式方程在復數(shù)域上至少有一根.由此推出，n次復系數(shù)多項式方程在復數(shù)域內有且只有n個根(重根按重數(shù)計算).有時這個定理表述為：任何一個非零的一元n次復系數(shù)多項式，都正好有n個復數(shù)根.這似乎是一個更強的命題，但實際上是“至少有一個根”的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因子，即可從有一個根推出有n個根.盡管這個定理被命名為“代數(shù)基本定理”，但它還沒有純粹的代數(shù)證明，許多數(shù)學家都相信這種證明不存在 .另外，它也不是最基本的代數(shù)定理；因為在那個時候，代數(shù)基本上就是關于解實系數(shù)或復系數(shù)多項式方程，所以才被命名為代數(shù)基本定理.陳氏

10、定理 任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和.婆羅摩笈多定理 若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊.如圖，圓內接四邊形ABCD的對角線ACBD，垂足為M.EFBC，且M在EF上.那么F是AD的中點.拿破侖定理 拿破侖定理由拿破侖發(fā)現(xiàn)：“以三角形各邊為邊分別向外側作等邊三角形，則他們的中心構成一個等邊三角形.”該等邊三角形稱為拿破侖三角形.如果向內(原三角形不為等邊三角形)作三角形，結論同樣成立.牛頓定理 特指平面幾何中的牛頓定理(Newton's Theorem)牛頓線：和完全四邊形(定義：我們把兩兩相交，且沒有三線

11、共點的四條直線及它們的六個交點所構成的圖形，叫做完全四邊形)四邊相切的有心圓錐曲線的心的軌跡是一條直線，是完全四邊形三條對角線中點所共的線.(1)完全四邊形三條對角線中點共線；(2)圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線；(3)圓的外切四邊形的對角線的交點和以切點為頂點的四邊形對角線交點重合.清宮定理 設P，Q為ABC的外接圓上異于A，B，C的兩點，P關于三邊BC，CA，AB的對稱點分別是U，V，W，且QU，QV，QW分別交三邊BC，CA，AB或其延長線于D，E，F(xiàn)，則D，E，F(xiàn)在同一直線上.中線定理 (阿波羅尼烏斯定理，重心定理)三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半的

12、平方與該邊中線平方的和的兩倍.燕尾定理 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一點O，有SAOBSAOC=BDCD，SAOBSCOB=AECE，SBOCSAOC=BFAF.共角定理 若兩個三角形有一組對應角相等或互補，則它們的面積比等于對應兩邊乘積的比.張角定理 在ABC中，D是BC上的一點，連結AD.那么.西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線.(此線常稱為西姆松線).西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上.九點圓 三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點(聯(lián)結三角形各頂點與垂心所得三線

13、段的中點)九點共圓.通常稱這個圓為九點圓(nine-point circle)，或歐拉圓，費爾巴哈圓. 九點圓是一個更一般的定理：垂心四面體各棱的中點，各棱相對于對棱的垂心12點共球的一個特例.當一個頂點被壓入所對面的時候，12點的共球就退化為9點共圓.蝴蝶定理 設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD.設AD和BC各相交PQ于點X和Y，則M是XY的中點.坎迪定理 AB是圓內的一段弦，P是弦AB上任意一點，C，D是圓上的任意兩點，連接CP，DP并延長分別交圓于F，E，連接CE，DF分別交AB于G，H，設AP=a，BP=b，GP=x，HP=y，則(1/a)-(1/b)=(1/x)-(1/y)

14、.塞瓦定理 塞瓦定理是指在ABC內任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則.塞瓦線 (切氏線)三角形一個頂點與其對邊上一點的連線托勒密定理 圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積. 原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和. 從這個定理可以推出正弦，余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質.梅涅勞斯定理 當直線交ABC三邊所在直線BC，AC，AB于點D，E，F(xiàn)時，.歐拉定理 在數(shù)論中，也稱費馬-歐拉定理，若n，a為正整數(shù)，且n，a互質，則：.幾何定理內容：(1)設三

15、角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d2=R2-2Rr(2)三角形ABC的垂心H，九點圓圓心V，重心G，外心O共線 ，稱為歐拉線.拓撲公式：V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)，X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù).如果P可以同胚于一個球面(可以通俗地理解為能吹脹成一個球面)，那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h.X(P)叫做P的拓撲不變量，是拓撲學研究的范圍.復變函數(shù)定理內容：歐拉定理：eix=cosx+isinx(e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位).它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，

16、建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位.將公式里的x換成-x，得到：e-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：.這兩個也叫做歐拉公式.將eix=cosx+isinx中的x取作就得到：ei+1=0.這個等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學里常見的0.數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它.費馬小定理 a是不能被質數(shù)p整除的正整數(shù)(即：假如p是質數(shù)，且gcd(a，p)=1)，則有a(p-1)1

17、(mod p).即：假如a是整數(shù)，p是質數(shù)，且a，p互質(即兩者只有一個公約數(shù)1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1.帕普斯定理 直線l1上依次有點A，B，C，直線l2上依次有點D，E，F(xiàn)，設AE，BD交于P，AF，DC交于Q，BF，EC交于R，則P，Q，R共線.斯臺沃特定理 任意三角形ABC中，D是邊BC上一點，連接AD，則.設BC=a，AC=b，AB=c，BD=u，CD=v，AD=w，則.斯坦納-雷米歐司定理 兩角的平分線相等的三角形是等腰三角形.調和四邊形 調和四邊形是指對邊乘積相等的圓內接四邊形.性質：1，調和四邊形的其中一條對角線，與過其余兩點的四邊形外接圓的兩條切線，這三

18、條直線共點；2，設調和四邊形ABCD中，對角線AC中點為M，則AMBDMADCB，BMCCMDBAD；3，設調和四邊形ABCD中，對角線AC與過B，D兩點的四邊形ABCD外接圓的切線所共的點記為P，記AP交BD于Q，則AQ為ABD的一條陪位中線(三角形的一條中線關于與其共頂點的內角平分線的對稱直線在三角形內所成的線段叫做三角形的陪位中線)，A，Q，C，P四點為調和點列；取對角線AC中點M，設四邊形ABCD外接圓圓心為O，則B，P，D，O，M五點共圓.糖水不等式 a克糖水中有b克糖(a>0，b>0，且a>b)，則糖的質量和糖水的質量比為：，若再添加c克糖(c>0)，則糖的

19、質量和糖水的質量比為：.生活經(jīng)驗告訴我們：添加糖后，糖水會更甜，于是得出一個不等式：(a>b>0，c>0).趣稱之為“糖水不等式”.糖水不等式為不等式中的難點.費馬大定理 當整數(shù)n >2時，關于x， y， z的方程 xn + yn = zn 沒有正整數(shù)解.莫利定理 也稱為莫雷角三分線定理.將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形.這個三角形常被稱作莫利正三角形.三余弦定理 設二面角MABN的度數(shù)為，在平面M上有一條射線AC，它和棱AB所成角為，和平面N所成的角為，則 (如圖).(注明：折疊角公式(又

20、名：三余弦定理)以及三正弦定理的應用為立體幾何的解題帶來了許多方便.)若已知二面角其中一個半平面內某直線與二面角的棱所成的角，以及該直線與另一半平面所成的角，則可以求該二面角的正弦值.密克定理是幾何學中關于相交圓的定理.1838年，奧古斯特·密克(Auguste Miquel)敘述并證明了數(shù)條相關定理.許多有用的定理可由其推出.定理陳述：三圓定理：設三個圓C1， C2， C3交于一點O，而M， N， P分別是C1 和C2， C2和C3， C3和C1的另一交點.設A為C1的點，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C.那么B， N， C這三點共線.逆定理：如果是三角形，M， N， P三點

21、分別在邊AB， BC， CA上，那么AMP，BMN，CPN 的外接圓交于一點O.完全四線形定理：如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點 O，稱為密克點.四圓定理：設C1， C2，C3， C4為四個圓，A1和B1是C1和C2的交點，A2和B2是C2 和C3的交點，A3和B3是C3和C4的交點，A4和B4是C1和C4的交點.那么A1， A2， A3， A4四點共圓當且僅當B1， B2， B3， B4四點共圓.五圓定理：設ABCDE為任意五邊形，五點F， G， H， I， J分別是EA和BC ， AB和CD， BC和DE， CD和EA， DE和AB的交點，那么ABF，BCJ CDI

22、，DEH，AEG的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓，不穿過這些交點的圓也穿過五個外接圓的圓心.皮克定理 一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點.如果取一個格點做原點O，取通過這個格點的橫向和縱向兩直線分別做橫坐標軸OX和縱坐標軸OY，并取原來方格邊長做單位長，建立一個坐標系.這時前面所說的格點，顯然就是縱橫兩坐標都是整數(shù)的那些點.如圖中的O，P，Q，M，N都是格點.由于這個緣故，我們又叫格點為整點.一個多邊形的頂點如果全是格點，這多邊形就叫做格點多邊形.有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點的數(shù)目及

23、圖內的點的數(shù)目，就可用公式算出.這個公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個實用而有趣的定理.給定頂點坐標均是整點(或正方形格點)的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積S和內部格點數(shù)目n，邊上格點數(shù)目s的關系：(其中n表示多邊形內部的點數(shù)，s表示多邊形邊界上的點數(shù)，S表示多邊形的面積)抽屜原理(鴿巢原理，重疊原理，狄利克雷抽屜原理) 第一抽屜原理：原理1： 把多于n+1個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件.原理2 ：把多于mn(m乘n)+1(n不為0)個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于(m+1)的物體.原理3 

24、：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里 有無窮個物體.第二抽屜原理：把(mn1)個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有(m1)個物體(例如，將3×5-1=14個物體放入5個抽屜中，則必定有一個抽屜中的物體數(shù)少于等于3-1=2).德·摩根定律 在命題邏輯和邏輯代數(shù)中，德·摩根定律(或稱德·摩根定理)是關于命題邏輯規(guī)律的一對法則.在命題邏輯中存在著下面這些關系：非(P且Q)=(非P)或(非Q)；非(P或Q) = (非P)且(非Q).形式邏輯中此定律表達形式：，；在集合論中：，；在概率論中：，.迪尼定理 在數(shù)學中，迪尼定理敘述如下：設 X 是

25、一個緊致的拓撲空間，f(n)  是 X 上的一個單調遞增的連續(xù)實值函數(shù)列，即使得對任意 n 和 X 中的任意 x 都有fn(x)fn+1(x).如果這個函數(shù)列逐點收斂到一個連續(xù)的函數(shù)f ，那么這個函數(shù)列一致收斂到f.這個定理以意大利數(shù)學家烏利塞·迪尼命名.對于單調遞減的函數(shù)列，定理同樣成立.這個定理是少數(shù)的由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一，原因是由單調性這個更強的條件.注意定理中的f一定要是連續(xù)的，否則可以構造反例.比如說在區(qū)間 0，1 上的函數(shù)列 xn.這是一個單調遞減函數(shù)，逐點收斂到函數(shù)f ：當 x 屬于 0，1) 時f(x)等于 0 ，

26、等于 1.但這個函數(shù)列不是一致收斂的，因為f不連續(xù).等周定理 等周定理，以及其面積之間的關系.其中的“等周”指的是周界的長度相等.等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小.它可以以不等式表達：若P為封閉曲線的周界長，A為曲線所包圍的區(qū)域面積，等周問題有許多不同的推廣，例如在各種曲面而不是平面上的等周問題，以及在高維的空間中給定的“表面”或區(qū)域的最大“邊界長度”問題等.在物理中，等周問題和跟所謂的最小作用量原理有關.一個直觀的表現(xiàn)就是水珠的形狀.在沒有外力的情況下(例如失重的太空艙里)，水珠的形狀是完全對稱的球體.這

27、是因為當水珠體積一定時，表面張力會迫使水珠的表面積達到最小值.根據(jù)等周定理，最小值是在水珠形狀為球狀時達到.多項式余數(shù)定理（余數(shù)定理） 多項式余數(shù)定理是指一個多項式 f(x) 除以一線性多項式 x - a 的余數(shù)是 f(a).例如， 的余數(shù)是.棣莫弗定理 設兩個復數(shù)(用三角函數(shù)形式表示)，則：.棣莫弗-拉普拉斯定理 棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，即二項分布以正態(tài)分布為其極限分布定律.設隨機變量n=(n=1，2) ，則對任意實數(shù)x有.笛卡爾定理 (1)若平面上四個半徑為r1，r2，r3，r4的圓兩兩相切于不同

28、點，則其半徑滿足以下結論：(1)若四圓兩兩外切，則；若半徑為r1，r2，r3的圓內切于半徑為r4的圓中，則.(2)若五個球的半徑分別是ri(i=1，2，.，5)，滿足任意一個球與另外四個球外切，則.多項式定理 的展開式的通項是，所以多項式的展開式是，其中表示通項在滿足條件：為非負整數(shù)，并且下所有項的和式.笛沙格定理 笛沙格同調定理(同調三角形定理)：平面上有兩個三角形ABC，DEF，設它們的對應頂點(A和D，B和E，C和F)的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線.定理推廣：其逆定理也成立：笛沙格對合定理：一條直線與一個完全四點形的三雙對邊的交點與外接于該四點形的圓錐曲線

29、構成一個對合的四個點偶. 一個點與一個完全四線形的三雙對頂點的連線和從該點向內切于該四線形的圓錐曲線所引的切線構成一個對合的四個射線偶合.一個完全四點形(四線形)實際上含有四點(線)1，2，3，4和它們的六條連線交點23，14，31，24，12，34；其中23與14，31與24，12與34稱為對邊(對頂點).(該定理在空間中也成立.)費馬點 “費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點.若給定一個三角形ABC的話，從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點A，B，C的距離之和比從其它點算起的都要小.這個特殊點對于每個給定的三角形都只有一個.定義1.若三角形3個內角均小于120&#

30、176;，那么3條距離連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°.所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心.（托里拆利的解法中對這個點的描述是：對于每一個角都小于120°的三角形ABC的每一條邊為底邊，向外作正三角形，然后作這三個正三角形的外接圓.托里拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點，而這個交點就是所要求的點.這個點和當時已知的三角形特殊點都不一樣.這個點因此也叫做托里拆利點.）2.若三角形有一內角大于等于120°，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點.費馬平方和定理 奇質數(shù)能表示為兩個平方數(shù)之和的充分必要條件是該質數(shù)被4除余1

31、.凡·奧貝爾定理 任意一個四邊形，在其邊外側構造一個正方形.將相對的正方形的中心連起，得出兩條線段.線段的長度相等且互相垂直（凡·奧貝爾定理適用于凸凹四邊形）.芬斯勒哈德維格爾定理 若兩個正方形ABCD和AB'C'D'擁有同一個頂點A.B'D的中點，BD'的中點，ABCD的中心和AB'C'D'的中心將組成一個正方形.費馬多邊形數(shù)定理 每一個正整數(shù)最多可以表示為n個n邊形數(shù)的和.也就是說，每一個數(shù)最多可以表示為三個三角形數(shù)(三角形數(shù)：古希臘著名科學家畢達哥拉斯把數(shù)1，3，6，10，15，21這些數(shù)量的（石子），都

32、可以排成三角形，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).把1.4.9.16.這樣的數(shù)稱為正方形數(shù))之和，四個平方數(shù)之和，五個五邊形數(shù)之和，依此類推.一個三角形數(shù)的例子，是17 = 10 + 6 + 1.一個眾所周知的特例，是四平方和定理，它說明每一個正整數(shù)都可以表示為四個平方數(shù)之和，例如7 = 4 + 1 + 1 + 1.合比定理 在一個比例里，第一個比的前后項的和與它后項的比，等于第二個比的前后項的和與它的后項的比，這叫做比例中的合比定理.即：如果，那么（b，d0）.分比定理 在一個比例里，第一個比的前后項的差與它的后項的比，等于第二個比的前后項的差與它們的后項的比，這叫做比例中的分比定理.即：如果那么（b

33、，d0）.合分比定理 一個比例里，第一個前后項之和與它們的差的比，等于第二個比的前后項的和與它們的差的比.這叫做比例中的合分比定理.即：如果那么（b，d，a-b，c-d0）.等比定理(更比定理) 一個比的前項與另一個比的后項互調后，所得結果仍是比例.即：如果那么（a，b，c，d0）.推論：若如果，則.圓冪定理 內容： 如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交于A，B與C，D，則PA·PB=PC·PD.圓冪定理是對相交弦定理，切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論的統(tǒng)一與歸納.根據(jù)兩條與圓有相交關系的線的位置不同，有以下定理：(1)相交弦定理：圓內的兩條相交

34、弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.(2)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.(3)割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A，B；C，D，則有PA·PB=PC·PD.古爾亭定理 (古爾丁定理，帕普斯幾何中心定理)定義：以平面圖形繞同一平面上的任何一條與該圖形不相交的直線旋轉一周所產生的體積，等于圖形的面積乘以其重心相應半徑所畫的圓周長.表面積：有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸.由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積A，等于曲線的長度s乘以曲線的幾何中心經(jīng)過的距離d1，即：A=sd1.例：設環(huán)面

35、圓管半徑為r，圓管中心到環(huán)面中心距離為R，把環(huán)面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心.所以環(huán)面表面積為(2r)(2R)=42rR.若有平面連續(xù)曲線y=f(x)，求x在a，b時，曲線以x軸旋轉所得的曲面表面積.可考慮一小段曲線，其幾何中心便是y，曲線長度為，因此這個曲面的表面積便是：.體積：d1由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積V，等于平面形狀面積S乘以平面形狀的幾何中心經(jīng)過的距離的積：V=sd1.再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉體體積：.共軛復根定理 一元二次方程，若用公式法解得根（即）判別式小于零，則該方程的根為2個共軛復根.因為負數(shù)在開平方時存在+i和

36、-i，所以如果有復數(shù)根則必是共軛的.定理定義：復根的意思就是說當你解微分方程的特征方程時，不能求出實數(shù)解，也就是說特征方程的判別式是小于零的，這時方程沒有實根，有復根.復數(shù)是建立在i的平方等于 -1的基礎上的.你在開根號的時候如果根號內的數(shù)字式小于零的話，你就直接按照正數(shù)開根號，得出結果后后面加個小寫字母i就可以得到復數(shù)了，由復數(shù)得到的方程的解就是復根.哥德巴赫-歐拉定理 不小于4的有限偶數(shù)都是某2個素數(shù)相加的和.格爾豐德-施奈德定理 格爾豐德-施奈德定理（GelfondSchneider theorem）是一個可以用于證明許多數(shù)的超越性的結果.定理定義：如果和是代數(shù)數(shù)，其中0且1，且不是有理

37、數(shù)，那么任何的值一定是超越數(shù).(代數(shù)數(shù)：能滿足整系數(shù)代數(shù)方程的數(shù)；超越數(shù)：不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的數(shù)；整系數(shù)代數(shù)方程：方程中的未知數(shù)的系數(shù)是整數(shù)的方程.如：2x+1=0，x2+3x+2=0).勘根定理 勘根定理(the root located theorem) 假設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a， b中連續(xù)，且函數(shù)值f(a)與f(b)異號（即，一為正一為負）.則在區(qū)間(a， b)中找到一個數(shù)c，使得f(c) = 0（即，c為函數(shù)f(x)的根）.韋達定理 定理定義：設一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)中，兩根x，x有如下關系：，.根心定理 根心定理：三個兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則必有下列

38、三種情況之一：（1） 三根軸兩兩平行；（2） 三根軸完全重合；（3） 三根軸兩兩相交，此時三根軸必匯于一點，該點稱為三圓的根心.相關定義：點對圓的冪：平面上任意一點P(x，y) 對圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的冪定義為以下函數(shù)：f(x，y)=x2+y2+Dx+Ey+F.考慮到圓的方程也可以寫為圓心-半徑的形式：(x-a)2+(y-b)2-r2=0.由此也可以把點對圓的冪定義為：f(x，y)=(x-a)2+(y-b)2-r2=d2-r2，這里 是點 P到圓心C(a，b) 的距離，r是圓的半徑.點對圓的冪的幾何意義是明顯的：(1)若點在圓外，則冪為點到圓

39、的切線長度的平方；(2)若點在圓上，則冪為0；(3)若點在圓內，則冪為負數(shù)，其絕對值等于過點P且垂直于CP的弦長的一半的平方.根軸：平面上兩不同心的圓x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0，(i=1，2)，(D1-D2)2+(E1+E2)2>0.顯然，對兩圓等冪的點集是直線：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.該直線稱為兩圓的根軸.根軸必垂直于兩圓的連心線.(1)若兩圓相交，則根軸就是連接二公共點的直線；(2)若兩圓相切，則根軸就是過切點的公切線；(3)若兩圓相離或內含，則根軸完全位于兩圓之外，但仍垂直于兩圓的連心線.海倫公式(希倫公式，海龍公式，希羅公式，海倫秦九韶公

40、式) 公式表述：假設在平面內，有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由以下公式求得：，而公式里的p為半周長（周長的一半）：.婆羅摩笈多公式 婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算.若圓內接四邊形的四邊長為a， b， c， d，則其面積為：其中s為半周長：.華勒斯·波埃伊·格維也納定理 指兩個簡單多邊形面積相等，那么其中一個能分割成有限多塊多邊形，經(jīng)過平移和旋轉，拼合成第二個多邊形.勒讓德定理 在正數(shù)n!的素因子標準分解式中，素數(shù)p的指數(shù)記作Lp(n!)，則.歐拉常數(shù) 歐拉-馬歇羅尼常數(shù)（Euler-Mascher

41、oni constant)是一個主要應用于數(shù)論的數(shù)學常數(shù)。它的定義是調和級數(shù)與自然對數(shù)的差值的極限：.由無窮級數(shù)理論可知，調和級數(shù)即調和數(shù)列(定義1：正整數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列,稱為調和數(shù)列；定義2：若數(shù)列an 滿足（nN*，d為常數(shù)），則稱數(shù)列an)各元素相加所得的和 是發(fā)散的。但可以證明，存在極限。由不等式可得，故Sn有下界。而，再一次根據(jù)不等式 ，取，即可得，所以Sn單調遞減。由單調有界數(shù)列極限定理，可知Sn必有極限，即存在。該極限被稱作歐拉常數(shù)，現(xiàn)在通常將該常數(shù)記為。莫雷角三分線定理 定理定義：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，

42、則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。米迪定理 E·米迪在1836年證明了關于0.999這類分數(shù)的一個一般的結果，現(xiàn)在稱為米迪定理。定理定義：米迪定理說明若有質數(shù)p，少于p的正整數(shù)a，大于1的正整數(shù)b和任意正整數(shù)n，使得在b進位制內的循環(huán)節(jié)長度是2n，且將這個分數(shù)用循環(huán)小數(shù)寫成，則有以下結論：ai+ai+n=b1。射影定理 (歐幾里德定理)在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。射影定理是數(shù)學圖形計算的重要定理。在RtABC中，ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：BD²

43、;=AD·CD，AB²=AC·AD，BC²=CD·AC.帕斯卡定理 帕斯卡定理指圓錐曲線內接六邊形（包括退化的六邊形）其三對邊的交點共線，與布列安桑定理對偶，是帕普斯定理的推廣。定理定義：如果一個六邊形內接于一條二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，那么它的三對對邊的交點在同一條直線上。普羅斯數(shù) 普羅斯數(shù)是如下形式的數(shù)：k2n+1，其中k是奇數(shù)，n是正整數(shù)，且2n>k。既是普羅斯數(shù)又是素數(shù)的整數(shù)，稱為普羅斯素數(shù)。普羅斯定理 普羅斯定理是判斷普羅斯數(shù)是否為素數(shù)的方法。如果p是普羅斯數(shù)，那么如果對于某個整數(shù)a，有，則p是素數(shù)。這是一個有實際用

44、途的方法，因為如果p是素數(shù)，任何選定的a都有百分之50的概率滿足這個關系式。例如：對于p=3，21+1=3能被3整除，所以3是素數(shù)。對于p=5，32+1=10能被5整除，所以5是素數(shù)。對于p=13，56+1=15626 能被13整除，所以13是素數(shù)。對于p=9，不存在a使得a4+1能被9整數(shù)。斐波那契數(shù) (斐波那契數(shù)列，黃金分割數(shù)列，費波那西數(shù)列，費波拿契數(shù)，費氏數(shù)列)，指的是這樣一個數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、在數(shù)學上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2（n2，nN*），用文字來說，就是斐波那契數(shù)列列由0和1開始，之后的斐波那

45、契數(shù)列系數(shù)就由之前的兩數(shù)相加。齊肯多夫定理 (齊肯多夫表述法)表示任何正整數(shù)都可以表示成若干個不連續(xù)的斐波那契數(shù)（不包括第一個斐波那契數(shù)）之和。四色定理 (四色猜想、四色問題)，是世界三大數(shù)學猜想之一。四色定理的本質許多人認為是在平面或者球面無法構造五個或者五個以上兩兩相連的區(qū)域。這個概念實際上是錯誤的，因為有許多種方法在代數(shù)幾何上可以完美的證明任意一個區(qū)域無法同時與其他四個任意區(qū)域兩兩相連。但實際上證明的時候會把區(qū)域之間相互重疊的關系否定掉。其本質在于地圖上是否可以只用四種顏色著色，從而演變出一個幾何上的數(shù)學問題，但之所以至今只能用計算機暴力證明，其根源仍然無法得知，有諸多的猜想，但卻仍然是

46、一個無法以書面簡單證明來完成的難題。算術基本定理 任何一個大于1的自然數(shù)N，都可以唯一分解成有限個質數(shù)的乘積，這里P1<P2<.<Pn均為質數(shù)，其諸指數(shù)ai是正整數(shù)。這樣的分解稱為N的標準分解式。斯托爾茲-切薩羅定理 定理定義：設an 和bn(n1)為兩個實數(shù)列。若bn為單調上升的無界正數(shù)數(shù)列，且極限存在,則極限存在，且.定理推廣：設an和bn(n1)為兩個序列。若bn單調無界，則(inf(x)表示下確界，即最大下界；sup(x)表示上確界，即最小上界).斯圖爾特定理 如圖，設a，b和c是三角形的邊長，d是切氏線的長度；該線段將a邊分為長度為m和n的兩段。那么，mb

47、2+nc2=a(d2+mn).斯特瓦爾特定理 設已知ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有：AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD.三代角定理 三代角定理用來計算在一個母角角度在360°以內的角均分成N份（N可以非整數(shù)）后，得到N個子角，然后在該母角以及每個子角上做弦，其各個（子角的弦或者弦延長線）與（母角的弦或者延長線）自然相交的角度，這里稱這種角為孫角。公式大于180度角所產生的孫角照樣適用本定理.公式中各表示為：St：第幾個孫角的角度；z：子角的度數(shù)；n：把母角分成多少等份；

48、t：第幾個孫角；m：母角的角度(注：公式中：N可以非整數(shù)，t也可以非整數(shù)).一元三次方程的解法 1.卡丹公式法的特殊情況：如果一個一元三次方程的二次項系數(shù)為0，則該方程可化為x³+px+q=0。它的解是：，。其中。根與系數(shù)的關系為x1+x2+x3=0，x1x2x3=-p。判別式為。當>0時，有一個實根和兩個復根；=0時，有三個實根，當p=q=0時，有一個三重零根，p，q0時，三個實根中有兩個相等；<0時，有三個不等實根。三個根的三角函數(shù)表達式（僅當p<0時）為，。其中?？ǖす椒ǖ囊话闱闆r：一般的一元三次方程可寫成ax3+bx2+cx+d=0(a0)的形式。上式除以a，并設，則可化為如下形式：y3+py+q=0，其中?？捎锰厥馇闆r的公式解出y1，y2，y3，則原方程的三個根為，。三個根與系數(shù)的關系為x1+x2+x3=，x1x2x3=。2.盛金公式法：三次方程應用廣泛。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，并有相應的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復雜，缺乏直觀性。范盛金推導出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式盛金公式，并建立了新判別法盛金判別法。盛金公式：一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0，（a,b,c