高等數(shù)學(xué)中常見的變量替換

1、目 錄 引言(1)一 極限運算中變量替換的應(yīng)用(1) (一) 對于 (或)型極限(2) (二)對于型極限(2) (三) 隱函數(shù)中不易或不可能化為顯函數(shù)形式，極限的求法(3) (四) 求數(shù)列的極限(4)二 不定積分運算中常用的變量替換(6) (一) 三角函數(shù)代換(6) (二) 倒數(shù)代換(7) (三) 指數(shù)代換(8) (四) 不定積分的計算，其中是由方程所確定的的函數(shù)(8)三 定積分運算中常用的變量替換(9) (一) 被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)的積分的微分法(9) (二) 被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)的定積分的計算(10) (三) 由三角有理式與其他初等函數(shù)通過四則運算或有限次復(fù)合而成的被積

2、函數(shù)定積分的計算。(11) (四) 定積分等式的證明中所作的變量替換(12)四 解微分方程中變量替換的應(yīng)用技巧(14) (一) 在求解可分離變量方程中變量替換的應(yīng)用(14) (二) 求解齊次方程 中變量替換的應(yīng)用(15) (三) 求解一階線性方程中變量替換的應(yīng)用(15)五 重積分中變量替換的應(yīng)用(16) (一) 二重積分計算中的變量替換(16) (二) 利用直角坐標(biāo)系計算(18) (三) 利用柱面坐標(biāo)系計算(19) (四) 利用球面坐標(biāo)系計算(19)結(jié)束語 (19)參考文獻(xiàn)(20)高等數(shù)學(xué)中常見的變量替換魯友棟（數(shù)學(xué)系 遼寧 中國）摘要 變量替換是解決高等數(shù)學(xué)問題的重要手段。深入了解變量替換可

3、以培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)的知識靈活處理各種實際問題的能力。因此，在高等數(shù)學(xué)中，如何使用和掌握變量替換是解決某些問題的關(guān)鍵；如何靈活的運用變量替換，是一個值得重視的問題。本文通過幾個實例詳細(xì)介紹了“”型，“”型，數(shù)列等幾種極限運算中變量替換的應(yīng)用和三角函數(shù)代換，倒數(shù)代換，指數(shù)代換等在不定積分運算中變量替換的應(yīng)用，著重介紹了在定積分運算及解微分方程中變量替換的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 變量替換 積分 極限引言在各種各樣的數(shù)學(xué)運算中，相應(yīng)的解題方法也有千千萬萬，而其中有一種方法是變量替換。變量替換在解題時不僅作為一種常用的數(shù)學(xué)方法而被廣泛應(yīng)用，更是一種常用的解題技巧。在很多運算中，往往我們用很多方法都無法順利求出結(jié)果

4、，此時，我們不妨試用一下變量替換，它很可能會給我們帶來意想不到的收獲。因此，變量替換又可以稱之為在各種方法連連碰壁，走投無路的情況下，人們使出的“殺手锏”。作為未來從事數(shù)學(xué)教育的工作者，如何正確使用變量替換這種方法是我們學(xué)習(xí)和解決問題的關(guān)鍵；而熟練掌握變量替換的解題方法是我們在今后教學(xué)中應(yīng)力求達(dá)到的目標(biāo)。以下我就幾種常見的運算如極限運算、不定積分的運算、定積分的運算、微分方程的運算中，由于正確使用了變量替換而給解題帶來的方便之處，來淺談一下變量替換作為一種數(shù)學(xué)方法和解題技巧的重要性。一 極限運算中變量替換的應(yīng)用(一) 對于（或）型極限若用洛必達(dá)法則的結(jié)果比沒用法則前還復(fù)雜，則應(yīng)考慮用變量替換求

5、解，常作的替換是令例1，求下列極限：（1）（2）解：（1）直接用洛必達(dá)法則，得原式此式比沒用法則前還復(fù)雜，可見此路不通！考慮變量替換，得原式；（2）解：令，得原式.(二) 對于型極限此種類型求極限一般采用根式有理化或通分，再用洛必達(dá)法則求解，或用“抓大頭”求解。（所謂“抓大頭”就是取分子，分母中趨于最快的項）。但是對于一些特殊的例子，應(yīng)用變量替換。1例1，求解：令得原式.例2：求解：令得原式.(三) 隱函數(shù)中不易或不可能化為顯函數(shù)形式，極限的求法。解題方法： 將隱函數(shù)化為參數(shù)式 將化為的形式，可由觀察法得出。2例：設(shè)有方程，求(1) 曲線的漸近線方程(2)求出與漸近線平行的切線。解：令，則，進(jìn)

6、而(1) 故斜漸近線為：，即(2) 方程的斜率為：而漸近線的斜率：，因為切線與漸近線平行，所以它們斜率相等，即，即，解得或，將代入方程得(矛盾)，所以。將其代入，得切點.故所求的切線方程：，即.或者，即.(四) 求數(shù)列的極限解題方法： 先作出與數(shù)列同類形的連續(xù)變量的函數(shù);再求該函數(shù)當(dāng)時的極限，該極限即為數(shù)列的極限。例1求下列數(shù)列的極限：(1)，其中; (2)，.解：(1)顯然時，原極限為1當(dāng)時，先求。由于,則，故.(2)先求.故.例2：設(shè)數(shù)列由下式給出：.試求.解：易知為正項數(shù)列，所以由知遞增，于是且遞減，有下界0，從而知有極限.從知 于是,有 設(shè)，由式變形為，兩邊取時的極限有所以由式得例3：

7、設(shè)，任選 ，作 ,，,證明：存在并求值。解：，令，則所以.故,由題設(shè)條件，顯見且又，所以數(shù)列單調(diào)減少有下界，因而該數(shù)列必收斂，記，在(1)式中令，得，解得，取其正值便得.二 不定積分運算中常用的變量替換(一) 三角函數(shù)代換在被積函數(shù)中含有分別作變量代換：，將根式去掉變成三角函數(shù)的積分，最后作變量還原。(1) (2) (3)解：(1)令;則(2) 令，則(3) 令 則(二) 倒數(shù)代換一般令.適用于的情形，其中分別為被積函數(shù)的分母和分子關(guān)于的最高次數(shù)。例：(1) ; (2); (3).解：(1)令，得.(2)令，得 .(3)令，得 .(三) 指數(shù)代換當(dāng)被積函數(shù)是由所構(gòu)成的代數(shù)式的積分時，一般采用指

8、數(shù)代換即令來求解。例：求下列積分(1) (2)解：(1)令，則有， ;(2)令，則，有 .(四) 不定積分的計算，其中是由方程=0所確定的的函數(shù)。解題方法：將方程，代為參數(shù)方程將參數(shù)方程代入，即.變量還原將積分結(jié)果化為的關(guān)系式.例：求下列積分(1)設(shè)，求，(2)設(shè)，求.解(1)令，則代入，得于是： ;(2)令，代入方程中，得,則有.于是 .三 定積分運算中常用的變量替換(一) 被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)的積分的微分法，解題方法：作變量替換，使被積函數(shù)或其主要部分為簡單形式，其中為中間變量，此時積分變?yōu)樽兩舷?下限)積分；利用變上限(下限)積分的微分法求解。例1：設(shè)為(-，+)上的連續(xù)函數(shù)，

9、且求.解：令則 ,而 例2：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)，求，(2)，求，解：(1)令，令有，則.于是.(2)令，則則于是 .(二) 被積函數(shù)或其主要部分為復(fù)合函數(shù)的定積分的計算解題方法：作變量替換，使被積函數(shù)或其主要部分為簡單形式，其中為中間變量然后再積分或作判斷例1：設(shè)連續(xù)，證明證明： , 將式代入式，得 即證。例2：設(shè) 求.解： .(三) 由三角有理式與其他初等函數(shù)通過四則運算或有限次復(fù)合而成的被積函數(shù)定積分的計算。解題分法：若積分限為時,則令時，則令時，則令時，則令例1：求下列積分(1) (2)解：(1)令則(2) 令，得故，即例2證明：，為正整數(shù)。證明：(四) 定積分等式的證明中所作的變量

10、替換。解題方法：任何變量替換，主要是通過考察等式兩邊關(guān)于被積函數(shù)或其主要部分的形式來確定。例如一端的被積函數(shù)或其主要部分為，另一端為，則令。若一端為，另一端為則所作的變換通過分析等式兩端的積分上、下限去確定。1例1證明分析：比較與，可知，應(yīng)令，則，進(jìn)而或證明：.例2設(shè)連續(xù)，試證；并求的值。分析：比較兩邊的被積函數(shù),可知只要，即命題即可得證。證明：利用上式可得.四 解微分方程中變量替換的應(yīng)用技巧(一) 在求解可分離變量方程中變量替換的應(yīng)用解題方法：方程中出現(xiàn)等形式的項時，通常要使用相應(yīng)的變量替換：等。3例1：求解下列微分方程(1) (2)(3) (4)解：(1)令，代入方程得，即則故原方程的通解

11、為：,(2)令，代入方程，得，即，則即故原方程的通解：,(3)令，代入方程，得，即，亦即，進(jìn)而則，即故原方程的通解：,(4)令，代入原方程，得即，解得，即.故原方程的通解：.(二) 求解齊次方程中變量替換的應(yīng)用解題方法：令代入原方程，得，則例：求解下列微分方程(1)； (2).解：(1)由原方程得令，代入方程，得所以，即，解得：即，因此(2)，令代入原方程，得，所以，解得，即(三) 求解一階線性方程中變量替換的應(yīng)用例：求解下列方程(1)， (2)解：(1)由知，即，令，則原方程變?yōu)?特征方程：即，特解于是方程的通解為：，故原方程的通解為(2)令，于是，原方程變?yōu)榧?，則 則方程的齊次方程：.則，

12、解得，即.令方程的解為，將其代入，并整理得解得故方程的通解為：故原方程的通解為：.五 重積分中變量替換的應(yīng)用(一) 二重積分計算中的變量替換設(shè)被積函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，若變換，滿足如下條件(1)將uov平面上的區(qū)域上的點一對一地變?yōu)樯系狞c；(2)在上有連續(xù)的一階編導(dǎo)數(shù)，且雅可比行列式則同樣，作什么變換主要取決于積分域D的形狀，有時也兼顧被積函數(shù)的形狀，基本想法是定限簡便，求積容易。例1：計算，其中D是由曲線在第一象限中所圍成的區(qū)域。4解：是一個四次方程，要解出(或)相當(dāng)難。因此不宜在直角坐標(biāo)系中計算。為此，令則曲線方程變?yōu)?，即，又因所研究的是曲線在第一象限中圍成的區(qū)域，于是因而令，得，故例2：設(shè)為

13、連續(xù)函數(shù)，證明：.其中D為矩形域，(常數(shù))如圖(1)，證明：令，則如圖(2)xyaa-a-a0(1)xy0-(2) 故： .(二) 利用直角坐標(biāo)系計算例1，其中為之間。解：如圖yxzx2+z2=1oy=11 (三) 利用柱面坐標(biāo)系計算例：由；所圍成形體解：由于關(guān)于坐標(biāo)面，坐標(biāo)面均對稱，故于是 (四) 利用球面坐標(biāo)系計算例：，其中為，解： 因為,所以.結(jié)束語以上我僅就五個領(lǐng)域，論述了由于運用變量替換而給解題帶來的方便之處。雖然這些類型是很有限的，但它們卻反映了實際問題的相當(dāng)部分，通過實踐，我們可以清楚的看到在運算中由于運用了變量替換，不僅給解題帶來了方便，更為我們提供了一種全新的思維方式。當(dāng)然，

14、變量替換應(yīng)用的領(lǐng)域很廣泛，不只有我以上提到的幾種。譬如，利用殘數(shù)定理計算實積分等領(lǐng)域中也用到了變量替換。因此，可以毫不夸張的說變量替換已經(jīng)作為一種數(shù)學(xué)思想滲透在數(shù)學(xué)這門學(xué)科的每一個角落，它就如同一盞指航燈，為我們在數(shù)學(xué)海洋的遨游中指明了方向，使我們順利到達(dá)成功的彼岸。因此，變量替換的作用不可忽視，變量替換應(yīng)用的前景無可限量。它會為我們打開方便之門，成為數(shù)學(xué)知識寶庫中一個瑰麗的奇葩，大放異彩！參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 .數(shù)學(xué)分析上冊。高等教育出版社，1991年。2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 .數(shù)學(xué)分析下冊。高等教育出版社，1991年。3王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程。高等教育出版社

15、，1983年。4陳文燈，黃先開.數(shù)學(xué)題型集粹與模擬試題集.理工類2001版。世界圖書出版公司，2000年。Common in higher mathematics variable substitutionLu Youdong(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract Variable substitution is resolving the significant measure of higher mathematics problem . Thoroughly co

16、mprehending the variable substitution may foster the capability that student utilized the different actual problem of agile handle of the information studyed . Hence being living in the higher mathematics , how to employ and masters the variable substitution is the key to resolve some issues ; The h

17、ow agile application variable substitution is a problem that merit valueing . The original detailedly introduced by means of several examples " the mould , " the sequence of number awaits variable substitution in some kinds of calculations the maximum application and circular function replace , reciprocal replace with the mould , and the index number replace awaits the variable substitut