[精品]2019年九年級(jí)數(shù)學(xué)第2講二次函數(shù)探究—二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題教案

1、精品試卷二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)綜合；等腰三角形的性質(zhì)與判定；相似三角形的性質(zhì)；教學(xué)目標(biāo)1 .熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問題2 .靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)重點(diǎn)巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題；知識(shí)講解考點(diǎn)1二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)1. 一般地，如果y=ax2+bx+c （a, b , c是常數(shù)且aw0）,那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二2次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù).當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù).2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a, b, c是

2、常數(shù)，aw°）的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c,通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a （x-h） 2+k,通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a （x-xi） （x x2）,通常要知道圖像與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) xi, x2才能求出此解析式；對(duì)于 y=ax2+bx+cb 4ac - b2.2而百，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（,）.對(duì)于y=a （x-h） +k而后其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h, k）, ?由于二次函數(shù)的圖2a 4a像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn).考點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)1 .等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)

3、，相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）。2 .等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（簡(jiǎn)寫成“等腰三角形的三線合一性質(zhì)”）。3 .等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。4 .等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5 .等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半。6 .等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高（需用等面積法證明）。7 .等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，（不是等邊三角形的 情況下）只有一條對(duì)稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸，等邊三角形有三條對(duì)稱軸。8 .等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9 .等腰三角

4、形的腰與它的高的直接的關(guān)系是：腰大于高。間接的關(guān)系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方?？键c(diǎn)3 探究等腰三角形的一般思路探究等腰三角形的存在性問題時(shí)，具體方法如下：（1）假設(shè)結(jié)論成立；（2）找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說明是等腰的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫弧，若所畫弧與數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫弧與數(shù)軸或拋物線無交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng) 的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所

5、求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與數(shù)軸或拋物線無交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)不存在。以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)；線構(gòu)(3)計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔助 造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。推薦下載木,青品試卷大例題精析例1如圖，拋物線y= - - x 2+±£ x-4與x軸相交于點(diǎn)A、B ,與 y軸相交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交55于點(diǎn)M。P是拋物線在 x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上）。分別過點(diǎn)A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E,連接MD、ME。（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（直接寫

6、出結(jié)果），并證明AMD E是等腰三角形；（2） AMD E能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能，說明理由；（3）若將“P是拋物線在 x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P .、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，其他條件不變，MD E能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）， 若不能，說明理由。推薦下載例2如圖，已知拋物線 y=-4x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A (-2, 40).(1)求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AG BC并求線段BC所在直線的解析式；(3)試判斷

7、AOC與ACOB是否相似？并說明理由；(4)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使4ACQ為等腰三角形？若不存在， 求出符合條件的 Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由.例3如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 A (3, 0),與y軸的交點(diǎn)為B (0, 3),其頂點(diǎn)為C,對(duì)稱 軸為x=1.(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) M的坐標(biāo)；(3)將4AOB沿x軸向右平移 m個(gè)單位長(zhǎng)度(0v m< 3)得到另一個(gè)三角形，將所得的三角形與 ABC重疊部分的 面積記為S,用m的代數(shù)式表示S.例4在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y=x

8、2- ( m+nj) x+mn(m> n)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C.(1)若m=2 n=1,求 A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若A B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是(0, - 1),求/ ACB的大小；(3)若m=2 ABC是等腰三角形，求 n的值.例5如圖，拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的圖象過點(diǎn) M(-2,如)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 N ( - 1,月亞,且與x軸交于A3B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn) Q使4QBM的周長(zhǎng)最??？若

9、存在，求出 Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.精品試卷課程小結(jié)有針對(duì)性的對(duì)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與等腰三角形的綜合問題時(shí)，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出等腰三角形，并能運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。例1【規(guī)范解答】(1).拋物線解析式為y= - -x2+ x 4,令y=0,即X2+ x 4=0,解得x=1或x=5, 5555 .A (1, 0), B (5, 0).如答圖1所示，分別延長(zhǎng) AD與 EM 交于點(diǎn) F； , ADL P

10、C, BEX PC, . AD/ BE,/ MAFh MBE在AM白 BME, / MAFh MBE MA=MBZ AMF=Z BME .AM庭 BME (ASA,ME=MF即點(diǎn) M為RtEDF斜邊EF的中點(diǎn)，MD=ME即 MD既等腰三角形(2)能；拋物線解析式為 y=-2x2+罩x -4= - (x-3) 2+竽，.對(duì)稱軸是直線 x=3, M (3, 0);5555令x=0,得y=-4, C (0, - 4) AMD助等腰直角三角形，有,3種可能的情形；若DH EM由DH BE可知點(diǎn) E、M B在一條直線上，而點(diǎn)""B、M在x軸上，因此點(diǎn) E必然在x軸上,由DU BE,可

11、知點(diǎn)E只能與點(diǎn)O重合，即直線PC與y軸重合，不符合題意，故此種情況不存在；若DEL DM與同理可知，此種情況不存在；若EML DM如答圖2所示推薦下載P坐標(biāo)為(2，3)2(3)能；如答題3所示，設(shè)對(duì)稱軸與直線 PC交于點(diǎn)N;設(shè)直線 PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn) N, . EML DM MNL AM - Z EMN= DM叱 ADMNEM43, / EMN= DMA EM=DM, ADM= / NEM=135 ; .ADM NEM(ASA , MN=MA拋物線解析式為 y= - -x2+Jx- 4= - (x-3) 2+t故對(duì)稱軸是直線 x=3,M (3, 0), MN=MA=25555N (3, 2)設(shè)

12、直線PC解析式為y=kx+b,二.點(diǎn)N (3, 2), C (0, -4)在拋物線上，,k+b 2 ,解得 k=2 b= - 4, . y=2x - 4,將 y=2x 4 代入拋物線解析式得 2x - 4= - -x2+.x - 4Lb=- 455解得x=0或x=,當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn) C;當(dāng)x=2時(shí)，y=2x-4=322P (- , 3)綜上所述， MDEt歸成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)2M; MDL ME MAL MN，/ DMN= EMB . DMN EMB (ASA),與(2)同理，可知若 MD叨等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)在 DMlNf EMM, / DMI=Z EMB MD=MB

13、, MDN= MEB=45 ;MN=MB，N (3, - 2)設(shè)直線PC解析式為y=kx+b,二.點(diǎn)N (3, -2), C (0, -4)在拋物線上,3k+b=-2 -9，,解得 k=, b= - 4, 1. y=-x- 4,b=- 433將y=_x - 4代入拋物線解析式得 -x - 4=- -x2+x - 4,3355解得x=0或x=_51 ,631當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C;當(dāng) x=-時(shí)，y=2x - 4= - 1. P639,綜上所述， MDE!七成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn) P坐標(biāo)為(WL6【總結(jié)與反思】(1)在拋物線解析式中，令 y=0,解一元二次方程，可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);如答圖1

14、所示，作輔助線，構(gòu)造全等三角形 AM監(jiān)4BME得到點(diǎn)M為為RHEDF斜邊EF的中點(diǎn)，從而得到MD=ME 問題得證；(2)首先分析，若 MD叨等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn) M;如答圖2所示，設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn) N, 首先證明 AD陣NEhM得到MN=AM從而求得點(diǎn)N坐標(biāo)為(3,2);其次利用點(diǎn)N點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線PC的解析式；最后聯(lián)立直線 PC與拋物線的解析式，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，解題思路與( 2)完全相同；例2【規(guī)范解答】(1) 拋物線y=-L2+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (-2, 0),4- -X ( 2) 2+bx ( 2) +4=0,解

15、得：b=-, 拋物線解析式為 y=x2+?x+4,424 2又 y=x2+2x+4=1(x 3) 2+,對(duì)稱軸方程為：x=3.4 244(2)在 y=-x2+Hx+4 中，令 x=0 ,得 y=4,，C (0, 4);令 y=0, IP - -x2+-x+4=0 ,整理得 x2- 6x - 16=0,解得: 42，、， q 2x=8 或 x=- 2,，A(- 2, 0), B (8, 0).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b ,把B (8, 0), C (0, 4)的坐標(biāo)分別代入解析式，得：、如+b。解得k= - - b=4, 直線BC的解析式為：y= - -x+4 .lb=422(3)可判定

16、AO6ACO嗽立.理由如下：在 AOCW COB,OA=2 OC=4 OB=& .怨 口,又AOC=/ BOC=90 , :.' AO6 COBOC OB(4)二拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3,可設(shè)點(diǎn)Q (3, t),則可求得：AC=7pW5= 2加,AQ5* + 了=點(diǎn)5+ M，CQ=/3?十(L4) '，(t-/丁之+丁當(dāng) AQ=CQ寸，有 可(t - 41rz+9, 25+t 2=t2 - 8t+16+9 ,解得 t=0 ,Q (3, 0);當(dāng)AC=AQ寸，有 五5+12=2瓜 t2=- 5,此方程無實(shí)數(shù)根，此時(shí)ACQ能構(gòu)成等腰三角形；當(dāng) AC=CQ寸，有 (t-4

17、 )沁=2旗,整理得：t2- 8t+5=0 ,解得：t=4±Jii,木,青品試卷大點(diǎn) Q坐標(biāo)為：Q （3, 4+、號(hào)），Q （3, 4-。五）.Q (3, 0), Q (3, 4+,/H), Q (3, 4 一萬).綜上所述，存在點(diǎn) Q使 ACQ為等腰三角形，點(diǎn) Q的坐標(biāo)為:推薦下載（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=-上求出對(duì)稱軸方程；2a（2）在拋物線解析式中，令 x=0,可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0,可求出點(diǎn)B坐標(biāo).再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)空4, / AOCh BOC=90 ,可以判定 AO6 COBCC 0B（4）本問為存在型問題

18、.若 AC©等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解.例3【規(guī)范解答】 解：（1）由題意可知，拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-1, 0）,則9a+3b+c=0+ 號(hào) - b+c=0 ,l c二 3- 1解得' b=2 .故拋物線的解析式為y= - x2+2x+3.（2）當(dāng) MA=MBf, M （0, 0）;當(dāng) AB=AM寸,M （0, 3）;當(dāng) AB=BM4,M （0, 3+3丫弓）或 M （ 0, 3-372） .所以點(diǎn) M的坐標(biāo)為：（0, 0）、（0, -3）、（0, 3+3-匹）、（0, 3-3、匹）.（3）平移后的三角形記為

19、 PEF.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則、他比二° ,解得卜-1 ,則直線ab的解析式為y=-x+3.I b二 3C二 3 AOBgx軸向右平移 m個(gè)單位長(zhǎng)度（0vm< 3）得到 PEF,易得直線 EF的解析式為y= - x+3+m.+，,31? +by -0 口 化,二-2設(shè)直線AC的解析式為y=k' x+b',則.次 :,解得，.Lk +b =4 1b =6則直線AC的解析式為y= - 2x+6.連結(jié)BE,直線BE交AC于G則G 3）.在 AOBgx軸向右平移的過程中.木,青品試卷大當(dāng)0Vme時(shí)，如圖1所示.設(shè) PE交AB于K, EF交AC于M.貝U

20、BE=EK=m PK=PA=3- m 2聯(lián)立產(chǎn)一2/6解得產(chǎn)3下即點(diǎn)m(3 m, 2m).y= - x+3+m y=2ni故 S=&pef Sapak Saafm=1p- lpK2 J：AF?h="-1 (3 m) 2-lm?2m=- 2m3m.2222 222當(dāng)J?<nrK 3時(shí)，如圖2所示.設(shè)PE交AB于K,交AC于H.因?yàn)锽E=m所以PK=PA=3- m,2又因?yàn)橹本€ AC的解析式為y=-2x+6,所以當(dāng)x=m時(shí)，得y=6 - 2 m,所以點(diǎn)H ( m, 6 - 2mi).故 S=SxPAH- Sapak=1paPH- 1pA= - 1 (3m) (62m)- -

21、 (3m) 2Jmf 3m3. 222222綜上所述，當(dāng) 0V mK時(shí)，S=- 2m2+3m;當(dāng)衛(wèi)vrnx 3 時(shí)，S=!mi- 3m+.22222【總結(jié)與反思】(1)根據(jù)對(duì)稱軸可知，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-1,0),根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為 y= - x2+2x+3.(2)分三種情況：當(dāng) MA=MB寸；當(dāng)AB=AM寸；當(dāng)AB=BM寸；三種情況討論可得點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)平移后的三角形記為 PEF.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線 AB的解析式為y= - x+3 .易得直線EF的解析式為y=-x+3+m.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線 AC的解析式.連結(jié) BE,直線BE交AC于

22、G,則G(-, 3).在 AOBgx軸向右平 2移的過程中.分二種情況：當(dāng)0v m<金時(shí)；當(dāng)vm< 3時(shí)；討論可得用 m的代數(shù)式表示S.22例 4【規(guī)范解答】 解：(1) y=x2- ( m+。x+mn= (x-rnj) (x-n) ,. x=m或 x=n 時(shí)，y 都為 0,: m>n,且點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，A ( m, 0) , B (n, 0).m=2 n=1, A (2, 0) , B (1, 0).(2) .,拋物線 y=x2 ( m+n x+mn (m> n)過 C (0, 1) ,， 1=mn, n=-,m,、,1B (n, 0) , B ( - - , 0

23、) . AO=m BO=- -, CO=1, . ac=JaF，0c2=Jw2+1，bc=vOB2+CC2=+1 , AB=AO+BO=m'，m ( m ) 2=(八)2+題) 2, . AB?=AC2+BC2,，乙 ACB=90 . m-推薦下載精品試卷(3) A (m,0), B (n, 0) , C (0, mrj),且 m=2,A (2, 0) , B(n,0) , C (0,2n). AO=2 BO=|n|, CO=|2n|,人。=2十2= 2vl77，BC=y2=/|n| , AB=x- xb=2- n.n= - W;3當(dāng)nv 0時(shí),-收n=2 - n,解得n=-也讓!2當(dāng)

24、AC=B。寸，271+n=|n|，解得n=2(A B兩點(diǎn)重合，舍去)或 n=-2;當(dāng)AC=AB寸，2山+門2=2-n,解得n=0 (日C兩點(diǎn)重合，舍去)或當(dāng) BC=AB寸，d|n|=2 n,當(dāng) n>0 時(shí)，n=2n,解得 n=M互2綜上所述，n=-2, -近±1, 返二時(shí)， ABC是等腰三角形.322【總結(jié)與反思】(1)已知m n的值，即已知拋物線解析式，求解y=0 時(shí)的解即可.此時(shí) y=x2 ( m+n x+mn= (xnrj) ( x n),所以也可直接求出方程的解，再代入m, n的值，推薦此方式，因?yàn)楹髥栍玫降目赡苄员容^大.(2)求/ ACB我們只能考慮討論三角形 ABC

25、的形狀來判斷，所以利用條件易得-1=mn,進(jìn)而可以用 m來表示A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，又 C已知，則易得 AR BC AC邊長(zhǎng).討論即可.(3) ABC是等腰三角形，即有三種情形， AB=AC AB=BC AC=BC由(2)我們可以用n表示出其三邊長(zhǎng)，則分別考慮列方程求解n即可.例5【規(guī)范解答】 解：(1)由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為 N( - 1,可設(shè)其解析式為 y=a (x+1) 2+i/,33將 M( - 2,泥)代入，得 V5=a (- 2+1) 2+&Z1,解得 a=-亞，3故所求拋物線白解析式為 y=-過£+、/%；33(2) .(= 一五2+x=0 時(shí)，y=V3,C (0,右).y=0 時(shí)，一亞 x2 lx+£=0,3333解得 x=1 或 x= 3,A (1, 0), B( 3, 0), BC女超+0 c 2=2 0設(shè)P ( - 1, m),顯然P4 PC,所以當(dāng) CP=CB寸，有 CP01+ (r而)2=2。解得 m=/3±Vli ；當(dāng) BP=BC寸，有 BPq ( 7+3 )，加2=2。解得 m=± 2我.綜上，當(dāng) PBC為等腰三色形生_點(diǎn) p 的坐標(biāo)為