高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù)

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第十一章函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù))知識網(wǎng)數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的極限與運算1數(shù)學(xué)歸納法：(1)由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納法.歸納法包含不完全歸納法和完全歸納法.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法.完全歸納法: 根據(jù)事物的所有特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法數(shù)學(xué)歸納法常與不完全歸納法結(jié)合起來使用,用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律, 用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.(2)數(shù)學(xué)歸納法步驟:驗證當(dāng)取第一個時結(jié)論成立;由假設(shè)當(dāng)（）時,結(jié)論成立，證明當(dāng)時,結(jié)論成立;根據(jù)對一切自然數(shù)時，都成立. 2.數(shù)列的極限(1)數(shù)列的極限定義:如果當(dāng)項數(shù)無限增大時,無窮數(shù)

2、列的項無限地趨近于某個常數(shù)(即無限地接近于),那么就說數(shù)列以為極限,或者說是數(shù)列的極限.記為或當(dāng)時，.(2)數(shù)列極限的運算法則: 如果、的極限存在，且，那么； 特別地，如果C是常數(shù)，那么.幾個常用極限: （為常數(shù)）（均為常數(shù)且）首項為，公比為（）的無窮等比數(shù)列的各項和為.注：并不是每一個無窮數(shù)列都有極限. 四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列的極限與運算例1. 某個命題與正整數(shù)有關(guān)，若當(dāng)時該命題成立，那么可推得當(dāng)時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)時該命題不成立，那么可推得 （ ）(A)當(dāng)時，該命題不成立 (B)當(dāng)時，該命題成立(C)當(dāng)時，該命題成立 (D)當(dāng)

3、時，該命題不成立例2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:“”在驗證時，左端計算所得的項為 ( ) (A)1 (B) (C) (D)例3. 等于( ) (A)2 (B)2 (C) (D) 例4. 等差數(shù)列中，若存在，則這樣的數(shù)列( )(A)有且僅有一個 (B)有無數(shù)多個 (C)有一個或無窮多個 (D)不存在例5. 等于( ) (A) (B)0 (C) (D)不存在例6. 若，則( ) (A) (B) (C) (D) 例7. 在二項式和的展開式中，各項系數(shù)之和記為是正整數(shù)，則= .例8. 已知無窮等比數(shù)列的首項，公比為，且，且，則 _ .例9. 已知數(shù)列前n項和, 其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且0b1，若存在，則_

4、例10. 若數(shù)列的通項，設(shè)數(shù)列的通項，又記是數(shù)列的前n項的積（）求，的值；（）試比較與的大小，并證明你的結(jié)論例1.D 2.C 例3.A 例4.A例5. C 將分子局部有理化，原式=例6.A例7. 例8. 例9.1 例10(見后面)函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的極限(1) 函數(shù)的六種極限定義:的意義是當(dāng)自變量取正值并且無限增大時,無限趨進于一個常數(shù);的意義是當(dāng)自變量取負(fù)值并且絕對值無限增大時,無限趨進于一個常數(shù);都存在,且等于;的意義是當(dāng)自變量從右側(cè)(即)無限趨近于常數(shù)（但不等于）時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù);的意義是當(dāng)自變量從右側(cè)(即)無限趨近于常數(shù)（但不等于）時，如果函數(shù)無限趨近于一個

5、常數(shù);的意義是當(dāng)自變量無限趨近于常數(shù)（但不等于）時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù); 注: ,都存在,且等于;(2)函數(shù)極限的運算法則: 如果,存在,且,那么,.這些法則對于其他情況仍然成立.幾個常用極限：；（01）;（1）2.函數(shù)的連續(xù)性: (1)定義:如果函數(shù)在點處及其附近有定義,而且,就說函數(shù)在點處連續(xù).(2)函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件是.注:等式的含義有三點:在點處及其附近有定義; 存在; 在點處的極限值等于這一點的函數(shù)值.(3) “ 函數(shù)在點處不連續(xù)”就說的圖象在點處間斷.(4) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù): 若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點處連續(xù),就說函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù); 若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點處連續(xù),并且

6、,就說函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).(5)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點處都連續(xù).(6) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的圖象是坐標(biāo)平面上的一條有始點和終點的連續(xù)曲線.它有如下性質(zhì): (最大值和最小值定理)若是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則在閉區(qū)間上有最大、最小值.零點定理：若是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),且,則方程在區(qū)間上至少有一個實數(shù)解. 介值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值，那么對于之間任意的一個數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點，使得（）.函數(shù)的極限及函數(shù)的連續(xù)性例11. 例12. ( ) (A) (B)1 (C)2 (D)0例13. 已知，則b的值為 ( ) (A)4 (B)5 (C)4 (D)

7、5例14. 極限存在是函數(shù)在點處連續(xù)的（ ）(A)充分而不必要的條件 (B)必要而不充分的條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要的條件例15. 如果是連續(xù)函數(shù)，則等于（ ）(A)1(B)0(C)1(D)2例16. 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則等于（ ） (A) (B) (C) (D)例17.函數(shù)在x=1處不連續(xù)是因為( )(A)f(x)在x=1處無定義 (B)f(x)不存在(C)f(x)f(1)(D)f(x)f(x)例18. 為使函數(shù)在處連續(xù)，則定義_.例19. 設(shè)若函數(shù),則的定義域為 .例20. 已知，當(dāng)a，b取值何值時，存在，其值為多少.例11. 例12.A 例13.B 例14B.例15.

8、C 例16.B 例17.C例18. 例19. (例20(見后面)導(dǎo)數(shù)1.曲線的切線和切線的斜率: 曲線在點處的切線,是指曲線上點的鄰近點沿曲線逐漸向點接近時,割線的極限位置所在的直線.根據(jù)切線的定義,切線的斜率應(yīng)通過極限過程求得,即.2.瞬時速度: 非勻速直線運動物體在時刻的臨近時間間隔內(nèi)的平均速度(=),當(dāng)時, 的極限值叫做物體在時刻的速度,也叫瞬時速度.即3.導(dǎo)數(shù)的定義: 設(shè)是函數(shù)定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱為函數(shù)在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并把這個極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.由定義可知函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是

9、曲線在點處的切線的斜率. 也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為注：是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負(fù)，但不為零.函數(shù)在點處連續(xù)與點處可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)在點處連續(xù)是在點處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果在點處可導(dǎo)，那么點處連續(xù).事實上，令，則相當(dāng)于.于是.如果點處連續(xù)，那么在點處可導(dǎo)，是不成立的.例：在點處連續(xù)，但在點處不可導(dǎo)，因為，當(dāng)0時，；當(dāng)0時，故不存在. 4.導(dǎo)函數(shù): 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點處的導(dǎo)數(shù)都存在,就說在內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)也是內(nèi)的函數(shù),這一新函數(shù)叫做在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),記作或(需指明自變量時記作) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在時的函數(shù)值就是在點處的導(dǎo)數(shù).注：可導(dǎo)的奇函數(shù),其導(dǎo)

10、函數(shù)為偶函數(shù). 可導(dǎo)的偶函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).導(dǎo)數(shù)5.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ; ; ; .6.可導(dǎo)法則: 推廣:; ;(為常數(shù));復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)注： 必須是可導(dǎo)函數(shù). 若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)，則在處均不可導(dǎo)，但它們和在處均可導(dǎo).7.導(dǎo)數(shù)的運用:判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性的方法:一般地,設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果,則為增函數(shù); 如果則為減函數(shù);如果,則為常數(shù)函數(shù).注： 是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外即x=0時，同樣也是f（x）遞減的充分非必要條件.一般地，如果在某區(qū)

11、間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.函數(shù)的極值: 一般地,設(shè)函數(shù)在點附近有定義,如果對附近的所有的點,都有,則是的一個極大值;如果對附近的所有的點,都有,則是的一個極小值.注:求可導(dǎo)函數(shù)的極值點可用導(dǎo)數(shù)來找,極值點一定是導(dǎo)數(shù)為0的點. 若點是可導(dǎo)函數(shù)的極值點，則=0. 但反過來不一定成立. 對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零. 例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點.又例如：函數(shù)，在點處不可導(dǎo)，但點是函數(shù)的極小值點. 當(dāng)函數(shù)在點處連續(xù)時，()如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極大值；()如果在附近的左

12、側(cè)0，右側(cè)0，那么是極小值.也就是說是極值點的充分條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是=0. 此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點. 當(dāng)然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值?。ㄒ驗楹瘮?shù)在某一點附近的點不同）.0不能得到當(dāng)x=x0時，函數(shù)有極值判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明;但是，當(dāng)x=x0時，函數(shù)有極值 0函數(shù)的最值: 函數(shù)在區(qū)間上如果存在,若使得對區(qū)間內(nèi)任意都有,則叫最小值; 若使得對區(qū)間內(nèi)任意都有,則叫最大值;注: 一般地, 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在上必有最大值與最小值.極值與最值不是同一個概念. 極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進

13、行比較.開區(qū)間內(nèi)的最值點一定是極值點,反過來不成立.函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個;最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。導(dǎo)數(shù)例21. f(x)=ax3+3x2+2,若,則a的值等于( )(A) (B) (C) (D)例22. f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)、g(x)滿足f (x)g(x)，則 ( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)g(x)為常數(shù)函數(shù) (C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)為常數(shù)函數(shù)例23. 設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f &#

14、162;(x)的圖象可能為()例24. 已知曲線S:y=3xx3及點,則過點P可向S引切線的條數(shù)為( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例25. 函數(shù)在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ） 例26. y=2x33x2+a的極大值為6，那么a等于( )(A)6 (B)0 (C)5(D)1例27. 函數(shù)f(x)x33x+1在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是( )(A)1，1 (B)3，-17(C)1，17 (D)9，19例28.設(shè)l1為曲線y1=sinx在點(0，0)處的切線，l2為曲線y2=cosx在點(,0)處的切線，則l1與l2的夾角為_.例29. 設(shè)函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx1

15、，若當(dāng)x=1時，有極值為1，則函數(shù)g(x)=x3+ax2+bx的單調(diào)遞減區(qū)間為 .例30. 已知函數(shù)（）若函數(shù)圖像上任意一點處的切線的斜率小于1，求證：；（）若，函數(shù)圖像上任意一點處的切線的斜率為，試討論的充要條件。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第十一章函數(shù)極限與導(dǎo)數(shù))答案例10. 解（1）,（2）由（1）中可猜想得Tn； 只須證明對于成立設(shè)n=1時，左=1+1=2，右=，2，故原不等式成立； 假設(shè)n=k（k1）時，原不等式成立，即， 當(dāng)n=k+1時，不等式左邊為,不等式的右邊為， 只須得出，事實上=0，故成立，從而。即n=k+1時不等式也成立,對于nN,則有成立.例20. 解：x0是此分段函數(shù)的分

16、界點，而存在的充要條件是與都存在且相等。2，當(dāng)b2，a取任意實數(shù)時，存在，其值為2.例21.D 例22.B 例23.D例24. C設(shè)S上的切點求導(dǎo)數(shù)得斜率，過點P可求得:.例25.B 例26.A例27.B 例28. 90°例29. 1，(寫開區(qū)間也可以)例30. 本題考查（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義（2）恒成立問題中參數(shù)取值范圍的求法.（3）分析問題解決問題的能力.需要學(xué)生熟練掌握求最值的方法.解：（1）依題意，由，則. 又函數(shù)圖像上任意一點切線的斜率小于1，即亦即對任意的恒成立. 故，即 （2）由題可知，原問題等價于對恒成立. 當(dāng)時，顯然有，故當(dāng)時 ,從而（）對恒成立. 令.則可知在上遞增

17、，故，當(dāng)且僅當(dāng)，故.要使（）恒成立只須，即為在的充要條件.榜樣的力量是無窮的!    Examples give unlimited power!    我一生有成千上萬個英雄的榜樣！    上中學(xué)時，我們班的一個女生，背誦的能力特別強，一次能默寫五篇文章，只錯了兩個單詞，我很羨慕她，于是，她成了我學(xué)習(xí)的榜樣！    我在治療鼻炎的時候，由于儀器漏電，電極燙傷我的面頰，在我最疼的時候，我腦子里出現(xiàn)的是黃繼光

18、、邱少云等這些英雄的形像，我就真咬牙沒吭一聲！    我自己專門建立了一個“榜樣寶庫”，里面儲存了大量的優(yōu)秀人物，每當(dāng)我失意的時候，每當(dāng)我孤獨的時候，每當(dāng)我想放棄的時候，我都會趕緊去吸收這些偉人的營養(yǎng)和氧氣，頓時可以使自己信心百倍，力大無窮。我堅信，榜樣可以激勵我，也可以激勵你！    任何人要成功，都要從他人的知識和才干中，學(xué)習(xí)并受益。    Learn and benefit from the knowledge and talent of others.  &