微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用摘 要微積分是高中數(shù)學(xué)新增加的內(nèi)容，也是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要的基礎(chǔ)課程，內(nèi)容包括導(dǎo)數(shù)和積分兩個(gè)重要概念以及它們的應(yīng)用；微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，提供以直代曲，把非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題解決的思維方式，在人類思想文化的發(fā)展中占有特殊的地位.在高中階段開(kāi)設(shè)部分微積分的內(nèi)容，不但是社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)文化發(fā)展在數(shù)學(xué)課程上的要求，也是實(shí)現(xiàn)高中教育性目標(biāo)和發(fā)展性目標(biāo)的要求.微積分的內(nèi)容，在我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的選擇和教學(xué)要求中，沒(méi)有得到它應(yīng)有的體現(xiàn)，難以滿足我國(guó)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)文化高速的發(fā)展對(duì)它的要求和體現(xiàn)微積分自身的價(jià)值.對(duì)高中微積分的研究多數(shù)是中學(xué)是否開(kāi)設(shè)微積分以及開(kāi)設(shè)微積分的深度

2、和廣度的探討.論文立足于教材全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū) 數(shù)學(xué)第三冊(cè)（選修 22） （人民教育出版社 ） ，從微積分產(chǎn)生的時(shí)代背景和歷史意義出發(fā)，簡(jiǎn)要分析了國(guó)內(nèi)外對(duì)微積分教學(xué)的研究現(xiàn)狀和意義，論述了高中開(kāi)設(shè)微積分知識(shí)的必要性和可行性，通過(guò)對(duì)高中微積分課程的主要內(nèi)容的分析和研究，結(jié)合現(xiàn)代教育教學(xué)理論，歸納并總結(jié)了微積分在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位、作用和應(yīng)用.并希望這些意見(jiàn)和建議對(duì)高中數(shù)學(xué)微積分的教學(xué)和發(fā)展具有一定的積極意義.關(guān)鍵詞：微積分；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用目 錄1 1 引言引言.1 12 2 文獻(xiàn)綜述文獻(xiàn)綜述.2 22.1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀.22.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià).22.3 提出問(wèn)題.23 3 微積分在中

3、學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.3 33.1 微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系.33.2 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用.33.3 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.33.3.1 導(dǎo)數(shù)在求曲線的切線中的應(yīng)用 .33.3.2 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用 .43.3.3 導(dǎo)數(shù)在恒等式證明中的應(yīng)用的 .53.3.4 導(dǎo)數(shù)法在求函數(shù)極值、最大（?。┲抵械膽?yīng)用 .73.3.5 導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 .83.3.6 導(dǎo)數(shù)在方程解的問(wèn)題上的應(yīng)用 .93.3.7 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用 .93.3.8 運(yùn)用微分學(xué)知識(shí)研究函數(shù)圖像4.104 4 定積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用定積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.10104.1 定

4、積分在求曲邊形面積上的應(yīng)用.104.2 積分在不等式證明中的應(yīng)用.114.3 定積分在組合恒等式證明中的應(yīng)用.115 5 提高現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)修養(yǎng)的必要性、可行性提高現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)修養(yǎng)的必要性、可行性.12125.1 提高現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師修養(yǎng)的必要性.125.2 提高現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師修養(yǎng)的可行性.126 6 結(jié)論結(jié)論.12126.1 主要發(fā)現(xiàn).126.2 啟示.126.3 局限性.126.4 努力方面.12參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) .131311 引言微積分的產(chǎn)生具有悠久的歷史淵源.在中國(guó)，公元前 4 世紀(jì)前，恒團(tuán)，公孫龍等提出的“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)事不竭” ；公園 3 世紀(jì)劉徽的“割圓術(shù)”和公元 56

5、世紀(jì)祖沖之、祖橫對(duì)圓周率、面積和體積的研究（祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上首先地計(jì)算了地球的體積） ，都包含著微積分概念的萌芽.在歐洲，公元前 3 世紀(jì)阿基米德對(duì)面積及體積的進(jìn)一步研究（窮竭法） ，也都包含著上述的萌芽.歐洲文藝復(fù)興之后，資本主義生產(chǎn)方式興起，生產(chǎn)力有了較大發(fā)展.到了 16 世紀(jì)，由于航海、機(jī)械制造以及軍事上的需要，運(yùn)動(dòng)的研究成了自然科學(xué)的中心議題.于是在數(shù)學(xué)中開(kāi)始研究各種變化過(guò)程中的變化的量間的依賴關(guān)系，變量的引進(jìn)，形成了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn).在伽利略等人的數(shù)學(xué)著作中，都包含著微積分的初步想法.到了 17 世紀(jì)，生產(chǎn)的發(fā)展提出了許多技術(shù)上的新要求，而要實(shí)現(xiàn)技術(shù)要求必須有相應(yīng)的科學(xué)知識(shí)，

6、例如流體力學(xué)、機(jī)械力學(xué)等都有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.在資本主義社會(huì)的商品生產(chǎn)中，貿(mào)易活動(dòng)占有重要的地位，與此相關(guān)的海運(yùn)事業(yè)迅速發(fā)展，向外擴(kuò)張的軍事需要，也促進(jìn)了航海的發(fā)展.航海需要精確而方便地確定位置（經(jīng)緯度） 、預(yù)報(bào)氣象，天文學(xué)因而發(fā)展起來(lái)，所有這些發(fā)展都對(duì)數(shù)學(xué)提出了新的要求，這些要求變現(xiàn)為一些急需解決的問(wèn)題，可以分為一下四種類型：（1）球運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度和加速度.（2）已知曲線求其切線.（3）已知函數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值.（4）求曲線的長(zhǎng)度.這些問(wèn)題都是 17 世紀(jì)時(shí)，其他科學(xué)，尤其是天文學(xué)和力學(xué)極其某些技術(shù)科學(xué)所提出的基本數(shù)學(xué)問(wèn)題.總之，到 17 世紀(jì)前葉，已經(jīng)積累了許多關(guān)于微積分思想的成

7、果，但微積分作為一門(mén)學(xué)科來(lái)發(fā)展，還是由于牛頓和萊布尼茨總結(jié)了諸多數(shù)學(xué)家的工作之后，分別獨(dú)立建立了微積分學(xué)，他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)都是直觀無(wú)窮小量.牛頓在數(shù)學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是創(chuàng)建微積分學(xué)，17 世紀(jì)早期，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)建立起一系列求解無(wú)限小問(wèn)題（諸如曲線的切線、曲率、極值，求運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度以及面積、體積、曲線長(zhǎng)度以及物體重心的計(jì)算）的特殊方法.牛頓超越前人的功績(jī)?cè)谟趯⑦@些特殊的技巧歸結(jié)為一般的算法，特別是確立了微分與積分的逆運(yùn)算關(guān)系（微積分基本定理）.微積分的產(chǎn)生具有深遠(yuǎn)的歷史意義.一方面，它極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，豐富了數(shù)學(xué)科學(xué)的思想寶庫(kù)，隨著微積分的理論基礎(chǔ)逐步完善，以微積分為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)2

8、分析科學(xué)得到空前發(fā)展，建立了多種數(shù)學(xué)分支，如微分方程、積分方程、復(fù)變函數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、流形等.另一方面，微積分在力學(xué)、天文學(xué)以及物理和其它科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，極大地促進(jìn)了以上科學(xué)的發(fā)展.32 文獻(xiàn)綜述2.1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀國(guó)內(nèi)，由于歷史的原因，我國(guó)對(duì)微積分的教學(xué)研究和把微積分內(nèi)容引入課堂相對(duì)比較滯后.自從 1961 年的大綱將微積分初步的知識(shí)納入我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)以后，廣大的教育工作者在不同的時(shí)期，從不同的角度，利用不同的方法，對(duì)高中階段微積分初步的教學(xué)目標(biāo)、課程目的、內(nèi)容選取、教材編排以及教學(xué)方法等一系列的問(wèn)題進(jìn)行了一定的理論探索和實(shí)踐研究，取得了一定的成果.早在 1983 年，四川的孟季和老師就針對(duì)1

9、978 年的高中數(shù)學(xué)大綱編著了中學(xué)微積分教材教法1一書(shū)，對(duì)當(dāng)時(shí)大綱中所列出的中學(xué)微積分內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)和教法的探討.而在現(xiàn)階段，大連教育學(xué)院的孫宏安教授、西北師范大學(xué)附屬中學(xué)教師高維縱和揚(yáng)州五中的特級(jí)教師袁桐等人，也分別從不同的角度對(duì)微積分課程內(nèi)容的選擇、教學(xué)和教法等進(jìn)行了有益的探索.在這一研究領(lǐng)域中有影響的另外一些學(xué)者和研究集體，也都從不同的角度和層面進(jìn)行了廣發(fā)而深入的研究.這些集體和個(gè)人的研究中，有一些還是國(guó)家和地方教育研究的重要課題.可見(jiàn)，高中微積分課程和教學(xué)的探索是一個(gè)重要的研究領(lǐng)域.國(guó)外，對(duì)微積分的教學(xué)研究較早，并且微積分的知識(shí)進(jìn)入中學(xué)課本也較國(guó)內(nèi)超前.早在 20 世紀(jì)初，德國(guó)著名數(shù)學(xué)

10、家 F克萊因就主張微積分知識(shí)要進(jìn)入中學(xué).20 世紀(jì) 50年代末在美國(guó)興起的“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)及后來(lái) 60 年代末在法國(guó)進(jìn)行的“現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革”運(yùn)動(dòng)，他們的主張之一就是要求中小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，將微積分知識(shí)納入中學(xué)數(shù)學(xué)課程.進(jìn)入上個(gè)世紀(jì) 80 年代，各國(guó)又掀起了新一輪的微積分課程的改革.美、英、法、日、俄羅斯、韓國(guó)和我國(guó)的臺(tái)灣地區(qū)等國(guó)家和地區(qū)都相繼出版了新的針對(duì)高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的微積分教材.例如，日本，文英堂，竹之內(nèi)修，高等學(xué)校新編，數(shù)學(xué) II（1998） ；我國(guó)臺(tái)灣地區(qū)高中三年級(jí)學(xué)習(xí)使用的理科數(shù)學(xué)上、下冊(cè)（1988） ；英國(guó)，劍橋大學(xué)出版社 SMP 教材系列，純數(shù)學(xué)（1997）

11、；俄羅斯出版了由吉洪諾夫擔(dān)任科學(xué)指導(dǎo)，阿利莫夫等主編的高中“代數(shù)與分析初步” （2000）等新編高中微積分教材，都在課程內(nèi)容的選擇、編制和教學(xué)上進(jìn)行了有益的探索.2.2 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)文獻(xiàn)分別就微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中的重要性及微積分在求導(dǎo)和曲邊形面積的計(jì)算中的意義舉例做了說(shuō)明，文獻(xiàn)中主要闡述微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的幾種應(yīng)用方法，4沒(méi)有全面的介紹中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的微積分?jǐn)?shù)學(xué)思想.而且文獻(xiàn)中對(duì)微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中怎樣應(yīng)用的問(wèn)題提及較少，對(duì)學(xué)生在應(yīng)用微積分時(shí)存在的問(wèn)題也未給出詳細(xì)說(shuō)明.2.3 提出問(wèn)題在一些發(fā)達(dá)的省市，微積分已納入高考，對(duì)微積分的進(jìn)一步學(xué)習(xí)迫在眉睫，但就部分高中生而言，他們已具備較強(qiáng)

12、的學(xué)習(xí)能力，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)根據(jù)教師的指導(dǎo)，除學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)外，還會(huì)體會(huì)微積分的思想，總結(jié)微積分在各方面的應(yīng)用.但對(duì)普通高中多數(shù)學(xué)生，要教好掌握高中數(shù)學(xué)知識(shí)尚且困難，更談不上對(duì)微積分的具體應(yīng)用有更進(jìn)一步的了解.因此，除對(duì)問(wèn)題解決中應(yīng)用微積分外，還要對(duì)應(yīng)用微積分過(guò)程中學(xué)生可能遇到的難點(diǎn)及解決辦法作探討，包括了解中學(xué)數(shù)學(xué)與微積分的聯(lián)系、微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用等.3 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用3.1 微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系微積分是高三數(shù)學(xué)第三冊(cè)（選修 22）的進(jìn)一步延伸和發(fā)展，而這恰是高三學(xué)生步入大學(xué)需要繼續(xù)學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ).作為學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的步驟，無(wú)疑是要先學(xué)習(xí)和掌握初等的微積分知識(shí)，進(jìn)

13、入大學(xué)后才能更好的學(xué)習(xí)和應(yīng)用微積分.反之，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的微積分能加深對(duì)初等數(shù)學(xué)中微積分的理解和掌握，可以開(kāi)闊思路、提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)和解決問(wèn)題的能力.但由于中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎很難和高等數(shù)學(xué)知識(shí)直接銜接，使不少大一新生一接觸到“數(shù)學(xué)分析”時(shí)，就對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)課產(chǎn)生了畏懼、抵觸情緒.而且高等數(shù)學(xué)中的微積分理論與中學(xué)教學(xué)又嚴(yán)重脫節(jié)，許多大學(xué)師范畢業(yè)生對(duì)如何運(yùn)用微積分理論指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)感到迷茫；毫無(wú)頭緒.為了解決上述長(zhǎng)期存在的問(wèn)題，研究微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用是一項(xiàng)有效的措施.3.2 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用微積分在高中階段只從幾何意義的角度出發(fā)講了導(dǎo)數(shù)、微分、定積分三部分的內(nèi)容，為中學(xué)生進(jìn)入大學(xué)埋下伏

14、筆，微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中提供了新的方法，同時(shí)也提供了重要的思想，為中學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)在中學(xué)數(shù)學(xué)中我們可以用微積分的一些觀點(diǎn)引伸出解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的某些技巧, 這些初等的方可以為中學(xué)5生所接受, 而應(yīng)用這些方法都可以將表面上看來(lái)完全無(wú)關(guān)的初等數(shù)學(xué)問(wèn)題用幾乎相同的方法解出.同時(shí)也可以對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中的難題證明起到一些簡(jiǎn)化的作用.微積分的數(shù)學(xué)思想方法不僅在初等數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用, 而且用微積分的觀點(diǎn)往往可以揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì), 從而使學(xué)生不僅知其然而且知其所以然.3.3 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用3.3.1 導(dǎo)數(shù)在求曲線的切線中的應(yīng)用在中學(xué)教材里，由于初等數(shù)學(xué)知識(shí)本身的極限性，對(duì)切線的

15、定義是建立在直線與圓和直線與圓錐曲線只有之個(gè)交點(diǎn)的基礎(chǔ)上的，并且切線是不能穿過(guò)切線的.因此，求曲線的切線方法一般都是將直線方程與曲線方程組成方程組，消去，化成關(guān)于的一yx元二次方程，利用判別式來(lái)求解的.現(xiàn)在我們知道曲線上某點(diǎn)處的切線是曲線過(guò)0該點(diǎn)的割線在這一點(diǎn)的極限位置，即只要曲線在這點(diǎn)的極限存在并連續(xù)，那么它的切線就存在.并且切線可以通過(guò)切點(diǎn)穿過(guò)這條曲線，即一條切線除切點(diǎn)外，還可能與這條曲線有其它的公共點(diǎn)，因此我們可以用導(dǎo)數(shù)的方法求曲線的切線.例 1(2013 年福建卷 理科)已知函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的 xxxfln2 xfy 1, 1 fA切線方程.解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?xf，0， xxf2

16、10 x因?yàn)?，11 f11f所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為： xfy 1, 1 fA11xy即02 yx因此，用導(dǎo)數(shù)的方法不僅修正了切線的定義，還可以用來(lái)求一些較為復(fù)雜的曲線的切線.3.3.2 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用不等式不但是研究高等數(shù)學(xué)的重要工具，包括解不等式和不等式的證明兩大部分內(nèi)容.相對(duì)來(lái)說(shuō)，前者較易，后者較難.雖然在中學(xué)教材中也介紹了不等式證明的一些6常用方法，如：比較法、分析綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，但這些方法畢竟帶有局限性，對(duì)于一些比較復(fù)雜的問(wèn)題往往就不起作用，而且還有這些情況，題目略有不同，證明方法就迥然不同.總之，證明不等式是方法很多，要得出確定的方法幾乎是不可能的.因此

17、，不等式是證明在中學(xué)數(shù)學(xué)中是一個(gè)顯著的難點(diǎn).微積分卻為不等式的明提供了強(qiáng)有力的方法和工具.下面通過(guò)例題分析說(shuō)明利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法和規(guī)律.例 2 已知函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，恒有xxxf) 1ln()(1xxxx) 1ln(111證明：構(gòu)造函數(shù)，111) 1ln()(xxxg從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明：1111)(xxxxf當(dāng)時(shí)，即在上為增函數(shù)01x0)( xf)(xf)0 , 1(x當(dāng)時(shí)，即在上為減函數(shù)0 x0)( xf)(xf), 0( x故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間( )f x)0 , 1(), 0( 于是函數(shù)在上的最大值為：( )f x), 1(0)0()(max fxf因此，當(dāng)時(shí)

18、，即1x0)0()( fxf0) 1ln(xx （右面得證）xx ) 1ln(現(xiàn)證左面，令，則：111) 1ln()(xxxg22) 1() 1(111)(xxxxxg當(dāng) ，0)(,), 0(; 0)(,)0 , 1(xgxxgx時(shí)當(dāng)時(shí)即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，)(xg)0 , 1(x), 0( x7故函數(shù)在上的最小值為：)(xg), 1(，0)0()(min gxg 當(dāng)時(shí)，即：1x0)0()( gxg0111) 1ln(xx，綜上可知，當(dāng)時(shí)，有：111) 1ln(xx1xxxx) 1ln(111從此例可以看到，導(dǎo)數(shù)作為證明不等式的工具，方法簡(jiǎn)單、實(shí)用.而且滲透了很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想.3.3.3

19、 導(dǎo)數(shù)在恒等式證明中的應(yīng)用的恒等式的證明在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支幾乎都要用到，這里就恒等式的三種情況（組合恒等式、代數(shù)恒等式、三角恒等式）利用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)證明更加簡(jiǎn)便.例 3 求證1321232nnnnnnnnCCCC解 方法一 利用組合數(shù)公式 ，則11knknnCkC1111110132121132nnnnnnnnnnnnnCCCnnCCCC這種方法簡(jiǎn)單，但是技巧強(qiáng)，若想不到這樣或者遺忘公式，就無(wú)法作答.方法二 由二項(xiàng)式定理展開(kāi)得：nnnnnonnxCxCxCCx2211由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得： 1nnnxx13211321nnnnnnnxnCCxCCxn令，即可得：1x1321232

20、nnnnnnnnCCCC利用微積分中導(dǎo)數(shù)這種運(yùn)算工具不僅能使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，更重要的是可以優(yōu)化解題過(guò)程，開(kāi)闊學(xué)生視野，發(fā)展學(xué)生思維.例 3 證明2112111321xnxxnnxxxnnn8證明：3212321nnxxxxnxxx21111111xxxxnxxxxnnn21111xnxxnnn例 4 ,343arccosarccos3xxx21x證明：令,則 343arccosarccos3xxxXF 232243141313xxxxxF當(dāng)時(shí)，2121x 0131322xxxF故在內(nèi)，21,21 cXF令，則0 x 0arccos20403arccos0arccos30F22故，所以在內(nèi)，c21

21、,21343arccosarccos3xxx又，所以當(dāng)時(shí)21F21x343arccosarccos3xxx在三角學(xué)中，有時(shí)從關(guān)于正（余）弦的恒等式出發(fā)，通過(guò)求導(dǎo)，即可得到有關(guān)余（正）弦的相應(yīng)很等式恒等式.3.3.4 導(dǎo)數(shù)法在求函數(shù)極值、最大（?。┲抵械膽?yīng)用一、求函數(shù)極值的方法3 xf9一般地，求函數(shù)的極值的方法是： xfy 解方程，當(dāng)時(shí)： 0 xf 00 xf如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；0 x 00 xf 00 xf 0 xf如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值.0 x 00 xf 00 xf 0 xf二、求函數(shù)最值的方法 xf我們知道，如果在閉區(qū)間上連續(xù)，那么必可在上取得最大值和

22、xfba, xfba,最小值.求最值的方法是：先求出在上的所有極值點(diǎn)，設(shè)， xfba,1x，則2xnx bfxfxfxfafMaxfnMax，21 bfxfxfxfaffn，21minmin如果確知的最值存在的話，這個(gè)方法也適用于開(kāi)區(qū)間和無(wú)窮區(qū)間. xf例 5 求的極值 44313xxxf解：因?yàn)椋?44313xxxf 2242xxxxf令，解得或. 0 xf2x2x下面分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，或； 00 xf2x2x當(dāng)時(shí)， 00 xf22x當(dāng)變化時(shí)，的變化如下表：x 0 xf xf10 x2 ,22 , 22, 2 0 xf+00+ xf單調(diào)遞增328單調(diào)遞減34單調(diào)遞增因此，當(dāng)時(shí)，有極大

23、值，極大值為2x xf3282 f當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為2x xf 342f例 6 求在上的最大值與最小值. 44313xxxf 3 , 0解：由例 4 可知，在上，當(dāng)時(shí)， 3 , 02x 44313xxxf有極小值，并且極小值為 342f又由于， 40 f 13 f因此函數(shù) 44313xxxf在上的最大值是 4，最小值是. 3 , 034通過(guò)這兩個(gè)例題我們看到，求函數(shù)極大（小）值和最大（?。r(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)在計(jì)算過(guò)程中簡(jiǎn)單快捷.通過(guò)例題我們看到，初等方法只能處理一些特殊問(wèn)題，有很大的局限性，并且往往需要一定的技巧，還容易遺漏一些極值點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)法不但方法簡(jiǎn)單、統(tǒng)一，易于掌握和運(yùn)用，而且不會(huì)漏掉極值

24、點(diǎn)，更重要的是它的應(yīng)用范圍比初等方法廣得多.113.3.5 導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用3.3.6 導(dǎo)數(shù)在方程解的問(wèn)題上的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，可研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.例 若，則方程在上有多少根？ 3m0123 mxx 2 , 0解：設(shè)，則， 123mxxxf mxxxf232當(dāng)且時(shí)， 3m 2 , 0m 0 xf故在上單調(diào)遞減，而在與處都連續(xù)，且 xf2 , 0 xf0 x2x， 010f 0492mf故在上只有一個(gè)根 xf 2 , 03.3.7 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問(wèn)題的有力工具, 更為數(shù)學(xué)解題注入了新的活力. 由于數(shù)列可看作特殊的函數(shù), 所以自然可聯(lián)想、嘗試、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決數(shù)列

25、問(wèn)題.例已知數(shù)列滿足：，且，求證： nannnaaa3231 Nn 1 , 01a10na證明：構(gòu)造函數(shù)，則： xxxf23213 1123xxxf當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù). 1 , 0 x 0 xf xf 1 , 0因?yàn)椋矗?1 , 01a101 a故時(shí)，原不等式成立.1n設(shè)時(shí)，原不等式成立，即kn 10ka12因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以 xf 1 , 0 10faffk又，所以，即 00 f11 f 10kaf101ka即時(shí)，原不等式成立，故：當(dāng)時(shí)，1 kn Nn10na導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用還遠(yuǎn)不止這些，如利用導(dǎo)數(shù)還可以確定數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)、研究數(shù)列的增減性、求數(shù)列的前項(xiàng)和等，但基本思想方法

26、是一樣的，在這里就n不一一例舉.3.3.8 運(yùn)用微分學(xué)知識(shí)研究函數(shù)圖像4函數(shù)圖像的直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)的整體情況及其特性的時(shí)候，其作用尤為明顯，這就要求我們能正確地作出函數(shù)的圖形學(xué)微分學(xué)之前，用描點(diǎn)法作圖是十分必要的，不過(guò)它有缺陷，帶有一定的盲目性、點(diǎn)取得不夠多也許就會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤的圖像等而運(yùn)用微分學(xué)作出的函數(shù)圖像，就能克服描點(diǎn)法作圖的缺點(diǎn)，可有效地對(duì)函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)作出準(zhǔn)確的判斷一般來(lái)說(shuō)，討論函數(shù)圖像的步驟是： 例4 定積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用定積分是新課標(biāo)中選修 22 新加的內(nèi)容，課標(biāo)對(duì)定積分的定位如下：“（1）通過(guò)求曲邊梯形的

27、面積、變力做功等實(shí)例，從問(wèn)題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)；（2）通過(guò)實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價(jià)值可見(jiàn)，高中課程學(xué)習(xí)定積分，重在粗淺地領(lǐng)略其主要思想和基本方法，從一些實(shí)例中初步認(rèn)識(shí)定積分的工具作用縱觀這幾年新課改地區(qū)高考主要在定積分的求法，定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用尤其是利用定積分求面積上作文章134.1 定積分在求曲邊形面積上的應(yīng)用定積分的幾何意義3：如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定ba, xf 0 xf積分表示直線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積. badxxfax bx 0y xf

28、y 例(2013 年北京卷理科) 求直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直，則 與lyxC4:2yl所圍成的圖形的面積等于 C解析：本題考查拋物線的性質(zhì)，定積分的計(jì)算.利用微積分基本定理求解.因?yàn)?的方程l是，所求面積等于一個(gè)矩形的面積減去一個(gè)積分值，即1y381224424203202xdxxS例4.2 積分在不等式證明中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)之所以能證明不等式，主要是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，可以求函數(shù)的極值和最值，此外還可以應(yīng)用微分中值定理等等.而積分與微分互為逆運(yùn)算，積分本身又具有單調(diào)性，此外也有積分中值定理，再加上積分明顯的幾何直觀，使積分在不等的證明中也有廣泛的應(yīng)用.例 比較和的大小12 21ln解： 1211102102xdxxx21lnln11011022xxxdx而當(dāng)時(shí)，有10 x22111xxx由積分單調(diào)性得 12ln214.3 定積分在組合恒等式證明中的應(yīng)用14選擇適當(dāng)?shù)亩?xiàng)式，通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算，可以證明組合恒等式，這是我們?cè)?3.3 中已經(jīng)介紹過(guò).同樣，選擇適當(dāng)?shù)亩?xiàng)式，通過(guò)積分運(yùn)算，也可以證明組合恒等式.例 證明 11113121210nCnCCC