對數(shù)概念及運算2課時

1、對數(shù)的概念對數(shù)的概念 引入：引入： 1.莊子：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。莊子：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。（1）?。┤?次，還有多長？次，還有多長？（2）取多少次，還有）取多少次，還有0.125尺？尺？2.假設(shè)假設(shè)2002年我國國民生產(chǎn)總值為年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，億元，如果每年平均增長如果每年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年國，那么經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是民生產(chǎn)總值是2002年的年的2倍？倍？抽象出：抽象出：1 ?21).1 (4?125. 021).2(xx?2%81. 2xx這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)這是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)!你能看得出來嗎？怎樣求呢？你能看得出來嗎？怎樣求呢

2、？中，在式子162. 34有三個數(shù)2(底),4(指數(shù)）和16（冪）（1）由2，4得到數(shù)16的運算是（2）由16，4得到數(shù)2的運算是（3）由2，16得到數(shù)4的運算是乘方運算。開方運算。對數(shù)運算！1624記為：2164記為：416log2記為：4216指數(shù)指數(shù)2的的4次冪次冪底數(shù)底數(shù)如何表示如何表示16是是2的多少次冪呢的多少次冪呢?2的多少次冪等于的多少次冪等于16呢呢?2log 164定義定義:如果如果a(a0,a1)的的b次冪等于次冪等于N,即即 ,數(shù)數(shù)b就叫做以就叫做以a為底的為底的N的對數(shù)的對數(shù),記作記作 . baNlogaNblogaNb(0,1)aa對數(shù)對數(shù)真數(shù)真數(shù)底數(shù)底數(shù)?底數(shù)?對

3、數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果 0,1aaa的b次冪等于N, 就是 Nab，那么數(shù) b叫做以a為底 N的對數(shù)，記作 bNaloga叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。定義：logaNb為什么為什么 ?0,1aaN必須滿足什么條件必須滿足什么條件?(0,1)aa(0,1,0)aaNa 0 ） (b=log )aNN結(jié)論：結(jié)論：log 1a0logaa 134log (log)0 xx例、已知，求 值.253log (log)0 log (lg )1xyxy變：已知，求值.計算下列各式的值計算下列各式的值:3log 4312log 31( )2lg0.110lnee4

4、30.1elogaNaNlogNaaN常用對數(shù)： 我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)。 為了簡便,N的常用對數(shù) N10log簡記作lgN。 例如： 5log10簡記作lg5； 5 . 3log10簡記作lg3.5. 自然對數(shù)： 在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)。 為了簡便，N的自然對數(shù) Nelog簡記作lnN。 例如： 3loge簡記作ln3 ; 10loge簡記作ln10（6）底數(shù)a的取值范圍： ), 1 () 1 , 0(真數(shù)N的取值范圍 :), 0( 練習(xí)：義 試圍(x+2)(x+2)如如果果log(2-x)有l(wèi)og(2-x)有意意,

5、求,求x的x的取取值值范范例3計算： 講解范例講解范例 （1） （2） 27log981log43 解法一： 解法二：設(shè) ,27log9x 則 ,279 x ,3332x 23 x239log3log27log239399解法一： 解法二：設(shè) 則 81log43x,8134x,3344x16 x16)3(log81log1643344?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N（4） （3） 32log32625log345例3計算： 講解范例講解范例 解法一： 解法二：解法二：解法一： 32log32132log132設(shè) 則 設(shè) 則 32log32x,3232321x1

6、 x625log345x,625534x,55434x3 x3)5(log625log3345534341.求下列各式的值練習(xí)練習(xí) （1） （4） （3） （2） 25log5225log25110lg101. 0lg21000lg3001. 0lg3（5） （6） 2.求下列各式的值練習(xí)練習(xí) （1） （4） （3） （2） 1log5 . 0081log92625log252243log3564lg432log22（5） （6） 小結(jié)小結(jié) :定義：一般地，如果 1, 0aaa的b次冪等于N, 就是 Nab，那么數(shù) b叫做以a為底 N的對數(shù)，記作 bNaloga叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。?底

7、數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N(1) log 10a(2) log1aa alog N(3) a= N常見的等式：常見的等式：(4) logbaab對數(shù)的運算對數(shù)的運算 ?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果 1, 0aaa的b次冪等于N, 就是 Nab，那么數(shù) b叫做以a為底 N的對數(shù)，記作 bNaloga叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。定義：復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容例如： 1642216log41001022100log102421212log401. 0102201. 0log10?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb

8、?a?b?=N復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容有關(guān)性質(zhì)： 負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)（在指數(shù)式中 N 0 ） log 10,alog1aa 對數(shù)恒等式logaNaN復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容326log乘以326log362/log常用對數(shù)：常用對數(shù)： 我們通常將以我們通常將以10為底的對數(shù)叫做為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)常用對數(shù)。 為了簡便為了簡便,N的常用對數(shù)的常用對數(shù) N10log簡記作簡記作lgN。 自然對數(shù)：自然對數(shù)： 在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828為底的對數(shù)，以為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)。為底的對數(shù)叫自然對數(shù)。 為了簡便，為了簡便，N的自然對數(shù)的自然對數(shù) Nelog簡記作簡記作

9、lnN。 （6）底數(shù)）底數(shù)a的取值范圍：的取值范圍： ), 1 () 1 , 0(真數(shù)真數(shù)N的取值范圍的取值范圍 :), 0( 復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容填出下表各組的值，并從數(shù)據(jù)中分析等量關(guān)系，填出下表各組的值，并從數(shù)據(jù)中分析等量關(guān)系，猜想對數(shù)的運算性質(zhì)猜想對數(shù)的運算性質(zhì)式式值值結(jié)果結(jié)果猜想猜想2log 82log 322log (8 32)385222log (8 32)log 8log 32log ()loglogaaaM NMN新知學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)式式值值結(jié)果結(jié)果猜想猜想lg100lg10000100lg100002-24100lglg100lg1000010000logloglogaaaMMNN式式值

10、值結(jié)果結(jié)果猜想猜想23log 932 log 944233log 92 log 9loglognaaMnM對數(shù)運算性質(zhì)對數(shù)運算性質(zhì):0,1,0,1,0,0,aaccMNnRlog ()loglogaaaM NMNlogloglogaaaMMNNloglognaaMnMlognaan1loglognaaMMnlogaNaNlogloglogcacbba換底公式換底公式證明證明 練習(xí)練習(xí)證明證明 練習(xí)練習(xí)證明證明 練習(xí)練習(xí)證明證明 練習(xí)練習(xí)證明證明 練習(xí)練習(xí)1loglogabba引入：引入： 是否有一般規(guī)律？是否有一般規(guī)律？392log32435log3273log3333927235243(9

11、27)loglogloglog3333243952327(243 9)loglogloglog333(9 27)927logloglog333324324399(243 9)loglooglogl g)()(),()(),(RnbaabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm新授內(nèi)容：新授內(nèi)容： 積、商、冪的對數(shù)運算法則：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa回顧一下指數(shù)運算法則 ：?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N證明：設(shè) ,logp

12、Ma,logqNa由對數(shù)的定義可以得： ,paM qaN MN= paqaqpaqpMNa log即證得 ( )aaalog (MN)loglog N1Maaalog (MN)log Mlog N證明：設(shè) ,logpMa,logqNa由對數(shù)的定義可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa log即證得 ?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=NNM( )aaaMloglog Mlog N2NaaaMloglog Mlog NN證明：設(shè) ,logpMa由對數(shù)的定義可以得： ,paM npnaMnpMna log即證得 ?底數(shù)?對數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?

13、a?Nb?a?b?=N( )naalog Mnlog(nR)3Mnaalog Mnlog M(nR) 上述證明是運用轉(zhuǎn)化的思想，先通過假設(shè)，將對數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形； 然后再根據(jù)對數(shù)定義將指數(shù)式化成對數(shù)式。)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa簡易語言表達(dá)：“積的對數(shù) = 對數(shù)的和”有時逆向運用公式 真數(shù)的取值范圍必須是 ), 0( 1.兩個正數(shù)乘兩個正數(shù)乘積的對數(shù)等于積的對數(shù)等于這兩個因數(shù)對這兩個因數(shù)對數(shù)的和數(shù)的和.2.兩個正數(shù)兩個正數(shù)商的對數(shù)等商的對數(shù)等于被除數(shù)的于被除數(shù)的對數(shù)減去除對

14、數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)數(shù)的對數(shù).3.正數(shù)冪的正數(shù)冪的對數(shù)等于冪對數(shù)等于冪的指數(shù)乘以的指數(shù)乘以冪的底數(shù)的冪的底數(shù)的對數(shù)對數(shù).)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa對公式容易錯誤記憶，要特別注意：對公式容易錯誤記憶，要特別注意：logloglog;aaaMNMNlogloglog;aaaMNMNlog ()loglog;aaaMNMNlogloglog;aaMMaNNloglog.naaMnM例1 計算（2） )42(log752講解范例講解范例 )42(log752522log724log522log1422log=5+1

15、4=19（1） 3log 27解 :3log 2733log 333log 33練習(xí)練習(xí) （1） （4） （3） （2） 1.求下列各式的值：15log5log332lg5lg 31log3log553log6log2236log2)25lg( )313(log5155log32log2110lg11log50133log1例2 講解范例講解范例 解（1） 解（2） 用 ,log xa,log yazalog表示下列各式： 32log)2(;(1)logzyxzxyaazxyzxyaaalog)(loglog3121232log)(loglogzyxzyxaaazyxaaalogloglog3

16、1212logloglogzyxaaazyxaaalog31log21log22. 用lg，lg，lg表示下列各式：練習(xí)練習(xí) （1） （4） （3） （2） )lg(xyzzxy2lgzxy3lglglglg；zyx2lglglglg；lglg 21lg； zyxlglg2lg21（1） 18lg7lg37lg214lg例3計算： 講解范例講解范例 解法一： 18lg7lg37lg214lg18lg7lg)37lg(14lg218)37(714lg201lg )32lg(7lg37lg2)72lg(2)3lg22(lg7lg)3lg7(lg27lg2lg018lg7lg37lg214lg解法二

17、： （2） 例3計算： 講解范例講解范例 9lg243lg3lg23lg525解： 1023lg)10lg(32lg)3lg(2 . 1lg10lg38lg27lg)3(2213213253lg3lg9lg243lg)2(2 . 1lg10lg38lg27lg)3(12lg23lg) 12lg23(lg2323例例:若若x,y,z都是正數(shù)，都是正數(shù)，3x=4y=6z,求證：求證：yxz2111 證明證明:設(shè)設(shè)3x=4y=6z=t346,.logloglogxt yt zt631111lg6lg3lg2lglglgloglogzxttttt411lg 42lg 2lg 222lg2lglg2lo

18、gytttt又1112zxy,1111,0,.xyza b cabcxyzabc設(shè)變 形 ：是 不 等 于 的 正 數(shù) ，且求的 值解解:設(shè)設(shè)ax=by=cz=tx=logat,y=logbt,z=logct111111xyzlogloglogloglogloglogabctttttttabcabc由題意：logtabc=0 abc=1小結(jié)小結(jié) :積、商、冪的對數(shù)運算法則：如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa其他重要公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca1loglogabba), 1 () 1 , 0(,ba12312312,log () logloglog.kaaaakkN N NNNN NNNNN如果都是正數(shù)則L LL LL其他重要公式1:NmnNanamloglog證明：設(shè) ,logpNnam由對數(shù)的定義可以得： ,)(pmnaN 即證得 Nm