預備知識高級微觀經濟學與數(shù)學08

1、第一章 預備知識：現(xiàn)代經濟學與數(shù)學本章要點在這一章中，我們首先探討現(xiàn)代經濟學的研究內容、研究框架，并指出數(shù)學在現(xiàn)代經濟學研究中所扮演的角色，最后列出在學習高級微觀經濟學中所需要用到的一些數(shù)學結果。11 現(xiàn)代經濟學的特點111現(xiàn)代經濟學與經濟理論微觀經濟學研究的主要問題由于資源是有限的，但是人們的欲望是無限的，這一對基本矛盾沖突才產生了經濟學研究資源配置，盡可能有效地利用資源，用有限的資源最大限度地滿足人們的欲望。具體來講，資源配置就是要解決如下問題：1、社會用有限的資源生產什么？是生產大炮還是黃油？2、如何生產？例如用什么樣的資金結構？用什么樣的企業(yè)組織形式？在什么地方布局等都是如何生產的問題

2、。3、產品如何分配？解決資源配置的問題無外乎兩種機制：市場機制與計劃機制。市場機制就是通過市場的價格來實現(xiàn)資源的配置。在市場機制中，消費者的決策形成了微觀經濟學中的消費者理論。廠商的決策形成了廠商理論。他們的相互影響形成了市場理論。計劃機制就是通過政府的預算來實現(xiàn)資源的配置。什么是現(xiàn)代經濟學所謂現(xiàn)代經濟學，就是用科學的方法并運用分析工具-通過觀察、理論和再觀察-來系統(tǒng)地研究消費者的決策、廠商的決策以及它們之間的相互影響，從而它是一門科學，代表了科學的分析框架和研究方法。這種系統(tǒng)探索，既涉及到理論的形式，也為經濟數(shù)據(jù)的考察提供了分析工具。現(xiàn)代經濟學主要是在第二次世界大戰(zhàn)以后發(fā)展起來的，通過六十年

3、的蓬勃發(fā)展，現(xiàn)已成為一門規(guī)模龐大、分支眾多、體系嚴謹、模型化的社會科學領域，在社會科學中占有重要地位。了解并掌握現(xiàn)代經濟學的基本分析框架和研究方法，對正確理解和學好現(xiàn)代經濟學以及對現(xiàn)代經濟學的創(chuàng)新和應用都十分重要。它能幫助人們正確地運用經濟學的基本原理和分析方法來研究不同經濟環(huán)境、不同經濟人行為及不同制度安排下的各類經濟問題?，F(xiàn)代經濟學所研究的問題和解決問題的方法類似于人們處理個人、家庭、經濟、政治、社會各類事務時所采用的方式。大家知道，要做好一件事情，與人打交道，首先要了解國情和民風，也就是要知道現(xiàn)實環(huán)境和所要打交道人的品行和性格；在此基礎上，決定相應的待人處事規(guī)則，從而在權衡利弊后作出激勵

4、反應，爭取達到盡可能最佳的結果；最后對所選擇的結果及所采用的規(guī)則進行價值判斷和評估比較?，F(xiàn)代經濟學的基本分析框架和研究方法完全是按照這種方式來研究經濟現(xiàn)象和人類行為的。這種分析框架具有高度的規(guī)范性和一致性。它首先給出想要研究的問題，或想要解釋的某種經濟現(xiàn)象，即經濟學家首先需要確定研究目標，然后試圖回答所要研究或所要解釋的問題。比如，下列問題是現(xiàn)代經濟學直到現(xiàn)在仍在試圖研究或回答的一些問題：為什么會出現(xiàn)經濟周期和經濟衰退？面對經濟周期和經濟衰退，政府應采用什么樣的宏觀經濟政策？為什么一些國家非常富裕，同時另外一些國家卻非常貧窮，而不是整個世界同時富裕起來？人們生活在其中的市場制度安排是如何運作的

5、，它有什么樣的優(yōu)越性？市場在什么時候會失靈，如何解決？如何解決經濟外部性問題，是通過政府干預，通過明晰產權的辦法來解決，還是通過其它辦法來解決？如何在信息不對稱的情況下解決經濟人的激勵問題？中國經濟學家所面臨的問題是，如何解決經濟制度轉型過程中所面臨的各種問題，比如：如何改革金融體系和國有企業(yè)，如何解決經濟效率與公平的兩難，以及國有資產流失等問題。 以上這些問題看起來非常不一樣，但研究這些問題的基本分析框架卻可以是一樣的。任何一個規(guī)范經濟理論的分析框架，基本上由以下五個部分或步驟組成：(1) 界定經濟環(huán)境；(2) 設定行為假設，(3) 給出制度安排；(4) 選擇均衡結果；及(5)進行評估比較。

6、可以這樣認為，任何一篇邏輯清楚、層次分明、論證合理的經濟學論文，無論結論如何或是否作者意識到，都基本上由這五部分組成，特別是前四部份?？梢哉f，寫經濟學方面的論文，就是對這些部分進行具有內在邏輯結構的填空式寫作。掌握了這些組成部分，就掌握了現(xiàn)代經濟學論文的基本寫作方式，更容易學習和研究現(xiàn)代經濟學。以上所討論的五個組成部分可以說是所有規(guī)范經濟理論一致使用的分析框架，無論其中使用數(shù)學的多少?，F(xiàn)舉兩個個例子。 第一個例子是科斯(R. Coase) 1960年的著名論文社會成本問題 (The Problem of Social Cost)，它幾乎沒有用到任何數(shù)學，完全用文字論述。這篇文章主要研究如何解決

7、經濟外部性問題，以此論證產權的界定和產權的安排在經濟交易中的重要性。所謂外部性指的是一個經濟人的消費或生產會直接影響其他經濟人的福利或生產。科斯定理其實分為兩部分。他的論斷是：只要交易費用為零且產權明確界定，則(1)外部效應的水平與產權的劃分是無關, 這個結論稱之為科斯中性定理(neutrality theorem)；(2)通過自愿交易與自愿談判，明確界定的產權將會導致資源的有效配置，即利用市場機制，通過自愿交易與自愿談判，可找尋到使得所有人利益之和最大的契約安排, 這個結論稱之為科斯有效性定理(efficience theorem)。科斯更進一步論斷，即使市場交易是有費用的，在產權明確界定的

8、情況下，相互作用的各方也會通過合約找尋到費用較低的制度安排。為了論證他的論斷，他所界定經濟環(huán)境是一個非常簡單經濟環(huán)境：只有兩個經濟人且具有外部效用性。所設定的經濟人行為假設為：兩個經濟人都是自利的，追求個人最大收益。給出的制度安排為：產權明確界定，給任何一方都行，并且雙方可以通過自愿談判來決定合約。于是，科斯通過例子和邏輯分析論證：每個人所選定的結果會使自己的利益最大(選定均衡結果)，從而使得外部效應的水平與產權的劃分是無關，并且在自愿交易與自愿談判的情況下，將導致資源的有效配置(作出評估比較) 。這樣，盡管科斯論文沒有用到數(shù)學模型，他的分析框架仍然是按照以上五個組成部分進行的。由于科斯假設了

9、一個非常簡單的經濟環(huán)境，且只用文字語言討論問題，沒有像用數(shù)學模型進行討論那樣清晰，因而一些術語和邏輯分析方面有許多含混不清的地方，使得科斯定理的成立與否存在著很大的討論空間和許多爭議的地方。在許多情況下，科斯定理成立與否依賴于經濟環(huán)境的界定。例如，除非消費者的效用函數(shù)是準線性(quasi-linear) ，科斯中性定理不會成立。要知道準線性效應函數(shù)對消費者來說，是施加了一個很強的假設：對具有外部性商品的收入效益為零。不知道這個條件就可能誤用這個定理。事實上，赫維茲(Hurwicz，1995) 給出了科斯中性定理結論成立的充分必要條件：當交易成本為零及產權明晰界定時，導致有效配置的充分必要條件是

10、效用函數(shù)為準線性函數(shù)，即具有外部性商品的收入效應一定要為零。科斯有效性定理的問題更大。如阿羅(Arrow, 1979) 指出的那樣，由于科斯的自愿談判假設可以被模型為合作型博弈，這要求假定關于經濟環(huán)境的信息是完全的。當信息不完全或不對稱時，一般不能導致資源的有效配置。即使信息是完全的，Aivazian和Callen (1981) 證明了，合作博弈的經濟核(economic core) 也許是空集，從而不能導致資源的有效配置。另外，Starrett (1972) 論證了，對具有生產的外部性，它本質上可特征為生產集的非凸性，一旦如此，有效配置也許不能通過市場機制來達到，理論上可以證明，也許不存在均

11、衡價格來支撐有效配置(即，第二福利經濟學定理不成立)。還有，當經濟環(huán)境中不只兩人時，如何解決群體行動中固有的搭便車問題。在這種情況下，市場機制可能會失靈，需要設計出某種激勵機制，搭便車問題至今仍然是一個沒有完全解決的問題。另外，科斯定理還有一些其他的問題，奇普曼 (John S. Chipman，1998) 對文獻中關于科斯定理的討論作了一個很好的綜述，有興趣的讀者不妨找來看看?？傊P于科斯定理的討論和爭論仍然還在繼續(xù)中，這種爭論和討論帶動了產權理論及組織理論的大大發(fā)展。科斯定理意義深遠，使得科斯獲得1991年度諾貝爾經濟學獎。 第二個例子是納什(Nash)的博弈均衡存在性定理。納什是一個純

12、數(shù)學家，他在1951年給出了納什博弈均衡的定義，并給出了納什均衡存在性的證明。納什均衡存在性是非合作博弈論的基礎。8從數(shù)學原創(chuàng)性及證明的難度來看，這個定理不是太難，只是數(shù)學中的不動點定理的應用，但它們成為博弈論的最根本的基礎，使得博弈論成為經濟學中最重要的分析工具之一，在經濟學中有著廣泛的應用，它可以用來研究經濟人之間相互影響的策略選擇問題。由于這些原因，納什憑這篇論文和1950年關于納什談判解的論文獲得1994年諾貝爾經濟學獎。我們現(xiàn)在來說明，盡管納什均衡存在性定理是一個純數(shù)學定理，當它賦予經濟涵義后，它的分析框架也包含這五個組成部份。經濟環(huán)境：由所有游戲參與者及其經濟特征所組成，這里每個游

13、戲者的行動集、信息結構、收益函數(shù)等構成了他的經濟特征。行為假設：每個游戲參與者知道其他人的經濟特征，并將其他人的策略設為給定，決定自己的策略使之最大化自己的收益。游戲規(guī)則：游戲的順序是同時行動。均衡結果：所有游戲參與者的最佳策略組成了均衡策略。評估比較：對納什均衡解進行評價，看是否達到某種社會最優(yōu)或按某種標準剔除多余的納什均衡。納什的論文在非常一般化的條件下，證明了納什均衡的存在。由于納什的均衡存在定理是用數(shù)學模型表達的，沒有不清楚的地方，不像科斯定理，沒有什么爭議，為研究經濟人的決策互動及其選擇建立了一個很好的研究平臺。什么是經濟理論經濟理論是由假設、分析框架以及從這些假設與分析框架中得出的

14、結論構成。正如許多其他科學一樣，經濟理論至少有三個作用。第一個作用是，它能夠用來解釋現(xiàn)實中的經濟現(xiàn)象和經濟行為，這是現(xiàn)代經濟學主要討論的內容。第二個作用是，它能夠對給定的現(xiàn)實經濟環(huán)境、經濟人行為方式及經濟制度安排下所可能導致的結果作出科學的預測和推斷，并指導解決現(xiàn)實經濟問題?，F(xiàn)實經濟環(huán)境與理論模型中的前提假設條件大致滿足，它就能得出科學的邏輯結論并據(jù)此作出科學、正確的預測和推斷，而不一定需要用實驗就能知道最終結果。一個好的理論不用實驗也能推斷出最終結果。這在很大的程度上解決了經濟學不能拿社會作實驗的問題。人們需要做的只是關于檢驗經濟環(huán)境和行為方式等方面的假設是否合理(近些年來非常熱門的實驗經濟

15、學主要就是從事檢驗經濟人的行為方式假設等理論基礎性方面的研究)。第三個作用是，許多理論上的不可能性結果可以用來避免實施許多現(xiàn)實中不可行的目標和項目。這是因為如果一個結論在理論上不能成立，只要理論的前提假設條件符合現(xiàn)實，這個結果在現(xiàn)實中也一定不可能成立。經濟理論為分析解釋真實世界中的經濟行為與經濟現(xiàn)象、進行經濟預測和反駁錯誤的結論服務的。1、經濟理論的一般性從以上對現(xiàn)代經濟學的基本框架的討論可以看出，經濟學中每一個理論或一個模型都是由一組關于經濟環(huán)境、行為方式，制度安排的前提假設以及由此導出的結論所組成的。一個理論的前提假設條件越一般化，理論的作用和指導意義就會越大。如果一個理論的前提假設條件太

16、強，它就沒有一般性，這樣的理論也就沒有什么用處。這樣，成為一個好的理論的必要條件就是它要有一般性，越具有一般性，解釋能力就會越強，就越有用。 2、經濟理論的相對性在希望一個理論具有更大一般性的同時，也必須要注意到它的適應范圍、邊界以及局限性。這樣在應用一個經濟理論時便可避免犯兩種錯誤。第一種錯誤是高估理論的作用。經濟學中的所有假設與結論基本上都不是絕對的，而是相對的。無論一個理論多么一般化，它只是相對正確的，并且有它一定的局限性和適應的范圍。在討論問題和運用某些經濟學原理時，要注意這些原理后面的前提假設條件和它的適應范圍,不能泛用，否則就會得出錯誤的結論。記住了定理的邊界條件，你就不會輕易地下

17、結論，否則就會誤用某個定理。另外一個錯誤是低估理論的作用。不少人經常以現(xiàn)代經濟學中某些假設或原理不太適合中國國情為理由而否定現(xiàn)代經濟學。事實上，世界上沒有一門學科的所有假設或原理完全地合乎現(xiàn)實(像上面提到的沒有空氣阻力的自由落體等物理概念)。我們不應根據(jù)這一點來否定一門學科的有用性。對現(xiàn)代經濟學也是如此。我們學習現(xiàn)代經濟學，不僅僅是了解它的基本原理、它的有用性，更重要的是學習它思考問題、提出問題和解決問題的方法。有些經濟理論本身的價值并非直接解釋現(xiàn)實，而是為解釋現(xiàn)實發(fā)展更新的理論提供研究平臺和參照系。借鑒這些方法，人們可以對如何解決現(xiàn)實中的問題得到啟發(fā)。此外，如上節(jié)所述，由于環(huán)境的不同，一個理

18、論對一個國家或地區(qū)適合，不見得對另外一個國家或地區(qū)適合,不能機械地生搬硬套，而需要修改或創(chuàng)新原有理論，根據(jù)當?shù)氐慕洕h(huán)境和人們的行為方式發(fā)展新的理論。112 數(shù)學在經濟學研究中的角色 數(shù)學現(xiàn)在已經成為現(xiàn)代經濟學研究中最重要的工具。現(xiàn)代經濟學中幾乎每個領域或多或少都用到數(shù)學、統(tǒng)計及計量經濟學方面的知識。這一點致使許多對經濟學感興趣但又沒有較強數(shù)學基礎的人望而卻步、見而生嘆。他們往往抱怨學習現(xiàn)代經濟學更多的是學習數(shù)學。為什么現(xiàn)代經濟學用到如此多的數(shù)學，甚至超過了物理科學所使用的數(shù)學知識呢？如何看待經濟學和數(shù)學的關系呢？ 首先，經濟學不是數(shù)學，數(shù)學在經濟學中只是作為一種工具被用來考慮或研究經濟行為和

19、經濟現(xiàn)象。經濟學家只是用數(shù)學來更嚴格地闡述、更精煉地表達他們的觀點和理論，用數(shù)學模型來分析各個經濟變量之間的相互依存關系。由于經濟學的度量化、將各種前提假設條件精確化，它已成為了一門體系嚴謹?shù)纳鐣茖W。由于提供研究平臺，建立參照系和給出分析工具都需要數(shù)學，這就不難理解為什么數(shù)理分析的方法在現(xiàn)代經濟學中成為主要的研究方法。如果經濟學沒有采用數(shù)學，經濟學就不可能成為現(xiàn)代經濟學?？梢哉f，學好數(shù)學幾乎是學好現(xiàn)代經濟學的必要條件。這個必要性在于，許多經濟學概念是需要用數(shù)學來定義，經濟行為和經濟現(xiàn)象也主要是通過運用數(shù)學語言來分析和研究的。用數(shù)學語言來表達關于經濟環(huán)境和個人行為方式的假設，用數(shù)學表達式來表示

20、每個經濟變量和經濟規(guī)則間的邏輯關系，通過建立數(shù)學模型來研究經濟問題，并且按照數(shù)學的語言邏輯地推導結論。 因此，不了解相關的數(shù)學知識，就很難準確理解概念的內涵，也就無法對相關的問題進行討論。理解概念是學習一門學科，分析某一問題的前提。因而你如果想學好現(xiàn)代經濟學，從事現(xiàn)代經濟學的研究，想成為一個好的經濟學家，就需要掌握必要的數(shù)學。然而，光懂數(shù)學還不能成為一個很好的經濟學家，還要深刻理解現(xiàn)代經濟學的分析框架和研究方法，對現(xiàn)實經濟環(huán)境、經濟問題有很好的直覺和洞察力，學經濟學時不僅要從數(shù)學(包括幾何)的角度去了解一些術語、概念和結果, 更重要的是，即使它們是用數(shù)學的語言或幾何的圖型給出的，也要盡可能弄清

21、它們的經濟學含義。因而在學習經濟學時不要被文中的數(shù)學公式、數(shù)學符號等迷惑住。 有意思的是，現(xiàn)代經濟學中的兩個極端：純理論和純應用都用到了最多的數(shù)學。理論經濟學家主要用的是純數(shù)學作為研究工具。數(shù)學在理論分析中的作用是：(1) 使得所用語言更加精確和精煉，假設前提條件的陳述更加清楚，這樣可以減少許多由于定義不清所造成的爭議。(2) 分析的邏輯更加嚴謹，并且清楚地闡明了一個經濟結論成立的邊界和適應范圍，給出了一個理論結論成立的確切條件。否則的話，往往導致一個理論的泛用。例如，在談到產權問題時，許多人都喜歡引用科斯定理，認為只要交易費用為零，就可導致資源的有效配置。直到現(xiàn)在，仍有許多人不知道(包括科斯

22、本人在給出他的論斷時也不知道)，這個結論一般不成立。如上所述，還要加上效用(支付)函數(shù)是準線性(quasi-linear)這一條件。(3) 利用數(shù)學有利于得到不是那么直觀就得到的結果。比如，從直觀上來看，根據(jù)供給和需求法則，只要供給和需求量不相等，競爭的市場就會由看不見的手，通過市場價格的調整，達到市場均衡。但這個結論不總是成立。Scarf(1960)給出了具體的反例，證明這個結果在某些情況下并不成立。(4) 它可改進或推廣已有的經濟理論。這方面的例子在經濟理論的研究中太多了。比如，經濟機制設計理論是一般均衡理論的改進和推廣。 實證經濟學家主要用的是數(shù)理統(tǒng)計和計量經濟學。我們不是為學經濟學而學

23、經濟學，而是對所觀測到的經濟現(xiàn)象和統(tǒng)計資料進行分析、描述和制定政策，并對經濟理論進行檢驗。對經濟問題，不僅要作定性的理論分析，還需要有經驗性的定量分析。經濟統(tǒng)計和計量經濟學在這些方面發(fā)揮著重要作用。經濟統(tǒng)計側重于數(shù)據(jù)的收集、描述、整理及給出統(tǒng)計的方法，而計量經濟學則側重于經濟理論的檢驗、經濟政策的評價、進行經濟預測，及檢驗各個經濟變量之間的因果關系。為了更好地估計經濟模型和作出更精確地的預測，理論計量經濟學家不斷地研究出更為有力的計量工具。 隨著現(xiàn)代經濟學的教育和研究在中國迅速地發(fā)展和深入。越來越多的人感覺到數(shù)學在經濟學中的重要性，也想學好數(shù)學，但面對數(shù)學紛繁復雜的類目，許多學生不知道學什么好

24、。筆者認為，要學好經濟學，至少要掌握好工科水準的高等數(shù)學，線性代數(shù)，及概率與數(shù)理統(tǒng)計的內容。掌握了現(xiàn)代經濟學的基本分析框架、研究方法，及學好了數(shù)學，學起現(xiàn)代經濟學來就會感到相對容易，可以提高學習現(xiàn)代經濟學效率，并且對進一步學習優(yōu)化理論，動態(tài)最優(yōu)等數(shù)學工具也大有幫助，這些數(shù)學工具是學好高級微觀經濟學和高級宏觀經濟學不可缺少的數(shù)學知識。如想要從事現(xiàn)代經濟學的理論研究和真正學好現(xiàn)代經濟學，最好是學習數(shù)學分析。高等數(shù)學主要是側重于掌握數(shù)學知識，及其培養(yǎng)應用數(shù)學的能力，而數(shù)學分析卻對培養(yǎng)學生的邏輯分析能力和創(chuàng)造性思維能力大有作用。許多學生害怕現(xiàn)代經濟學中的許多證明，其原因就是沒有學過數(shù)學分析，學過數(shù)學分

25、析的人們對證明就不會感到那么困難。其實，即使今后不從事研究工作，提高了邏輯分析和創(chuàng)造性思維能力對日常工作也會有一定的幫助。 113經濟學語言和數(shù)學語言的相互間轉換 經濟學研究的產品是經濟論斷和結論。任何一篇規(guī)范的經濟學論文的寫作由下面三個部份組成：(1)提出問題，給出重要性，確定研究目標； (2) 建立經濟模型，嚴格表達并驗證論斷；(3) 通俗表達論斷并給出政策含義。這就是說，一個經濟結論的產生一般需要經過三個階段：非數(shù)學語言階段-數(shù)學語言階段-非數(shù)學語言階段。第一階段提出經濟觀念、想法或猜想，這些觀念、想法或猜想可能由經濟直覺產生或根據(jù)歷史經驗或外地經驗而來。由于還沒有經過理論論證，人們可將

26、它們類比為一般生產中的初等品。這一階段是非常重要的，它是理論研究和創(chuàng)新的來源。 第二階段需要驗證所提出來的經濟想法或論斷是否成立。這種驗證需要經濟學家通過經濟模型和分析工具給出嚴格的證明，只要可能，還需要得到實際經驗數(shù)據(jù)的檢驗。所得出的結論和論斷往往都是由數(shù)學語言或專家術語來表達的，非專家的人士不見得能理解，從而不能為社會大眾，政府官員、政策制定者所采用。所以將這些由技術性較強的語言所表達的結論和論斷類比為一般生產中的中間產品。 學經濟學是要為社會服務的，所以第三階段就是將由技術語言所表達的結論和論斷用通俗的語言來表達，使得一般的人也能夠理解，用通俗語言的形式給出這些結論的政策含義，深遠意義及

27、具有洞察力的論斷，這些才是經濟學的最終產品。注意第一和第三階段都是用通俗、非技術、非數(shù)學的語言來給出經濟想法和結論，但第三階段是第一階段的一種飛躍、升華。這種三階段式-由通俗語言階段到技術語言階段然后再回到-通俗語言階段其實也是大多數(shù)學科所采用的研究方式。12 高級微觀經濟學中的數(shù)學方法121 集合與映射1211 邏輯要素在這一節(jié)中，我們介紹在經濟學的證明中經常要用到的一些基本邏輯概念。性質 給定集合，令是關于集合中每個元素的性質，陳述“具有性質”，記為。對性質，由中是正確的元素組成的集合稱為相伴于的集合，記為，即：。量詞通常用來表示給定集合中的某個元素或每個元素滿足一個給定的性質。 為表述集

28、合中每個元素都滿足性質，我們就可以使用全稱量詞“”，記為： （即對中任意元素，是正確的）。 為表述集合中某個元素滿足給定的性質，我們就可以使用存在量詞“”，記為： （即中至少存在一個元素，使得是正確的）。 通常我們還會涉及到幾個量詞同時使用的表達式。例如，陳述：意思是“對于中任意元素，A中存在一個元素，使得滿足性質。又如陳述：意思是“A中存在一個元素，使得對于中任意元素，都滿足性質?！背浞謼l件與必要條件我們經?？梢钥吹竭@種陳述“從性質推出性質”，記為：，讀做：“若成立，則成立”，意思是滿足性質的所有元素都滿足性質， 則我們稱蘊含著，或者說成立是成立的必要條件，成立是成立的充分條件。若至少存在一

29、個元素滿足性質，但不滿足，則的否定是正確的，記為：。蘊涵的逆命題是。當蘊含與它的逆命題同時成立時，我們稱成立是成立的充分必要條件，寫為：，此時，性質與性質等同。在經濟問題的討論中,區(qū)分充分條件與必要條件也是非常重要的,它能幫助人們很清楚地思考問題和避免不必要的爭論。必要條件是一個命題成立所必不可缺少的條件，充分條件是能保證命題一定成立的條件。例如，經常聽到有人，用印度的例子來否認市場經濟，認為印度采用的是市場經濟，但還是很貧窮，所以中國不應該走市場經濟之路。說這些話的人，就是沒有區(qū)分出必要條件和充分條件的差別。市場經濟是導致一個國家富強的必要條件而不是充分條件。這就是說，要想國家富強,一定要走

30、市場經濟的道路。這是由于在世界上找不到任何富裕，但不是市場經濟的國家。但走市場經濟之路，只是必要條件，不是充分條件，我們也必須承認市場機制不一定導致繁榮昌盛。其原因是，盡管(根據(jù)目前觀察到的事實)市場機制是使一個國家繁榮昌盛必不可少的,但還有許多因素也能影響一個國家的繁榮富強,比如, 政府干預經濟的程度、政治制度、宗教、文化、社會結構等，使得市場機制有好的市場機制和壞的市場機制之分。1212集合集合定義所謂集合就是不同對象的集成。這些對象可以是不同的數(shù)，也可以是別的什么東西。因此，如同九個自然數(shù)可以構成一個集合一樣，所有喜愛羽毛球運動的學生也可以視為一個集合。集合中的這些對象稱為集合的元素。我

31、們用大寫英文字母表示集合，小寫英文字母表示元素。若是集合中的元素，則記為：，否則，記為：。根據(jù)集合中所包含元素的數(shù)量，我們把集合分成有限集與無限集。1、有限集：一個具有有限元素的集合。有限集合總是可數(shù)的，其元素數(shù)量可以以基數(shù)1，2，表示。2、空集：不含有任何元素的集合稱為空集，記為。3、無限集：一個具有無限元素的集合。無限集合既可能是可數(shù)的，如整數(shù)集合，也可能是不可數(shù)的，如實數(shù)集合，我們無法將后者中的元素與基數(shù)1，2，等聯(lián)系起來。注意：空集與零元素集合的區(qū)別，前者表示不含有任何元素，后者表示集合中只包含一個零元素。集合的書寫方法 集合的書寫方法包含如下兩種：1、列舉法：把所有集合中的元素一一列

32、舉出來，例如：小于10的自然數(shù)集合用列舉法可以表述為：。2、描述法：將集合中全部元素的共同特性和性質用文字或符號語言描述出來。例如：小于10的自然數(shù)集合用描述法可以表述為：，其中豎杠左邊的是集合的代表性元素，豎杠右邊的“小于10的自然數(shù)”是元素的描述性特征。在使用描述法時，一定要在代表元素的一般符合和元素的描述性特征之間加一豎杠，以便使二者區(qū)別開來。元素與集合之間的關系元素與集合之間的關系無外乎兩種，即屬于與不屬于。我們以符號“”表示屬于，以符合“”表示不屬于。例如，當集合時，但20。集合之間的關系 將兩個集合加以比較時，可能觀測到幾種可能的關系，具體表現(xiàn)為：1、子集關系 ，稱為的子集，記為：

33、。例如：如果，則2、相等關系如果兩個集合中的元素相同（集合中元素出現(xiàn)的次序無關緊要），記為：；兩個集合相等的充分必要條件式它們互為子集，即：且。例如：如果，則。注意：空集是任何集合的子集，即；集合自身是其自身的子集，即。3、不相交兩個集合中不包含有任何共同的元素。例如：如果，則不相交。4、不相等但相交 兩個集合具有某些共同的元素，但另一些元素分屬不同的集合。例如：如果，則這兩個集合雖然不相等，但相交。集合的運算 如同對數(shù)可以進行加、減、乘、除或開方運算一樣，對集合我們也可以進行類似的運算，我們在這里討論三種基本的運算，即并集、交集和補集。1、并集集合的并是所有集合中的元素構成的一個新的集合，記

34、為“”，對于兩個集合與的并為： ，任意個集合的并記為。例如：如果，則。2、交集集合的交是由所有集合中的共同元素所構成的一個新的集合，記為“”，對于兩個集合與的交為： ，任意個集合的交記為。例如：如果，則。3、補集集合是全集的一個子集，則集合的補集是由全集中不屬于集合的元素所構成的一個新的集合，記為，。例如：，則。集合的三種運算可以以圖更直觀地表示出來，該圖稱為維恩圖。圖(1)中，集合是由左邊圓中的點構成，集合由右邊圓中的點構成，與的并集則由覆蓋兩個圓的陰影部分所組成；圖(2)中的陰影部分構成與的交集；圖(3)中，全集是由矩形中的點構成，集合由圓中的點構成，陰影部分構成集合的補集。 圖1.1、集

35、合的乘積個集合的乘積是以形式表示的維向量的集合，記為：。特別地，如果每個集合都是實數(shù)集，則集合乘積構成維歐幾里德空間內的點。因此，維歐幾里德空間可以被定義成個實數(shù)集合的乘積。在經濟學中，我們更為關注的是中的非負卦限集合：，圖1.2中陰影部分表示了二維歐幾里德空間中的非負卦限。今后，我們用大寫字母代表維向量。表示向量的每一個分量；表示向量的每一個分量嚴格為正，即；表示每一個分量滿足； 表示向量中的每一個分量滿足。時。圖1.2集合的運算法則1、交換律 2、結合律3、分配律4、DeMorgan法則中凸集中的集合稱為凸集，如果對于中的任意給定的兩點與，對每一個，點，則是凸集。形式為的向量稱為與的凸組合

36、。與的所以凸組合組成的集合是連接兩點的直線段，并稱與為線段的端點，（其中為線段的內部。對于一個凸集，當且僅當我們可以把集合內的任意兩點用一條直線連接，該直線段完全位于集合內。凸集均是“運行良好的“，它們沒有洞，無斷點，在邊界上沒有凹凸。內部非空的凸集稱為凸體。若連接凸體中任意兩點的直線段，除了端點外都都在凸體的內部，則稱該集合為嚴格凸。圖1.3 凸集的一些性質定理11：任意凸集的交是凸集；但凸集的并不一定是凸集。 證明：設，其中是凸集。，則，有，由于是凸集，所以，有，因此有，故而是凸集。凸集的并不一定是凸集，大家可以想像，香蕉可產生凸的切片，但香蕉本身不是凸集。定理12：令中的凸集，則集合和也

37、是凸集。證明：，則，由于是凸集，所以的凸組合，而 因此，是凸集。，則：，因此的凸組合由于中的凸集，所以有，,因此有：，這表明為凸集。定理13 ：凸集X與Y的任意線性組合也是凸集。該定理是定理122的推論。1213關系關系如果一個集合非空，且它的元素都是有序對，則稱該集合為一個二元關系，記作。二元關系也可簡稱為關系，它是乘積集合子集。對于二元關系，如果，可記作或者，被稱為的像。的像集定義為：。如果，則記作。例如：二元關系“”集合的元素是：，當時，二元關系“”的集合如圖1.4中的陰影部分所示。 圖1.4關系的特征1、自反性我們稱關系具有自反性，如果，有。例如關系“”就不具有自反性，但關系“”就具有

38、自反性。2、傳遞性我們稱關系具有傳遞性，如果對，由（，）。3、對稱性，我們稱關系具有對稱性，如果對， 。ö4、反對稱性我們稱關系具有反對稱性，如果，和5、完備性我們稱關系是完備的，如果，, 或者。例如關系“”就不具有完備性，因為當我們取時，即不成立，也不成立。1214函數(shù)函數(shù)是一類非常普遍又十分特殊的關系。直觀地說，函數(shù)是這種關系使一個集合D里的每一個元素映射到另一個（可能相同的）集合S里的唯一元素，記為。函數(shù)的定義令D和S是兩個集合。是由D到S的一個關系，對于每一個，都存在唯一的元素，使得，我們稱是從D到S的一個函數(shù)，記為：。其中D稱為函數(shù)的定義域，表示能夠取的所有值的集合；為函數(shù)

39、的像集，所有的取值稱為值域，記為。函數(shù)的逆像集被定義成。構成函數(shù)有兩大要素，其一是定義域，其二是對應法則，所以我們把定義域與對應法則完全相同的兩個函數(shù)認為是相等。注意：盡管函數(shù)的定義規(guī)定對于每一個有一個唯一的，但并不要求反之也成立，換句話說，多個值可與同一個值相聯(lián)系。滿射若是一個函數(shù)，如果。單射如果。雙射如果即是滿射又是單射，則稱是雙射，即對于S中每一個元素都有原像而且它的原像是唯一的。反函數(shù)給定函數(shù)，它的逆關系可能是一個函數(shù)，也可能不是一個函數(shù)，若是函數(shù)，則稱是的反函數(shù)。若是單射，中每一個在中都有唯一的原像，則是由到的函數(shù)，若還是滿射，則就是從到的函數(shù)。定理14：令是函數(shù)，是的子集族，則：（

40、1）；（2）。證明：（1）（2）的證明請同學自己完成。定理15：令是函數(shù)，是的子集族，則：（1）；（2）。證明：（1）的證明請同學完成。（2）函數(shù)的類型1、常值函數(shù)值域僅有一個元素的函數(shù)。2、多項式函數(shù)多項式函數(shù)的一般形式為：根據(jù)冪指數(shù)的不同，分別稱為線性函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、次函數(shù)。在直角坐標平面內，線性函數(shù)是一條直線；二次函數(shù)是拋物線；三次函數(shù)一般會出現(xiàn)兩次彎曲。3、有理函數(shù)：兩個多項式的比率。例如：根據(jù)定義，任何多項式函數(shù)本身必定為有理函數(shù)。在經濟學中有一個特殊的有理函數(shù)是等軸雙曲線：，它可以代表具有單一需求彈性的需求曲線；4、非代數(shù)函數(shù)：任何以多項式和多項式的根表示的函數(shù)，均是代數(shù)

41、函數(shù)。其他的為非代數(shù)函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。函數(shù)的性質1、關于原點對稱（奇函數(shù)）：2、軸對稱（偶函數(shù)）：3、單調性：當；若，則為嚴格單調函數(shù)。4、周期函數(shù)：5、有界性：存在1215實數(shù)系統(tǒng)上的公理實數(shù)集R上的三個公理1、域公理：集合R關于加法與乘法是域，即加法與乘法都滿足結合律與交換律，關于加法與乘法都有單位元和逆元素，而且下列分配率成立：對于每一個。2、序公理：R中存在一個全序，它和加法與乘法相容，即：（1）（2）3、完備性公理：令和是實數(shù)的兩非空集合，滿足下面的性質：，則存在實數(shù)，使得：。完備性公理實數(shù)集合中的有界集和集合的界 令X是一個實數(shù)集合，若存在一個實數(shù)（不一定屬于

42、X），滿足對于X中任意，都有，則我們稱是X的上界，集合X是有上界的。類似可以定義下界，即對于X中任意，都有，則我們稱是X的下界，集合X是有下界的。實數(shù)集上確界與下確界對于有界實數(shù)集X，與分別是X的下界與上界，則等都是其下界，等都是其上界，我們把有界實數(shù)集的下界中最大的數(shù)稱為X的最大下界或下確界，把有界實數(shù)集X的上界中最小的數(shù)稱為X的最小上界或上確界。定理16：實數(shù)子集的上界與下界1、設是內的一個有界開集，并設分別是的下確界與上確界，那么。2、設是內的一個有界閉集，并設分別是的下確界與上確界，那么。證明：1、我們只證明。反證法。假設的下確界，則由于是開集，則，使得，特別地點，由于，這與是的下確界

43、相矛盾。2、同上，我們只證明。同樣使用反證明法。假設有界閉集下確界，則，由于是閉集，所以是開集，于是，使得，由于是的下確界，并且，所以有，那么對于中的每一個點，都嚴格小于內的每個點。特別地對于，于是也是的下界，但是，這與是的下確界相矛盾。122 拓撲理論1221開集與閉集 為了定義開集與閉集，我們首先必須定義距離概念。維歐幾里德距離對于中的的兩個向量，歐幾里德距離被定義成：有了歐幾里德距離，我們就可以定義開球與閉球的概念。開球設是任意的實數(shù)，則中以為中心，以為半徑的開球記為，閉球：設是任意的實數(shù)，則中以為中心，以為半徑的閉球記為，開集的定義如果對，使得，則稱是開集。定理17：每一個開集S是開球

44、的并，即：，其中。定理18 開集的性質1、空集是一個開集。2、是一個開集。3、任意開集的并集是一個開集。證明：，其中是任意數(shù)，我們欲證明是開集。對于，則存在某個，使得，由于是開集，故，證畢。4、 有限個開集的交集是一個開集。證明：，由于每個是開集，所以，使得，取，則，證畢。閉集的定義：S是閉集，如果S的補集是開集。定理19閉集的性質1、空集是一個閉集。2、整個空間是一個閉集。3、任意閉集的交集是一個閉集。4、有限個閉集的并集是一個閉集。集合的內部、邊界和閉包1、內部點，如果，使得，則稱是集合的內點。中所有內點的集合稱為的內部，記為。2、外部點，如果，使得，則稱是集合的外點。中所有外點的集合稱為

45、的外部，記為。3、邊界點，如果對于任意的包含的開球都與和相交，則稱是集合的邊界點。中所有邊界點的集合稱為的邊界，記為。4、閉包點，如果對于任意的包含的開球都至少包含中一點，則稱是集合的閉包點。中所有閉包點的集合稱為的閉包，記為。 集合的內部、邊界和閉包定理1101、是包含的最大開集；2、是開集的是；3、是包含的最大閉集；4、是閉集的是。中的有界集S是中的有界集，如果對于，使得。依據(jù)這個定義，如果我們總是能畫出以此集為中心的球包含該集合，則該集合即為有界集。例1：任意開球是有界集，因為。例2：實軸上的每個開區(qū)間是有界集，因為 我們上面討論了閉集與有界集，接下來我們將把兩個結合，討論另外一個在經濟

46、學中應用十分廣泛的集合概念緊集。緊集的定義：是內的一個緊集，如果集合是有界閉集。如我們在前面討論的，每個上的開區(qū)間并不是緊集，因為上的開區(qū)間雖然是有界集，但不是閉集；但是每個上的閉區(qū)間是緊集。同樣，每個上的開球并不是緊集，但是每個上的閉球是緊集。1222函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性設D是中的一個子集，并且設，如果對于每個，存在一個，使得下列式子成立，那么，在點連續(xù)。f 是連續(xù)函數(shù)é f 在x D上連續(xù)定理111：連續(xù)函數(shù)與逆象 設D是的一個子集，如下的條件是等價的1、是連續(xù)的2、對于內的每個開球，在D內也是開的。3、對于內的每個開集S，在D內也是開的。證明：1 對于由定義知：,使得：，由于是開

47、球，故由開球的定義知：，使得：由函數(shù)的連續(xù)性知：對上述的，使得，于是有：。2由定理17知：，又由定理14得：，而是開集，所以由定理128知結論得證。3我們需要證明在點連續(xù)即可。為此：對于，由于是開集，由于，所以有，由于是開集，故，使得，由此得：，連續(xù)性得證。定理112：連續(xù)函數(shù)把緊集映射成緊集。設D是的一個子集，并且設是定義在D上的連續(xù)函數(shù)， 。如果是D內的一個緊集，那么，其象在內是緊集。1223 中的數(shù)列中數(shù)列的定義數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的定義域是自然數(shù)集。令是維實空間，則函數(shù)稱為中的數(shù)列。通常，表示數(shù)列在處的函數(shù)值，即，表示我們所討論的整個數(shù)列。中子數(shù)列的定義令是一個中的數(shù)列，考慮一個嚴

48、格遞增的函數(shù)。對于正整數(shù)，復合函數(shù)是中的一個子數(shù)列。的子數(shù)列通常記為。直觀地講，子數(shù)列是從原數(shù)列中去掉某些元素形成的數(shù)列。對于，遞增函數(shù)使得正整數(shù)，原數(shù)列中對應項形成了子序列。數(shù)列的收斂如果，當時有，則稱數(shù)列收斂于，記為：。有界數(shù)列定義如果，使得數(shù)列中的任意兩項，的距離,則稱數(shù)列是有界的。定理113：收斂數(shù)列必是有界數(shù)列，反之，有界數(shù)列并不一定收斂。證明：假設收斂于，則根據(jù)定義，當時有，取，則，因此數(shù)列中的任意兩項，的距離，由定義知數(shù)列有界。有界數(shù)列并不一定收斂，例如，數(shù)列顯然有界，但它并不收斂。定理114：博爾扎諾-魏爾斯特拉斯定理中任何一個有界數(shù)列必存在收斂的子數(shù)列。定理115：數(shù)列、集合

49、與連續(xù)性之間的關系設的一個子集，并設，那么：1、是開的，當且僅當對于每個，如果，則，使得當時，有。2、是閉的，當且僅當對于內的每個收斂數(shù)列，有。3、是連續(xù)的，當且僅當對于內的每個收斂數(shù)列，有。1224一些存在性定理定理116：魏爾斯特拉斯極值定理設是的一個非空的緊子集，一個連續(xù)的實值映射，那么存在向量與，使得：對于所有的，都成立。 證明：由于是連續(xù)函數(shù)，并且是的一個非空的緊子集，由定理1212有是上的一個非空的緊子集，又由定理126，上的有界閉集一定可以達到其上確界與下確界，所以存在，使得：對于所有的，有 ，由于，所以存在向量與，滿足與。該定理的意義在如下圖中得到說明。在圖（1）、（2）中，是

50、一個連續(xù)的實值函數(shù)。在圖（1）中，子集是有界、閉集，因此也是緊集，在中的與分別達到其極大與極小值。但在圖（2）中，如果我們考慮，它并不是閉集，從圖上可以看出，在中，函數(shù)分別在點處達到其極小與極大值，因此在中，函數(shù)不能達到其極小與極大值。 （1） （2）接下來讓我們考慮一類更為特殊的函數(shù)，即從中一個子集映射到的同一子集的函數(shù)。例如線性與非線性方程組定義了這樣的函數(shù)。例如聯(lián)立方程組由下式給出：這個方程組組把點映射到點中，因此，這是一個將集合映射到相同集合的映射。特別地，如果這個方程組的解滿足： 則該解稱為映射的一個不動點。下面我們看不動點存在的充分條件。定理117：布勞威不動點定理設是的一個非空的

51、緊凸集，一個連續(xù)映射，那么在中至少存在一個點，使得。1215 實值函數(shù)在微觀經濟學中，實值函數(shù)經常會遇到，比如消費者效用函數(shù)、間接效用函數(shù)、支出函數(shù)、廠商利潤函數(shù)、成本函數(shù)等。實值函數(shù)的定義如下：實值函數(shù)的定義從任意集合D到實數(shù)集合上的函數(shù)，即。實值函數(shù)把定義域中的點映射到實線上。在此我們將介紹一些在經濟學中經常遇到的一些實函數(shù)。單調性函數(shù)1、遞增（減）實值函數(shù)設上的實值函數(shù)，這里，如果當時有，則稱為遞增（減）實值函數(shù)。2、嚴格遞增（遞減）實值函數(shù)設上的實值函數(shù)，這里，如果當時有，則稱為嚴格遞增（減）實值函數(shù)。3、強遞增（遞減）實值函數(shù)設上的實值函數(shù)，這里，如果當且時有，則稱為強遞增（減）實值

52、函數(shù)。 顯然，我們有下面的兩個結論：1、強遞增（減）實值函數(shù)一定是嚴格遞增（減）實值函數(shù)。2、嚴格遞增（減）實值函數(shù)一定是遞增（減）實值函數(shù)。 這兩個結論的證明請同學自己完成。相關集合1、水平集是一個實值函數(shù)（這里）上的水平集當且僅當水平集的概念在經濟學中就是無差異的概念，它是函數(shù)值相同的點的集合，如果這個函數(shù)代表效用函數(shù)，則水平集就是無差異曲線；如果這個函數(shù)代表成本函數(shù)，則水平集就是等成本曲線。對于任意的函數(shù)值，我們都可以構造一個與該值相對應的水平集，如下圖所示。 上的水平集定理118:函數(shù)的任意兩個不同的水平集不相交。證明：假設與是函數(shù)的兩個不同的水平集，如果它們相交，則存在一點，滿足及，

53、這顯然與函數(shù)的定義（多對一與一對一映射）相矛盾。2、上優(yōu)集與下劣集合，相對于水平的上優(yōu)集。，相對于水平的嚴格上優(yōu)集。，相對于水平的下劣集。，相對于水平的嚴格下劣集。定理119:水平集、上優(yōu)集與下劣集之間的關系（1）水平集是上優(yōu)集的子集，即：；（2）水平集是下劣集的子集，即：；（3）水平集是上優(yōu)集與下劣集的交，即：；（4）嚴格上優(yōu)集是上優(yōu)集的子集，即：；（5）嚴格下劣集是下劣集的子集，即：；（6）嚴格上優(yōu)集與下劣集的交是空集，即：（7）嚴格下劣集與上優(yōu)集的交是空集，即：（8）嚴格上優(yōu)集與嚴格下劣集的交是空集，即：下圖給出了遞增與遞減的上優(yōu)集與下劣集。 遞增函數(shù)的上優(yōu)集與下劣集 遞減函數(shù)的上優(yōu)集與

54、下劣集3、函數(shù)的上圖與下圖集函數(shù)的上圖是函數(shù)上面的點（）的集合：函數(shù)的下圖是函數(shù)下面的點（）的集合：hypfepif 函數(shù)的上圖與下圖微積分1、偏導數(shù)令，在點的鄰域中有定義，當其它分量不變，而分量有增量時，相應地函數(shù)有增量，如果：存在，則稱此極限為關于在處的偏導數(shù)，記為：。同理可以定義函數(shù)對其它分量在處的偏導數(shù)。如果函數(shù)對其定義域中的任何一點對的偏導數(shù)都存在，它就稱為函數(shù)對自變量的偏導數(shù)，記為：。2、偏導數(shù)的求法由偏導數(shù)的定義可知，求函數(shù)的偏導數(shù)并不需要什么新的方法，求，只要把其它自變量看成常數(shù)，求函數(shù)關于的導數(shù)即可，因此，偏導數(shù)實質是一元函數(shù)的求導問題。例題：，證明：證明：，所以有：。3、方

55、向導數(shù) 偏導數(shù)告訴我們在所以其它自變量保存不變的條件下，只改變其中一個自變量，該函數(shù)是增加還是減少。但這只能告訴我們隨著我們改變個自變量中的一個自變量，函數(shù)值是增加還是減少。但有時我們需要了解點沿著的方向偏離點，函數(shù)的值將會由開始發(fā)生怎樣的變化。這就需要引進方向導數(shù)的概念。為此記為函數(shù)的梯度，則函數(shù)從點出發(fā)沿著的方向偏離點的方向導數(shù)定義為：。如果方向導數(shù)為正，意味函數(shù)從點出發(fā)沿著的方向偏離點，函數(shù)將增加；如果方向導數(shù)為負，意味函數(shù)從點出發(fā)沿著的方向偏離點，函數(shù)將減少；如果方向導數(shù)為零，意味函數(shù)從點出發(fā)沿著的方向偏離點，函數(shù)將不發(fā)生變化。根據(jù)方向導數(shù)的定義，我們知道，實際上函數(shù)的每一個偏導數(shù)正好是沿方向的方向導數(shù)。4、高階偏導數(shù)二階和二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)。對于函數(shù)，其二階偏導數(shù)為：由函數(shù)的二階偏導數(shù)構成的矩陣我們稱為海塞矩陣H，。定理119：楊格定理對于二次連續(xù)可微的函數(shù)，對于楊格定理我們不進行證明，但我們通過一個例子來驗證。例題：考察