預(yù)備知識(shí)高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)08

1、第一章 預(yù)備知識(shí)：現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)本章要點(diǎn)在這一章中，我們首先探討現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究?jī)?nèi)容、研究框架，并指出數(shù)學(xué)在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中所扮演的角色，最后列出在學(xué)習(xí)高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中所需要用到的一些數(shù)學(xué)結(jié)果。11 現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的特點(diǎn)111現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)與經(jīng)濟(jì)理論微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的主要問(wèn)題由于資源是有限的，但是人們的欲望是無(wú)限的，這一對(duì)基本矛盾沖突才產(chǎn)生了經(jīng)濟(jì)學(xué)研究資源配置，盡可能有效地利用資源，用有限的資源最大限度地滿(mǎn)足人們的欲望。具體來(lái)講，資源配置就是要解決如下問(wèn)題：1、社會(huì)用有限的資源生產(chǎn)什么？是生產(chǎn)大炮還是黃油？2、如何生產(chǎn)？例如用什么樣的資金結(jié)構(gòu)？用什么樣的企業(yè)組織形式？在什么地方布局等都是如何生產(chǎn)的問(wèn)題

2、。3、產(chǎn)品如何分配？解決資源配置的問(wèn)題無(wú)外乎兩種機(jī)制：市場(chǎng)機(jī)制與計(jì)劃?rùn)C(jī)制。市場(chǎng)機(jī)制就是通過(guò)市場(chǎng)的價(jià)格來(lái)實(shí)現(xiàn)資源的配置。在市場(chǎng)機(jī)制中，消費(fèi)者的決策形成了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的消費(fèi)者理論。廠商的決策形成了廠商理論。他們的相互影響形成了市場(chǎng)理論。計(jì)劃?rùn)C(jī)制就是通過(guò)政府的預(yù)算來(lái)實(shí)現(xiàn)資源的配置。什么是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)所謂現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)，就是用科學(xué)的方法并運(yùn)用分析工具-通過(guò)觀察、理論和再觀察-來(lái)系統(tǒng)地研究消費(fèi)者的決策、廠商的決策以及它們之間的相互影響，從而它是一門(mén)科學(xué)，代表了科學(xué)的分析框架和研究方法。這種系統(tǒng)探索，既涉及到理論的形式，也為經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的考察提供了分析工具?，F(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)主要是在第二次世界大戰(zhàn)以后發(fā)展起來(lái)的，通過(guò)六十年

3、的蓬勃發(fā)展，現(xiàn)已成為一門(mén)規(guī)模龐大、分支眾多、體系嚴(yán)謹(jǐn)、模型化的社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，在社會(huì)科學(xué)中占有重要地位。了解并掌握現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本分析框架和研究方法，對(duì)正確理解和學(xué)好現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)以及對(duì)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的創(chuàng)新和應(yīng)用都十分重要。它能幫助人們正確地運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本原理和分析方法來(lái)研究不同經(jīng)濟(jì)環(huán)境、不同經(jīng)濟(jì)人行為及不同制度安排下的各類(lèi)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)所研究的問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法類(lèi)似于人們處理個(gè)人、家庭、經(jīng)濟(jì)、政治、社會(huì)各類(lèi)事務(wù)時(shí)所采用的方式。大家知道，要做好一件事情，與人打交道，首先要了解國(guó)情和民風(fēng)，也就是要知道現(xiàn)實(shí)環(huán)境和所要打交道人的品行和性格；在此基礎(chǔ)上，決定相應(yīng)的待人處事規(guī)則，從而在權(quán)衡利弊后作出激勵(lì)

4、反應(yīng)，爭(zhēng)取達(dá)到盡可能最佳的結(jié)果；最后對(duì)所選擇的結(jié)果及所采用的規(guī)則進(jìn)行價(jià)值判斷和評(píng)估比較。現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本分析框架和研究方法完全是按照這種方式來(lái)研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和人類(lèi)行為的。這種分析框架具有高度的規(guī)范性和一致性。它首先給出想要研究的問(wèn)題，或想要解釋的某種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，即經(jīng)濟(jì)學(xué)家首先需要確定研究目標(biāo)，然后試圖回答所要研究或所要解釋的問(wèn)題。比如，下列問(wèn)題是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)直到現(xiàn)在仍在試圖研究或回答的一些問(wèn)題：為什么會(huì)出現(xiàn)經(jīng)濟(jì)周期和經(jīng)濟(jì)衰退？面對(duì)經(jīng)濟(jì)周期和經(jīng)濟(jì)衰退，政府應(yīng)采用什么樣的宏觀經(jīng)濟(jì)政策？為什么一些國(guó)家非常富裕，同時(shí)另外一些國(guó)家卻非常貧窮，而不是整個(gè)世界同時(shí)富裕起來(lái)？人們生活在其中的市場(chǎng)制度安排是如何運(yùn)作的

5、，它有什么樣的優(yōu)越性？市場(chǎng)在什么時(shí)候會(huì)失靈，如何解決？如何解決經(jīng)濟(jì)外部性問(wèn)題，是通過(guò)政府干預(yù)，通過(guò)明晰產(chǎn)權(quán)的辦法來(lái)解決，還是通過(guò)其它辦法來(lái)解決？如何在信息不對(duì)稱(chēng)的情況下解決經(jīng)濟(jì)人的激勵(lì)問(wèn)題？中國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家所面臨的問(wèn)題是，如何解決經(jīng)濟(jì)制度轉(zhuǎn)型過(guò)程中所面臨的各種問(wèn)題，比如：如何改革金融體系和國(guó)有企業(yè)，如何解決經(jīng)濟(jì)效率與公平的兩難，以及國(guó)有資產(chǎn)流失等問(wèn)題。 以上這些問(wèn)題看起來(lái)非常不一樣，但研究這些問(wèn)題的基本分析框架卻可以是一樣的。任何一個(gè)規(guī)范經(jīng)濟(jì)理論的分析框架，基本上由以下五個(gè)部分或步驟組成：(1) 界定經(jīng)濟(jì)環(huán)境；(2) 設(shè)定行為假設(shè)，(3) 給出制度安排；(4) 選擇均衡結(jié)果；及(5)進(jìn)行評(píng)估比較。

6、可以這樣認(rèn)為，任何一篇邏輯清楚、層次分明、論證合理的經(jīng)濟(jì)學(xué)論文，無(wú)論結(jié)論如何或是否作者意識(shí)到，都基本上由這五部分組成，特別是前四部份?？梢哉f(shuō)，寫(xiě)經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的論文，就是對(duì)這些部分進(jìn)行具有內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)的填空式寫(xiě)作。掌握了這些組成部分，就掌握了現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)論文的基本寫(xiě)作方式，更容易學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)。以上所討論的五個(gè)組成部分可以說(shuō)是所有規(guī)范經(jīng)濟(jì)理論一致使用的分析框架，無(wú)論其中使用數(shù)學(xué)的多少?，F(xiàn)舉兩個(gè)個(gè)例子。 第一個(gè)例子是科斯(R. Coase) 1960年的著名論文社會(huì)成本問(wèn)題 (The Problem of Social Cost)，它幾乎沒(méi)有用到任何數(shù)學(xué)，完全用文字論述。這篇文章主要研究如何解決

7、經(jīng)濟(jì)外部性問(wèn)題，以此論證產(chǎn)權(quán)的界定和產(chǎn)權(quán)的安排在經(jīng)濟(jì)交易中的重要性。所謂外部性指的是一個(gè)經(jīng)濟(jì)人的消費(fèi)或生產(chǎn)會(huì)直接影響其他經(jīng)濟(jì)人的福利或生產(chǎn)。科斯定理其實(shí)分為兩部分。他的論斷是：只要交易費(fèi)用為零且產(chǎn)權(quán)明確界定，則(1)外部效應(yīng)的水平與產(chǎn)權(quán)的劃分是無(wú)關(guān), 這個(gè)結(jié)論稱(chēng)之為科斯中性定理(neutrality theorem)；(2)通過(guò)自愿交易與自愿談判，明確界定的產(chǎn)權(quán)將會(huì)導(dǎo)致資源的有效配置，即利用市場(chǎng)機(jī)制，通過(guò)自愿交易與自愿談判，可找尋到使得所有人利益之和最大的契約安排, 這個(gè)結(jié)論稱(chēng)之為科斯有效性定理(efficience theorem)?？扑垢M(jìn)一步論斷，即使市場(chǎng)交易是有費(fèi)用的，在產(chǎn)權(quán)明確界定的

8、情況下，相互作用的各方也會(huì)通過(guò)合約找尋到費(fèi)用較低的制度安排。為了論證他的論斷，他所界定經(jīng)濟(jì)環(huán)境是一個(gè)非常簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)環(huán)境：只有兩個(gè)經(jīng)濟(jì)人且具有外部效用性。所設(shè)定的經(jīng)濟(jì)人行為假設(shè)為：兩個(gè)經(jīng)濟(jì)人都是自利的，追求個(gè)人最大收益。給出的制度安排為：產(chǎn)權(quán)明確界定，給任何一方都行，并且雙方可以通過(guò)自愿談判來(lái)決定合約。于是，科斯通過(guò)例子和邏輯分析論證：每個(gè)人所選定的結(jié)果會(huì)使自己的利益最大(選定均衡結(jié)果)，從而使得外部效應(yīng)的水平與產(chǎn)權(quán)的劃分是無(wú)關(guān)，并且在自愿交易與自愿談判的情況下，將導(dǎo)致資源的有效配置(作出評(píng)估比較) 。這樣，盡管科斯論文沒(méi)有用到數(shù)學(xué)模型，他的分析框架仍然是按照以上五個(gè)組成部分進(jìn)行的。由于科斯假設(shè)了

9、一個(gè)非常簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)環(huán)境，且只用文字語(yǔ)言討論問(wèn)題，沒(méi)有像用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行討論那樣清晰，因而一些術(shù)語(yǔ)和邏輯分析方面有許多含混不清的地方，使得科斯定理的成立與否存在著很大的討論空間和許多爭(zhēng)議的地方。在許多情況下，科斯定理成立與否依賴(lài)于經(jīng)濟(jì)環(huán)境的界定。例如，除非消費(fèi)者的效用函數(shù)是準(zhǔn)線性(quasi-linear) ，科斯中性定理不會(huì)成立。要知道準(zhǔn)線性效應(yīng)函數(shù)對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，是施加了一個(gè)很強(qiáng)的假設(shè)：對(duì)具有外部性商品的收入效益為零。不知道這個(gè)條件就可能誤用這個(gè)定理。事實(shí)上，赫維茲(Hurwicz，1995) 給出了科斯中性定理結(jié)論成立的充分必要條件：當(dāng)交易成本為零及產(chǎn)權(quán)明晰界定時(shí)，導(dǎo)致有效配置的充分必要條件是

10、效用函數(shù)為準(zhǔn)線性函數(shù)，即具有外部性商品的收入效應(yīng)一定要為零?？扑褂行远ɡ淼膯?wèn)題更大。如阿羅(Arrow, 1979) 指出的那樣，由于科斯的自愿談判假設(shè)可以被模型為合作型博弈，這要求假定關(guān)于經(jīng)濟(jì)環(huán)境的信息是完全的。當(dāng)信息不完全或不對(duì)稱(chēng)時(shí)，一般不能導(dǎo)致資源的有效配置。即使信息是完全的，Aivazian和Callen (1981) 證明了，合作博弈的經(jīng)濟(jì)核(economic core) 也許是空集，從而不能導(dǎo)致資源的有效配置。另外，Starrett (1972) 論證了，對(duì)具有生產(chǎn)的外部性，它本質(zhì)上可特征為生產(chǎn)集的非凸性，一旦如此，有效配置也許不能通過(guò)市場(chǎng)機(jī)制來(lái)達(dá)到，理論上可以證明，也許不存在均

11、衡價(jià)格來(lái)支撐有效配置(即，第二福利經(jīng)濟(jì)學(xué)定理不成立)。還有，當(dāng)經(jīng)濟(jì)環(huán)境中不只兩人時(shí)，如何解決群體行動(dòng)中固有的搭便車(chē)問(wèn)題。在這種情況下，市場(chǎng)機(jī)制可能會(huì)失靈，需要設(shè)計(jì)出某種激勵(lì)機(jī)制，搭便車(chē)問(wèn)題至今仍然是一個(gè)沒(méi)有完全解決的問(wèn)題。另外，科斯定理還有一些其他的問(wèn)題，奇普曼 (John S. Chipman，1998) 對(duì)文獻(xiàn)中關(guān)于科斯定理的討論作了一個(gè)很好的綜述，有興趣的讀者不妨找來(lái)看看?？傊?，關(guān)于科斯定理的討論和爭(zhēng)論仍然還在繼續(xù)中，這種爭(zhēng)論和討論帶動(dòng)了產(chǎn)權(quán)理論及組織理論的大大發(fā)展?？扑苟ɡ硪饬x深遠(yuǎn)，使得科斯獲得1991年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 第二個(gè)例子是納什(Nash)的博弈均衡存在性定理。納什是一個(gè)純

12、數(shù)學(xué)家，他在1951年給出了納什博弈均衡的定義，并給出了納什均衡存在性的證明。納什均衡存在性是非合作博弈論的基礎(chǔ)。8從數(shù)學(xué)原創(chuàng)性及證明的難度來(lái)看，這個(gè)定理不是太難，只是數(shù)學(xué)中的不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用，但它們成為博弈論的最根本的基礎(chǔ)，使得博弈論成為經(jīng)濟(jì)學(xué)中最重要的分析工具之一，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它可以用來(lái)研究經(jīng)濟(jì)人之間相互影響的策略選擇問(wèn)題。由于這些原因，納什憑這篇論文和1950年關(guān)于納什談判解的論文獲得1994年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。我們現(xiàn)在來(lái)說(shuō)明，盡管納什均衡存在性定理是一個(gè)純數(shù)學(xué)定理，當(dāng)它賦予經(jīng)濟(jì)涵義后，它的分析框架也包含這五個(gè)組成部份。經(jīng)濟(jì)環(huán)境：由所有游戲參與者及其經(jīng)濟(jì)特征所組成，這里每個(gè)游

13、戲者的行動(dòng)集、信息結(jié)構(gòu)、收益函數(shù)等構(gòu)成了他的經(jīng)濟(jì)特征。行為假設(shè)：每個(gè)游戲參與者知道其他人的經(jīng)濟(jì)特征，并將其他人的策略設(shè)為給定，決定自己的策略使之最大化自己的收益。游戲規(guī)則：游戲的順序是同時(shí)行動(dòng)。均衡結(jié)果：所有游戲參與者的最佳策略組成了均衡策略。評(píng)估比較：對(duì)納什均衡解進(jìn)行評(píng)價(jià)，看是否達(dá)到某種社會(huì)最優(yōu)或按某種標(biāo)準(zhǔn)剔除多余的納什均衡。納什的論文在非常一般化的條件下，證明了納什均衡的存在。由于納什的均衡存在定理是用數(shù)學(xué)模型表達(dá)的，沒(méi)有不清楚的地方，不像科斯定理，沒(méi)有什么爭(zhēng)議，為研究經(jīng)濟(jì)人的決策互動(dòng)及其選擇建立了一個(gè)很好的研究平臺(tái)。什么是經(jīng)濟(jì)理論經(jīng)濟(jì)理論是由假設(shè)、分析框架以及從這些假設(shè)與分析框架中得出的

14、結(jié)論構(gòu)成。正如許多其他科學(xué)一樣，經(jīng)濟(jì)理論至少有三個(gè)作用。第一個(gè)作用是，它能夠用來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)中的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)行為，這是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)主要討論的內(nèi)容。第二個(gè)作用是，它能夠?qū)o定的現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)環(huán)境、經(jīng)濟(jì)人行為方式及經(jīng)濟(jì)制度安排下所可能導(dǎo)致的結(jié)果作出科學(xué)的預(yù)測(cè)和推斷，并指導(dǎo)解決現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)環(huán)境與理論模型中的前提假設(shè)條件大致滿(mǎn)足，它就能得出科學(xué)的邏輯結(jié)論并據(jù)此作出科學(xué)、正確的預(yù)測(cè)和推斷，而不一定需要用實(shí)驗(yàn)就能知道最終結(jié)果。一個(gè)好的理論不用實(shí)驗(yàn)也能推斷出最終結(jié)果。這在很大的程度上解決了經(jīng)濟(jì)學(xué)不能拿社會(huì)作實(shí)驗(yàn)的問(wèn)題。人們需要做的只是關(guān)于檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)環(huán)境和行為方式等方面的假設(shè)是否合理(近些年來(lái)非常熱門(mén)的實(shí)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)

15、學(xué)主要就是從事檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)人的行為方式假設(shè)等理論基礎(chǔ)性方面的研究)。第三個(gè)作用是，許多理論上的不可能性結(jié)果可以用來(lái)避免實(shí)施許多現(xiàn)實(shí)中不可行的目標(biāo)和項(xiàng)目。這是因?yàn)槿绻粋€(gè)結(jié)論在理論上不能成立，只要理論的前提假設(shè)條件符合現(xiàn)實(shí)，這個(gè)結(jié)果在現(xiàn)實(shí)中也一定不可能成立。經(jīng)濟(jì)理論為分析解釋真實(shí)世界中的經(jīng)濟(jì)行為與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象、進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和反駁錯(cuò)誤的結(jié)論服務(wù)的。1、經(jīng)濟(jì)理論的一般性從以上對(duì)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本框架的討論可以看出，經(jīng)濟(jì)學(xué)中每一個(gè)理論或一個(gè)模型都是由一組關(guān)于經(jīng)濟(jì)環(huán)境、行為方式，制度安排的前提假設(shè)以及由此導(dǎo)出的結(jié)論所組成的。一個(gè)理論的前提假設(shè)條件越一般化，理論的作用和指導(dǎo)意義就會(huì)越大。如果一個(gè)理論的前提假設(shè)條件太

16、強(qiáng)，它就沒(méi)有一般性，這樣的理論也就沒(méi)有什么用處。這樣，成為一個(gè)好的理論的必要條件就是它要有一般性，越具有一般性，解釋能力就會(huì)越強(qiáng)，就越有用。 2、經(jīng)濟(jì)理論的相對(duì)性在希望一個(gè)理論具有更大一般性的同時(shí)，也必須要注意到它的適應(yīng)范圍、邊界以及局限性。這樣在應(yīng)用一個(gè)經(jīng)濟(jì)理論時(shí)便可避免犯兩種錯(cuò)誤。第一種錯(cuò)誤是高估理論的作用。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的所有假設(shè)與結(jié)論基本上都不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的。無(wú)論一個(gè)理論多么一般化，它只是相對(duì)正確的，并且有它一定的局限性和適應(yīng)的范圍。在討論問(wèn)題和運(yùn)用某些經(jīng)濟(jì)學(xué)原理時(shí)，要注意這些原理后面的前提假設(shè)條件和它的適應(yīng)范圍,不能泛用，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。記住了定理的邊界條件，你就不會(huì)輕易地下

17、結(jié)論，否則就會(huì)誤用某個(gè)定理。另外一個(gè)錯(cuò)誤是低估理論的作用。不少人經(jīng)常以現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中某些假設(shè)或原理不太適合中國(guó)國(guó)情為理由而否定現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)。事實(shí)上，世界上沒(méi)有一門(mén)學(xué)科的所有假設(shè)或原理完全地合乎現(xiàn)實(shí)(像上面提到的沒(méi)有空氣阻力的自由落體等物理概念)。我們不應(yīng)根據(jù)這一點(diǎn)來(lái)否定一門(mén)學(xué)科的有用性。對(duì)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)也是如此。我們學(xué)習(xí)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)，不僅僅是了解它的基本原理、它的有用性，更重要的是學(xué)習(xí)它思考問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法。有些經(jīng)濟(jì)理論本身的價(jià)值并非直接解釋現(xiàn)實(shí)，而是為解釋現(xiàn)實(shí)發(fā)展更新的理論提供研究平臺(tái)和參照系。借鑒這些方法，人們可以對(duì)如何解決現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題得到啟發(fā)。此外，如上節(jié)所述，由于環(huán)境的不同，一個(gè)理

18、論對(duì)一個(gè)國(guó)家或地區(qū)適合，不見(jiàn)得對(duì)另外一個(gè)國(guó)家或地區(qū)適合,不能機(jī)械地生搬硬套，而需要修改或創(chuàng)新原有理論，根據(jù)當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)環(huán)境和人們的行為方式發(fā)展新的理論。112 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中的角色 數(shù)學(xué)現(xiàn)在已經(jīng)成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中最重要的工具?，F(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中幾乎每個(gè)領(lǐng)域或多或少都用到數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)及計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的知識(shí)。這一點(diǎn)致使許多對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)感興趣但又沒(méi)有較強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人望而卻步、見(jiàn)而生嘆。他們往往抱怨學(xué)習(xí)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)更多的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。為什么現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)用到如此多的數(shù)學(xué)，甚至超過(guò)了物理科學(xué)所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)呢？如何看待經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系呢？ 首先，經(jīng)濟(jì)學(xué)不是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中只是作為一種工具被用來(lái)考慮或研究經(jīng)濟(jì)行為和

19、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。經(jīng)濟(jì)學(xué)家只是用數(shù)學(xué)來(lái)更嚴(yán)格地闡述、更精煉地表達(dá)他們的觀點(diǎn)和理論，用數(shù)學(xué)模型來(lái)分析各個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間的相互依存關(guān)系。由于經(jīng)濟(jì)學(xué)的度量化、將各種前提假設(shè)條件精確化，它已成為了一門(mén)體系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纳鐣?huì)科學(xué)。由于提供研究平臺(tái)，建立參照系和給出分析工具都需要數(shù)學(xué)，這就不難理解為什么數(shù)理分析的方法在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中成為主要的研究方法。如果經(jīng)濟(jì)學(xué)沒(méi)有采用數(shù)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)就不可能成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)?？梢哉f(shuō)，學(xué)好數(shù)學(xué)幾乎是學(xué)好現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的必要條件。這個(gè)必要性在于，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)概念是需要用數(shù)學(xué)來(lái)定義，經(jīng)濟(jì)行為和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象也主要是通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)分析和研究的。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)關(guān)于經(jīng)濟(jì)環(huán)境和個(gè)人行為方式的假設(shè)，用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示

20、每個(gè)經(jīng)濟(jì)變量和經(jīng)濟(jì)規(guī)則間的邏輯關(guān)系，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，并且按照數(shù)學(xué)的語(yǔ)言邏輯地推導(dǎo)結(jié)論。 因此，不了解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就很難準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵，也就無(wú)法對(duì)相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行討論。理解概念是學(xué)習(xí)一門(mén)學(xué)科，分析某一問(wèn)題的前提。因而你如果想學(xué)好現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)，從事現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究，想成為一個(gè)好的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，就需要掌握必要的數(shù)學(xué)。然而，光懂?dāng)?shù)學(xué)還不能成為一個(gè)很好的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，還要深刻理解現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析框架和研究方法，對(duì)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)環(huán)境、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題有很好的直覺(jué)和洞察力，學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)時(shí)不僅要從數(shù)學(xué)(包括幾何)的角度去了解一些術(shù)語(yǔ)、概念和結(jié)果, 更重要的是，即使它們是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言或幾何的圖型給出的，也要盡可能弄清

21、它們的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。因而在學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)時(shí)不要被文中的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號(hào)等迷惑住。 有意思的是，現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個(gè)極端：純理論和純應(yīng)用都用到了最多的數(shù)學(xué)。理論經(jīng)濟(jì)學(xué)家主要用的是純數(shù)學(xué)作為研究工具。數(shù)學(xué)在理論分析中的作用是：(1) 使得所用語(yǔ)言更加精確和精煉，假設(shè)前提條件的陳述更加清楚，這樣可以減少許多由于定義不清所造成的爭(zhēng)議。(2) 分析的邏輯更加嚴(yán)謹(jǐn)，并且清楚地闡明了一個(gè)經(jīng)濟(jì)結(jié)論成立的邊界和適應(yīng)范圍，給出了一個(gè)理論結(jié)論成立的確切條件。否則的話，往往導(dǎo)致一個(gè)理論的泛用。例如，在談到產(chǎn)權(quán)問(wèn)題時(shí)，許多人都喜歡引用科斯定理，認(rèn)為只要交易費(fèi)用為零，就可導(dǎo)致資源的有效配置。直到現(xiàn)在，仍有許多人不知道(包括科斯

22、本人在給出他的論斷時(shí)也不知道)，這個(gè)結(jié)論一般不成立。如上所述，還要加上效用(支付)函數(shù)是準(zhǔn)線性(quasi-linear)這一條件。(3) 利用數(shù)學(xué)有利于得到不是那么直觀就得到的結(jié)果。比如，從直觀上來(lái)看，根據(jù)供給和需求法則，只要供給和需求量不相等，競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)就會(huì)由看不見(jiàn)的手，通過(guò)市場(chǎng)價(jià)格的調(diào)整，達(dá)到市場(chǎng)均衡。但這個(gè)結(jié)論不總是成立。Scarf(1960)給出了具體的反例，證明這個(gè)結(jié)果在某些情況下并不成立。(4) 它可改進(jìn)或推廣已有的經(jīng)濟(jì)理論。這方面的例子在經(jīng)濟(jì)理論的研究中太多了。比如，經(jīng)濟(jì)機(jī)制設(shè)計(jì)理論是一般均衡理論的改進(jìn)和推廣。 實(shí)證經(jīng)濟(jì)學(xué)家主要用的是數(shù)理統(tǒng)計(jì)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。我們不是為學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)而學(xué)

23、經(jīng)濟(jì)學(xué)，而是對(duì)所觀測(cè)到的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和統(tǒng)計(jì)資料進(jìn)行分析、描述和制定政策，并對(duì)經(jīng)濟(jì)理論進(jìn)行檢驗(yàn)。對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，不僅要作定性的理論分析，還需要有經(jīng)驗(yàn)性的定量分析。經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)在這些方面發(fā)揮著重要作用。經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)側(cè)重于數(shù)據(jù)的收集、描述、整理及給出統(tǒng)計(jì)的方法，而計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)則側(cè)重于經(jīng)濟(jì)理論的檢驗(yàn)、經(jīng)濟(jì)政策的評(píng)價(jià)、進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)，及檢驗(yàn)各個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間的因果關(guān)系。為了更好地估計(jì)經(jīng)濟(jì)模型和作出更精確地的預(yù)測(cè)，理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家不斷地研究出更為有力的計(jì)量工具。 隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的教育和研究在中國(guó)迅速地發(fā)展和深入。越來(lái)越多的人感覺(jué)到數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要性，也想學(xué)好數(shù)學(xué)，但面對(duì)數(shù)學(xué)紛繁復(fù)雜的類(lèi)目，許多學(xué)生不知道學(xué)什么好

24、。筆者認(rèn)為，要學(xué)好經(jīng)濟(jì)學(xué)，至少要掌握好工科水準(zhǔn)的高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，及概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容。掌握了現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本分析框架、研究方法，及學(xué)好了數(shù)學(xué)，學(xué)起現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)來(lái)就會(huì)感到相對(duì)容易，可以提高學(xué)習(xí)現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)效率，并且對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)優(yōu)化理論，動(dòng)態(tài)最優(yōu)等數(shù)學(xué)工具也大有幫助，這些數(shù)學(xué)工具是學(xué)好高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)不可缺少的數(shù)學(xué)知識(shí)。如想要從事現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論研究和真正學(xué)好現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)，最好是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析。高等數(shù)學(xué)主要是側(cè)重于掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，及其培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，而數(shù)學(xué)分析卻對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯分析能力和創(chuàng)造性思維能力大有作用。許多學(xué)生害怕現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中的許多證明，其原因就是沒(méi)有學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)分析，學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)分

25、析的人們對(duì)證明就不會(huì)感到那么困難。其實(shí)，即使今后不從事研究工作，提高了邏輯分析和創(chuàng)造性思維能力對(duì)日常工作也會(huì)有一定的幫助。 113經(jīng)濟(jì)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互間轉(zhuǎn)換 經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的產(chǎn)品是經(jīng)濟(jì)論斷和結(jié)論。任何一篇規(guī)范的經(jīng)濟(jì)學(xué)論文的寫(xiě)作由下面三個(gè)部份組成：(1)提出問(wèn)題，給出重要性，確定研究目標(biāo)； (2) 建立經(jīng)濟(jì)模型，嚴(yán)格表達(dá)并驗(yàn)證論斷；(3) 通俗表達(dá)論斷并給出政策含義。這就是說(shuō)，一個(gè)經(jīng)濟(jì)結(jié)論的產(chǎn)生一般需要經(jīng)過(guò)三個(gè)階段：非數(shù)學(xué)語(yǔ)言階段-數(shù)學(xué)語(yǔ)言階段-非數(shù)學(xué)語(yǔ)言階段。第一階段提出經(jīng)濟(jì)觀念、想法或猜想，這些觀念、想法或猜想可能由經(jīng)濟(jì)直覺(jué)產(chǎn)生或根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)或外地經(jīng)驗(yàn)而來(lái)。由于還沒(méi)有經(jīng)過(guò)理論論證，人們可將

26、它們類(lèi)比為一般生產(chǎn)中的初等品。這一階段是非常重要的，它是理論研究和創(chuàng)新的來(lái)源。 第二階段需要驗(yàn)證所提出來(lái)的經(jīng)濟(jì)想法或論斷是否成立。這種驗(yàn)證需要經(jīng)濟(jì)學(xué)家通過(guò)經(jīng)濟(jì)模型和分析工具給出嚴(yán)格的證明，只要可能，還需要得到實(shí)際經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)。所得出的結(jié)論和論斷往往都是由數(shù)學(xué)語(yǔ)言或?qū)＜倚g(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)的，非專(zhuān)家的人士不見(jiàn)得能理解，從而不能為社會(huì)大眾，政府官員、政策制定者所采用。所以將這些由技術(shù)性較強(qiáng)的語(yǔ)言所表達(dá)的結(jié)論和論斷類(lèi)比為一般生產(chǎn)中的中間產(chǎn)品。 學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)是要為社會(huì)服務(wù)的，所以第三階段就是將由技術(shù)語(yǔ)言所表達(dá)的結(jié)論和論斷用通俗的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，使得一般的人也能夠理解，用通俗語(yǔ)言的形式給出這些結(jié)論的政策含義，深遠(yuǎn)意義及

27、具有洞察力的論斷，這些才是經(jīng)濟(jì)學(xué)的最終產(chǎn)品。注意第一和第三階段都是用通俗、非技術(shù)、非數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)給出經(jīng)濟(jì)想法和結(jié)論，但第三階段是第一階段的一種飛躍、升華。這種三階段式-由通俗語(yǔ)言階段到技術(shù)語(yǔ)言階段然后再回到-通俗語(yǔ)言階段其實(shí)也是大多數(shù)學(xué)科所采用的研究方式。12 高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)方法121 集合與映射1211 邏輯要素在這一節(jié)中，我們介紹在經(jīng)濟(jì)學(xué)的證明中經(jīng)常要用到的一些基本邏輯概念。性質(zhì) 給定集合，令是關(guān)于集合中每個(gè)元素的性質(zhì)，陳述“具有性質(zhì)”，記為。對(duì)性質(zhì)，由中是正確的元素組成的集合稱(chēng)為相伴于的集合，記為，即：。量詞通常用來(lái)表示給定集合中的某個(gè)元素或每個(gè)元素滿(mǎn)足一個(gè)給定的性質(zhì)。 為表述集

28、合中每個(gè)元素都滿(mǎn)足性質(zhì)，我們就可以使用全稱(chēng)量詞“”，記為： （即對(duì)中任意元素，是正確的）。 為表述集合中某個(gè)元素滿(mǎn)足給定的性質(zhì)，我們就可以使用存在量詞“”，記為： （即中至少存在一個(gè)元素，使得是正確的）。 通常我們還會(huì)涉及到幾個(gè)量詞同時(shí)使用的表達(dá)式。例如，陳述：意思是“對(duì)于中任意元素，A中存在一個(gè)元素，使得滿(mǎn)足性質(zhì)。又如陳述：意思是“A中存在一個(gè)元素，使得對(duì)于中任意元素，都滿(mǎn)足性質(zhì)?！背浞謼l件與必要條件我們經(jīng)常可以看到這種陳述“從性質(zhì)推出性質(zhì)”，記為：，讀做：“若成立，則成立”，意思是滿(mǎn)足性質(zhì)的所有元素都滿(mǎn)足性質(zhì)， 則我們稱(chēng)蘊(yùn)含著，或者說(shuō)成立是成立的必要條件，成立是成立的充分條件。若至少存在一

29、個(gè)元素滿(mǎn)足性質(zhì)，但不滿(mǎn)足，則的否定是正確的，記為：。蘊(yùn)涵的逆命題是。當(dāng)蘊(yùn)含與它的逆命題同時(shí)成立時(shí)，我們稱(chēng)成立是成立的充分必要條件，寫(xiě)為：，此時(shí)，性質(zhì)與性質(zhì)等同。在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的討論中,區(qū)分充分條件與必要條件也是非常重要的,它能幫助人們很清楚地思考問(wèn)題和避免不必要的爭(zhēng)論。必要條件是一個(gè)命題成立所必不可缺少的條件，充分條件是能保證命題一定成立的條件。例如，經(jīng)常聽(tīng)到有人，用印度的例子來(lái)否認(rèn)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)，認(rèn)為印度采用的是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)，但還是很貧窮，所以中國(guó)不應(yīng)該走市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)之路。說(shuō)這些話的人，就是沒(méi)有區(qū)分出必要條件和充分條件的差別。市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)是導(dǎo)致一個(gè)國(guó)家富強(qiáng)的必要條件而不是充分條件。這就是說(shuō)，要想國(guó)家富強(qiáng),一定要走

30、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的道路。這是由于在世界上找不到任何富裕，但不是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的國(guó)家。但走市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)之路，只是必要條件，不是充分條件，我們也必須承認(rèn)市場(chǎng)機(jī)制不一定導(dǎo)致繁榮昌盛。其原因是，盡管(根據(jù)目前觀察到的事實(shí))市場(chǎng)機(jī)制是使一個(gè)國(guó)家繁榮昌盛必不可少的,但還有許多因素也能影響一個(gè)國(guó)家的繁榮富強(qiáng),比如, 政府干預(yù)經(jīng)濟(jì)的程度、政治制度、宗教、文化、社會(huì)結(jié)構(gòu)等，使得市場(chǎng)機(jī)制有好的市場(chǎng)機(jī)制和壞的市場(chǎng)機(jī)制之分。1212集合集合定義所謂集合就是不同對(duì)象的集成。這些對(duì)象可以是不同的數(shù)，也可以是別的什么東西。因此，如同九個(gè)自然數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)集合一樣，所有喜愛(ài)羽毛球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生也可以視為一個(gè)集合。集合中的這些對(duì)象稱(chēng)為集合的元素。我

31、們用大寫(xiě)英文字母表示集合，小寫(xiě)英文字母表示元素。若是集合中的元素，則記為：，否則，記為：。根據(jù)集合中所包含元素的數(shù)量，我們把集合分成有限集與無(wú)限集。1、有限集：一個(gè)具有有限元素的集合。有限集合總是可數(shù)的，其元素?cái)?shù)量可以以基數(shù)1，2，表示。2、空集：不含有任何元素的集合稱(chēng)為空集，記為。3、無(wú)限集：一個(gè)具有無(wú)限元素的集合。無(wú)限集合既可能是可數(shù)的，如整數(shù)集合，也可能是不可數(shù)的，如實(shí)數(shù)集合，我們無(wú)法將后者中的元素與基數(shù)1，2，等聯(lián)系起來(lái)。注意：空集與零元素集合的區(qū)別，前者表示不含有任何元素，后者表示集合中只包含一個(gè)零元素。集合的書(shū)寫(xiě)方法 集合的書(shū)寫(xiě)方法包含如下兩種：1、列舉法：把所有集合中的元素一一列

32、舉出來(lái)，例如：小于10的自然數(shù)集合用列舉法可以表述為：。2、描述法：將集合中全部元素的共同特性和性質(zhì)用文字或符號(hào)語(yǔ)言描述出來(lái)。例如：小于10的自然數(shù)集合用描述法可以表述為：，其中豎杠左邊的是集合的代表性元素，豎杠右邊的“小于10的自然數(shù)”是元素的描述性特征。在使用描述法時(shí)，一定要在代表元素的一般符合和元素的描述性特征之間加一豎杠，以便使二者區(qū)別開(kāi)來(lái)。元素與集合之間的關(guān)系元素與集合之間的關(guān)系無(wú)外乎兩種，即屬于與不屬于。我們以符號(hào)“”表示屬于，以符合“”表示不屬于。例如，當(dāng)集合時(shí)，但20。集合之間的關(guān)系 將兩個(gè)集合加以比較時(shí)，可能觀測(cè)到幾種可能的關(guān)系，具體表現(xiàn)為：1、子集關(guān)系 ，稱(chēng)為的子集，記為：

33、。例如：如果，則2、相等關(guān)系如果兩個(gè)集合中的元素相同（集合中元素出現(xiàn)的次序無(wú)關(guān)緊要），記為：；兩個(gè)集合相等的充分必要條件式它們互為子集，即：且。例如：如果，則。注意：空集是任何集合的子集，即；集合自身是其自身的子集，即。3、不相交兩個(gè)集合中不包含有任何共同的元素。例如：如果，則不相交。4、不相等但相交 兩個(gè)集合具有某些共同的元素，但另一些元素分屬不同的集合。例如：如果，則這兩個(gè)集合雖然不相等，但相交。集合的運(yùn)算 如同對(duì)數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除或開(kāi)方運(yùn)算一樣，對(duì)集合我們也可以進(jìn)行類(lèi)似的運(yùn)算，我們?cè)谶@里討論三種基本的運(yùn)算，即并集、交集和補(bǔ)集。1、并集集合的并是所有集合中的元素構(gòu)成的一個(gè)新的集合，記

34、為“”，對(duì)于兩個(gè)集合與的并為： ，任意個(gè)集合的并記為。例如：如果，則。2、交集集合的交是由所有集合中的共同元素所構(gòu)成的一個(gè)新的集合，記為“”，對(duì)于兩個(gè)集合與的交為： ，任意個(gè)集合的交記為。例如：如果，則。3、補(bǔ)集集合是全集的一個(gè)子集，則集合的補(bǔ)集是由全集中不屬于集合的元素所構(gòu)成的一個(gè)新的集合，記為，。例如：，則。集合的三種運(yùn)算可以以圖更直觀地表示出來(lái)，該圖稱(chēng)為維恩圖。圖(1)中，集合是由左邊圓中的點(diǎn)構(gòu)成，集合由右邊圓中的點(diǎn)構(gòu)成，與的并集則由覆蓋兩個(gè)圓的陰影部分所組成；圖(2)中的陰影部分構(gòu)成與的交集；圖(3)中，全集是由矩形中的點(diǎn)構(gòu)成，集合由圓中的點(diǎn)構(gòu)成，陰影部分構(gòu)成集合的補(bǔ)集。 圖1.1、集

35、合的乘積個(gè)集合的乘積是以形式表示的維向量的集合，記為：。特別地，如果每個(gè)集合都是實(shí)數(shù)集，則集合乘積構(gòu)成維歐幾里德空間內(nèi)的點(diǎn)。因此，維歐幾里德空間可以被定義成個(gè)實(shí)數(shù)集合的乘積。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們更為關(guān)注的是中的非負(fù)卦限集合：，圖1.2中陰影部分表示了二維歐幾里德空間中的非負(fù)卦限。今后，我們用大寫(xiě)字母代表維向量。表示向量的每一個(gè)分量；表示向量的每一個(gè)分量嚴(yán)格為正，即；表示每一個(gè)分量滿(mǎn)足； 表示向量中的每一個(gè)分量滿(mǎn)足。時(shí)。圖1.2集合的運(yùn)算法則1、交換律 2、結(jié)合律3、分配律4、DeMorgan法則中凸集中的集合稱(chēng)為凸集，如果對(duì)于中的任意給定的兩點(diǎn)與，對(duì)每一個(gè)，點(diǎn)，則是凸集。形式為的向量稱(chēng)為與的凸組合

36、。與的所以凸組合組成的集合是連接兩點(diǎn)的直線段，并稱(chēng)與為線段的端點(diǎn)，（其中為線段的內(nèi)部。對(duì)于一個(gè)凸集，當(dāng)且僅當(dāng)我們可以把集合內(nèi)的任意兩點(diǎn)用一條直線連接，該直線段完全位于集合內(nèi)。凸集均是“運(yùn)行良好的“，它們沒(méi)有洞，無(wú)斷點(diǎn)，在邊界上沒(méi)有凹凸。內(nèi)部非空的凸集稱(chēng)為凸體。若連接凸體中任意兩點(diǎn)的直線段，除了端點(diǎn)外都都在凸體的內(nèi)部，則稱(chēng)該集合為嚴(yán)格凸。圖1.3 凸集的一些性質(zhì)定理11：任意凸集的交是凸集；但凸集的并不一定是凸集。 證明：設(shè)，其中是凸集。，則，有，由于是凸集，所以，有，因此有，故而是凸集。凸集的并不一定是凸集，大家可以想像，香蕉可產(chǎn)生凸的切片，但香蕉本身不是凸集。定理12：令中的凸集，則集合和也

37、是凸集。證明：，則，由于是凸集，所以的凸組合，而 因此，是凸集。，則：，因此的凸組合由于中的凸集，所以有，,因此有：，這表明為凸集。定理13 ：凸集X與Y的任意線性組合也是凸集。該定理是定理122的推論。1213關(guān)系關(guān)系如果一個(gè)集合非空，且它的元素都是有序?qū)Γ瑒t稱(chēng)該集合為一個(gè)二元關(guān)系，記作。二元關(guān)系也可簡(jiǎn)稱(chēng)為關(guān)系，它是乘積集合子集。對(duì)于二元關(guān)系，如果，可記作或者，被稱(chēng)為的像。的像集定義為：。如果，則記作。例如：二元關(guān)系“”集合的元素是：，當(dāng)時(shí)，二元關(guān)系“”的集合如圖1.4中的陰影部分所示。 圖1.4關(guān)系的特征1、自反性我們稱(chēng)關(guān)系具有自反性，如果，有。例如關(guān)系“”就不具有自反性，但關(guān)系“”就具有

38、自反性。2、傳遞性我們稱(chēng)關(guān)系具有傳遞性，如果對(duì)，由（，）。3、對(duì)稱(chēng)性，我們稱(chēng)關(guān)系具有對(duì)稱(chēng)性，如果對(duì)， 。ö4、反對(duì)稱(chēng)性我們稱(chēng)關(guān)系具有反對(duì)稱(chēng)性，如果，和5、完備性我們稱(chēng)關(guān)系是完備的，如果，, 或者。例如關(guān)系“”就不具有完備性，因?yàn)楫?dāng)我們?nèi)r(shí)，即不成立，也不成立。1214函數(shù)函數(shù)是一類(lèi)非常普遍又十分特殊的關(guān)系。直觀地說(shuō)，函數(shù)是這種關(guān)系使一個(gè)集合D里的每一個(gè)元素映射到另一個(gè)（可能相同的）集合S里的唯一元素，記為。函數(shù)的定義令D和S是兩個(gè)集合。是由D到S的一個(gè)關(guān)系，對(duì)于每一個(gè)，都存在唯一的元素，使得，我們稱(chēng)是從D到S的一個(gè)函數(shù)，記為：。其中D稱(chēng)為函數(shù)的定義域，表示能夠取的所有值的集合；為函數(shù)

39、的像集，所有的取值稱(chēng)為值域，記為。函數(shù)的逆像集被定義成。構(gòu)成函數(shù)有兩大要素，其一是定義域，其二是對(duì)應(yīng)法則，所以我們把定義域與對(duì)應(yīng)法則完全相同的兩個(gè)函數(shù)認(rèn)為是相等。注意：盡管函數(shù)的定義規(guī)定對(duì)于每一個(gè)有一個(gè)唯一的，但并不要求反之也成立，換句話說(shuō)，多個(gè)值可與同一個(gè)值相聯(lián)系。滿(mǎn)射若是一個(gè)函數(shù)，如果。單射如果。雙射如果即是滿(mǎn)射又是單射，則稱(chēng)是雙射，即對(duì)于S中每一個(gè)元素都有原像而且它的原像是唯一的。反函數(shù)給定函數(shù)，它的逆關(guān)系可能是一個(gè)函數(shù)，也可能不是一個(gè)函數(shù)，若是函數(shù)，則稱(chēng)是的反函數(shù)。若是單射，中每一個(gè)在中都有唯一的原像，則是由到的函數(shù)，若還是滿(mǎn)射，則就是從到的函數(shù)。定理14：令是函數(shù)，是的子集族，則：（

40、1）；（2）。證明：（1）（2）的證明請(qǐng)同學(xué)自己完成。定理15：令是函數(shù)，是的子集族，則：（1）；（2）。證明：（1）的證明請(qǐng)同學(xué)完成。（2）函數(shù)的類(lèi)型1、常值函數(shù)值域僅有一個(gè)元素的函數(shù)。2、多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)的一般形式為：根據(jù)冪指數(shù)的不同，分別稱(chēng)為線性函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、次函數(shù)。在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，線性函數(shù)是一條直線；二次函數(shù)是拋物線；三次函數(shù)一般會(huì)出現(xiàn)兩次彎曲。3、有理函數(shù)：兩個(gè)多項(xiàng)式的比率。例如：根據(jù)定義，任何多項(xiàng)式函數(shù)本身必定為有理函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有一個(gè)特殊的有理函數(shù)是等軸雙曲線：，它可以代表具有單一需求彈性的需求曲線；4、非代數(shù)函數(shù)：任何以多項(xiàng)式和多項(xiàng)式的根表示的函數(shù)，均是代數(shù)

41、函數(shù)。其他的為非代數(shù)函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。函數(shù)的性質(zhì)1、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（奇函數(shù)）：2、軸對(duì)稱(chēng)（偶函數(shù)）：3、單調(diào)性：當(dāng)；若，則為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。4、周期函數(shù)：5、有界性：存在1215實(shí)數(shù)系統(tǒng)上的公理實(shí)數(shù)集R上的三個(gè)公理1、域公理：集合R關(guān)于加法與乘法是域，即加法與乘法都滿(mǎn)足結(jié)合律與交換律，關(guān)于加法與乘法都有單位元和逆元素，而且下列分配率成立：對(duì)于每一個(gè)。2、序公理：R中存在一個(gè)全序，它和加法與乘法相容，即：（1）（2）3、完備性公理：令和是實(shí)數(shù)的兩非空集合，滿(mǎn)足下面的性質(zhì)：，則存在實(shí)數(shù)，使得：。完備性公理實(shí)數(shù)集合中的有界集和集合的界 令X是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)（不一定屬于

42、X），滿(mǎn)足對(duì)于X中任意，都有，則我們稱(chēng)是X的上界，集合X是有上界的。類(lèi)似可以定義下界，即對(duì)于X中任意，都有，則我們稱(chēng)是X的下界，集合X是有下界的。實(shí)數(shù)集上確界與下確界對(duì)于有界實(shí)數(shù)集X，與分別是X的下界與上界，則等都是其下界，等都是其上界，我們把有界實(shí)數(shù)集的下界中最大的數(shù)稱(chēng)為X的最大下界或下確界，把有界實(shí)數(shù)集X的上界中最小的數(shù)稱(chēng)為X的最小上界或上確界。定理16：實(shí)數(shù)子集的上界與下界1、設(shè)是內(nèi)的一個(gè)有界開(kāi)集，并設(shè)分別是的下確界與上確界，那么。2、設(shè)是內(nèi)的一個(gè)有界閉集，并設(shè)分別是的下確界與上確界，那么。證明：1、我們只證明。反證法。假設(shè)的下確界，則由于是開(kāi)集，則，使得，特別地點(diǎn)，由于，這與是的下確界

43、相矛盾。2、同上，我們只證明。同樣使用反證明法。假設(shè)有界閉集下確界，則，由于是閉集，所以是開(kāi)集，于是，使得，由于是的下確界，并且，所以有，那么對(duì)于中的每一個(gè)點(diǎn)，都嚴(yán)格小于內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)。特別地對(duì)于，于是也是的下界，但是，這與是的下確界相矛盾。122 拓?fù)淅碚?221開(kāi)集與閉集 為了定義開(kāi)集與閉集，我們首先必須定義距離概念。維歐幾里德距離對(duì)于中的的兩個(gè)向量，歐幾里德距離被定義成：有了歐幾里德距離，我們就可以定義開(kāi)球與閉球的概念。開(kāi)球設(shè)是任意的實(shí)數(shù)，則中以為中心，以為半徑的開(kāi)球記為，閉球：設(shè)是任意的實(shí)數(shù)，則中以為中心，以為半徑的閉球記為，開(kāi)集的定義如果對(duì)，使得，則稱(chēng)是開(kāi)集。定理17：每一個(gè)開(kāi)集S是開(kāi)球

44、的并，即：，其中。定理18 開(kāi)集的性質(zhì)1、空集是一個(gè)開(kāi)集。2、是一個(gè)開(kāi)集。3、任意開(kāi)集的并集是一個(gè)開(kāi)集。證明：，其中是任意數(shù)，我們欲證明是開(kāi)集。對(duì)于，則存在某個(gè)，使得，由于是開(kāi)集，故，證畢。4、 有限個(gè)開(kāi)集的交集是一個(gè)開(kāi)集。證明：，由于每個(gè)是開(kāi)集，所以，使得，取，則，證畢。閉集的定義：S是閉集，如果S的補(bǔ)集是開(kāi)集。定理19閉集的性質(zhì)1、空集是一個(gè)閉集。2、整個(gè)空間是一個(gè)閉集。3、任意閉集的交集是一個(gè)閉集。4、有限個(gè)閉集的并集是一個(gè)閉集。集合的內(nèi)部、邊界和閉包1、內(nèi)部點(diǎn)，如果，使得，則稱(chēng)是集合的內(nèi)點(diǎn)。中所有內(nèi)點(diǎn)的集合稱(chēng)為的內(nèi)部，記為。2、外部點(diǎn)，如果，使得，則稱(chēng)是集合的外點(diǎn)。中所有外點(diǎn)的集合稱(chēng)為

45、的外部，記為。3、邊界點(diǎn)，如果對(duì)于任意的包含的開(kāi)球都與和相交，則稱(chēng)是集合的邊界點(diǎn)。中所有邊界點(diǎn)的集合稱(chēng)為的邊界，記為。4、閉包點(diǎn)，如果對(duì)于任意的包含的開(kāi)球都至少包含中一點(diǎn)，則稱(chēng)是集合的閉包點(diǎn)。中所有閉包點(diǎn)的集合稱(chēng)為的閉包，記為。 集合的內(nèi)部、邊界和閉包定理1101、是包含的最大開(kāi)集；2、是開(kāi)集的是；3、是包含的最大閉集；4、是閉集的是。中的有界集S是中的有界集，如果對(duì)于，使得。依據(jù)這個(gè)定義，如果我們總是能畫(huà)出以此集為中心的球包含該集合，則該集合即為有界集。例1：任意開(kāi)球是有界集，因?yàn)?。?：實(shí)軸上的每個(gè)開(kāi)區(qū)間是有界集，因?yàn)?我們上面討論了閉集與有界集，接下來(lái)我們將把兩個(gè)結(jié)合，討論另外一個(gè)在經(jīng)濟(jì)

46、學(xué)中應(yīng)用十分廣泛的集合概念緊集。緊集的定義：是內(nèi)的一個(gè)緊集，如果集合是有界閉集。如我們?cè)谇懊嬗懻摰?，每個(gè)上的開(kāi)區(qū)間并不是緊集，因?yàn)樯系拈_(kāi)區(qū)間雖然是有界集，但不是閉集；但是每個(gè)上的閉區(qū)間是緊集。同樣，每個(gè)上的開(kāi)球并不是緊集，但是每個(gè)上的閉球是緊集。1222函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性設(shè)D是中的一個(gè)子集，并且設(shè)，如果對(duì)于每個(gè)，存在一個(gè)，使得下列式子成立，那么，在點(diǎn)連續(xù)。f 是連續(xù)函數(shù)é f 在x D上連續(xù)定理111：連續(xù)函數(shù)與逆象 設(shè)D是的一個(gè)子集，如下的條件是等價(jià)的1、是連續(xù)的2、對(duì)于內(nèi)的每個(gè)開(kāi)球，在D內(nèi)也是開(kāi)的。3、對(duì)于內(nèi)的每個(gè)開(kāi)集S，在D內(nèi)也是開(kāi)的。證明：1 對(duì)于由定義知：,使得：，由于是開(kāi)

47、球，故由開(kāi)球的定義知：，使得：由函數(shù)的連續(xù)性知：對(duì)上述的，使得，于是有：。2由定理17知：，又由定理14得：，而是開(kāi)集，所以由定理128知結(jié)論得證。3我們需要證明在點(diǎn)連續(xù)即可。為此：對(duì)于，由于是開(kāi)集，由于，所以有，由于是開(kāi)集，故，使得，由此得：，連續(xù)性得證。定理112：連續(xù)函數(shù)把緊集映射成緊集。設(shè)D是的一個(gè)子集，并且設(shè)是定義在D上的連續(xù)函數(shù)， 。如果是D內(nèi)的一個(gè)緊集，那么，其象在內(nèi)是緊集。1223 中的數(shù)列中數(shù)列的定義數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的定義域是自然數(shù)集。令是維實(shí)空間，則函數(shù)稱(chēng)為中的數(shù)列。通常，表示數(shù)列在處的函數(shù)值，即，表示我們所討論的整個(gè)數(shù)列。中子數(shù)列的定義令是一個(gè)中的數(shù)列，考慮一個(gè)嚴(yán)

48、格遞增的函數(shù)。對(duì)于正整數(shù)，復(fù)合函數(shù)是中的一個(gè)子數(shù)列。的子數(shù)列通常記為。直觀地講，子數(shù)列是從原數(shù)列中去掉某些元素形成的數(shù)列。對(duì)于，遞增函數(shù)使得正整數(shù)，原數(shù)列中對(duì)應(yīng)項(xiàng)形成了子序列。數(shù)列的收斂如果，當(dāng)時(shí)有，則稱(chēng)數(shù)列收斂于，記為：。有界數(shù)列定義如果，使得數(shù)列中的任意兩項(xiàng)，的距離,則稱(chēng)數(shù)列是有界的。定理113：收斂數(shù)列必是有界數(shù)列，反之，有界數(shù)列并不一定收斂。證明：假設(shè)收斂于，則根據(jù)定義，當(dāng)時(shí)有，取，則，因此數(shù)列中的任意兩項(xiàng)，的距離，由定義知數(shù)列有界。有界數(shù)列并不一定收斂，例如，數(shù)列顯然有界，但它并不收斂。定理114：博爾扎諾-魏爾斯特拉斯定理中任何一個(gè)有界數(shù)列必存在收斂的子數(shù)列。定理115：數(shù)列、集合

49、與連續(xù)性之間的關(guān)系設(shè)的一個(gè)子集，并設(shè)，那么：1、是開(kāi)的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每個(gè)，如果，則，使得當(dāng)時(shí)，有。2、是閉的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于內(nèi)的每個(gè)收斂數(shù)列，有。3、是連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于內(nèi)的每個(gè)收斂數(shù)列，有。1224一些存在性定理定理116：魏爾斯特拉斯極值定理設(shè)是的一個(gè)非空的緊子集，一個(gè)連續(xù)的實(shí)值映射，那么存在向量與，使得：對(duì)于所有的，都成立。 證明：由于是連續(xù)函數(shù)，并且是的一個(gè)非空的緊子集，由定理1212有是上的一個(gè)非空的緊子集，又由定理126，上的有界閉集一定可以達(dá)到其上確界與下確界，所以存在，使得：對(duì)于所有的，有 ，由于，所以存在向量與，滿(mǎn)足與。該定理的意義在如下圖中得到說(shuō)明。在圖（1）、（2）中，是

50、一個(gè)連續(xù)的實(shí)值函數(shù)。在圖（1）中，子集是有界、閉集，因此也是緊集，在中的與分別達(dá)到其極大與極小值。但在圖（2）中，如果我們考慮，它并不是閉集，從圖上可以看出，在中，函數(shù)分別在點(diǎn)處達(dá)到其極小與極大值，因此在中，函數(shù)不能達(dá)到其極小與極大值。 （1） （2）接下來(lái)讓我們考慮一類(lèi)更為特殊的函數(shù)，即從中一個(gè)子集映射到的同一子集的函數(shù)。例如線性與非線性方程組定義了這樣的函數(shù)。例如聯(lián)立方程組由下式給出：這個(gè)方程組組把點(diǎn)映射到點(diǎn)中，因此，這是一個(gè)將集合映射到相同集合的映射。特別地，如果這個(gè)方程組的解滿(mǎn)足： 則該解稱(chēng)為映射的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。下面我們看不動(dòng)點(diǎn)存在的充分條件。定理117：布勞威不動(dòng)點(diǎn)定理設(shè)是的一個(gè)非空的

51、緊凸集，一個(gè)連續(xù)映射，那么在中至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得。1215 實(shí)值函數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，實(shí)值函數(shù)經(jīng)常會(huì)遇到，比如消費(fèi)者效用函數(shù)、間接效用函數(shù)、支出函數(shù)、廠商利潤(rùn)函數(shù)、成本函數(shù)等。實(shí)值函數(shù)的定義如下：實(shí)值函數(shù)的定義從任意集合D到實(shí)數(shù)集合上的函數(shù)，即。實(shí)值函數(shù)把定義域中的點(diǎn)映射到實(shí)線上。在此我們將介紹一些在經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常遇到的一些實(shí)函數(shù)。單調(diào)性函數(shù)1、遞增（減）實(shí)值函數(shù)設(shè)上的實(shí)值函數(shù)，這里，如果當(dāng)時(shí)有，則稱(chēng)為遞增（減）實(shí)值函數(shù)。2、嚴(yán)格遞增（遞減）實(shí)值函數(shù)設(shè)上的實(shí)值函數(shù)，這里，如果當(dāng)時(shí)有，則稱(chēng)為嚴(yán)格遞增（減）實(shí)值函數(shù)。3、強(qiáng)遞增（遞減）實(shí)值函數(shù)設(shè)上的實(shí)值函數(shù)，這里，如果當(dāng)且時(shí)有，則稱(chēng)為強(qiáng)遞增（減）實(shí)值

52、函數(shù)。 顯然，我們有下面的兩個(gè)結(jié)論：1、強(qiáng)遞增（減）實(shí)值函數(shù)一定是嚴(yán)格遞增（減）實(shí)值函數(shù)。2、嚴(yán)格遞增（減）實(shí)值函數(shù)一定是遞增（減）實(shí)值函數(shù)。 這兩個(gè)結(jié)論的證明請(qǐng)同學(xué)自己完成。相關(guān)集合1、水平集是一個(gè)實(shí)值函數(shù)（這里）上的水平集當(dāng)且僅當(dāng)水平集的概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中就是無(wú)差異的概念，它是函數(shù)值相同的點(diǎn)的集合，如果這個(gè)函數(shù)代表效用函數(shù)，則水平集就是無(wú)差異曲線；如果這個(gè)函數(shù)代表成本函數(shù)，則水平集就是等成本曲線。對(duì)于任意的函數(shù)值，我們都可以構(gòu)造一個(gè)與該值相對(duì)應(yīng)的水平集，如下圖所示。 上的水平集定理118:函數(shù)的任意兩個(gè)不同的水平集不相交。證明：假設(shè)與是函數(shù)的兩個(gè)不同的水平集，如果它們相交，則存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足及，

53、這顯然與函數(shù)的定義（多對(duì)一與一對(duì)一映射）相矛盾。2、上優(yōu)集與下劣集合，相對(duì)于水平的上優(yōu)集。，相對(duì)于水平的嚴(yán)格上優(yōu)集。，相對(duì)于水平的下劣集。，相對(duì)于水平的嚴(yán)格下劣集。定理119:水平集、上優(yōu)集與下劣集之間的關(guān)系（1）水平集是上優(yōu)集的子集，即：；（2）水平集是下劣集的子集，即：；（3）水平集是上優(yōu)集與下劣集的交，即：；（4）嚴(yán)格上優(yōu)集是上優(yōu)集的子集，即：；（5）嚴(yán)格下劣集是下劣集的子集，即：；（6）嚴(yán)格上優(yōu)集與下劣集的交是空集，即：（7）嚴(yán)格下劣集與上優(yōu)集的交是空集，即：（8）嚴(yán)格上優(yōu)集與嚴(yán)格下劣集的交是空集，即：下圖給出了遞增與遞減的上優(yōu)集與下劣集。 遞增函數(shù)的上優(yōu)集與下劣集 遞減函數(shù)的上優(yōu)集與

54、下劣集3、函數(shù)的上圖與下圖集函數(shù)的上圖是函數(shù)上面的點(diǎn)（）的集合：函數(shù)的下圖是函數(shù)下面的點(diǎn)（）的集合：hypfepif 函數(shù)的上圖與下圖微積分1、偏導(dǎo)數(shù)令，在點(diǎn)的鄰域中有定義，當(dāng)其它分量不變，而分量有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，如果：存在，則稱(chēng)此極限為關(guān)于在處的偏導(dǎo)數(shù)，記為：。同理可以定義函數(shù)對(duì)其它分量在處的偏導(dǎo)數(shù)。如果函數(shù)對(duì)其定義域中的任何一點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，它就稱(chēng)為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)，記為：。2、偏導(dǎo)數(shù)的求法由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要什么新的方法，求，只要把其它自變量看成常數(shù)，求函數(shù)關(guān)于的導(dǎo)數(shù)即可，因此，偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一元函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。例題：，證明：證明：，所以有：。3、方

55、向?qū)?shù) 偏導(dǎo)數(shù)告訴我們?cè)谒云渌宰兞勘４娌蛔兊臈l件下，只改變其中一個(gè)自變量，該函數(shù)是增加還是減少。但這只能告訴我們隨著我們改變個(gè)自變量中的一個(gè)自變量，函數(shù)值是增加還是減少。但有時(shí)我們需要了解點(diǎn)沿著的方向偏離點(diǎn)，函數(shù)的值將會(huì)由開(kāi)始發(fā)生怎樣的變化。這就需要引進(jìn)方向?qū)?shù)的概念。為此記為函數(shù)的梯度，則函數(shù)從點(diǎn)出發(fā)沿著的方向偏離點(diǎn)的方向?qū)?shù)定義為：。如果方向?qū)?shù)為正，意味函數(shù)從點(diǎn)出發(fā)沿著的方向偏離點(diǎn)，函數(shù)將增加；如果方向?qū)?shù)為負(fù)，意味函數(shù)從點(diǎn)出發(fā)沿著的方向偏離點(diǎn)，函數(shù)將減少；如果方向?qū)?shù)為零，意味函數(shù)從點(diǎn)出發(fā)沿著的方向偏離點(diǎn)，函數(shù)將不發(fā)生變化。根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，我們知道，實(shí)際上函數(shù)的每一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)正好是沿方向的方向?qū)?shù)。4、高階偏導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)于函數(shù)，其二階偏導(dǎo)數(shù)為：由函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的矩陣我們稱(chēng)為海塞矩陣H，。定理119：楊格定理對(duì)于二次連續(xù)可微的函數(shù)，對(duì)于楊格定理我們不進(jìn)行證明，但我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)驗(yàn)證。例題：考察