高中數(shù)學(xué) 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何不等式課件 自然界A版選修4

1、選修4-5 Ch2不等式和絕對(duì)值不等式1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何不等式 基本不等式給出了兩個(gè)整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，這個(gè)不等式能否推廣呢?例如,對(duì)于3個(gè)正數(shù),會(huì)有怎樣的不等式成立呢?1、思考3, .,3abca bcRabcabc類比、猜想：若那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。333, ,3a b cRabcabc引理：如果那么等號(hào)當(dāng)且僅a=b=c時(shí)成立33333233332222222222223()333()333() ()()3()()23()()1() ()()()0,2abcabca ba babcabca bca bababca b ca ba b c cab a b ca

2、b c aab bac bc caba b c abcab bc caa b ca bb cc a 證明：3, .,3abca bcRabcabc若那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。定理定理3表述:三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.推論:33 abccba.,等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)cba為定值時(shí)abc)1(為定值時(shí)cba)2(3)3(cbaabc.,等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)cba2、三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何不等式 如果 *12,1na aaRnnN且 則： naaan21 叫做這叫做這n個(gè)正數(shù)的個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)。nnaaa21叫做這叫做這n個(gè)正數(shù)的個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。推廣推廣27Rxyz

3、+3例1、已知x，y，z，求證：（x+y+z）。33xyzxyz證明：因?yàn)?，所以3xyz（x+y+z），27327xyz即（x+y+z）3、例題研究例.)1(,10)1(2的最大值求函數(shù)時(shí)當(dāng)xxyx解:, 10 x, 01x.274,32,12maxyxxx時(shí)即當(dāng)274)3122(43xxx)1(224)1(2xxxxxy構(gòu)造三個(gè)數(shù)相加等于定值.)1(,10)2(2的最大值求函數(shù)時(shí)當(dāng)xxyx解:, 10 x, 012x2222)1 (xxy)1)(1 (221222xxx274)3112(213222xxx.392,274,33,12maxmax222yyxxx時(shí)即當(dāng)構(gòu)造三個(gè)數(shù)相加等于定值.

4、x)20( ,)2(2axxaxV則其容積為 :)2()2(441xaxaxV2723)2()2(44133axaxax272,6,243maxaVaxxax時(shí)當(dāng)且僅當(dāng).272,63aa積是合的最大容鐵時(shí)長(zhǎng)為小正方形邊即當(dāng)剪去的axa2例將一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮,剪去四個(gè)角(四個(gè)全等的正方形),作成一個(gè)無蓋的鐵盒,要使其容積最大,剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少?最大容積是多少?解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x232,(0).yxxx求函數(shù)的最小值3322243212321232xxxxxxxxy解解:3min43y(錯(cuò)解錯(cuò)解:原因是取不到等號(hào)原因是取不到等號(hào))正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,