數(shù)學(xué)解析幾何直線和圓

1、第一節(jié) 直線和圓第一部分 三年高考薈萃2010年高考題一、選擇題1.（2010江西理）與圓相交于M,N兩點(diǎn)，若，則k的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式，重點(diǎn)考察數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用.，由點(diǎn)到直線距離公式，解得；解法2：數(shù)形結(jié)合，如圖由垂徑定理得夾在兩直線之間即可，不取，排除B，考慮區(qū)間不對稱，排除C，利用斜率估值，選A 2.（2010安徽文）（4）過點(diǎn)（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0【答案】A【解析】設(shè)直線方程為，又經(jīng)過，故，所求方

2、程為.【方法技巧】因?yàn)樗笾本€與與直線x-2y-2=0平行，所以設(shè)平行直線系方程為，代入此直線所過的點(diǎn)的坐標(biāo)，得參數(shù)值，進(jìn)而得直線方程.也可以用驗(yàn)證法，判斷四個(gè)選項(xiàng)中方程哪一個(gè)過點(diǎn)（1，0）且與直線x-2y-2=0平行.3.（2010重慶文）（8）若直線與曲線（）有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（A） （B）（C）（D）【答案】D解析：化為普通方程，表示圓，因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以解得法2：利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析得同理分析，可知4.（2010重慶理）(8) 直線y=與圓心為D的圓交與A、B兩點(diǎn)，則直線AD與BD的傾斜角之和為A. B. C. D. 【答案】C解析：數(shù)形結(jié)合由圓的性

3、質(zhì)可知故5.（2010廣東文）6.（2010全國卷1理）（11）已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為 (A) (B) (C) (D)7.（2010安徽理）9、動(dòng)點(diǎn)在圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周。已知時(shí)間時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A、B、C、D、和【答案】 D【解析】畫出圖形，設(shè)動(dòng)點(diǎn)A與軸正方向夾角為，則時(shí)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)，在上，在上，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于都是單調(diào)遞增的?！痉椒记伞坑蓜?dòng)點(diǎn)在圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，可知與三角函數(shù)的定義類似，由12秒旋轉(zhuǎn)一周能求每秒鐘所轉(zhuǎn)的弧度，畫出

4、單位圓，很容易看出，當(dāng)t在變化時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)性的變化，從而得單調(diào)遞增區(qū)間.二、填空題1.（2010上海文）的圓心到直線的距離?！敬鸢浮?解析：考查點(diǎn)到直線距離公式圓心（1,2）到直線距離為2.（2010湖南文）14.若不同兩點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為（a，b），（3-b，3-a），則線段PQ的垂直平分線l的斜率為,圓（x-2）2+（y-3）2=1關(guān)于直線對稱的圓的方程為【答案】-1 3.（2010全國卷2理）（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，若，則兩圓圓心的距離【答案】3 【命題意圖】本試題主要考查球的截面圓的性質(zhì)，解三角形問題.【解析】

5、設(shè)E為AB的中點(diǎn)，則O，E，M，N四點(diǎn)共面，如圖，所以，由球的截面性質(zhì)，有，所以與全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面積相等，可得，OMNEAB4.（2010全國卷2文）（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，若，則兩圓圓心的距離?！窘馕觥?：本題考查球、直線與圓的基礎(chǔ)知識 ON=3，球半徑為4，小圓N的半徑為，小圓N中弦長AB=4，作NE垂直于AB， NE=，同理可得，在直角三角形ONE中， NE=，ON=3， MN=35.（2010山東文）（16） 已知圓C過點(diǎn)（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：被該圓所截得的弦長為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答

6、案：6.（2010四川理）（14）直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則.解析：方法一、圓心為(0,0)，半徑為2圓心到直線的距離為d故得|AB|2答案：27.（2010天津文）（14）已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x+y+3=0相切。則圓C的方程為 。【答案】本題主要考查直線的參數(shù)方程，圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于容易題。令y=0得x=-1，所以直線x-y+1=0,與x軸的交點(diǎn)為（-1.0）因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓C的方程為【溫馨提示】直線與圓的位置關(guān)系通常利用圓心到直線的距離或數(shù)形結(jié)合的方法求解。8.（2010廣東理）1

7、2.已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x+y=0相切，則圓O的方程是12設(shè)圓心為，則，解得9.（2010四川文）(14)直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則.【答案】2解析：方法一、圓心為(0,0)，半徑為2圓心到直線的距離為d故得|AB|210.（2010山東理）【解析】由題意，設(shè)所求的直線方程為，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知：，解得或-1，又因?yàn)閳A心在x軸的正半軸上，所以，故圓心坐標(biāo)為（3，0），因?yàn)閳A心（3，0）在所求的直線上，所以有，即，故所求的直線方程為?！久}意圖】本題考查了直線的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的關(guān)系，考查了同學(xué)們解決直線與圓問題的能力。11.（2010湖南理

8、）12.（2010江蘇卷）9、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_ 解析考查圓與直線的位置關(guān)系。 圓半徑為2，圓心（0，0）到直線12x-5y+c=0的距離小于1，的取值范圍是（-13，13）。2009年高考題一、選擇題1.（遼寧理，4）已知圓C與直線xy=0 及xy4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為A. B.C. D.【解析】圓心在xy0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可.【答案】B2.（重慶理，1）直線與圓的位置關(guān)系為（ ）A相切 B相交但直線不過圓心 C直線過

9、圓心D相離【解析】圓心為到直線，即的距離，而，選B?！敬鸢浮緽3.（重慶文，1）圓心在軸上，半徑為1，且過點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（ ）A BCD解法1（直接法）：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知，解得，故圓的方程為。解法2（數(shù)形結(jié)合法）：由作圖根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離為1易知圓心為（0，2），故圓的方程為解法3（驗(yàn)證法）：將點(diǎn)（1，2）代入四個(gè)選擇支，排除B，D，又由于圓心在軸上，排除C?！敬鸢浮緼4.（上海文，17）點(diǎn)P（4，2）與圓上任一點(diǎn)連續(xù)的中點(diǎn)軌跡方程是（ ）A. B.C.D.【解析】設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q（s，t），PQ的中點(diǎn)為A（x，y），則，解得：，代入圓方程，得（2x4）2（2y2）24，整理

10、，得：【答案】A5. （上海文，15）已知直線平行，則k得值是（ ）A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 【解析】當(dāng)k3時(shí)，兩直線平行，當(dāng)k3時(shí)，由兩直線平行，斜率相等，得：k3，解得：k5，故選C?！敬鸢浮緾6.(上海文，18)過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線AB有（ ）（A） 0條 （B） 1條 （C） 2條 （D） 3條【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面積是定值，所以，為定值，即為定值，當(dāng)直線AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B?！敬鸢浮緽7.（陜西理，4）過原點(diǎn)

11、且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為A. B.2 C.【答案】D二、填空題8.（廣東文，13）以點(diǎn)（2，）為圓心且與直線相切的圓的方程是.【解析】將直線化為,圓的半徑,所以圓的方程為【答案】9.（天津理，13）設(shè)直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的方程為y=3x+4則與的距離為_【解析】由題直線的普通方程為，故它與與的距離為?！敬鸢浮?0. （天津文，14）若圓與圓的公共弦長為，則a=_.【解析】由已知，兩個(gè)圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 ，利用圓心（0，0）到直線的距離d為，解得a=1.【答案】111.（全國文16）若直線被兩平行線所截得的線段的長為，則的傾斜角可以是其中正確答案的序號

12、是.（寫出所有正確答案的序號）【解析】解：兩平行線間的距離為，由圖知直線與的夾角為，的傾斜角為，所以直線的傾斜角等于或?！敬鸢浮?2.（全國理16）已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為?！窘馕觥吭O(shè)圓心到的距離分別為,則.四邊形的面積【答案】513.（全國文15）已知圓O：和點(diǎn)A（1，2），則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于【解析】由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為?！敬鸢浮?14.（湖北文14）過原點(diǎn)O作圓x2+y26x8y20=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，

13、則線段PQ的長為。【解析】可得圓方程是又由圓的切線性質(zhì)及在三角形中運(yùn)用正弦定理得.【答案】415.（江西理16）設(shè)直線系,對于下列四個(gè)命題：中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上對于任意整數(shù)，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）【解析】因?yàn)樗渣c(diǎn)到中每條直線的距離即為圓:的全體切線組成的集合,從而中存在兩條平行直線,所以A錯(cuò)誤；又因?yàn)辄c(diǎn)不存在任何直線上,所以B正確； 對任意,存在正邊形使其內(nèi)切圓為圓,故正確；中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形和,故D錯(cuò)誤,故命題中正確的序號是 B,C.【答案】三、解答題16

14、.（2009江蘇卷18）（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。解 (1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得：化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：，即：因?yàn)橹本€被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：圓心到直線與直線的距離相等。故有：，化簡得：關(guān)于的方程有無

15、窮多解，有：解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。2008年高考題一、選擇題1.（2008年全國理11）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與x-7y-4=0,原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（）.A3B2CD答案 A解析 ，設(shè)底邊為由題意，到所成的角等于到所成的角于是有再將A、B、C、D代入驗(yàn)證得正確答案 是A。2.（2008年全國文3）原點(diǎn)到直線的距離為（）A1BC2 D答案 D解析 。3.（2008四川）將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移個(gè)單位長度，所得到的直線為 ()A.B.C.D.答案A4.（2008上海15）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、

16、D的定圓所圍成的區(qū)域（含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)若點(diǎn)、點(diǎn)滿足且，則稱P優(yōu)于如果中的點(diǎn)滿足：不存在中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧 （）BCD答案D二、填空題12. （2008天津文15，）已知圓C的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線y=x+1對稱，直線3x+4y-11=0與圓C相交于兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為_. 答案13.（2008四川文14）已知直線與圓，則上各點(diǎn)到的距離的最小值為_.答案14.（2008廣東理11）經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線程是 答案 第二部分 兩年聯(lián)考匯編2010年聯(lián)考題題組二（5月份更新）1.（馬鞍山學(xué)業(yè)水平測試）如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,那么

17、實(shí)數(shù)的取值范圍是A. (0,+)B. (0,2)C. (1,+)D. (0,1)答案 D2.（池州市七校元旦調(diào)研）已知直線y=x+1與曲線相切，則的值為( ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2答案 B 解:設(shè)切點(diǎn)，則,又.故答案選B在點(diǎn)處的切線方程為 （ ） A. B. C. D. 答案 B解：,故切線方程為,即 故選B.4.（昆明一中三次月考理）是圓上任意一點(diǎn)，若不等式恒成立，則c的取值范圍是 AB CD答案：B5.（岳野兩校聯(lián)考）若直線和圓O：沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A至多一個(gè) B2個(gè) C1個(gè) D0個(gè)答案 B6（昆明一中四次月考理）已知直線與圓交于A、B兩

18、點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量、滿足，則實(shí)數(shù)a的值是（ ）（A）2 （B） （C）或 （D）2或答案：D7（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）圓的方程為，圓的方程為，過圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則的最小值是 （ ）A12 B10C6 D5答案C8.（馬鞍山學(xué)業(yè)水平測試）如果過兩點(diǎn)和的直線與拋物線沒有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是. 答案 .9（安慶市四校元旦聯(lián)考）已知點(diǎn)M（3，0），N（3，0），B（1，0），圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的軌跡方程為.答案 10. （安慶市四校元旦聯(lián)考）設(shè)直線的方程為，將直線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到直線，

19、則的方程是。答案 11（安慶市四校元旦聯(lián)考）（本題滿分16分）如圖，在矩形中，以為圓心1為半徑的圓與交于（圓弧為圓在矩形內(nèi)的部分）（）在圓弧上確定點(diǎn)的位置，使過的切線平分矩形ABCD的面積；（）若動(dòng)圓與滿足題（）的切線及邊都相切，試確定的位置，使圓為矩形內(nèi)部面積最大的圓解（）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，圓弧的方程切線l的方程：（可以推導(dǎo)：設(shè)直線的斜率為，由直線與圓弧相切知：，所以，從而有直線的方程為，化簡即得）設(shè)與交于可求F（），G（），l平分矩形ABCD面積，又 解、得：（）由題（）可知：切線l的方程：，當(dāng)滿足題意的圓面積最大時(shí)必與邊相切，設(shè)圓與直線、分別切于，則

20、（為圓的半徑），由點(diǎn)坐標(biāo)為注意：直線與圓應(yīng)注意常見問題的處理方法，例如圓的切線、弦長等，同時(shí)應(yīng)注重結(jié)合圖形加以分析，尋找解題思路。題組一（1月份更新）一、選擇題1、（2009金華十校3月模擬）經(jīng)過圓的圓心C，且與直線垂直的直線方程是A B C D 答案 C2、（2009臨沂一模）已知點(diǎn)P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓C：的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為A、 B、 C、 D、2答案 D3、（2009嘉興一中一模）“”是“直線與圓相切”的（ ） (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既

21、不充分也不必要條件答案 A4、（2009日照一模）已知圓關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是 A B C D答案 A5、（2009青島一模）已知直線及與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為，與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為，則直線與A.相交，且交點(diǎn)在第I象限 B.相交，且交點(diǎn)在第II象限 C.相交，且交點(diǎn)在第IV象限 D.相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)答案 D6、（20009泰安一模）若PQ是圓的弦，PQ的中點(diǎn)是（1,2）則直線PQ的方程是 （A） （B）（C） （D）答案 B7、（2009金華一中2月月考）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）. A BC D答案 A8、（2009濰坊一模）若PQ是圓的弦，PQ的中點(diǎn)是（1,2

22、）則直線PQ的方程是 （A） （B）（C） （D）答案 B9、（2009棗莊一模）將圓軸正方向平移1個(gè)單位后得到圓C，若過點(diǎn)（3，0）的直線和圓C相切，則直線的斜率為（ ）ABCD答案 D10、（2009上海十校聯(lián)考）圓與圓的位置關(guān)系是( )(A) 相交 (B) 相離 (C) 內(nèi)切 (D) 外切答案 C11、（2009濱州一模）已知直線交于A、B兩點(diǎn)，且，其中O為原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為A2 B2C2或2 D或答案 C二、填空題1、（2009上海十四校聯(lián)考）若直線的值為答案 2或82、（2009上海盧灣區(qū)4月?？迹┤酎c(diǎn)是圓內(nèi)異于圓心的點(diǎn)，則直線與該圓的位置關(guān)系是答案 相離3、（2009杭州高中第六次

23、月考）已知直線交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量、滿足，則實(shí)數(shù)a的值是_答案 ±24、（2009上海八校聯(lián)考）已知實(shí)數(shù)，直線過點(diǎn)，且垂直于向量，若直線與圓相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。答案 5、（2009上海青浦區(qū)）直線的傾斜角為答案 6、（2009上海奉賢區(qū)）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，若對滿足條件，不等式恒成立，則的取值范圍是答案 7、（2009濱州一模）如果直線ykx1與圓交于M、N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線xy0對稱，若為平面區(qū)域 內(nèi)任意一點(diǎn)，則的取值范圍是. 答案 三、解答題1、（2009金華一中2月月考）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.（1） 求曲線的方程（2） 過點(diǎn)作

24、互相垂直的直線、，分別交曲線于、和、四個(gè)點(diǎn)，求四邊形面積的最小值。解：（1）W：x2=6y（2）設(shè)AC：設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2） |AC|=6（k2+1）同理|BD|=6SABCD=當(dāng)k=±1時(shí)取等號2009年聯(lián)考題一、選擇題1.(西南師大附中高2009級第三次月考)“a= 3”是“直線與直線平行”的（ ）條件A充要B充分而不必要C必要而不充分 D既不充分也不必要答案C2.(重慶市大足中學(xué)2009年高考數(shù)學(xué)模擬試題)直線x+y+1=0與圓的位置關(guān)系是 （ ）A.相交 B.相離 C.相切 D.不能確定答案C3.(西南師大附中高2009級第三次月考)兩圓的位置關(guān)系是（ ）A內(nèi)切B外切C相離D內(nèi)含答案B4. (西南師大附中高2009級第三次月