中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)形成及培養(yǎng)”課題

1、“中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)、形成及培養(yǎng)”課題結(jié)題報(bào)告南京市外國語學(xué)校 李平龍一、研究背景傳統(tǒng)教育教學(xué)把有生命的知識當(dāng)成無生命的一系列抽象的符號和孤立的結(jié)論“傳授”給亟待開發(fā)與體現(xiàn)生命價(jià)值的學(xué)生，這不能不說是教育的誤區(qū)在課堂教學(xué)中體現(xiàn)為“重結(jié)論，輕過程；重訓(xùn)練，輕意識；重演繹，輕發(fā)現(xiàn)；重傳授，輕感悟；重抽象，輕實(shí)驗(yàn)；重智商，輕情商”而一些發(fā)達(dá)的國家，在教學(xué)上都把學(xué)生的思考能力和解決問題的能力從教育方針上規(guī)定為教學(xué)的主要目標(biāo)例如，美國哈佛大學(xué)在校規(guī)上就赫然寫道：“教育不僅是傳授知識，尤其注重培養(yǎng)青年的思維能力和科學(xué)態(tài)度，”在這方面，蘇霍姆林斯基的工作是令人矚目的，可他在總結(jié)一生的工作時(shí)說：“我在學(xué)校工

2、作了近35年，直到20年前我才明白，在課堂上要做的兩件事：其一要教給學(xué)生一定的知識；其二要使學(xué)生變得更聰明”可見，教會學(xué)生學(xué)會思考，增強(qiáng)思維能力是教學(xué)的中心任務(wù)然而，受“功利主義”影響，“應(yīng)試教育”一度愈演愈烈，使教學(xué)雙方為謀求“功利”而喪失了教育應(yīng)有的非功利性的一面數(shù)學(xué)題目越演越多、越變越深，數(shù)學(xué)資料五花八門，隨堂練習(xí)、單元過關(guān)、三基訓(xùn)練、強(qiáng)化練習(xí)、綜合測試、模擬熱身、高考仿真名目繁多，學(xué)生不堪重負(fù)其直接結(jié)果是將班級授課制推向極端：“滿堂灌”、“填鴨式”湮沒了課堂，生苦不堪言、師身心疲憊，“高分低能”由此產(chǎn)生新一輪義務(wù)教育課程改革已在全國范圍內(nèi)實(shí)施，與之相配套的高中課程改革及其相應(yīng)教材已在各

3、省市分批依次進(jìn)行實(shí)驗(yàn)實(shí)施新課標(biāo)、實(shí)踐新教材，已成為我校教師的光榮使命；“一切為了學(xué)生”、“為了學(xué)生的一切”，已逐步成為教育工作者的行動指南新的課程理念、新的教育理念、新的教學(xué)理念正在強(qiáng)烈地沖激著傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育；課堂教學(xué)無疑是實(shí)施課程改革、實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的主陣地，傳統(tǒng)的教學(xué)模式能否完成課程改革的歷史使命，能否在課堂教學(xué)中讓學(xué)生的思維更主動、更生動地發(fā)展，便是每位教育工作者無法回避而必須思考的問題因此，改革傳統(tǒng)的教學(xué)模式使之更有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維、激發(fā)學(xué)習(xí)的潛能，進(jìn)而最大限度地實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)便迫在眉睫！為改變?nèi)缟蠣顩r，以適應(yīng)時(shí)代對人才的需要，就必須研究中學(xué)生的思維狀況與特點(diǎn)，尤應(yīng)探索出培養(yǎng)思維能力的良

4、好途徑，以造就一代社會文化人二、實(shí)驗(yàn)假設(shè)與課題界定1實(shí)驗(yàn)假設(shè)潛心捕捉課堂教學(xué)三課型（新授課、復(fù)習(xí)（習(xí)題）課、講評課）中有益于良好思維品質(zhì)（敏捷性、靈活性、廣闊性、深刻性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性、組織性、跨越性、運(yùn)動性等）形成的范例與素材，決不放過每一次機(jī)會使數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化、建構(gòu)、積累的過程與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、能力的形成、發(fā)展、深化過程力爭達(dá)到同頻，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的能力、構(gòu)建完善的思維結(jié)構(gòu)之重任2課題界定（1）三課型：系指中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中最常見的“新授課”、“習(xí)題（復(fù)習(xí)）課”和“講評課”，它們幾乎囊括了數(shù)學(xué)教學(xué)中的所有課型“三課型”的教學(xué)框架直接影響著新課標(biāo)的實(shí)施效果（2）數(shù)學(xué)思維能力：數(shù)學(xué)思維

5、是人腦對數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性和數(shù)學(xué)規(guī)律的概括活動的間接反映能力是對思維材料進(jìn)行加工的活動過程的概括，數(shù)學(xué)能力是直接影響數(shù)學(xué)活動效果的心理因素，即在個(gè)體身上經(jīng)常地穩(wěn)定地表現(xiàn)出來的心理特征簡言之，數(shù)學(xué)思維能力對數(shù)學(xué)思維材料進(jìn)行加工的活動過程的概括，它是一切數(shù)學(xué)能力的核心，其高低直接制約和影響著其它數(shù)學(xué)能力的發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力體現(xiàn)于思維品質(zhì)的優(yōu)劣，它是通過一系列具體的思維品質(zhì)體現(xiàn)出來的因此，界定各種思維品質(zhì)的含義，便成為課題實(shí)驗(yàn)的必由之路（3）課堂教學(xué)：系指初中與高中的課堂教學(xué)，因我校是六年一貫制且以外語為專長的學(xué)校，故數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就顯得尤其珍貴（提高數(shù)學(xué)素質(zhì)只能靠課堂）課堂教學(xué)主要涉及到教師向?qū)W生傳授知識

6、、培養(yǎng)學(xué)生能力和對學(xué)生進(jìn)行思想品德教育等問題，也涉及到課堂教學(xué)中教學(xué)理念的不斷更新等（4）模式：系指前人積累的經(jīng)驗(yàn)的抽象和升華簡單地說，就是從不斷重復(fù)出現(xiàn)的事件中發(fā)現(xiàn)和抽象出的規(guī)律，似解決問題的經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)而“三課型”恰恰是反復(fù)重復(fù)出現(xiàn)的事物，就必然存在著某種模式，本研究的目的之一就在于尋找該“模式”，它的優(yōu)劣取決于課堂中進(jìn)行思維教學(xué)的有效性的高低三、理論依據(jù)要發(fā)展思維、增強(qiáng)能力、提高素質(zhì)，教學(xué)過程中不僅要體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的十條基本理念（構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺；提供多樣課程，適應(yīng)個(gè)性發(fā)展；倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識“雙

7、基”；強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化；體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合；建立合理科學(xué)的評價(jià)體系），還應(yīng)始終不渝地遵循如下的教學(xué)原理或原則1活動原理數(shù)學(xué)能力在掌握知識的過程得已培養(yǎng)、形成和發(fā)展，其高低優(yōu)劣在應(yīng)用知識分析、解決問題的活動中得到體現(xiàn)和印證教師啟發(fā)學(xué)生通過嘗試探究和學(xué)生交往等自主活動，把教與學(xué)的基點(diǎn)放在使全體學(xué)生都能獨(dú)立思考上，從而改變以往那種封閉的、割裂的、被動聽授的舊的教學(xué)模式，使接受式教學(xué)與活動式教學(xué)相互補(bǔ)充，學(xué)而時(shí)習(xí)、躬行踐履這是培養(yǎng)能力的重要條件2反饋原理教師隨時(shí)搜集和評定學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，有針對性地進(jìn)行質(zhì)疑和講解，通過師生之間的信息聯(lián)系反饋，及時(shí)調(diào)整思維結(jié)構(gòu)，展示思

8、維的成果，激勵自反自強(qiáng)、追求完美這是能力形成的必要環(huán)節(jié)3波利亞的教與學(xué)三原則波利亞認(rèn)為：學(xué)習(xí)任何東西的最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，為了有效地學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)在給定的條件下，盡量多地自己去發(fā)現(xiàn)要學(xué)習(xí)的材料（主動學(xué)習(xí)原則），學(xué)習(xí)材料的生動和趣味是學(xué)習(xí)的最佳刺激，強(qiáng)烈的心智活動所帶來的愉快乃是這種活動的最好報(bào)償，所以他認(rèn)為最佳學(xué)習(xí)動機(jī)是“學(xué)生應(yīng)當(dāng)對所學(xué)習(xí)的材料感到興趣，并在學(xué)習(xí)活動中找到樂趣”（最佳動機(jī)原則），學(xué)生必須學(xué)習(xí)有序，教師教學(xué)有層次（階段序進(jìn)原則）只有學(xué)生對所學(xué)材料感興趣，學(xué)生才會主動接受來源于教師處的有層次的信息，在信息轉(zhuǎn)化為知識的過程中，學(xué)生才會體味到知識中蘊(yùn)藏著的豐富的思維價(jià)值這是能力培養(yǎng)的

9、重要依據(jù)4傳統(tǒng)教學(xué)方法與現(xiàn)代教學(xué)手段并重要完成傳授知識、形成技能和發(fā)展智力的任務(wù)，必須繼承和發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)的教學(xué)方法，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)同時(shí)更應(yīng)注重現(xiàn)代化教學(xué)手段的運(yùn)用，尤其應(yīng)注意在多媒體輔助教學(xué)的“輔助點(diǎn)”上動腦筋，為沖破定勢、突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、體現(xiàn)關(guān)鍵、提高素質(zhì)精心設(shè)計(jì)課件發(fā)掘多媒體輔助教學(xué)在培養(yǎng)興趣、激發(fā)創(chuàng)新潛能方面的功能為思維能力培養(yǎng)拓寬空間四、研究過程（一）理論研究什么是能力？能力是直接影響活動效果的心理因素，即在個(gè)體身上經(jīng)常地穩(wěn)定地表現(xiàn)出來的心理特征能力是對思維材料進(jìn)行加工的活動過程的概括數(shù)學(xué)思維能力是一切能力的核心，它的高低直接制約和影響著其它數(shù)學(xué)能力的發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力體現(xiàn)于思維品質(zhì)的

10、優(yōu)劣，它是通過一系列具體的思維品質(zhì)體現(xiàn)出來年因此，界定各種思維品質(zhì)的含義，便成為課題實(shí)驗(yàn)的首要環(huán)節(jié)1數(shù)學(xué)思維品質(zhì)界定（1）敏捷性 思維的敏捷性是指思維活動的速度，它反映了學(xué)生智力的敏銳程度有了思維的敏捷性，在面對待解決的問題時(shí)，就能適應(yīng)情況積極思維，周密地思考，并能正確地判斷和迅速地做出結(jié)論（2）靈活性 思維的靈活性是指思維活動的靈活程度，它反映了智慧能力的遷移，能隨事物的變化而隨機(jī)應(yīng)變、觸類旁通，不局限于某一方面，能克服消極定勢的負(fù)面影響其主要特點(diǎn)是：思維起點(diǎn)靈活，即從不同角度、方向，能用多種方法解決面臨的問題；思維過程靈活，從分析到綜合，從綜合到分析，全面靈活地作“綜合分析”；概括遷移能力

11、強(qiáng)，運(yùn)用規(guī)律的自覺性高；善于組合分析，伸縮性大；思維的結(jié)果往往是多種合理的而靈活的結(jié)論（3）廣闊性 思維的廣闊性是指思維活動發(fā)揮作用的廣闊程度；它是一種不依常規(guī)，尋求變異，從多角度、多方面去思考問題，尋求答案的思維品質(zhì)，其反面是思維的狹隘性，表現(xiàn)為思維的封閉狀態(tài)（4）深刻性 思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動的深度和難度它集中表現(xiàn)在善于透過現(xiàn)象和外部聯(lián)系，揭示事物的本質(zhì)和規(guī)律，深入地思考問題，系統(tǒng)化、一般化地解決問題，預(yù)見事物發(fā)展的進(jìn)程思維深刻性是良好思維品質(zhì)的重要內(nèi)容，是吸取知識的催化劑（5）批判性 思維的批判性就是指善于根據(jù)客觀標(biāo)準(zhǔn)，從實(shí)際出發(fā)，細(xì)心權(quán)衡一切意見，從

12、而明辨是非從辨誤駁謬出發(fā)，尋找更科學(xué)更合理的思維方法，從而維護(hù)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性它是在批判中繼承和發(fā)揚(yáng)的良好的思維品質(zhì)（6）獨(dú)立性 思維的獨(dú)立性就是指在思維活動中發(fā)揮個(gè)人智能，厲行獨(dú)立思考，保持自始如一的思維主動性和經(jīng)久不衰的思維進(jìn)攻性，善于發(fā)現(xiàn)和解決前人尚未發(fā)現(xiàn)和解決的問題，以自覺、執(zhí)著的研討獲得新知識、新見解和新成果（7）運(yùn)動性 就是根據(jù)客觀條件及其變化而改變思維方向，進(jìn)行“由此及彼”和“由表及里”的聯(lián)想思考問題時(shí)，常以正向思維、逆向思維、縱向思維和橫向思維相互交錯運(yùn)用的形式出現(xiàn)（8）多向性 就是指思維的發(fā)散性和思維的求異性，即善于從不同的方位、不同的角度和不同的層次去思考問題，或從同一條件下得

13、出多種不同的結(jié)論創(chuàng)造性思維形成于發(fā)散思維之后的收斂思維之中，可見發(fā)散性思維是創(chuàng)造性思維的核心，數(shù)學(xué)需要邏輯、判斷、推理等收斂思維，同時(shí)需要多發(fā)變式、流暢變通、想象豐富等發(fā)散思維（9）跨越性 思維的跨越性就是思維不按“概念判斷推理結(jié)論”的順序進(jìn)行，省略某些步驟，加大思維的前進(jìn)跨度；或者跨越思維對象的“相關(guān)度”的差距，加大思維的“聯(lián)想跨度”；或者是跨越條件“可觀度”的限制，迅速完成“已知”與“未知”之間的轉(zhuǎn)化，加大思維的“輪換跨度”概括地說，就是思維過程中迅速摒棄那些非本質(zhì)的、次要的東西，而直接抓住問題的本質(zhì)，向思維的目標(biāo)大跨度邁進(jìn)它是直覺靈感思維的重要成份（10）創(chuàng)造性 思維的創(chuàng)造性是指完成思維

14、活動的內(nèi)容、途徑和方法的自主程度，并通過獨(dú)立的思考創(chuàng)造出有一定新穎成份內(nèi)容表現(xiàn)為思維不尋常規(guī)、尋求變異和勇于創(chuàng)新；實(shí)質(zhì)上它是各種思維優(yōu)化組合的高效思維，產(chǎn)生于多因素、多變量、多層次思維的交互作用；創(chuàng)造性思維的根本特征是：流暢性、變通性和獨(dú)特性（11）組織性 思維的組織性是指善于將所學(xué)的知識歸納整理，使之有條理、有層次、系統(tǒng)化的一種思維品質(zhì)，表現(xiàn)為說理清晰，分類嚴(yán)謹(jǐn)有序它是培養(yǎng)抽象概括思維能力和完善思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，并滲透于所有思維能力之中2數(shù)學(xué)思維能力界定數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，它由下列五個(gè)因素構(gòu)成：數(shù)學(xué)概括、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)化歸、思維簡縮（數(shù)學(xué)語言）；主要包括下列十二種能力：

15、發(fā)現(xiàn)屬性能力；數(shù)學(xué)變式能力；發(fā)現(xiàn)相似能力；數(shù)學(xué)推理能力；數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換能力；直覺思維能力；形成數(shù)學(xué)概念的概括能力；形成數(shù)學(xué)通則通法的概括能力；適移概括能力；發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力；識別模式的能力；運(yùn)用思維塊的能力可見，數(shù)學(xué)思維能力的形成、發(fā)展、培養(yǎng)是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)，同時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)的每一細(xì)節(jié)都隱藏著培養(yǎng)思維能力的絕妙素材本項(xiàng)研究的主要任務(wù)是發(fā)掘有關(guān)素材，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)、養(yǎng)成良好思維習(xí)慣（二）實(shí)踐探索1各年級學(xué)生的思維特點(diǎn)與初步形成時(shí)的對策初一學(xué)生正由具體的形象思維向經(jīng)驗(yàn)型抽象邏輯思維的過渡階段，學(xué)生具有從數(shù)字概括到抽象概括的特點(diǎn)針對這一特點(diǎn)，課題組開展了偏于感性認(rèn)識的數(shù)學(xué)思維活動如用幾何圖形設(shè)計(jì)班校徽、拼接幾

16、何圖形、討論幾何圖形的展開與折疊、制作近可能大的無蓋長方體、感受一百萬、用計(jì)算器（機(jī)）計(jì)算利息、商場打折銷售的學(xué)問、由生活中的數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計(jì)分析等如此，一方面可促成初一學(xué)生思維的快速轉(zhuǎn)換，另一方面可逐步養(yǎng)成新課標(biāo)需要的良好學(xué)習(xí)方式初二階段是學(xué)生思維發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，表現(xiàn)為從經(jīng)驗(yàn)型抽象邏輯思維向理論型抽象邏輯思維的轉(zhuǎn)化，思維發(fā)展處于關(guān)鍵期在這個(gè)關(guān)鍵期內(nèi)，課題組在教學(xué)活動中精心設(shè)計(jì)了偏重于理性思維的問題情境，全面培養(yǎng)學(xué)生的各種思維方式諸如，話說勾股定理的證明、形如a=bc型的數(shù)量關(guān)系、實(shí)數(shù)論談、方程新探、三角形全等判斷條件的探討、黃金分割與數(shù)學(xué)美鑒賞、對稱圖形與廣告設(shè)計(jì)等一個(gè)個(gè)問題豐富了學(xué)生的思維方式，

17、促成了學(xué)生的思維向質(zhì)的方向飛躍初三學(xué)生具有邏輯抽象概括的思維特點(diǎn)，其抽象邏輯思維已轉(zhuǎn)向?yàn)槔碚撔蜑橹髟趯W(xué)生初步具有各種思維方式的基礎(chǔ)上，我們著重訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維和集中思維如一個(gè)耐人尋味的幾何圖形的研究（結(jié)論發(fā)散）、變化多端的兩圓的探究（圖形發(fā)散）、如何測量物體的高度（方法發(fā)散）等在這些帶有發(fā)散性的問題研究中，訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性、靈活性、流暢性和變通性，為高中學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)高中學(xué)生的思維已擺脫具體事物形象，進(jìn)入具有明確形式邏輯的抽象、概括、分析、綜合、演繹、歸納等一般化理論思維階段，開始向動態(tài)辯證思維過渡，學(xué)生的思維發(fā)展進(jìn)入成熟期在這個(gè)時(shí)期，我們把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的研究與（思維）案例的研究相結(jié)合

18、，全方位地訓(xùn)練學(xué)生的各種思維方式，發(fā)展數(shù)學(xué)基本能力一方面教師在課堂上采取“自主、合作、交流、探究”式的教學(xué)方式，讓學(xué)生不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演譯證明、反思與建構(gòu)等思維過程，在用已有知識和方法認(rèn)識新事物、解決新問題的過程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力另一方面，利用新課標(biāo)規(guī)定的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)文化等活動，引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方式、培養(yǎng)問題意識、體會數(shù)學(xué)的文化價(jià)值如指對數(shù)、微積分的發(fā)展簡史，函數(shù)相關(guān)問題的研究（零點(diǎn)問題、三次函數(shù)問題、恒成立問題），分期付款問題的探討（模型如何建、如何存貨款好），向量的應(yīng)用價(jià)值（幾何中的向量方法、物理

19、中的向量方法），線性規(guī)劃在實(shí)際問題中的應(yīng)用，制作（正）多面體的幾體模型，各種高考熱點(diǎn)題型的模式化思考等在如上類似問題的探究或者數(shù)學(xué)知識問題化的教學(xué)過程中，我們引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷觀察、猜想中培養(yǎng)形象思維能力，在推理論證中培養(yǎng)邏輯思維能力，在多法、多解、多變中培養(yǎng)發(fā)散思維能力，在產(chǎn)生聯(lián)想、提出問題中培養(yǎng)直覺思維能力，在模型的識別、發(fā)現(xiàn)中培養(yǎng)探究意識，在整理歸納、總結(jié)成文中培養(yǎng)思維的組織能力和集中水平2思維品質(zhì)的培養(yǎng)自申報(bào)本課題以來，結(jié)合新課程潛心捕捉高中數(shù)學(xué)教材中有益于思維品質(zhì)培養(yǎng)的良好素材，就思維品質(zhì)的形成和發(fā)展積累了豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)（1）出示一些典型問題，并交給學(xué)生一些感性材料，提出觀察、聯(lián)想、探索

20、的要求在學(xué)生熟悉這些材料的基礎(chǔ)上適當(dāng)給以點(diǎn)拔，使規(guī)律性的東西時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，非本質(zhì)的東西時(shí)有時(shí)無，構(gòu)造思維的疑團(tuán)，激起學(xué)生產(chǎn)生揭疑的心理傾向，然后讓學(xué)生對這些材料進(jìn)行分析、研究、探索、歸納和整理，得到解決問題的規(guī)律和方法，有益于思維獨(dú)立性、深刻性、組織性的培養(yǎng)（2）引導(dǎo)學(xué)生通過知識與知識之間、知識與方法之間、方法與方法之間、方法與情境之間進(jìn)行對比、類比和聯(lián)想，從舊知識、舊方法、舊觀點(diǎn)中找到和發(fā)現(xiàn)新知識、新方法和新觀點(diǎn)，可培養(yǎng)思維的發(fā)散性和敏捷性；通過對問題引伸、推廣、變式，誘導(dǎo)學(xué)生從偶然中尋求必然，發(fā)現(xiàn)并探索出新穎的帶有普遍性的規(guī)律，可培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性；引導(dǎo)學(xué)生從問題的反面或研究定理、法則的逆命

21、題，求得對事物正反兩方面的全面觀察和深刻認(rèn)識，可培養(yǎng)逆向運(yùn)動性思維，提高思維轉(zhuǎn)換的速度（3）以問題解決為核心（算法的教學(xué)），啟迪學(xué)生多層次觀察，多角度聯(lián)想，多方位探索，多途徑求解，可培養(yǎng)思維的發(fā)散性和靈活性具體地，以一題多解、一題多變、一題多用、一空多填、一法多題、一問多答、一圖多畫等均可作為培養(yǎng)思維靈活性和發(fā)散性素材課堂教學(xué)中教師務(wù)必切中思維的發(fā)散點(diǎn)，方可形成良好的培養(yǎng)功效如數(shù)學(xué)問題的研究中，數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)概念的變式、數(shù)學(xué)解題后的反思、運(yùn)動狀態(tài)下問題的運(yùn)動方式等均可作為引導(dǎo)學(xué)生積極主動地思維的發(fā)散點(diǎn)（4）熱情鼓勵學(xué)生大膽懷疑，敢于爭辯，組織對有爭議的問題進(jìn)行鑒別、討論，對隱藏的錯誤

22、進(jìn)行辯誤、駁謬，是培養(yǎng)學(xué)生思維批判性的有效途徑中學(xué)生已經(jīng)逐漸表現(xiàn)出不滿足于教師或教科書或參考書中某些問題的描述和解釋他們對身邊發(fā)生的一些問題持懷疑、審視的態(tài)度，表現(xiàn)出“先思后信、先查后議”的特征，對此教師要因勢利導(dǎo)，促使這些特征為批判性思維品質(zhì)的培養(yǎng)帶來活力，是培養(yǎng)良好思維品質(zhì)不容忽視的內(nèi)容如找蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中錯誤、看你同桌同學(xué)數(shù)學(xué)筆記中的錯誤，這本身就是最好的學(xué)習(xí)與交流（5）數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維品質(zhì)的培養(yǎng)，關(guān)鍵在于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)生機(jī)制具體而言，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既精心組織發(fā)散性較強(qiáng)的問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，促進(jìn)智力探索，形成創(chuàng)造氛圍，又注重學(xué)生的心理和思維特征，講究誘發(fā)藝術(shù)，激發(fā)探索興趣，培養(yǎng)

23、鉆研精神，從而優(yōu)化創(chuàng)造誘因；既指導(dǎo)學(xué)生拓寬知識范圍，加強(qiáng)理解，廣吸知識營養(yǎng)，又促進(jìn)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識，掌握基本技能，活用通性通法，從而強(qiáng)化信息儲備；既指導(dǎo)學(xué)生在思維活動中靈活運(yùn)用形象思維、發(fā)散思維和直覺思維，并注意各種思維方式的辯證性，又要求學(xué)生在獨(dú)立探索和鉆研問題的過程中富有悟性，善于領(lǐng)會數(shù)學(xué)思維的方法和規(guī)律，從而活化“序化方式”如用類比的方法讓學(xué)生去體驗(yàn)創(chuàng)新的快樂，進(jìn)而逐步形成創(chuàng)新的意識值得一提的是，創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)是一項(xiàng)多變元的系統(tǒng)工程，只是在本課題研究的后期才開始逐漸悟出一些粗淺經(jīng)驗(yàn)體會，更深層次的問題，有待我們在把握時(shí)代發(fā)展中思維發(fā)展的脈膊，去進(jìn)一步探索和鉆研（6）從起步階段，我們課題

24、組就感受到，思維品質(zhì)的培養(yǎng)是教學(xué)中的一項(xiàng)長期而艱巨的任務(wù)，必須在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)上長期堅(jiān)持，積極探索良好思維品質(zhì)的培養(yǎng)必須同其它非智力品質(zhì)的培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來才能形成良好的思維結(jié)構(gòu)良好的思維品質(zhì)的培養(yǎng)是以扎實(shí)的三基為前提，因此同時(shí)加強(qiáng)知識、技能的教學(xué)顯得尤為突出良好思維品質(zhì)的培養(yǎng)還應(yīng)量力而行，遵循可接受性原則，因人因時(shí)而異地進(jìn)行，才能取得比較滿意的效果良好思維品質(zhì)雖然是思維能力的初始表現(xiàn)形態(tài)，但在培養(yǎng)思維品質(zhì)的同時(shí)必須兼顧思維能力各要素的培養(yǎng)3思維能力的培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力就是在形成良好思維品質(zhì)的基礎(chǔ)上發(fā)展其諸因素的能力層次，并使它們協(xié)調(diào)發(fā)展，進(jìn)而形成良好的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)（1）加強(qiáng)過程教學(xué)培養(yǎng)

25、觀察力觀察能力是一切能力的基礎(chǔ)，教會思考是培養(yǎng)和發(fā)展能力的前提條件雖然新教材在整合上有諸多不確定因素，但它是知識的載體，是學(xué)生吸取知識并發(fā)展智力的源泉實(shí)驗(yàn)教師的作用就在于把“無生命”的教材，變?yōu)橛小吧钡闹R（學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)），讓學(xué)生體會到附在知識載體之中的思維的價(jià)值，從而在吸取知識信息的過程中發(fā)展思維為此，就必須加強(qiáng)知識發(fā)生、形成、發(fā)展乃至深化過程的教學(xué)教學(xué)過程中需真正做到：展示概念的提出過程；揭示規(guī)則的發(fā)現(xiàn)過程；暴露公式定理的推導(dǎo)公式；全方位設(shè)計(jì)問題的探索過程，包括易想的、甚至是荒謬的過程；系統(tǒng)地、有目的、針對性地介紹或回味數(shù)學(xué)思維方法的深化過程只有展示知識的“過程”教學(xué)，才能不

26、斷地訓(xùn)練學(xué)生的觀察聯(lián)想力，并在吸取知識的生命之源的過程中真正學(xué)會觀察（2）加強(qiáng)解題教學(xué)培養(yǎng)思考力思考充滿了數(shù)學(xué)教與學(xué)的全過程，學(xué)會思考不僅可讓學(xué)生取得滿意的成績，而且是新課標(biāo)“學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)協(xié)作、學(xué)會做事、學(xué)會做人”的基本理念為此通過課題研究，必須結(jié)合具體的題型，讓學(xué)生在解各學(xué)科典型問題的中習(xí)得思考方式并發(fā)展思考力三角問題的思考方式：變換快速的三角變換一方面可保證思維的敏捷，另一方面可為調(diào)整思維結(jié)構(gòu)贏得時(shí)間其一般思考是，在把“未知角”用“已知角”表示的過程中合理地選擇三角變換的公式，進(jìn)而完成對三角求值題的求解；通過“切化弦、升降冪、化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)”等變換，可完成對三角函數(shù)圖象與性質(zhì)題

27、的求解；通過“邊化角或角化邊”，完成對三角形中三角函數(shù)題的求解總之，變換是三角思考的核心空間關(guān)系的思考方式：轉(zhuǎn)移在對位置關(guān)系的思考與證明時(shí)，靈活地進(jìn)行“縱向轉(zhuǎn)移”，即在線線、線面、面面的三種平行（垂直）關(guān)系間的反復(fù)轉(zhuǎn)移中而達(dá)所需目標(biāo)；合理地進(jìn)行“橫向轉(zhuǎn)移”，即在平行與垂直的兩種關(guān)系間進(jìn)行轉(zhuǎn)移；有效地進(jìn)行“數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)移”；空間關(guān)系的證明就是在這種轉(zhuǎn)移中完成的如要證線面平行，首先，可嘗試在面內(nèi)“直接找”或“間接找”與面外直線的平行線，從而由線線平行推出線面平行；其次，還可嘗試找過面外的直線且與該面平行的平面，從而由面面平行推出線面平行；最后，可嘗試用平面向量基本定理，把面外直線的

28、一個(gè)方向向量用該平面內(nèi)的一組基底線性表示解幾問題的思考方式：翻譯解析幾何是用代數(shù)方法研究平面圖形性質(zhì)的學(xué)科，因此幾何向代數(shù)的翻譯是否合理與簡捷，便是解題能否實(shí)施的重要標(biāo)準(zhǔn)對涉及圓的解析幾何題，應(yīng)力爭充分利用圓的幾何知識將圖形的性質(zhì)代數(shù)化；但當(dāng)這種翻譯受阻時(shí)，也應(yīng)時(shí)刻準(zhǔn)備著用代數(shù)方法將圖形的性質(zhì)代數(shù)化對涉及圓錐曲線的解析幾何題，在實(shí)施代數(shù)化的過程中固然是以代數(shù)方法為主，但是也應(yīng)密切關(guān)注：（1）定義的巧妙運(yùn)用；（2）幾何條件的靈活轉(zhuǎn)換；（3）解析工具的合理選擇；（4）若干幾何條件的有效組合學(xué)習(xí)解析幾何就是學(xué)習(xí)代數(shù)化的思考方法，眾所周知，同一幾何條件選擇不同的解析工具（即相關(guān)公式）翻譯的效果會不同，

29、同一幾何條件作出不同的轉(zhuǎn)化后翻譯的效果也會不同，若干個(gè)幾何條件先后順序的不同或組合后翻譯的效果更會不同數(shù)列問題的思考方式：化歸其思考方式就是活用基本方法，活用化歸思想數(shù)列解題的過程就是靈活利用等差數(shù)列與等比數(shù)列基礎(chǔ)知識和基本方法的過程；因此，將一般數(shù)列問題進(jìn)行靈活的化歸就顯得尤為重要基本量方法就是對涉及等差（比）數(shù)列的問題，首先用首項(xiàng)和公差（公比）去統(tǒng)一題目中的條件，進(jìn)而求出首項(xiàng)與公差（比）或其關(guān)系式，再用求出的基本量或其關(guān)系去研究題中的具體問題，最終使問題獲解的方法，其實(shí)質(zhì)是方程與函數(shù)的思想方法在數(shù)列中的應(yīng)用；同時(shí)，基本量方法只有同等差（比）數(shù)列的性質(zhì)密切配合，才能產(chǎn)生出更大的思維效益此外，

30、疊加法、疊乘法、迭代法、錯位相減法等都是具有清晰適用情境的思考方法，務(wù)必觸景生情（3）注重問題研究培養(yǎng)探索化歸能力探索是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的生命線，把大千世界的所有問題化歸為數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)家們的夢想數(shù)學(xué)問題研究的實(shí)質(zhì)就是探索猜想與化歸轉(zhuǎn)化的化繁為簡、化難為易、化生為熟的過程數(shù)學(xué)教學(xué)中，教給學(xué)生的諸多數(shù)學(xué)模式是為了增強(qiáng)其對模式識記的能力和對新模式的化歸和發(fā)現(xiàn)能力，但在學(xué)習(xí)模式的過程中并不忽視學(xué)生對該模式探索發(fā)現(xiàn)的過程，從中增強(qiáng)探索思維能力平時(shí)教學(xué)中，每遇較難的數(shù)學(xué)問題，當(dāng)學(xué)生起初并沒有清晰的思維結(jié)構(gòu)時(shí)，我們總是先激發(fā)，給予學(xué)生探索前進(jìn)的突破口，并在化歸中選擇解決該問題最大可能性的方法和模式，最終達(dá)到解決問

31、題之目的讓學(xué)生在嘗盡探索的酸甜苦辣和化歸的喜怒衰樂中，體會解決數(shù)學(xué)問題是探索和化歸聯(lián)合作戰(zhàn)的螺旋之路，進(jìn)而培養(yǎng)分析綜合、抽象概括能力，甚至是直覺思維能力如函數(shù)零點(diǎn)問題的思維模式 這是新課標(biāo)新增內(nèi)容，已在四省市的高考中嶄露頭腳關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)問題的思索，首先，應(yīng)學(xué)會研究二、三次函數(shù)零點(diǎn)的方法；其次，對一般的函數(shù)零點(diǎn)問題，要么轉(zhuǎn)化成二、三次函數(shù)的零點(diǎn)問題進(jìn)行研究，要么用研究二、三次函數(shù)零點(diǎn)問題的思維模式進(jìn)行研究一般地，二次函數(shù)零點(diǎn)的存在性及其符號問題，可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次方程問題，進(jìn)而用判別式與韋達(dá)定理處之；若要求二次函數(shù)的零點(diǎn)都在某區(qū)間內(nèi)、兩零點(diǎn)都大（?。┯谀硵?shù)、一個(gè)零點(diǎn)小于某數(shù)另一個(gè)零點(diǎn)大于該數(shù)、在

32、某區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則可借助二次函數(shù)的圖象探索出相應(yīng)的充要條件；當(dāng)二次函數(shù)的零點(diǎn)問題用二次方程與二次函數(shù)探求繁難時(shí)，可嘗試對方程進(jìn)行代數(shù)變形（如參數(shù)分離、換元等），構(gòu)造出新的不含參數(shù)的函數(shù)，進(jìn)而利用該函數(shù)的單調(diào)性或值域等知識常可使問題獲得簡解而對三次函數(shù)而言，借助其性質(zhì)可知，當(dāng)三次函數(shù)不存在極值或極大值小于零或極小值大于零時(shí)，三次函數(shù)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)三次函數(shù)的極大值等于零或極小值等于零時(shí)，三次函數(shù)有二個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)三次函數(shù)的極大值大于零且極小值小于零時(shí)，三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)筆者曾分別以數(shù)列和函數(shù)零點(diǎn)為例就培養(yǎng)學(xué)生探索、化歸能力，談了自己的真實(shí)感受（參見課題研究成果選編），進(jìn)而也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象推

33、理能力和變式能力（4）注重解題研究提高學(xué)生思維素質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是問題的教學(xué)數(shù)學(xué)解題雖不同于數(shù)學(xué)問題，但解題過程中百花齊放、百家爭鳴的思維形成同樣有助于思維素質(zhì)的提高，并為數(shù)學(xué)問題的研究提供可資借鑒的縮影設(shè)計(jì)精當(dāng)?shù)念}組，可培養(yǎng)學(xué)生的變式思維能力和發(fā)現(xiàn)相似性的能力題后反思，可發(fā)現(xiàn)錯題、錯解、改進(jìn)繁解，調(diào)整思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)識別模式的能力，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣題后反思，使“通法通則”順利走向巧解特技，也有益于創(chuàng)新性思維能力的培養(yǎng)解題研究中豐富多彩的思維活動，從拙文智取高考壓軸題中可見一斑（見成果選編）（5）在滲透數(shù)學(xué)意識中強(qiáng)化思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)意識是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中表現(xiàn)出的機(jī)能和屬性，是對客觀世界數(shù)量關(guān)系、

34、空間形式的反映數(shù)學(xué)意識能將數(shù)學(xué)感知、數(shù)學(xué)思維等心理活動提高到自覺的程度，它往往能自覺地指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，使其思維活動具有目的性、方向性和預(yù)見性因此，數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)有利于將學(xué)生的思維向更高層次發(fā)展在具體的數(shù)學(xué)活動中可有目的地培養(yǎng)學(xué)生具體的數(shù)學(xué)意識，如目標(biāo)意識、求簡意識、預(yù)見意識、應(yīng)用意識、監(jiān)控意識、整體意識（詳見成果選編）；數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)從某種程度上講表現(xiàn)為學(xué)生對力所能及的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化的能力因而平時(shí)教學(xué)中結(jié)合適量的實(shí)際問題，讓學(xué)生在分析處理實(shí)際材料的過程中，抽象概括、提出假設(shè)、以培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也大有裨益3教學(xué)模式數(shù)學(xué)新教材中發(fā)展學(xué)生思維能力的素材比比皆是，如上所述僅

35、是課題研究的微觀把握，尚不成體系，具體運(yùn)作時(shí)難以產(chǎn)生較大的功效因此，探索有益于實(shí)現(xiàn)本課題研究宗旨的課堂教學(xué)模式，才是本課題的核心，可稱之“宏觀”把握這促使我們在課題實(shí)踐研究的中后期對三課型加以研究，并以“思維導(dǎo)引線”為突破口引發(fā)學(xué)生的思維發(fā)展，培養(yǎng)思維能力（1）新授課系指研究某個(gè)概念，證明定理或推導(dǎo)一個(gè)公式這里的“問題”（符合前述教學(xué)問題化的觀點(diǎn)）是思維導(dǎo)引線，通過它使學(xué)生在解決問題的過程中走盡可能遠(yuǎn)路，教師只是相機(jī)給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥這樣做對培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識分析問題和解決問題的能力至關(guān)重要它的核心是讓學(xué)生最大限度地參與教學(xué)活動，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用其框圖如下：揭示定義證明定理公式認(rèn)識理解初步

36、應(yīng)用自我小結(jié)提出問題問題情景提出猜想啟迪思維（2）習(xí)題（復(fù)習(xí)）課展示目標(biāo)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)提出問題引發(fā)思考講評點(diǎn)拔變式引伸深化探索內(nèi)化回味概括總結(jié)檢測反饋這里引發(fā)學(xué)生思維的導(dǎo)火線較為豐富，但其主渠道是問題的變式通過變式啟迪學(xué)生多層次觀察，多方位聯(lián)想，多角度探索，多途徑獲解，決不放過對每一方案的實(shí)驗(yàn)，即使是錯誤的，也會讓學(xué)生親身體會到錯誤的根源通過變式大力發(fā)掘?qū)W生的開拓精神和創(chuàng)新意識，通過變式精心設(shè)計(jì)一些有難度的問題，提供適當(dāng)?shù)牟牧?，“推波助瀾”，激發(fā)學(xué)生生動活潑、豪邁奔放的思維，促進(jìn)學(xué)生在思維活動中，不斷標(biāo)新立異，不斷產(chǎn)生飛躍，以體味數(shù)學(xué)解題成功的歡樂（3）講評課展示思維評價(jià)誘導(dǎo)辨析調(diào)整總結(jié)歸納挖掘功能

37、激勵成功矯正練習(xí)講評課是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要課型，講評應(yīng)突出針對性有益于思維培養(yǎng)的講評課主要針對學(xué)生的思維優(yōu)缺點(diǎn)展開討論，它也是本課型的“思維導(dǎo)引線”暴露學(xué)生冥思苦想而不得其解的思維過程，幫助其清除思維障礙，找到思維的癥結(jié)，有益于完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；展示全班幾十位同學(xué)的思維成果（如對某個(gè)問題的解法），有利于激發(fā)學(xué)生深入思維由于他們的勞動成果受到老師的贊賞，自然感到高興與自豪，也增強(qiáng)了自信心和求知欲；同時(shí)，暫未被展示者也必會努力爭取展示的機(jī)會，激發(fā)成功欲望注重挖掘試題暗含的智育功能，便可以一當(dāng)十，培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通的應(yīng)變能力在有益于思維能力培養(yǎng)的三課型中，我們牽著“思維導(dǎo)引線”的目的在于發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，挖掘?qū)W習(xí)潛能，尤其是智力潛能我們知道數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)思維的敏捷性、廣闊性、嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、批判性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性、運(yùn)動性、跨越性等一些思維品質(zhì)的基礎(chǔ)上形成的分析問題和解決問題的能力它大體上可分為抽象、求同（收斂）、求異（發(fā)散）三種思維能力抽象思維能力是感知、提煉、理解