高等數(shù)學》教案（Word）

1、高等數(shù)學授課教案第一講 高等數(shù)學學習介紹、函數(shù)教學目的：了解新數(shù)學認識觀，掌握基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)；熟練復(fù)合函數(shù)的分解。重 難 點：數(shù)學新認識，基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)教學程序：數(shù)學的新認識>函數(shù)概念、性質(zhì)（分段函數(shù)）>基本初等函數(shù)>復(fù)合函數(shù)>初等函數(shù)>例子（定義域、函數(shù)的分解與復(fù)合、分段函數(shù)的圖像）授課提要：前 言：本講首先是高等數(shù)學的學習介紹，其次是對中學學過的函數(shù)進行復(fù)習總結(jié)（函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映。高等數(shù)學主要以函數(shù)作為研究對象，因此必須對函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)有深刻的理解）。一、新教程序言1、為什么要重視數(shù)學學

2、習（1）文化基礎(chǔ)數(shù)學是一種文化，它的準確性、嚴格性、應(yīng)用廣泛性，是現(xiàn)代社會文明的重要思維特征，是促進社會物質(zhì)文明和精神文明的重要力量；（2）開發(fā)大腦數(shù)學是思維訓練的體操，對于訓練和開發(fā)我們的大腦（左腦）有全面的作用；（3）知識技術(shù)數(shù)學知識是學習自然科學和社會科學的基礎(chǔ)，是我們生活和工作的一種能力和技術(shù)；（4）智慧開發(fā)數(shù)學學習的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一生提供持續(xù)發(fā)展的動力。2、對數(shù)學的新認識（1）新數(shù)學觀數(shù)學是一門特殊的科學，它為自然科學和社會科學提供思想和方法，是推動人類進步的重要力量；（2）新數(shù)學教育觀數(shù)學教育（學習）的目的：數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，培養(yǎng)人的科學文化素質(zhì)，包括

3、發(fā)展人的思維能力和創(chuàng)新能力。（3）新數(shù)學素質(zhì)教育觀數(shù)學教育（學習）的意義：通過“數(shù)學素質(zhì)”而培養(yǎng)人的“一般素質(zhì)”。見教材“序言”二、函數(shù)概念1 / 941、函數(shù)定義：變量間的一種對應(yīng)關(guān)系（單值對應(yīng)）。（用變化的觀點定義函數(shù)），記：（說明表達式的含義） (1)定義域：自變量的取值集合（D）。 (2)值 域：函數(shù)值的集合，即。 例1、求函數(shù)的定義域？2、函數(shù)的圖像：設(shè)函數(shù)的定義域為D，則點集 就構(gòu)成函數(shù)的圖像。例如：熟悉基本初等函數(shù)的圖像。3、分段函數(shù)：對自變量的不同取值范圍，函數(shù)用不同的表達式。 例如：符號函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。分段函數(shù)的定義域：不同自變量取值范圍的并集。例2、作函數(shù)的

4、圖像？例3、求函數(shù)三、基本初等函數(shù) 熟記：五種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。四、復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u),u=g(x)，且與x對應(yīng)的u使y=f(u)有意義，則y=fg(x)是x的復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量。說 明：(1)并非任意幾個函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 如：就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 (2)復(fù)合函數(shù)的定義域：各個復(fù)合體定義域的交集。(3)復(fù)合函數(shù)的分解從外到內(nèi)進行；復(fù)合時，則直接代入消去中間變量即可。 例5、設(shè)例6、指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)（或簡單函數(shù)）構(gòu)成？ (1) (2) (3) 五、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合、四則運算而成的函數(shù)，且用一個表達式所表示。說 明：（1）一

5、般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但是初等函數(shù)； （2）初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運算、四則運算。思考題：1、 確定一個函數(shù)需要有哪幾個基本要素？ 定義域、對應(yīng)法則2、 思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義？ 奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性3、任意兩個函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)？你是否可以用例子說明？不能探究題： 圖15 時間 一位旅客住在旅館里，圖15描述了他的一次行動，請你根據(jù)圖形給縱坐標賦予某一個物理量后，再敘述他的這次行動.你能給圖15標上具體的數(shù)值，精確描述這位旅客的這次行動并用一個函數(shù)解析式表達出來嗎？ 小 結(jié)：函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映；復(fù)合函數(shù)反映

6、了事物聯(lián)系的復(fù)雜性；分段函數(shù)反映事物聯(lián)系的多樣性。作 業(yè)：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）課堂練習（初等函數(shù)）【A組】1、求下列函數(shù)的定義域？(1) (2) (3) (x-1) (4) 2、判定下列函數(shù)的奇偶性？(1) (2) (3) 3、作下列函數(shù)的圖像？(1) (2) (3) 4、分解下列復(fù)合函數(shù)？(1) (2) (3) (4) 【B組】1、證明函數(shù)為奇函數(shù)。2、將函數(shù)改寫為分段函數(shù)，并作出函數(shù)的圖像？3、設(shè)？4、設(shè)=，求，？數(shù)學認識實驗： 初等函數(shù)圖像認識1、冪函數(shù)：（如）2、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)：（如） 3、三角函數(shù)與反三角函數(shù)：（） 4、多項式函數(shù)：（） 5、分段函數(shù)：（） 第二講

7、導(dǎo)數(shù)的概念（一）、極限與導(dǎo)數(shù)教學目的：復(fù)習極限的概念及求法；理解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握用定義求導(dǎo)數(shù)方法。重 難 點：求極限，導(dǎo)數(shù)定義及由定義求導(dǎo)法教學程序：極限的定義及求法（例）>導(dǎo)數(shù)的引入（速度問題）>導(dǎo)數(shù)的概念>導(dǎo)數(shù)與極限>基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義法）>例子（簡單）授課提要：前 言：在前面的教學中，我們已討論了變量間的關(guān)系(函數(shù))，本節(jié)將復(fù)習函數(shù)的變化趨勢(極限)，在此基礎(chǔ)上討論函數(shù)的變化率問題（即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）。導(dǎo)數(shù)是高數(shù)的重點，它的本質(zhì)是極限（比值的極限），在現(xiàn)實中有極豐富的應(yīng)用。一、理論基礎(chǔ)極 限（復(fù)習）1、極限的概念（略講函數(shù)在某點的極限定義）2、極限的四則運

8、算法則（略）3、求函數(shù)的極限（幾類函數(shù)的極限）（1）若為多項式，則例1：求下列極限(1) (2) (3) （2）若為有理分式且,則（代入法）例2：求下列極限(1) (2) (3) （3）若分式,當時，則用約去零因子法求極限例3：求下列極限(1) (2) (3) （4）若分式,當時，分子分母都是無窮大，則適用無窮小分出法求極限。例4：求下列極限(1) (2) (3) 3、兩個重要極限（1） （2）說明：其中可以是的形式，且當時，。例5：求下列極限(1) (2) (3) (4) 二、導(dǎo)數(shù)定義（復(fù)習增量的概念）引例1、速度問題（自由落體運動）引例2、切線問題（曲線） 以上兩個事例具體含義各不相同，但

9、從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點處的變化率，即計算函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，這種特殊的極限就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解決問題的思路：1、 自變量x作微小變化Dx，求出函數(shù)在自變量這個小段內(nèi)的平均變化率，作為點處變化率的近似值；2、 對求Dx®0的極限，若它存在，這個極限即為點處變化率的精確值。定 義：設(shè)函數(shù)在點及附近有定義，當在點取得增量時，相應(yīng)函數(shù)取得增量，若當時，比值的極限存在，則稱此極限值為在處的導(dǎo)數(shù)或微商。記，即說明：(1)比值是函數(shù)在上的平均變化率；而是在處的變化率，它反映函數(shù)在點隨自變量變化的快慢程度；(2)若不存在（包括），則稱在點不可導(dǎo)；(3)若在

10、（a,b)內(nèi)每點可導(dǎo)，則稱函數(shù)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，記，稱為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。(4)f¢(x)是x的函數(shù)，而f¢(x0)是一個數(shù)值，f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)f¢(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f¢(x)在點x0處的函數(shù)值。三、導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是一種特殊（比值）的極限，即有導(dǎo)數(shù)-à有極限，反之不成立。四、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義） 由定義知求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟：（三步驟）（1）求增量；（2）求比值；（3）求極限。例6、由定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例7、由定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？（推導(dǎo)）思考題：1、 是否存在，為什么？02、若曲線= 在處切線斜率等于 3 ，求點的坐標。3、 已知，

11、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限。0探究題：從求變速直線運動物體的瞬間速度問題解決方法中，你對“極限法”有什么體會？ 近似轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學方法小 結(jié)：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)從微觀（局部）上研究非均勻量（如：速度、密度、電流、電壓等）的變化率問題，是處理非均勻量的“除法”；其思想方法：(1)在小范圍內(nèi)以“勻”代“不勻”或“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。從函數(shù)的觀點看，導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)的局部線性形態(tài)，即可導(dǎo)函數(shù)表示的曲線在局部都可以近似為一條直線（切線），憑著切線的斜率，可以研究函數(shù)的整體性質(zhì)（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的單調(diào)性、極值等）。作 業(yè)：P22（A：1-3；B：3-4）課堂練習（導(dǎo)數(shù)的

12、概念一）【A組】1、求下列極限 (1) (2) (3) （4） （5） （6）2、求極限？ 3、求極限：？4、已知，求a的值？ 25、用導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)？6、設(shè)物體的運動方程為，求(1)物體在t=2秒和t=3秒間的平均速度？(2)求物體在t=2秒時的瞬時速度？【B組】1、設(shè)？ 2、設(shè)函數(shù)？ 23、證明導(dǎo)數(shù)公式：4、一藥品進入人體t小時的效力，求t=2,3,4時的效力E的變化率？5、設(shè) A 。A、左右導(dǎo)數(shù)都存在 B、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在C、右導(dǎo)數(shù)存在，左導(dǎo)數(shù)不存在 D、都不存在6. 若（為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確。全部（1）在點 處可導(dǎo)； （2）在點 處連續(xù)；（3）=

13、；數(shù)學認識實驗： 兩個重要極限的圖像認識1、極限：2、極限：3、等價無窮小的直觀認識：（）第三講 導(dǎo)數(shù)的概念（二）教學目的：熟悉導(dǎo)數(shù)基本公式；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求切線方程。重 難 點：基本導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義（求切線方程）教學程序：復(fù)習導(dǎo)數(shù)定義>基本導(dǎo)數(shù)公式>例子（求導(dǎo)數(shù)）>導(dǎo)數(shù)的幾何意義>例子（切線方程）>導(dǎo)數(shù)的物理意義（例子）授課提要：一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1、求的導(dǎo)數(shù)？（由導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)）于是我們有公式：同樣，由定義可得基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 二、導(dǎo)數(shù)的運算法則（u,v為可導(dǎo)函數(shù)）1、代數(shù)和：2、數(shù) 乘： 例2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (

14、3) (4) 例3、求函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)值？(1) (2) 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（作圖說明） 結(jié)論：表示曲線y=f(x)在點（x0,f(x0)）的切線斜率。例4、求曲線在點(1,0)處的切線方程？例5、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且，求曲線y=f(x)在點（1,f(1)）處的切線斜率？ 導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的物理意義 結(jié)論：設(shè)物體運動方程為，則表示物體在時刻t的瞬間速度。例6、設(shè)物體的運動方程為，求物體在時刻t=1時的速度？例7、求曲線上一點，使過該點的切線平行于直線。例8、設(shè)某產(chǎn)品的成本滿足函數(shù)關(guān)系：(x為產(chǎn)量)，求x=2時的邊際成本，并說明其經(jīng)濟意義。思考題： 與有無區(qū)別？，探究題：導(dǎo)數(shù)的值

15、可不可以為負值？舉例說明?？梢孕?結(jié)：導(dǎo)數(shù)的美學意義：局部線性之美（）。它將可導(dǎo)曲線在局部線性化，它是由函數(shù)局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的工具和方法。作 業(yè)：P25（A：1）；P28（A：1，3）課堂練習（導(dǎo)數(shù)概念二）【A組】1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4) (5) 2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4) 3、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？4、設(shè)5、設(shè)物體的運動方程為，求時刻t=3時的速度？6、 拋物線 = 在何處切線與軸正向夾角為，并且求該處切線的方程.【B組】1、一球體受力在斜面上向上滾動，在t秒末離開初始位置的距離為，問其初速度為多少？何時開始向下滾動？2、已知曲線

16、與相交于點（1，1），證明兩曲線在該點處相切，并求出切線方程？數(shù)學認識實驗： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和美學價值PQ1、導(dǎo)數(shù)的定義（切線問題）2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（）3、導(dǎo)數(shù)的美學意義：曲線的局部線性化。（1）在x=0處比較：曲線與切線；（2）在x=1處比較：曲線與切線。 第四講 求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則（一）教學目的：掌握基本導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運算法則，會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重 難 點：基本導(dǎo)數(shù)公式與法則教學程序：基本公式>運算法則>例子>二階導(dǎo)數(shù)的定義及求法授課提要：一、基本導(dǎo)數(shù)公式 由導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到如下基本導(dǎo)數(shù)公式：二、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則設(shè)u、v為可導(dǎo)函數(shù)，則1、 2、3、 4、例

17、1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4) 例2、求函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)值？(1) (2) 例3、設(shè)例4、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？三、二階導(dǎo)數(shù)1、定義：若導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo)數(shù)，稱為的二階導(dǎo)數(shù)。記：2、求法：由定義知，求二階導(dǎo)數(shù)的方法與求一階導(dǎo)數(shù)的方法一致。例5、求下列二階導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4)3、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義 設(shè)物體的運動規(guī)律為：，則表示物體在時刻t的加速度。例6、設(shè)物體的運動方程為：，求t=2時的速度和加速度？思考題： 1. 思考下列命題是否成立？(1)若，在點處都不可導(dǎo)，則點處也一定不可導(dǎo).答：命題不成立.如：= =，在 = 0 處均不可導(dǎo)，但其和函數(shù)+=

18、 在= 0 處可導(dǎo).(2)若在點處可導(dǎo),在點處不可導(dǎo)，則+在點處一定不可導(dǎo).答：命題成立.原因：若+在處可導(dǎo)，由在處點可導(dǎo)知=+在點處也可導(dǎo)，矛盾.探究題：某產(chǎn)品的需求方程和總成本函數(shù)分別為，其中為銷售量，為價格。求邊際利潤，并計算和時的邊際利潤，解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義。導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義 小 結(jié)：導(dǎo)數(shù)的物理意義更深層次反映了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運動的變化率。指路程對時間的變化率，指速度對時間的變化率。二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義：反映曲線的凹向。作 業(yè)：P30（A：1-2）小知識：數(shù)學的三次危機第一次數(shù)學危機：無理數(shù)的產(chǎn)生。（單位正方形的對角線長）第二次數(shù)學危機：微積分的產(chǎn)生和完善。（極限和無窮小的

19、定義）第三次數(shù)學危機：集合論的產(chǎn)生。（羅素悖論）課堂練習（導(dǎo)數(shù)公式與法則一）【A組】1、求下列導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4) 2、曲線在何處有水平切線？ x=-2/33、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？e4、求下列二階導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) 【B組】1、設(shè)曲線在點(1,1)處的切線與x軸的交點為(xn,0)，求極限？2、若？ 13、設(shè)，求？ -24、已知，二階連續(xù)可導(dǎo)，求？ 5、設(shè)某種汽車剎車后運動規(guī)律為，假設(shè)汽車作直線運動，求汽車在秒時的速度和加速度。數(shù)學認識實驗： 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像比較（）第五講 求導(dǎo)法則（二）、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)教學目的：了解函數(shù)的連續(xù)性的概念，理解連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的

20、關(guān)系。重 難 點：基本導(dǎo)數(shù)公式，連續(xù)的幾何直觀、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系教學程序：復(fù)習基本導(dǎo)數(shù)公式、法則>連續(xù)概念（極限定義）>連續(xù)的條件>初等函數(shù)的連續(xù)性>可導(dǎo)與連續(xù)（例）>連續(xù)函數(shù)的極限（例子）授課提要：一、復(fù)習基本導(dǎo)數(shù)公式和法則 舉 例：（略）二、連續(xù)的概念（作圖直觀理解） 1、定 義：設(shè)函數(shù)在x0點及附近有定義，當時,有，則稱f(x)在x0點連續(xù)。說明：連續(xù)是一種特殊的極限。連續(xù)à有極限，反之不成立。例1、試證在x=0處連續(xù)？三、函數(shù)連續(xù)的條件（）f(x)在x0點及附近有定義（）f(x)在x0點的極限存在（）極限值等于函數(shù)值。例2、討論函數(shù)在x=0處的連

21、續(xù)性？四、初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。五、可導(dǎo)與連續(xù)1、可導(dǎo)與連續(xù)的圖象特征（1）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線。（作圖示例） （2）可導(dǎo)函數(shù)的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性（無尖點、折點）2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：若函數(shù)f(x)在x0點可導(dǎo)，則f(x)在點x0連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。例3、試證函數(shù)在x=0點連續(xù)但不可導(dǎo)。例4、試證函數(shù)在x=0點連續(xù)但不可導(dǎo),但切線存在。3、極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系xyOy=|x| 可導(dǎo)à連續(xù)à有極限；反之不一定成立。如在x=0處。1xyOy=-1-11··六

22、、連續(xù)函數(shù)的極限若f(x)在x0點連續(xù)，則例5、求下列極限（1） (2) （3） (4) 例6、討論在x=0處的連續(xù)性？思考題： 1如果在處連續(xù)，問|在處是否連續(xù)？ 連續(xù)2 如果在處可導(dǎo)，問|在處是否可導(dǎo)？ 不一定3求函數(shù)的間斷點，并判斷其類型。探究題：作圖說明函數(shù)不可導(dǎo)點的類型。不連續(xù)點、尖點、折點小 結(jié)：連續(xù)函數(shù)的美學意義：和諧與奇異之美。連續(xù)體現(xiàn)的是自然和諧、社會發(fā)展的生生不息；間斷則表現(xiàn)為不規(guī)則和與眾不同，體現(xiàn)了自然界的豐富多彩和社會發(fā)展中的跳躍性。作 業(yè)：P34（A：1-2）；復(fù)習題（2-5）課堂練習（求導(dǎo)公式與法則二）【A組】1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4) 2、

23、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？3、求曲線在點（-1，0）處的切線方程？ 4、試定義f(0)的值，使函數(shù)在x=0處連續(xù)？5、設(shè)，問a為何值時，函數(shù)在x=0處連續(xù)？2【B組】1、作函數(shù)的圖像？2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處連續(xù)，且，求？ 23、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，？ 124、設(shè)，問a,b為何值時，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？5、x=1是函數(shù)的（ B ）（A）連續(xù)點 （B）可去間斷點 （C）跳躍間斷點 （D）無窮間斷點*6、若f(x)在0，a上連續(xù)，且f(0)=f(a)，試證：方程在（0，a）內(nèi)至少有一個實根。 提示：作新函數(shù)，在上使用零點存在定理數(shù)學認識實驗： 不可導(dǎo)點的類型1、連續(xù)而不可導(dǎo)的點（尖、

24、折點）（如：） 2、不連續(xù)點為不可導(dǎo)點： 第六講 定積分的概念教學目的：了解定積分的概念，理解定積分的幾何意義。重 難 點：作為面積的定積分概念教學程序：提出問題>解決問題（思想）>定積分定義>定積分的幾何意義（例子）>定積分的性質(zhì)（簡單）授課提要：前 言：在自然科學、工程技術(shù)和經(jīng)濟學的許多問題中，經(jīng)常會遇到各種平面圖形的面積計算。對于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積，可以用初等數(shù)學的方法計算，但由任一連續(xù)圍成的圖形的面積就不會計算。下面討論由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形的面積的計算方法。一、問題引入1、曲邊梯形的定義所謂曲邊梯形是指有三條直線段，其中兩條相互平行，第三條

25、與這兩條相互垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。（如圖所示） 2、引 例：如何求曲線所圍成的面積？(特殊曲邊梯形)（1）分析問題若將曲邊梯形與矩形比較，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有一條邊是曲的。設(shè)想：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當分割越細，所得的近似值越接近準確值，通過求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。y（2）解決問題（思路）y=x2第一步：分割第二步：近似代替第三步：求和01x第四步：取極限二、定積分的定義現(xiàn)實中許多實例，盡管實際意義不同，但解決問題的方法是一樣的：按“分割取近

26、似，求和取極限”的方法，將所求的量歸結(jié)為一個和式極限。我們稱這種“和式極限”為函數(shù)的定積分。定 義： （說明定積分中各符號的稱謂）由定積分的定義知，以上實例可以表示成定積分：面積說 明：定積分是一個特殊的和式極限，因此，它是一個常量，它只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間a,b有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無關(guān)。三、定積分的幾何意義（作 圖）當函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)時，定積分可分成三種形式：1、若在a,b上，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A，即2、若在a,b上，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即

27、3、若在a,b上，f(x)可正可負，則定積分表示x軸上方圖形的面積A1與下方圖形的面積A2之差，即結(jié)論：定積分的幾何意義：“有號面積”， 即。例1、用定積分幾何意義判定下列積分的正負：（1） （2）例2、用定積分表示由曲線y=x2+1,直線x=1,x=3和y=0所圍成的圖形面積？四、定積分的性質(zhì)（簡略）（1） （2） （3）（4）積分中值定理： 設(shè)函數(shù)f(x)在以a，b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，則在a，b之間至少存在一個x（中值），使 =f(x)(ba)y=f(x)xyOabxf(x)積分中值定理有以下的幾何解釋：若f(x)在a，b上連續(xù)且非負，定理表明在a，b上至少存在一點x，使得以a，b為

28、底邊、曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，與同底、高為f(x)的矩形的面積相等，如圖所示因此從幾何角度看，f(x)可以看作曲邊梯形的曲頂?shù)钠骄叨?；從函?shù)值角度上看，f(x)理所當然地應(yīng)該是f(x)在a，b上的平均值因此積分中值定理這里解決了如何求一個連續(xù)變化量的平均值問題思考題：1、 用定積分的定義計算定積分,其中為一定常數(shù)。矩形的面積2、 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義求下列積分的值：（1）, （2）, （3）, （4）.探究題：用定積分的符號、定義、結(jié)果、方法等說明“什么是定積分”？小 結(jié)：定積分的本質(zhì)：從宏觀（整體）研究非均勻量的“改變量”問題。是處理非均勻量的“乘

29、法”；其思想方法：(1)在小范圍內(nèi)以“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。其中，“分”是為了“勻”的需要，而“求和”是整體量的要求。作 業(yè)：P40（A：1-3）課堂練習（定積分的概念）【A組】一、判定正誤：1、定積分表示曲邊梯形的面積。（ F ）2、定積分的值與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間a,b及積分變量x有關(guān)。F3、 （ T ） 4、 （ F ）二、用定積分表示面積：(1)曲線 (2)由方程所確定的圓的面積？三、 用定積分的定義計算定積分,其中為一定常數(shù)。【B組】一、由定積分的幾何意義計算：？ 二、由定積分的幾何意義求直線所圍成的平面圖形的面積？三、用定

30、積分的定義求曲線所圍成的平面圖形的 面積？數(shù)學認識實驗： 定積分思想的幾何直觀1、函數(shù)在0,1上所圍成的面積分析：（1）步長為0.1的分割。（n=10）（2）步長為0.05的分割。（n=20）（3）步長為0.01的分割。（n=100）第七講 定積分與導(dǎo)數(shù)教學目的：掌握原函數(shù)的概念及N-L公式。重 難 點：作為路程的定積分、微積分基本定理教學程序：復(fù)習定積分概念（和式極限）>原函數(shù)>N-L公式（求路程）推導(dǎo)>NL公式（計算方法）>定積分的計算（簡單）授課提要：前 言：定積分是一個重要的概念，如果用定義來計算，計算復(fù)雜且不易，所以必須尋找新的計算方法。下面將研究定積分與導(dǎo)數(shù)

31、的關(guān)系。一、原函數(shù)的概念定 義：若在某一區(qū)間上有，則稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)。如：已知，所以是2x的一個原函數(shù)，同理，也是它的原函數(shù)。（說明：原函數(shù)不唯一）*二、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且，則稱函數(shù)為變上限函數(shù)。記。它有如下性質(zhì)：(1)；(2)若在a,b上連續(xù)，則在a,b上可導(dǎo)，且有。由性質(zhì)(2)及原函數(shù)的定義知，p(x)是f(x)的一個原函數(shù)。定 理（原函數(shù)存在定理）若f(x)在a,b上連續(xù)，則其原函數(shù)一定存在，且原函數(shù)可表示為例1、求 ？ 例2、求 ？三、NL公式（直觀推導(dǎo)）設(shè)一輛汽車作變速直線運動（如圖），從時刻a到b，求其經(jīng)過的路程？（1）若已知路程函數(shù)，則；（

32、2）若已知速度函數(shù)，則由定積分有；（3）s(t)與v(t)有如下關(guān)系：，即s(t)是v(t)的一個原函數(shù)。一般地，有如下定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則說 明：(1)NL公式揭示了定積分與原函數(shù)（不定積分）間的聯(lián)系，給定積分的計算提供了有效而簡便的方法。 (2)由定義知求定積分的步驟：求原函數(shù) 求原函數(shù)的增量例3、求下列定積分：（1） （2） （3）例4、求由曲線，直線x=0，x=，y=0所圍成的圖形面積？例5、求曲線所圍成的平面圖形的面積？例6、設(shè)物體的速度，求時段的距離？思考題：1、 ?答：因為是以為自變量的函數(shù)，故=0.2、 答：因為是常數(shù)，故.

33、3、 ？ 答：因為的結(jié)果中不含，故0.4、 ？ 答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知.小 結(jié)：NL公式的意義：將矛盾的“微分”與“積分”統(tǒng)一起來，是哲學中的“對立統(tǒng)一”規(guī)律的具體表現(xiàn)，是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一。其美學價值：宏觀上的統(tǒng)一之美。作 業(yè)：P46（A：1）；（B：1）課堂練習（定積分與導(dǎo)數(shù)）【A組】1、計算下列定積分：（1） （2） （3）（4） （5） （6）2、求曲線所圍成的圖形的面積？3、設(shè)，求k的值？ 24、設(shè) 兩邊求導(dǎo)數(shù)【B組】1、設(shè)，求a的值？ 32、求導(dǎo)數(shù)：？ 3、用定積分求極限：（）*4、利用定積分的性質(zhì)求極限：？（估值定理、夾值定理）*5、證明方程在(0,1)內(nèi)有唯一實根。*

34、6、設(shè)f(x)在0，4上連續(xù)，且，則f(2)= 1/4 。數(shù)學認識實驗： 定積分：的幾何直觀第八講 習題課（導(dǎo)數(shù)與定積分）教學目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容，掌握基本概念與方法。一、基本概念及方法：1、極限的概念，求極限的方法；2、導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)公式及運算法則3、導(dǎo)數(shù)的幾何、物理及經(jīng)濟意義4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義（經(jīng)濟意義）5、用N-L公式求定積分二、基本題型：1、求下列極限（1） （2） （3） （4）2、求下列導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）3、求下列導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）4、求下列積分（1） （2） （3）5、求曲線在點（1，2）處的切線方程？6、求在t=2時的速度？7、設(shè)某產(chǎn)品

35、的成本函數(shù)，求其邊際成本？8、求曲線所圍成的圖形的面積？9、已知物體的速度為，求時段經(jīng)過的路程？10、設(shè) 可加性11、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及y=0所圍成的曲邊梯形的面積為 。三、提示與提高：1、無窮小的定義與性質(zhì)定 義：若,則稱時為無窮小。性 質(zhì)：有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。例1、求極限，？2、無窮小的比較：（略）當時，有等價；當時，；例2、當時，比較的階？3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界定理；（2）最值定理；（3）零點定理；（4）介值定理例3、設(shè)f(x)在0，2上連續(xù)，且f(0)=f(2),證明方程在0，1上至少有一實根。4、函數(shù)間斷點的分

36、類（略）5、定積分的性質(zhì)（1）；（2）若在a,b上有，則 特別地，若在a,b上有，則（3）對任意實數(shù)C有（4）設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上的最大、最小值分別為M、m，則有 （5）設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則其在a,b上的平均值 例3、比較大?。号c例4、求定積分：，其中例5、求在區(qū)間1,3上的平均值？第九講 求導(dǎo)法則（三）、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（一）教學目的：掌握基本導(dǎo)數(shù)公式和四則運算法則，會求一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重 難 點：四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的連鎖法則教學程序：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（復(fù)習）>導(dǎo)數(shù)四則運算法則>例子授課提要：前面我們學習了導(dǎo)數(shù)的概念及簡單函數(shù)求導(dǎo)，本節(jié)將系統(tǒng)學習函數(shù)求導(dǎo)方法。一

37、、復(fù)習基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（重點）（板書略）二、復(fù)習導(dǎo)數(shù)四則運算法則（重點）設(shè)u(x),v(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則(1) (2) (3) 例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4) 例2、求的導(dǎo)數(shù)？（由商的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)）于是有 同理： 例3、求函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)值？例4、求過點（1，2）且與曲線相切的直線方程？三、復(fù)習復(fù)合函數(shù)的概念及分解說明：復(fù)合函數(shù)分解一般從外向內(nèi)分解，分解至基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)即可例5、分解下列函數(shù)（1） （2） （3）四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，則 說明：（1）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先分清楚函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，求出每一層次簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再使用連鎖法則，

38、就得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； （2）復(fù)合函數(shù)的分解一般按由外向內(nèi)的順序進行。例6、求下列導(dǎo)數(shù)（先分解后求導(dǎo)）(1) (2) (3) (4) 例7、設(shè)在可導(dǎo)，且，記，其中a為常數(shù)，求？例8、設(shè)？ 5e思考題：1、設(shè)，求？利用指數(shù)恒等式：2、 設(shè)求？ 小 結(jié)：掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法則；對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)明確：（1）熟練基本導(dǎo)數(shù)公式；（2）恰當分解復(fù)合函數(shù)；（3）正確使用“連鎖法則”。作 業(yè)：P55（A：1-2；B：2）；P58（A：1）思考題：1. 給定一個初等函數(shù)，只用求導(dǎo)法一定能求出其導(dǎo)函數(shù)嗎？為什么？答：一定能求出其導(dǎo)函數(shù)。因為任何一個基本初等函數(shù)我們都可以求其導(dǎo)函數(shù)，而初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過

39、有限次四則運算及有限次的復(fù)合運算形成，據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則知給定一個初等函數(shù),只用求導(dǎo)法一定能求出其導(dǎo)函數(shù)。課堂練習（求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)一）【A組】1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4) 2、設(shè)3、在曲線上取兩點x1=1,x2=3，過這兩點引割線，問曲線上哪點的切線平行于所引割線？4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) (4) 5、求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？6、已知曲線的切線與直線垂直，求此切線方程？【B組】1、證明可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。2、設(shè)？ 1/33、設(shè)，問a,b為何值時，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？4、設(shè)？ 5、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，？12數(shù)

40、學認識實驗： 函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像第十講 復(fù)合函數(shù)（二）、高階導(dǎo)數(shù)教學目的：熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，會求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。重 難 點：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、二階導(dǎo)數(shù)教學程序：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（復(fù)習）>例子>高階導(dǎo)數(shù)定義>例子>二階導(dǎo)數(shù)的物理意義>求高階導(dǎo)數(shù)授課提要：一、復(fù)習復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（）例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）例2、設(shè)，求？ 例3、設(shè) 略例4、設(shè)？二、高階導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。說明：求高階導(dǎo)數(shù)就是反復(fù)利用求一階導(dǎo)數(shù)的方法即可。例5、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)？ (1) (2) (3) 例6、設(shè)？例7、求和的n階導(dǎo)數(shù)

41、？例8、求的n階導(dǎo)數(shù)？ 例9、求的n階導(dǎo)數(shù)？三、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義（復(fù)習） 設(shè)物體的運動方程為s(t)，則表示物體在時刻t的加速度。例10、設(shè)物體的運動規(guī)律為：時的速度和加速度？探究題：（股票走勢）設(shè)代表某日某公司在時刻的股票價格，試根據(jù)以下情形判定的一階、二階導(dǎo)數(shù)的正、負號：（1）股票價格上升得越來越快；（2）股票價格接近最低點。 思考題：某公司的一次廣告促銷活動中，銷量提高了，但銷量關(guān)于時間的曲線是凹的，這表明該公司的經(jīng)營情況如何？為什么？若曲線是凸的呢？表明銷量增長速度很快小 結(jié)：理解高階導(dǎo)數(shù)的“遞歸定義法”（即，高一階導(dǎo)數(shù)是通過低一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)而來）；一階導(dǎo)數(shù)的符號可以反映事物是增長還是

42、減少；二階導(dǎo)數(shù)的符號則說明增長或減少的快慢。作 業(yè)：P59（A：2-3；B：1）課堂練習（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)二）【A組】1、求下列導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）2、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) 3、驗證函數(shù)4、設(shè)物體的運動規(guī)律為，求物體在t=0時的速度和加速度？5、設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且，求？6、設(shè)周期函數(shù)f(x)在R內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又，則曲線y=f(x)在點（5,f(5)）的切線斜率為 2 ?！綛組】1、設(shè)？ 12、若，求？ 63、求的n階導(dǎo)數(shù)？變形第十一講 隱函數(shù)求導(dǎo)、對數(shù)求導(dǎo)法教學目的：掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，了解對數(shù)求導(dǎo)法。重 難 點：隱函數(shù)的求導(dǎo)法教學程序：隱函數(shù)的概念>

43、;隱函數(shù)的求導(dǎo)方法（舉例說明）>對數(shù)求導(dǎo)法（例子）>參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)>例子授課提要：一、隱函數(shù)概念自變量與因變量的函數(shù)關(guān)系由方程所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。 如：等所確定的y是x的隱函數(shù)。說明：有些隱函數(shù)可化成顯函數(shù)，但更多的不能化成顯函數(shù)；同時應(yīng)明確并非任意一個方程都能確定一個隱函數(shù)。二、隱函數(shù)的求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)方法：在方程的兩邊各項分別對x求導(dǎo)，視y為x的函數(shù)，按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，最后解出y'即可。例1、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例2、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例3、求隱函數(shù)在點（0，1）的導(dǎo)數(shù)值？ 1/e說明：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般是含x和y的表達式。例4、求曲線在點（1，1）處的切線方程

44、？三、對數(shù)求導(dǎo)法 對于冪指函數(shù)(其中u,v是x的函數(shù)），或由多項式乘除運算和乘方、開方所得函數(shù)的求導(dǎo)，其方法：應(yīng)先對方程兩邊取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)。（即先取對數(shù)，后求導(dǎo)數(shù)）例5、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例6、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?例7、求導(dǎo)數(shù)：*四、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)，且函數(shù)的反函數(shù)存在，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得：說明：參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)一般是含參變量t的表達式。例8、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？思考題：1、如何求的導(dǎo)數(shù)？ 兩次取對數(shù)后再求導(dǎo)數(shù) 2、求的導(dǎo)數(shù)？ 先區(qū)對數(shù)再求導(dǎo)數(shù)3、一球形細胞以/天增長體積，當3的半徑為時，其半徑增長速度是多少？ 小 結(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵：（1）明確方程中是的函數(shù)，即；（2）方程中各項最終

45、是關(guān)于求導(dǎo)；（3）解出（一般是含的表達式）。 參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)：其公式是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則推導(dǎo)得來。作 業(yè)：P62（A：2-3；B：1-2）課堂練習（隱函數(shù)求導(dǎo)）【A組】1、求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) 2、求由方程所確定的函數(shù)y在點（0，1）處的導(dǎo)數(shù)？3、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？4、設(shè)物體的運動方程為：，求(1)物體任意時刻的速度和加速度？(2)何時速度為0？(3)何時加速度為0？*5、求下列導(dǎo)數(shù)（1） （2）【B組】1、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程所確定，求？2、求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)？3、確定a,b,c的值，使拋物線與曲線在x=0處 相交，并具有相同的一、二階導(dǎo)數(shù)。4、設(shè)5、設(shè)

46、。*6、證明：曲線上任一點的切線所截二坐標軸的截距之和等于1。*7、已知，求。歸納總結(jié)： 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點及附近有定義，求函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)步驟：（1）求函數(shù)增量：；（2）求比值：；（3）求極限：或。2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常用）3、四則運算法則（可導(dǎo)）； ； 4、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)復(fù)合成函數(shù)，則或5、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù)，則6、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)是由參數(shù)方程確定，則第十二講 習題課（函數(shù)求導(dǎo)的方法）教學目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容，系統(tǒng)掌握函數(shù)的求導(dǎo)方法。一、函數(shù)求導(dǎo)的基本方法：1、由定義求導(dǎo)（三步驟）；2、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與法則；3、復(fù)合函數(shù)的求

47、導(dǎo)方法（連鎖法則）；4、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法、對數(shù)求導(dǎo)法、*參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)5、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。二、基本題型：1、求下列導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）2、求下列導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）3、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) 4、設(shè)物體的運動規(guī)律為，求物體在t=0時的速度和加速度？5、設(shè)，求？6、設(shè)？7、設(shè)為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且，求曲線在點處的切線方程？8、求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (2) (3) 9、求由方程所確定的函數(shù)y在點（0，1）處的導(dǎo)數(shù)？10、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？11、已知，求？三、微積分的發(fā)展史（16151883年）我絕對相信歷史事實是一種出色的教育指南 M.Kline1615年，德國的開卜

48、勒發(fā)表酒桶的立體幾何學，研究了圓錐曲線旋轉(zhuǎn)體的體積。1635年，意大利的卡瓦列利發(fā)表不可分連續(xù)量的幾何學，書中避免無窮小量，用不可分量制定了一種簡單形式的微積分。1637年，法國的笛卡爾出版幾何學，提出了解析幾何，把變量引進數(shù)學，成為“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點”。1638年，法國的費馬開始用微分法求極大、極小問題。1638年，意大利的伽利略發(fā)表關(guān)于兩種新科學的數(shù)學證明的論說，研究距離、速度、加速度之間的關(guān)系，提出了無窮集合的概念，這本書被認為是伽利略重要的科學成就。1665-1676年，牛頓（1665-1666年）先于萊布尼茨（1673-1676年）制定了微積分，萊布尼茨（1684-1686年）早于牛頓

49、（1704-1736年）發(fā)表了有關(guān)微積分的著作。1684年，德國的萊布尼茨發(fā)表了關(guān)于微分法的著作關(guān)于極大極小以及切線的新方法。1686年，德國的萊布尼茨發(fā)表了關(guān)于積分法的著作。1691年，瑞士的約.貝努利出版微分學初步，這促進了微積分在物理學和力學上的應(yīng)用及研究。1696年，法國的洛比達發(fā)明求不定式極限的“洛比達法則”。1697年，瑞士的約.貝努利解決了一些變分問題，發(fā)現(xiàn)最速下降線和測地線。1704年，英國的牛頓發(fā)表三次曲線枚舉、利用無窮級數(shù)求曲線的面積和長度、流數(shù)法。1711年，英國的牛頓發(fā)表使用級數(shù)、流數(shù)等的分析。1715年，英國的布.泰勒發(fā)表增量方法及其他。1731年，法國的克雷洛出版關(guān)于雙重曲率的曲線的研究，這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。第十三講 函數(shù)的單調(diào)性教學目的：掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，會求