邏輯思維與數(shù)學(xué)文化

1、第一章 邏輯思維與數(shù)學(xué)文化許昌學(xué)院自然與科學(xué)技術(shù)類公共選修課程邏 輯 思 維 與 職 業(yè) 生 涯數(shù)學(xué)文化賞析講義編著：宋永志許昌學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院8年6月序言邏輯思維與職業(yè)生涯的課程性質(zhì)是自然科學(xué)知識與社會學(xué)知識的綜合，偏重于自然科學(xué)知識，是面向全校本科生開設(shè)的文化素質(zhì)教育課程。本課程設(shè)置的教學(xué)目的是：一是能讓本科生體會到用邏輯思維來探究自然與科學(xué)技術(shù)的奧秘是不可或缺的，從而更好地用邏輯思維的方式方法處理好自己與自然科學(xué)有關(guān)的工作學(xué)習(xí)生活等事情；二是能認(rèn)識到邏輯思維在個(gè)人職業(yè)與生活等方面的重要性，從而指導(dǎo)自己最佳的處理自身在職場、社交、婚姻、家庭以及生活中紛繁復(fù)雜的問題。通過本課程的學(xué)習(xí)，使

2、學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)歷史上重大科學(xué)事件和數(shù)學(xué)科學(xué)思想發(fā)展的歷程，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)科學(xué)的真諦，提高大學(xué)生的邏輯思維能力，激發(fā)青年學(xué)生獻(xiàn)身科學(xué)的精神。我們可以這樣說，學(xué)習(xí)邏輯思維與職業(yè)生涯課程的宗旨，就是提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力。本課程講義總體分兩大部分，一部分是關(guān)于自然科學(xué)知識相關(guān)的內(nèi)容，與邏輯思維緊密的學(xué)科即數(shù)學(xué)的相關(guān)度最高；另一部分是關(guān)于邏輯思維在個(gè)人工作、生活、社會等方面起到的很好地指導(dǎo)、把握人生大方向不可或缺的作用，主要體現(xiàn)在個(gè)人職業(yè)規(guī)劃以及行政事業(yè)單位招聘考試方面的重要幫助?！斑壿嬎季S與職業(yè)生涯”以數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想方法及近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，包括數(shù)學(xué)簡史、數(shù)學(xué)思想與方法、數(shù)學(xué)經(jīng)典問題、微積分

3、知識簡介、著名數(shù)學(xué)家的故事及近代數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)及發(fā)展，邏輯思維知識的介紹、職業(yè)規(guī)劃、行政企事業(yè)招考等內(nèi)容，通過彼此獨(dú)立的十個(gè)專題講座，使學(xué)生對數(shù)學(xué)歷史上重大科學(xué)事件及數(shù)學(xué)邏輯、職業(yè)生涯規(guī)劃等有比較深入的了解，從而對科學(xué)來源于人類對自然和自身的不斷探索，有著進(jìn)一步的認(rèn)識，并從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)邏輯素養(yǎng)之真諦。本課程的一系列專題既貫徹一個(gè)主題，又具有相對獨(dú)立性，每個(gè)專題都有深刻的思想內(nèi)容支撐，雖然不是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)科學(xué)知識，但這些經(jīng)典片斷更有利于學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)，正確地認(rèn)識邏輯思維，全面地感受數(shù)學(xué)科學(xué)的魅力。 講義著者 2013.5第一章 邏輯思維與數(shù)學(xué)文化看到邏輯思維與職業(yè)生涯這個(gè)課程的名字，有人會問：這

4、門課程是學(xué)習(xí)什么內(nèi)容呢？邏輯思維不就是數(shù)學(xué)思維嗎？職業(yè)生涯不就是工作或生活嗎？從本章開始，通過陸續(xù)的學(xué)習(xí)，我們將會一一地揭示這些問題的答案。 第一節(jié) 邏輯思維一、什么是邏輯思維邏輯思維（Logical thinking），是指人們在認(rèn)識過程中借助于概念、判斷、推理等思維形式能動(dòng)地反映客觀現(xiàn)實(shí)的理性認(rèn)識過程，又稱理論思維。邏輯思維與形象思維不同，是用科學(xué)的抽象概念、范疇揭示事物的本質(zhì)，表達(dá)認(rèn)識現(xiàn)實(shí)的結(jié)果。邏輯思維是一種確定的，而不是模棱兩可的；前后一貫的，而不是自相矛盾的；有條理、有根據(jù)的思維。 只有經(jīng)過邏輯思維，人們才能達(dá)到對具體對象本質(zhì)規(guī)律的把握，進(jìn)而認(rèn)識客觀世界。它是人的認(rèn)識的高級階段，即

5、理性認(rèn)識階段。邏輯思維要遵循邏輯學(xué)中四個(gè)思維規(guī)律：同一律、（不）矛盾律、排中律和充足理由律（同一律是指“同一時(shí)空”里概念和判斷的前后同一；矛盾律則是任一命題不能既真又不真，即任一事物不能同時(shí)既具有某屬性又不具有某屬性；排中律說的是在真與假上必須作出明確的選擇，詳見講義附錄1）；要遵循辯證邏輯的對立統(tǒng)一、質(zhì)量互變、否定之否定等規(guī)律，違背這些規(guī)律，思維就會發(fā)生偷換概念，偷換論題、自相矛盾、形而上學(xué)等邏輯錯(cuò)誤，認(rèn)識就是混亂和錯(cuò)誤的。如騙錢財(cái)與騙吃藥，兩個(gè)“騙”不同；“自相矛盾”的故事就是對同一個(gè)事物，同時(shí)作出兩種截然相反的論斷，不滿足矛盾律；“書中自有黃金屋”這句話符合思維規(guī)律，而“腦袋大，脖子粗，

6、不是老板是火夫” 這句話就違背充足理由律律，很容易被否定。邏輯思維是分析性的，按部就班，層層推進(jìn)。做邏輯思維時(shí)，每一步必須準(zhǔn)確無誤，否則無法得出正確的結(jié)論。我們所說的邏輯思維主要指遵循傳統(tǒng)形式邏輯規(guī)則的思維方式。常稱它為“抽象思維”或“閉上眼睛的思維”。 邏輯思維是人腦的一種理性活動(dòng)，思維主體把感性認(rèn)識階段獲得的對于事物認(rèn)識的信息材料抽象成概念，運(yùn)用概念進(jìn)行判斷，并按一定邏輯關(guān)系進(jìn)行推理，從而產(chǎn)生新的認(rèn)識。所以說，邏輯思維是規(guī)范、嚴(yán)密、確定和可重復(fù)的。在邏輯思維中，是使用否定來堵死某些途徑。比喻說，邏輯思維是在深挖一個(gè)洞，它就是為了把一個(gè)洞挖得更深的工具。比如俗話說的 “一哭二鬧三上吊” 就是

7、妻子想要丈夫聽從安排的一種遞進(jìn)推理，有的女孩想要了解男子的家里是否有車、房，會間接地問“你家的車庫是否好停車”，這里面就包含了很好的邏輯推理。又例如下面的“找次品”游戲：有5個(gè)外形相同的乒乓球，其中只有一個(gè)質(zhì)量不標(biāo)準(zhǔn)（或輕或重）的次品球。再給你1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球；請你用一架不帶砝碼的天平找出上述次品乒乓球，如何找？若最多只使用兩次天平，你能確保找出來嗎？第一問用“窮舉法”用五次天平可得。當(dāng)然，也可以從5個(gè)外形同的球中取4個(gè)，第一次天平兩邊各放2個(gè)球，剩下1個(gè)；若天平平衡，這四個(gè)都是標(biāo)準(zhǔn)球，則剩下一個(gè)為次品；若不平衡，次品在4個(gè)中，再把天平一側(cè)的2個(gè)球拿下來，另一側(cè)的2個(gè)球第二次使用天平分別放在天平兩邊

8、；若天平是平的，則次品在剛才拿下的兩個(gè)中，若天平不平，則次品為天平上一側(cè)的那個(gè)球，不管哪種情況，次品的范圍就縮小到兩個(gè)“懷疑球”中的一個(gè)了。再第三次使用天平，拿一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球與這兩個(gè)“懷疑球”中的一個(gè)，分別放入天平兩側(cè)，若平衡，則剩下一個(gè)就是次品；若不平，則天平上的另一個(gè)為次品。這種方案，雖只使用3次天平，但不符合第二問要求。當(dāng)然，此法如果巧妙利用上天平不平時(shí)，必有一邊重（或輕）的信息，就可以不用標(biāo)準(zhǔn)球，三次稱量出了。那么如何最多只使用兩次天平，確保能找出來呢？為方便說明，我們給5個(gè)外形同的球分別標(biāo)上15這5個(gè)數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)球標(biāo)上0數(shù)字。接下來這樣考慮：把0號球和1號球放在天平的一側(cè)，2、3號球放在天平

9、另一側(cè)，剩下4、5號球。則第一次使用天平時(shí)，可能有兩種情形：（1）如果天平是平的，則1、2、3號球都是標(biāo)準(zhǔn)球，4、5號球有一個(gè)是次品，稱其為“懷疑球”；第二次使用天平，再把一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球與這兩個(gè)“懷疑球”中的一個(gè)分別放在天平兩邊，如果天平是平的，則另一個(gè)未放的“懷疑球”為次品；如果天平不平，則天平上的另一個(gè) “懷疑球”為次品。（2）若天平不平，則4、5號球?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)球，1、2、3號球?yàn)椤皯岩汕颉?。不妨設(shè)2、3號球那側(cè)較重，第二次使用天平，再把2、3號球分別放到天平兩側(cè)，如果天平是平的，則1號球?yàn)榇纹?；如果天平不平，則1號球?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)球， “懷疑球”縮小在2號、3號中，再結(jié)合優(yōu)化假設(shè)知道2、3號球那側(cè)比0、

10、1號球側(cè)重，知道次品球比正品球重，那么對于最后天平上兩側(cè)的2、3號球，重的必為次品。如所知，社會實(shí)踐是邏輯思維形成和發(fā)展的基礎(chǔ)，社會實(shí)踐的需要決定人們從哪個(gè)方面來把握事物的本質(zhì)，確定邏輯思維的任務(wù)和方向。實(shí)踐的發(fā)展對于感性經(jīng)驗(yàn)的增加也使邏輯思維逐步深化和發(fā)展。也就是說，邏輯思維是人腦對客觀事物間接概括的反映，它憑借科學(xué)的抽象揭示事物的本質(zhì)，于是具有自覺性、過程性、間接性和必然性的特點(diǎn)。二、邏輯思維的基本形式1、邏輯思維形式的特征（1）概念的特征：內(nèi)涵和外延。 （2）判斷的特征：一是判斷必須對事物有所斷定；二是判斷總有真假。 （3）推理的特征：演繹推理的邏輯特征是：如果前提真，那么結(jié)論一定真，是

11、必然性推理；非演繹推理的邏輯特征是：雖然前提是真的，但不能保證結(jié)論是真的，是或然性推理。 2、概念的定義與劃分方法（1）定義的方法 定義的方法是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方式。是用簡潔的語詞揭示概念反映的對象特有屬性和本質(zhì)屬性。定義的基本方法是“種差”加最鄰近的“屬”概念。定義的規(guī)則：一是定義概念與被定義概念的外延相同；二是定義不能用否定形式；三是定義不能用比喻；四是不能循環(huán)定義。 （2）劃分的方法 劃分的方法是明確概念全部外延的邏輯方法，是將“屬”概念按一定標(biāo)準(zhǔn)分為若干種概念。劃分的邏輯規(guī)則，一是子項(xiàng)外延之和等于母項(xiàng)的外延；二是一個(gè)劃分過程只能有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；三是劃分出的子項(xiàng)必須全部列出；四是劃分必須按

12、屬種關(guān)系分層逐級進(jìn)行，不可以越級。 三、邏輯思維方法和作用1、邏輯思維方法（1）分析與綜合 分析是在思維中把對象分解為各個(gè)部分或因素，分別加以考察的邏輯方法。綜合是在思維中把對象的各個(gè)部分或因素結(jié)合成為一個(gè)統(tǒng)一體加以考察的邏輯方法。 （2）分類與比較 根據(jù)事物的共同性與差異性就可以把事物分類，具有相同屬性的事物歸入一類。具有不同屬性的事物歸入不同的類。重要的是分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇，分類標(biāo)準(zhǔn)選擇的好還可導(dǎo)致重要規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。 比較就是比較兩個(gè)或兩類事物的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)。通過比較就能更好地認(rèn)識事物的本質(zhì)。 （3）歸納與演繹 歸納是從個(gè)別性的前提推出一般性的結(jié)論，前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是或然性的。演繹是從一般

13、性的前提推出個(gè)別性的結(jié)論，前提與結(jié)論之間的聯(lián)系是必然性的。 （4）抽象與概括 抽象就是運(yùn)用思維的力量，從對象中抽取它本質(zhì)的屬性，拋開其他非本質(zhì)的東西。概括是在思維中從單獨(dú)對象的屬性推廣到這一類事物的全體的思維方法。 抽象與概括和分析與綜合一樣，也是相互聯(lián)系不可分割的。 抽象思維一般有經(jīng)驗(yàn)型與理論型兩種類型。 前者是在實(shí)踐活動(dòng)中的基礎(chǔ)上，以實(shí)際經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)形成概念，進(jìn)行判斷和推理，如工人、農(nóng)民運(yùn)用生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)解決生產(chǎn)中的問題，多屬于這種類型。 后者是以理論為依據(jù)，運(yùn)用科學(xué)的概念、原理、定律、公式等進(jìn)行判斷和推理?？茖W(xué)家和理論工作者的思維多屬于這種類型。經(jīng)驗(yàn)型的思維由于常常局限于狹隘的經(jīng)驗(yàn)，因而其抽象水

14、平較低。2、邏輯思維的作用一般作用1)有助于我們正確認(rèn)識客觀事物。 2)可以使我們通過揭露邏輯錯(cuò)誤來發(fā)現(xiàn)和糾正謬誤。 3)能幫助我們更好地去學(xué)習(xí)知識。 4)有助于我們準(zhǔn)確地表達(dá)思想。 在創(chuàng)新中的作用1)邏輯思維在創(chuàng)新中的積極作用 發(fā)現(xiàn)問題；直接創(chuàng)新；篩選設(shè)想；評價(jià)成果；推廣應(yīng)用；總結(jié)提高。 2)邏輯思維在創(chuàng)新中的局限性 常規(guī)性； 嚴(yán)密性； 穩(wěn)定性。 四、邏輯思維與創(chuàng)新思維的關(guān)系1、邏輯思維滲透于一切創(chuàng)造過程中邏輯思維的過程形式與創(chuàng)新、創(chuàng)造過程密切相關(guān)，一切創(chuàng)造活動(dòng)都是以邏輯思維為基礎(chǔ)的，運(yùn)用邏輯思維對創(chuàng)造成果條理化、系統(tǒng)化、理論化。 2、邏輯思維與創(chuàng)新思維的區(qū)別1）思維形式的區(qū)別。邏輯思維的表

15、現(xiàn)形式，是從概念出發(fā)，通過分析、比較、判斷、推理等形式而得出合乎邏輯的結(jié)論。創(chuàng)新思維則不同，它一般沒有固定的程序，其思維方式大多都是直觀、聯(lián)想和靈感等。心理學(xué)家認(rèn)為，發(fā)散思維是創(chuàng)新思維的最主要的特點(diǎn)，是測定創(chuàng)造力的主要標(biāo)志之一。日常學(xué)習(xí)生活中的“一題多解”、“一事多寫”、“一物多用”等方式，是培養(yǎng)發(fā)散思維能力的常見方法。 2）思維方法的區(qū)別。邏輯思維的方法，主要是邏輯中的比較和分類、分析和綜合、抽象和 概括、歸納和演繹，而創(chuàng)新思維的方法，主要是一種猜測、想象和頓悟。 3）思維方向的區(qū)別。邏輯思維一般是單向的思維，總是從概念到判斷再到推理，最后得出結(jié)論。創(chuàng)新思維的思維方向則是很多的，結(jié)果也是多樣

16、性的。 4）思維基礎(chǔ)的區(qū)別。邏輯思維是建立在現(xiàn)成的知識和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的，離開已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，邏輯思維便無法進(jìn)行。創(chuàng)新思維則是從猜測、想象出發(fā)，沒有固定的思維方式，雖然也需要知識和經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，但不完全依賴知識和經(jīng)驗(yàn)。 5）思維結(jié)果的區(qū)別。邏輯思維嚴(yán)格按照邏輯進(jìn)行，思維的結(jié)果是合理的，但可能沒有創(chuàng)新性。創(chuàng)新思維活動(dòng)既然不是按照常規(guī)的邏輯進(jìn)行，其結(jié)果往往不合常理，但其中卻有新穎性的結(jié)果。3、邏輯思維與創(chuàng)新思維在創(chuàng)新活動(dòng)中的關(guān)系在創(chuàng)新活動(dòng)中，兩者主要有三種關(guān)系：銜接關(guān)系、互補(bǔ)關(guān)系與轉(zhuǎn)化關(guān)系。 更為具體的來講，“邏輯思維”具有多樣性，包括：正向思維、逆向思維、橫向思維、發(fā)散思維等。比如“司馬光砸缸”的

17、故事，有人落水，常規(guī)的正向思維模式是“救人離水”，而司馬光面對緊急險(xiǎn)情，運(yùn)用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，“讓水離人”，救了小伙伴性命。有這樣的故事：兩個(gè)婦女被帶到所羅門（Soloman）王面前，她們都自稱是一個(gè)嬰兒的母親。所羅門下令擬將那個(gè)嬰兒切成兩半，給兩個(gè)婦女一人一半。所羅門的本意是要處以公正，將嬰兒救下，但這條命令乍聽起來顯然與此背道而馳。然而最終的結(jié)果是發(fā)現(xiàn)了真正的母親：她寧愿讓另一個(gè)母親占有自己的孩子也不愿讓他死去。橫向思維，是指突破問題的結(jié)構(gòu)范圍，從其他領(lǐng)域的事物、事實(shí)中得到啟示而產(chǎn)生新設(shè)想的思維方式。如從空城計(jì)到唱籌量沙的故事?？偠灾?，對于我們主要談及的邏輯思維，是人腦對

18、客觀事物間接概括的反映，它憑借科學(xué)的抽象揭示事物的本質(zhì)，具有自覺性、過程性、間接性和必然性的特點(diǎn)。邏輯思維的基本形式是概念、判斷、推理；邏輯思維方法主要有歸納和演繹、分析和綜合、分類與比較抽象與概括以及等。五、邏輯思維訓(xùn)練1、帕臺農(nóng)神廟位于希臘首都雅典衛(wèi)城坐落的古城堡中心，游客有時(shí)會從帕臺農(nóng)神廟的古老立柱上砍下一些碎片，雅典當(dāng)局對此非常關(guān)心，雖然這種行為是違法的，但是這些游客仍舊把它作為紀(jì)念品帶走。當(dāng)局如何才能阻止這一行動(dòng)呢？事實(shí)上，管理當(dāng)局從原來維修帕臺農(nóng)神廟時(shí)所用的礦石場里收集了一些大理石碎片，每天把這些碎片散放在帕臺農(nóng)神廟的周圍。游客以為他們撿起來的碎片是從古老的立柱上掉下來的，因此他們

19、感到很滿意。2、接下來是一個(gè)與員工包裝事情有關(guān)的題目：有三個(gè)箱子，一個(gè)裝著桔子，一個(gè)裝著蘋果，一個(gè)是混裝的桔子和蘋果，裝完后封好。然后將標(biāo)有“桔子”“蘋果”“混裝”的標(biāo)簽貼到三個(gè)箱子上，由于這個(gè)員工馬虎，結(jié)果全都貼錯(cuò)了。你是否能想一個(gè)方法，只從一個(gè)箱子中只拿出一個(gè)水果（為降低拆包裝損壞的成本），就能夠糾正所有的標(biāo)簽？提示：打開混裝箱子，取出一個(gè)水果即可。3、某藥店收到10瓶藥，每瓶中裝有重100毫克的藥丸1000粒。后被告知其中一瓶藥發(fā)錯(cuò)了，錯(cuò)藥的形狀、顏色及包裝均與其它9瓶藥完全相同，只是每丸藥重110毫克，你能用天平一次稱出錯(cuò)藥嗎？ 解：如圖，把瓶子編上號，然后從各瓶中拿出與編號相同數(shù)的藥

20、粒，如果都是正確的則應(yīng)有5500毫克，其中第5瓶是錯(cuò)的則總重為5550毫克，如果第6瓶是錯(cuò)的則應(yīng)重5560毫克。 編 號12345678910 藥粒個(gè)數(shù)12345678910 正常重量毫克1002003004005506007008009001000 4、世界級的馬拉松選手每天跑步不超過6公里。因此，如果一名選手每天跑步超過6公里，它就不是一名世界級馬拉松選手。以下哪項(xiàng)與上文推理方法相同？（A）跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員每天早晨跑步。如果早晨有人跑步，則他不是跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員。（B）如果每日只睡4小時(shí)，對身體不利。研究表明，最有價(jià)值的睡眠都發(fā)生在入睡后第5小時(shí)。（C）家長和小孩做游戲時(shí)，小孩更高興。因此，家長應(yīng)該多

21、做游戲。（D）如果某汽車早晨能起動(dòng)，則晚上也可能起動(dòng)。我們的車早晨通常能啟動(dòng)，同樣，它晚上通常也能啟動(dòng)。（E）油漆三小時(shí)之內(nèi)都不干。如果某涂料在三小時(shí)內(nèi)干了，則不是油漆。選E，解釋略去。5、有一天，某一珠寶店被盜走了一塊貴重的鉆石。經(jīng)偵破，查明作案人肯定在甲、乙、丙、丁之中。于是，對這四個(gè)重大嫌疑犯進(jìn)行審訊。審訊所得到的口供如下：甲：我不是作案的。乙：丁是罪犯。丙：乙是盜竊這塊鉆石的罪犯。?。鹤靼傅牟皇俏摇＝?jīng)查實(shí)：這四個(gè)人的口供中只有一個(gè)是假的。那么，以下哪項(xiàng)才是正確的破案結(jié)果？（A）甲作案。（B）乙作案。（C）丙作案。（D）丁作案。（E）甲、乙、丙、丁共同作案。 選B，解釋略去。習(xí)題1.11

22、、什么是邏輯思維？邏輯思維的特點(diǎn)是 、 、 與 。 2、簡單的說，邏輯思維的方法是 、 、 與 。3、你覺得“不上大學(xué)就沒有出路”這句話對嗎？若不對，違背了什么思維規(guī)律？4、在8個(gè)同樣大小的杯中有7杯盛的是涼開水，1杯盛的是白糖水。你能否最多只嘗3次，就找出盛白糖水的杯子來嗎？5、一家位于紐約的商店叫做七只鐘，然而在它的外面卻掛著八只鐘，這是為什么呢？分析與綜合、 分類與比較 、歸納與演繹 、抽象與概括第二節(jié) “數(shù)學(xué)文化”與“數(shù)學(xué)邏輯”一、數(shù)學(xué)及其特點(diǎn)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是概念的音樂，音樂是感覺的數(shù)學(xué)。 -波蘭尼（英）這個(gè)世界可以由音樂的音符組成，也可由數(shù)學(xué)的公式組成。 -愛因斯坦(美)數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后

23、。- 高斯(德)1、數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)是一種邏輯。這是常見的一種定義，意思是說數(shù)學(xué)推理依靠邏輯，“數(shù)學(xué)為其證明所具有的邏輯性而驕傲”。英國數(shù)學(xué)家羅素(B·Russell 18721970）就有這種“邏輯說”的名言：“邏輯是數(shù)學(xué)的青年時(shí)代，數(shù)學(xué)是邏輯的壯年時(shí)代。青年與壯年沒有截然的分界線，故數(shù)學(xué)與邏輯亦然?！倍鞲袼沟臄?shù)學(xué)定義：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)”。1980年版辭?！皵?shù)學(xué)”條目：“研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。”1984年版新華詞典“數(shù)學(xué)”條目：“研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)?！?988年版中國大百科全書“數(shù)學(xué)”條目：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界

24、中數(shù)量關(guān)系和空間形式的。簡單地說，是研究數(shù)和形的科學(xué)?！碑?dāng)然還有數(shù)學(xué)的其它定義，這里僅再給出12種定義：（1）數(shù)學(xué)是計(jì)算（2）數(shù)學(xué)是證明（3）數(shù)學(xué)是直覺這種數(shù)學(xué)定義的代表人物： 荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾（L·E·J·Brouwer 18811966）。其代表性名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他的都是人造的” （德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克）。（4）數(shù)學(xué)是形式這種數(shù)學(xué)定義的代表人物：德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert 18621943）。（5）數(shù)學(xué)是模式英國數(shù)學(xué)家懷特海（A·N·Whitehead 18611947）: “數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是，在從模式化的

25、個(gè)體作抽象的過程中對模式進(jìn)行研究?！?“數(shù)學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強(qiáng)有力的技術(shù)?！?美國當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家斯蒂恩（L·Steen）：“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)家們尋求存在于數(shù)量、空間、科學(xué)、計(jì)算機(jī)乃至想象之中的模式。模式提示了別的模式，并常常導(dǎo)致了模式的模式。正是以這種方式數(shù)學(xué)遵循著自身的邏輯：以源于科學(xué)的模式為出發(fā)點(diǎn)，并通過補(bǔ)充所有的由先前的模式導(dǎo)出的模式使這種圖像更加完備。”（6）數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)這種定義的法國布爾巴基（Bourbaki）學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)。 數(shù)學(xué)的三種母結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。由它們構(gòu)成的復(fù)合結(jié)構(gòu)、多重結(jié)構(gòu)、混合結(jié)構(gòu)就形成了千恣百態(tài)的數(shù)

26、學(xué)。（7）數(shù)學(xué)是關(guān)系（8）數(shù)學(xué)是語言 數(shù)學(xué)家C·戴爾曼：“數(shù)學(xué)也是一種語言，且是現(xiàn)存的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容方面最完美的語言。可以說，自然用這種語言講話；造世主已用它說過話，而世界的保護(hù)者繼續(xù)用它說話。”數(shù)學(xué)家J·N·Kapur:“宇宙就是哲學(xué)的全書。這本書向著人們的好奇心敞開著，但是誰如果不先掌握好寫這本書所用的語言和文字，他就不用想讀懂它。這個(gè)語言就是數(shù)學(xué)，這些文字就是三角形、圓和其他圖形?！泵绹茖W(xué)基金會主任R·Colwell:“數(shù)學(xué)是決定性的相互交叉的學(xué)科，數(shù)學(xué)是取得全面進(jìn)步的出發(fā)點(diǎn)。數(shù)學(xué)既是強(qiáng)有力的洞察工具，又是科學(xué)的共同語言。我們把它稱為科學(xué)的世界語。

27、” （9）數(shù)學(xué)是藝術(shù)藝術(shù)分類的兩種常見方法：方法一：表演藝術(shù)（音樂、舞蹈）、造型藝術(shù)（繪畫、雕塑）、語言藝術(shù)（文學(xué)）、綜合藝術(shù)（戲劇、電影）方法二：時(shí)間藝術(shù)（音樂）、空間藝術(shù)（繪畫、雕塑）、 綜合藝術(shù)（戲劇、電影）。數(shù)學(xué)家羅素說：“數(shù)學(xué)，如果正確的看待它，不僅擁有真理，而且也具有至高的美。正象雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美。這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或者音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地。” 懷特海：“作為人類精神的創(chuàng)造，只有音樂堪與數(shù)學(xué)比美?！?法國數(shù)學(xué)家龐卡萊：“一個(gè)名符其實(shí)的科學(xué)家，尤其是數(shù)學(xué)家，他在他

28、的工作中體驗(yàn)到和藝術(shù)家一樣的印象，他的樂趣與藝術(shù)家的樂趣具有相同的性質(zhì)，是同樣偉大的東西?！薄笆紫龋瑑?nèi)行們從數(shù)學(xué)中得到樂趣，就像人們從繪畫和音樂中得到的一樣。他們欣賞數(shù)和形的精美的和諧，他們驚奇地看到，新的發(fā)現(xiàn)向他們展示了意外的前景并因而給他們帶來歡樂。盡管美學(xué)并未介入，但這難道沒有美學(xué)特征嗎？只有少數(shù)幾個(gè)有特權(quán)的人可以說欣賞了它的全部美，但在最高尚的藝術(shù)中不也正是如此嗎？” 英國數(shù)學(xué)家哈代：“如果數(shù)學(xué)有什么存在權(quán)利的話，那就是只是作為藝術(shù)而存在?！薄拔覀兊幕顒?dòng)與藝術(shù)家的活動(dòng)有許多共同之處：畫家進(jìn)行色彩與形態(tài)的組合，音樂家把樂音組合起來，詩人組詞，而我們這是把一定類型的概念組合起來?！?美國數(shù)

29、學(xué)家哈爾莫斯：“繪畫來自物質(zhì)現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)也是如此。在繪畫與數(shù)學(xué)中，美有客觀標(biāo)準(zhǔn)。畫家講究線條、結(jié)構(gòu)、造型、肌理、而史學(xué)家則講究真實(shí)、正確、新奇、普遍?！睌?shù)學(xué)“是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家創(chuàng)造了美好的概念；數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家象藝術(shù)家一樣地生活，一樣地工作，一樣地思索；數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家這樣對待它?！?美國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家M·克萊因：“音樂能激發(fā)和撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上的一切?！彼€認(rèn)為：藝術(shù)、科學(xué)和哲學(xué)是支撐人類文明的三大篇章，數(shù)學(xué)則被視為這三大篇章的綜合。（10）數(shù)學(xué)是科學(xué)中國古代六藝

30、：禮、樂、射、御、書、數(shù)。古希臘七藝：算術(shù)、幾何、音樂、天文、文法、修辭、邏輯。 現(xiàn)代科學(xué)的分類： 四分法：數(shù)學(xué)科學(xué)、自然科學(xué)、哲學(xué)、社會科學(xué)。 五分法（于光遠(yuǎn)）：哲學(xué)、社會科學(xué)、自然科學(xué)、思維科學(xué)、數(shù)學(xué)。 八分法（錢學(xué)森）：自然科學(xué)、社會科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、思維科學(xué)、人體科學(xué)、軍事科學(xué)、文學(xué)藝術(shù)理論科學(xué)。三層次法（前蘇聯(lián)科學(xué)家茹科夫）：普遍科學(xué)：哲學(xué)、數(shù)學(xué)；總體科學(xué)：一般系統(tǒng)論、控制論；局部科學(xué)：物理、化學(xué)、生物等。（11）數(shù)學(xué)是技術(shù) 1981年美國國家委員會成立一個(gè)專門委員會，經(jīng)過三年觀察分析，于1984年提出：“進(jìn)一步繁榮美國數(shù)學(xué)的報(bào)告” 。其中指出：“高科技的出現(xiàn)把我們的社會推進(jìn)

31、到數(shù)學(xué)工程技術(shù)的時(shí)代?！睂ｉT委員會主席、應(yīng)用數(shù)學(xué)家E·David指出：“很少有人認(rèn)識到被如此稱頌的高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)?！薄皵?shù)學(xué)的思考方式具有根本的重要性。簡言之，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識提供方法，以至當(dāng)用于技術(shù)時(shí)就能使科學(xué)家和工程師們生產(chǎn)出系統(tǒng)的、能復(fù)制的、并且是可以傳播的知識?！?美國科學(xué)院院士J·G·Glimm:“數(shù)學(xué)對經(jīng)濟(jì)競爭力至為重要。數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍適用的、并授予人以能力的技術(shù)?！薄皵?shù)學(xué)的重要性的非自明性，作為一種技術(shù)的數(shù)學(xué)科學(xué)的作用未被認(rèn)識到，數(shù)學(xué)科學(xué)作為技術(shù)變化以及工業(yè)競爭的推動(dòng)力的作用的極端重要性也未被認(rèn)識到?！蔽覈鴶?shù)學(xué)家王梓坤：“時(shí)至今

32、日，數(shù)學(xué)已兼有科學(xué)和技術(shù)兩種品質(zhì)，這是其他學(xué)科所難及的，不可不知?！保?2）數(shù)學(xué)是文化 我國數(shù)學(xué)家、原武漢大學(xué)校長齊民友在數(shù)學(xué)與文化一書中指出：“數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達(dá)了一種探索精神?！?“數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其永恒的主題是認(rèn)識宇宙，也認(rèn)識人類自己。在這個(gè)探索過程中，數(shù)學(xué)把理性思維的力量發(fā)揮得淋漓盡致，它提供了一種思維合理性的標(biāo)準(zhǔn)，給人類的思想解放打開了道路?！?齊民友通過對歷史經(jīng)濟(jì)研究得到結(jié)論：“歷史已經(jīng)證明，而且將繼續(xù)證明、一個(gè)沒有相當(dāng)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的；一個(gè)不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的。沒有現(xiàn)代的數(shù)學(xué)就不會有現(xiàn)代的文化，沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的文

33、化是注定要衰落的。”2、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)第一是抽象性，第二是精確性，第三是應(yīng)用的廣泛性。（1）抽象性從中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)體會到數(shù)學(xué)的抽象性了。直線、平面、空間都是抽象的概念， n 維空間以至無窮維空間更是抽象的概念。不過，抽象不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的特性，任何一門科學(xué)都具有這一特性。數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)在于：第一，在數(shù)學(xué)的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切；第二，數(shù)學(xué)的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達(dá)到的抽象程度大大超過了其它學(xué)科中的抽象；第三，數(shù)學(xué)本身幾乎全在處理抽象概念和它們的相互關(guān)系。（2）精確性數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑性。數(shù)學(xué)的精確性不同于物理、化

34、學(xué)等其它大多數(shù)學(xué)科。漢克爾說：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓?！迸e兩個(gè)例子： 地心說日心說開普勒三定律 高溫超導(dǎo)的上界（朱棣文）30º90º120ºK（3）應(yīng)用的廣泛性華羅庚（1910-1985）先生說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在。例子：哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)；海王星的發(fā)現(xiàn)；電磁波的發(fā)現(xiàn)。 3、數(shù)學(xué)的語言及數(shù)學(xué)的應(yīng)用（1）數(shù)學(xué)的語言自然語言是具體的語言，數(shù)學(xué)語言是形式化的語言。中國人說漢語，美國人講英語，或河南人說河南話，這些都是自然語言。數(shù)學(xué)語言是一

35、種由數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)術(shù)語和經(jīng)過改造的自然語言構(gòu)成的科學(xué)語言?？梢哉f，數(shù)學(xué)語言是人類文明、宇宙文明的共同語言。當(dāng)你寫下，不同的民族雖然有不同的自然語言，但對此數(shù)學(xué)語言描述的內(nèi)容，不同的人種都能明白。20世紀(jì)70年代，為與外星人取得聯(lián)系，美國曾發(fā)射過一艘宇宙飛船。飛船上帶去了地球人類最具代表性的物件，其中包括一件用黃金制作的體現(xiàn)勾股定理的圖案。數(shù)學(xué)語言有四個(gè)特點(diǎn)：明晰；嚴(yán)謹(jǐn)；簡潔；規(guī)范。（2）數(shù)學(xué)的應(yīng)用德國大數(shù)學(xué)家、號稱“數(shù)學(xué)王子”的高斯有句名言：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”這句話幾乎可以說家喻戶曉，但許多人可能不知道，高斯跟這句話一起說了一段話，高斯這段原話的意思可以概括為兩句話，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)學(xué)

36、也是科學(xué)的女仆?！蔽依斫猓耙痪湓捦怀鰯?shù)學(xué)是精密思維的典范，后一句則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)為其它科學(xué)服務(wù)，是其它科學(xué)的工具.非常形象和恰當(dāng)?shù)胤从沉藬?shù)學(xué)的價(jià)值和作用。高斯是數(shù)學(xué)家, 我們再看看一些非數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)。德國哲學(xué)家康德曾經(jīng)這樣說道：“我堅(jiān)決認(rèn)為，任何一門自然科學(xué)，只有當(dāng)它數(shù)學(xué)化之后，才能稱得上是真正的科學(xué)?！睙o產(chǎn)階級革命家馬克思也說過：“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步。”在20世紀(jì)初相對論的創(chuàng)立過程中，數(shù)學(xué)就建有奇功。1907年，德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（H. Minkowski,18641909）提出“閔可夫斯基空間”，為愛因斯坦狹義相對論提供了合適的數(shù)學(xué)模型。有了閔可夫斯基時(shí)

37、空模型后，愛因斯坦又進(jìn)一步研究引力場理論以建立廣義相對論。1912年夏愛因斯坦已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但為了實(shí)現(xiàn)廣義相對論的目標(biāo)，還必須尋求理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，一個(gè)很重要的要求是使引力定律在一定的坐標(biāo)變換下保持不變(即所謂協(xié)變)。愛因斯坦為此徘徊徬徨了3年時(shí)間，最后在他的大學(xué)同學(xué)數(shù)學(xué)家格羅斯曼（M. Grossman）介紹下學(xué)習(xí)掌握了意大利數(shù)學(xué)家勒維-奇維塔等在黎曼幾何基礎(chǔ)上發(fā)展起來的絕對微分學(xué)，亦即愛因斯坦后來所稱的張量分析，并很快發(fā)現(xiàn)這正是建立廣義相對論引力理論的合適的數(shù)學(xué)工具。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導(dǎo)出廣義協(xié)變的引力方程愛因斯坦指出，“由于這組方

38、程，廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成。”廣義相對論這幢大廈現(xiàn)在可以蓋上金頂了, 而這個(gè)金頂依靠的恰恰是數(shù)學(xué)。 后來，在回顧這段歷史時(shí)，愛因斯坦坦率地承認(rèn)了他過去輕視數(shù)學(xué)是一個(gè)極大的錯(cuò)誤，他反省道：“在幾年獨(dú)立的科學(xué)研究之后，我才逐漸明白了在科學(xué)探索的過程中，通向更深入的道路是同最精密的數(shù)學(xué)方法聯(lián)系在一起的?！边@是愛因斯坦自己的話，是作為一個(gè)科學(xué)家的深切體會。再說個(gè)簡單的例子。上世紀(jì)80年代，美國華裔學(xué)者陳炳藻，使用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，探究了紅樓夢前后用字的規(guī)律。發(fā)現(xiàn)紅樓夢前八十回與后四十回所用的詞匯正相關(guān)程度達(dá)到78.57%，由此推斷得出前八十回與后四十回的作者均為曹雪芹一人的結(jié)論。中國數(shù)學(xué)

39、家李賢平在美國威斯康星大學(xué)，運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)的模式識別法和統(tǒng)計(jì)學(xué)家使用的探索性數(shù)據(jù)分析法，又提出了一個(gè)紅樓夢成書過程的觀點(diǎn)：紅樓夢各回所寫內(nèi)容具有不同的風(fēng)格，各部分實(shí)際上是由不同作者在不同時(shí)期里完成的。 二、 “數(shù)學(xué)文化”與“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”從數(shù)學(xué)的公眾形象談起.大家可能已聽說教育部在課程改革過程中做過的一項(xiàng)調(diào)查,這項(xiàng)調(diào)查涉及中學(xué)生對各門課程的態(tài)度.調(diào)查結(jié)果顯示,中學(xué)生對數(shù)學(xué)課的態(tài)度概而言之是:又愛又恨,意思是又喜歡又討厭,或者是有的喜歡,有的討厭.中央電視臺在配合2002年國際數(shù)學(xué)家大會而制作數(shù)學(xué)傳播節(jié)目時(shí)所作的公眾問答也反映,數(shù)學(xué)在大多數(shù)公眾的心目中是一堆數(shù)字和公式,抽象、深?yuàn)W甚至神秘,對數(shù)學(xué)的應(yīng)

40、用價(jià)值也不甚了解。數(shù)學(xué)的這種公眾形象從發(fā)展現(xiàn)代教育與科學(xué)的角度看是堪憂的.數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科,數(shù)學(xué)教育是基礎(chǔ)教育.對于現(xiàn)代化社會而言,數(shù)學(xué)素質(zhì)應(yīng)該是公民所必須具備的一種基本素質(zhì).為了切實(shí)地將我國的教育提高到現(xiàn)代的先進(jìn)的水準(zhǔn),使人們樹立起正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀,具有十分重要的意義. 當(dāng)前正在推進(jìn)的基礎(chǔ)教育改革十分重視這一點(diǎn),采取了一系列措施,其中包括加強(qiáng)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的教育。中華人民共和國教育部2003年制訂頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))(簡稱標(biāo)準(zhǔn))前言部分“二.課程的基本理念”第8條就是“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”,其中指出：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢

41、，數(shù)學(xué)對推動(dòng)社會發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。標(biāo)準(zhǔn)在二級標(biāo)題中使用“數(shù)學(xué)文化”一詞，這表明“數(shù)學(xué)文化”一詞已在官方文件中正式使用?！皵?shù)學(xué)文化”一詞的內(nèi)涵，簡單說，是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展；廣泛地說，除上述內(nèi)涵外，還包括數(shù)學(xué)（家）故事、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。關(guān)于何謂數(shù)學(xué)素養(yǎng)（也叫數(shù)學(xué)素質(zhì)），先介紹兩句耐人尋味的話：一個(gè)人不識字可以生活，但是若不識數(shù)，就很難生活了。一個(gè)國家科學(xué)的進(jìn)步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度

42、量?！皵?shù)學(xué)素養(yǎng)”的通俗說法是：把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排除或忘掉后，剩下的東西。例如，從數(shù)學(xué)角度出發(fā)看問題，有條理嚴(yán)密地思考、求證；簡潔、清晰、準(zhǔn)確的表達(dá)；在解決問題時(shí)、總結(jié)工作時(shí)，邏輯推理的意識和能力；對所從事的工作，合理地量化和簡化，周到地運(yùn)籌帷幄。關(guān)于“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的專業(yè)說法，摘自教育部高等學(xué)?！皵?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會”的項(xiàng)目結(jié)題報(bào)告“數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告”，分五點(diǎn)論述，具體可“參考書目1”。需要指出，它是針對數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)的學(xué)生，其他專業(yè)學(xué)生僅作參考。就像大家常說的“1+12”問題實(shí)際上是“任意一個(gè)足夠大的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，它是“哥德巴赫猜想”問題之一。我們只需了解這個(gè)問題，而

43、無需知道其證明。三、“數(shù)學(xué)邏輯”我們已經(jīng)知道，數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系是：邏輯是遵循思維規(guī)律，運(yùn)用科學(xué)的概念、原理、定律等進(jìn)行判斷和推理的；數(shù)學(xué)是以數(shù)與形為研究對象，要求有條理嚴(yán)密地思考、求證，簡明、準(zhǔn)確的表達(dá)。邏輯與數(shù)學(xué)是密不可分的，邏輯包含數(shù)學(xué)；只不過數(shù)學(xué)主要是用數(shù)學(xué)概念、定理、公式等進(jìn)行邏輯推理的。大家試想一下，我們的工作生活中應(yīng)用邏輯思維的例子不勝枚舉，并且絕大部分或多或少的與數(shù)學(xué)有聯(lián)系，但又不需要多么艱深晦澀的數(shù)學(xué)知識，只需要我們有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，會進(jìn)行正確的邏輯推理就可以了；因此我們這個(gè)講義所涉及的邏輯思維推理，只需具備初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就可以了。可以這樣講，以初等數(shù)學(xué)的概念、公式、定理、結(jié)論等

44、為基礎(chǔ)進(jìn)行有條理的思考、判斷和推理，然后將結(jié)果簡明、準(zhǔn)確的表達(dá)出來，就叫做“常量數(shù)學(xué)邏輯”，簡稱為“數(shù)學(xué)邏輯”。 以后本講義中談到的“數(shù)學(xué)邏輯”，都是指的這種定義，并且談到“邏輯思維”，只要不特別說明，基本上所指的就是 “常量數(shù)學(xué)邏輯”。下面介紹幾個(gè)工作生活里“數(shù)學(xué)邏輯”重要性的例子。華東師大的張奠宙教授講過一個(gè)例子：一位中學(xué)畢業(yè)生在上海和平飯店做電工，從空調(diào)機(jī)制冷效果不同，他發(fā)現(xiàn)地下室到十樓的三根電線中的一根與其它不同，現(xiàn)需要測量其電阻。然而都沒有足夠長的測量工具，在別人因?yàn)榫嚯x長而感到困難的時(shí)候，他想到了對地下室到十樓的三根電線統(tǒng)一處理。最后，用了簡單的解三元一次方程組的知識，解決了問題。

45、當(dāng)然，他得到了上司的賞識，后來做得很好。接著看一個(gè)簡單數(shù)字推理問題：下邊圖中有10個(gè)不同的字母，代表（09）10個(gè)不同的數(shù)碼，已知D=5，求其余字母各代表什么數(shù)碼？（圖中進(jìn)位點(diǎn)數(shù)省略） 分析：因D=5 T=0 有一個(gè)很特殊的式子Q+E=Q 顯然，E=0才能滿足，但T=0，E不能重復(fù)等于0，E+1=10有進(jìn)位。E=9，A+A=E，A不能是分?jǐn)?shù)，又有進(jìn)位。A=4 2L+1-10=R=5+G+1，R是個(gè)位數(shù)，又是奇數(shù)，且RD=5，E=9， R只能等于7。再由D+G+1=7，2L+1-10=R，得 L=8 ，G=1 .還剩下2、3、6，N+R=B10，由于T=0,R=7，而左邊的Q+E上有進(jìn)位，故N+

46、R>10，N=6，又N+R=13，B=3，則Q=2。最后這里運(yùn)用的是邏輯思維的綜合分析的方法。最后講個(gè)微軟公司（一說是IBM公司）招考員工的一道面試題：一個(gè)屋子里有50個(gè)人，每個(gè)人有一條狗，而這些狗中已知有一部分是病狗。假定滿足以下條件：（1）狗的病不會傳染，也不會不治而愈；（2）狗的主人不能直接看自己的狗是否有病，只能靠看別人的狗來推理自己的狗是否有?。唬?）一旦主人正確推理出自己的狗是一只病狗，就會在當(dāng)天開槍打死它；（4）一個(gè)人即使看到別人的病狗，他既不能開槍也不能告訴病狗主人，病狗只能由他的主人開槍打死。如果他們在一起，第一天沒有槍聲，第二天也沒有槍聲，第十天響起了一片槍聲，問有幾

47、條狗被打死？數(shù)學(xué)邏輯推理如下：（1） 只有一只狗有病時(shí)，顯然，第一天就會聽到槍響；（2） 假設(shè)有k條狗患病時(shí)，第k-1天聽不到槍聲，第k天才會聽到槍聲，那么當(dāng)有k+1條狗患病時(shí)，顯然，前k天不會出現(xiàn)槍聲，而任一個(gè)患病的狗的主人，他看到有k條狗有病，但是前k天沒有槍聲，所以他知道患病的狗不止k條，故他會在k+1天使開槍打死自己的狗。由以上內(nèi)容的介紹學(xué)習(xí)，我們可以這樣說，學(xué)習(xí)“邏輯思維與職業(yè)生涯概述”課程的宗旨，就是提高大學(xué)生工作生活里不可或缺的邏輯思維能力，培養(yǎng)大家的“常量數(shù)學(xué)邏輯”素養(yǎng)，使得在將來的職業(yè)生涯中，幫助你起到“四兩撥千斤”的作用。習(xí)題1.21、請你說出兩種不同的數(shù)學(xué)定義。 2、簡單的說，數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是 、 與 。數(shù)學(xué)語言有四個(gè)特點(diǎn)： ； ； ； 。3、你如何理解“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”和“數(shù)學(xué)邏輯”的？4、想象一下許昌市清逸河兩岸和之間的幾座橋（河水略去），你如何僅用點(diǎn)和線將它們抽象的畫出來？5、本章第二節(jié)中“桔子、蘋果與混裝的標(biāo)簽問題”如何解決？第一章講義附錄 邏輯思維的四個(gè)基本規(guī)律 真理是邏輯學(xué)研究的對象。要準(zhǔn)確地應(yīng)用概念和判斷，進(jìn)行推理或證明，就必須掌握同一律、矛盾律、排中律、充足理由律這四條邏輯思維的基本規(guī)律?？紤]到本科生或多或少地了解邏輯學(xué)知識，這些規(guī)律不作全面講述，我們只是結(jié)合本講義有目的地講解和滲透