首屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽-非數(shù)學(xué)類答案

1、2009)首屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽賽區(qū)賽試卷（非數(shù)學(xué)類,一、填空題（每小題 5分，共20分）(x y)ln(1 -)1.計算 nD J坐標軸所圍成三角形區(qū)域dxdyD由直線x y 1與兩解令x y u,xv,則v, yu v, dxdy detdudvdudv ,(x y)ln(1x ydxdyu In uuln v .dudv,1 u10(*)212t212 (1 2t0解得1 t24t )dtt4)dt2.設(shè)f（x）是連續(xù)函數(shù),解令A(yù)2(3x2 A4A 一。因此33.曲面z,2 .1 u ln u u(u ln u u),1 u2u .du0 .1(*)dudu2tdt2,31,5_ t _

2、 t350且滿足f(x) 3x22 f (x)dx,則 f (x)2)dxf(x)解因平面2x8 2(A 2)3x2 W31 2t2 t4 , u(11615f(x)dx 2 ,則u) t2(1 t)(1 t),f(x)3x22,4 2A,2平行平面2x 2y z0的切平面方程是2y z 0的法向量為（2,2, 1）(xo, yo)處的法向量為(zx(xo, yo), zy(xo,yo), 1),故2而曲面z y2 2在2(zx(xo, yo), zy(xo, yo), 1)與(2,2, 1)平行，因此，由 zx x, zy 2y 知 2 zx(x, y)Xo,2 zy(Xo, yo) 2y0

3、,即 Xo 2,y01，又 z(x0,y0)z( 2,1) 1,于是曲面 2x 2y z 0 在(x, y, z(x, y。)u In u u u u dv In vdv)du1 u 01 u 0x 2y2平行平面2 jf具有二階導(dǎo)數(shù)，且處的切平面方程是 2(x 2) 2(y 1) (z 1) 0,即曲面 2x 2y z 0的切平面方程是2x 2y z 5 0。4.設(shè)函數(shù)y y(x)由方程xef(y)eyln29確定，其中d2ydx2 -解法1方程xeef(y)f (y)ey ln29的兩邊對x求導(dǎo)，得xf (y) yef(y)ey y ln 29因 ey In 29(y)yxef(y)y e

4、y ln29xef (y)(y)yx(l f (y)d2y dx21 x2(1f(y)f (y)y-2x1 f (y)(y)-2f (y) 1 f (y)解法2方程x21f (y)3x2(1 f (y)x21f (y)3xef(y)eyln29取對數(shù)，得f (y)In xy In In 29(1)方程(1)的兩邊對x求導(dǎo),得 f (y)y(2)(3)方程(2)的兩邊對x求導(dǎo),得 f (y)y(y)(y)2(4)將(3)代入(4),得f (y)y(y)x2(1 f (y)2將左邊的第一項移到右邊,-2f (y) (1 f(y) 2-2 yx (1 f (y)(1(y)因此f (y) 1 f (y

5、)2、(5分)求極限11m0(x21f (y)x 2x e enx e);,其中n是給定的正整數(shù).1即y 1x(1 f (y)解法1因x 2x e e lim (x 0nx e)x典(1x 2x e enx e e n)Xx 2x e e A limx 0x 2xe eelimx 0nxe n ennxe n因此xelim (x 0解法2因x e lim ln( x 0xelim (x 02x enxx 2xe 2e2x eelimx 0nxexnxne2x enx e e - 一)xnx e e - 一)xc 2x2e27 enx e5elimx 0ln(exnx nenxe三、(15分)設(shè)

6、函數(shù)f(x)連續(xù)，g(x)g (x)并討論g (x)在x0處的連續(xù)性.解由lim因 g(x)因此，當x2x e_ nx e ) In n3 A和函數(shù)f(x)連續(xù)知,x10 f (xt)dt故 g(0)f (xt)dt ,且 limQ10 f (0)dt0 時,g(x)f (u)du ,故lxm0g(x)x0 f (u)du lim 當x 0時,g (x)0 f (u)duf(x)g(x)xg(0)lxmxx0 f出lim g (x)limx 0x0 f (u)duxf(x)x這表明g (x)在x 0處連續(xù).f(0) lmf(x)x 0limxlimTf(0) 0,f(0) 0x0 fdt2xl

7、imfx 0 xl x 0 2x.1 一、， lim 2 f (u)dux x四、(15分)已知平面區(qū)域 D (x, y)|0 x,0 y , L為D的正向邊界,試證：(1)xesinydy ye sinxdxL；xesinydy ye sinydx L證因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在sin ysinxo xe dy ye dx;L5 2 .2D上連續(xù)，故由格林公式知sin(1) xeLydy yesin x dxsin ysin x、一 (xe ) ( ye ) dxdyD x(esinyDy_ sinx、e )dxdysin y ,xe dyLsin x ye dx(xeD x(esinyDsi

8、n y)sin xye)dxdy而D關(guān)于x和y是對稱的, (esinyD因此(2)sin x e由xesinydyL知：xesinydyye2(1sin xsin x、e )dxdy即知_ sinx、e )dxdysin xeLydyye2!q4!sin ydxsin yye dxsin2 x(esiny(esinyD(eDsin y_sinx、e )dxdysin xdxxeL2(1 t2)1 cos2x2sinx、)dxdysin x e)dxdysin ysin x .dy ye dx5 cos2x(esin ysin ex)dxdy(esin ysin x、! )dxdy(esinyD

9、sin y .e )dxdy(esinxsin x e)dxdysin x(eesinx)dxD5 cos2x , dx/ sin x(eDsin x、e )dxdy口 xesin ydyLsin y , ye dx五、110 分)已知 yixex e2x, y xex ex, y xex e2x e x 是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程解設(shè)y1xex e2x, y2 xex e x, y3 xex e2x e x是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程y by cy f (x)的三個解，則y2yle x以和y3 y1e x都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程y by cy 0的解，因

10、此y by cy 0的特征多項式是(2)(1) 0,而y by cy 0的特征多項式是2 b c 0因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為y y 2y 0,由y1 y1 2ylf(x)和x x 2xx x 2xy1e xe2e, y12exe4ex x 2x . x x 2xx2x.知，f(x) yiyi2yixe2e4e(xe e 2e ) 2(xee )(1 2x)ex二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為 xxy y 2y e 2xe六、(10分)設(shè)拋物線y2ax bx 2 In c 0 x1時，y 0,又已知該拋物線與 x軸1. 及直線x 1所圍圖形的面積為 一.試確定a,b,c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)

11、一周而成的旋轉(zhuǎn)體的 3體積最小.解因拋物線y ax2 bx 2lnc過原點，故c 1,于是112.、.o(ax bx)dtb 2 a bx 203 2即b 2(1 a)3而此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(a)1220(ax bx) dt1220(ax 3(132a)x) dt2 1 441 342 1 2a x dt a(1 a) x dt (1 a) x dt0309012142-a -a(1 a) (1 a) 532712142V (a) a a(1 a) (1 a) 5327218V (a)-a-(12a)(1a) 0,532754 a 45 90a 40 40a4a 5 0

12、因此a:,b32 ,c1.七、(15 分)已知 un(x)滿足 un(x) un(x)xn1ex(n 1,2,),且 un(1)e一,求函 n數(shù)項級數(shù)Un(x)之和.n 1解Un(x)Un(x) xn 1ex ,即n 1 xy y x e由一階線性非齊次微分方程公式知y ex(Cxn1dx)即ny ex(C -) n因此n.、 x 一 x 、Un(x) e (C ) n0,由 e Un(1) e(C 1)知，C nn于是 n x/、 x eUn(x)n下面求級數(shù)的和：令S(x)S(x)S(x)Un(x) n 1/ n 1 x(x en 1x e S(x)1 xn x)S(x) nn 1 xx

13、e S(x) n 1由一階線性非齊次微分方程公式知cx _1S(x) ex(C dx)1 x令 x 0,得 0 S(0)un (x)的和S(x) exln(1x)八、（10分）求x21時，與 xn等價的無窮大量.n 0t2解令Mt)xt ,則因當0 x 1, t (1,）時，f(t)2txt2t2 f(t) xtt2ln1e x在(0,）上嚴格單調(diào)減。因此f(t)dtf(t)dtf (n)n 0f(0)nnn1f(t)dtf(t)dtf(t)dtf (n)n 10 f(t)dtf (n)2nx ,0所以，當xlimx 11 lnx1 xlimf (t)dtxt dtt2ln-e xdtln1x

14、e t dt0ln1 x1時，與n2xn等價的無窮大量是0首屆國珍松竹文化節(jié)知識競賽試題C 老子道德經(jīng)）C.荀子大略）A 李白贈韋侍御黃裳B 莊子讓王C.司馬遷史記、單選題1 在中華民族傳統(tǒng)文化中，被譽為 歲寒三友 的是（ ）A.松竹梅B.松竹蘭C.松蘭梅 2 “歲寒，然后知松柏之后凋也。 ”出自（ ）A 李商隱高松 B 孔子論語3 “歲不寒，無以知松柏。事不難，無以知君子。A 石延年古松 B 朱元璋山松4 “大寒既至，霜雪既降，吾是以知松柏之茂也。5 “要學(xué)那泰山頂上一棵松，挺然屹立傲蒼穹。”出自（ ）A.京劇沙家浜B.評劇蘆蕩火種C.話劇日出6 “對干燥無所畏懼的生命力最強的花粉，是帶有氣

15、囊的松花粉。 ”的作者是（ ）A.哥白尼B.達爾文C.牛頓7 “寧可食無肉，不可居無竹。無肉令人瘦，無竹令人俗。人瘦尚可肥，士俗不可醫(yī)。 ”的作者是（ ）A 王安石B 王維C 蘇東坡8 “長生不老有新方，可惜今人卻渺茫，細將松黃經(jīng)曲搗，朝朝服食?？迪?。 ”出自（ ）A.汪元亨歸隱B.王士雄長壽詩C.白居易枕上行9 “一斤松花不可少，八兩蒲黃切莫炒，槐花杏花各五錢，兩斤白蜜一起搗，吃也好，浴也好，紅白容顏直到老。 ”出自（ ）A.蘇東坡花粉歌 B.王象晉群芳譜C.林洪山家清供 10在我國營養(yǎng)學(xué)專著中記載補中益氣和壯筋骨的“松黃湯”及制作方法出自（A 食物本草 B 飲膳正要 C 調(diào)疾飲食辯11 “

16、未出土時便有節(jié)，及凌云處尚虛心。 ”指的是（ ）A 菊花B 松樹C 竹子12鄭板橋所作： “咬定青山不放松，立根原在破巖中；千磨萬擊還堅勁，任爾東西南北風。 ”比喻的是哪種植物（ ）A 松樹B 竹子C 柏樹13 “客從岳頂來，貽我松花粉。為言服之久，身輕欲飛翔。 ”的作者是（ ）A .金張健B .唐姚合C .元練魯14 “天壽山守備太監(jiān)，轄十二陵掌印等官，凡每年春季進貢松花粉。 ”出自（ ）A 張可久山中書事 B 劉若愚明宮史C 施閏章山行15世界上第一部國家頒布的藥典記載的藥食兼用花粉是（）A.油菜花粉B.槐花粉C.松花粉16 “松花即松黃，拂取正似蒲黃，久服令輕身，療病勝似皮、葉及脂也。

17、”出自（ ）A.食療本草B.新修本草C.神農(nóng)本草經(jīng)17世界竹文化的發(fā)祥地是（）A 中國B 印度C 埃及18我國第一部有關(guān)竹子的專著是晉代戴凱之的（ ）A 易經(jīng) B 竹譜 C 周禮19在自然環(huán)境中，竹子與其他植物相比能多釋放氧氣的比例是（ ）A 55%B 45% C 35%20在我國森林資源中，松科植物占資源總量的（ ）A 30% B 60% C 70%21我國馬尾松和油松分布在多少個省區(qū)（ ）A 23 個 B 17 個 C 7 個22竹子的藥用歷史始于1500 年前的（ ）A 滇南本草 B 名醫(yī)別錄 C 食物本草23竹葉黃酮的原料是淡竹的葉，主要產(chǎn)自（ ）A.四川綿陽B.江西吉安C.浙江安吉2

18、4松花粉按采集方式屬于（ ）A.蟲媒花粉B.風媒花粉C.蟲媒和風媒花粉25松花粉是裸子植物松科中哪種樹的花粉（ ）A.馬尾松和油松B.柏松和油松C.馬尾松和柏松26松花粉的最佳采摘期為（ ）A.立春前后B.清明前后C.立夏前后27服用松花粉最適宜的水溫是（ ）A.開水B.高于攝氏40度的溫開水或涼白開水C.低于攝氏40度的溫開水或涼白開水28聯(lián)合國衛(wèi)生組織對健康的定義是（ ）A.無病即健康B 健康不僅是軀體沒有疾病，還要具備心理健康、社會適應(yīng)力良好和道德健康。C.心理健康29世界衛(wèi)生組織提出的“四大健康基石”是指（ ）A.合理膳食，適量運動，戒煙限酒，心理平衡B 合理膳食，大量運動，戒煙限酒，

19、心理平衡C.素食主義，適量運動，戒煙限酒，心理平衡30世界衛(wèi)生組織報告指出，健康與長壽取決于多種因素，下面哪個因素所占比例最高（ ）A.遺傳因素B.自我保健C.社會因素31通常所說的合理膳食指的是（ ）A.只吃葷不吃素B.只吃素不吃葷C.葷素搭配膳食平衡32.“圣人不治已病治未病，病已成而后藥之不亦晚乎！”出自（）A 白氏內(nèi)經(jīng) B 黃帝內(nèi)經(jīng) C 白氏外經(jīng)33人體所需的必需氨基酸有幾種（ ）A 8種 B 5種 C 3種34針對身體健康狀況常說的“三高癥”指的是（ ）A.高血脂、高血糖和高膽固醇B.高血脂、高血壓和高血糖C.高血脂、高血壓和高膽固醇35不良飲食習慣中的“三高”指的是（ ）A.高脂、

20、高糖、高纖維B.高脂、高鹽、高纖維C.高脂、高鹽、高糖36心腦血管病的兩個基礎(chǔ)指標是（）A.血壓升高和心律不齊B.血壓升高和動脈粥樣硬化C.心律不齊和動脈粥樣硬化37高血壓的臨床診斷標準是（記錄兩次以上）（ ）A.高壓R 140mmHG 彳氐壓 90 mmHGB.高壓R 120mmHG 彳氐壓 90 mmHGC.高壓R 120mmHG 低壓 100 mmHG38運動加補鈣被認為是防治骨質(zhì)疏松癥的最好方法，如果從食物中不能獲得足夠的鈣，專家建議每天鈣的攝入量應(yīng)維持在（ ）A. 30005000毫克 B. 8001000毫克 C.越多越好39健康的生活方式，包括每天運動的時間應(yīng)（）A.不少于10分

21、鐘 B.不少于20分鐘 C,不少于30分鐘40高密度脂蛋白膽固醇和低密度脂蛋白膽固醇，哪種對人體有益（）A .低密度脂蛋白膽固醇B.高密度脂蛋白膽固醇C.兩種都有益41 “潛在饑餓”指的是（ ）A 因微量營養(yǎng)素的缺乏所造成的饑餓B 因鐵缺乏所造成的饑餓C.因鋅缺乏所造成的饑餓42亞健康是介于健康和疾病之間的第三種狀態(tài)，表現(xiàn)為（）A 自己感到不舒服，檢測指標也不正常；B 自己感到不舒服，但檢測指標正常；C.自己感覺良好，但檢測指標不正常；D 自己感覺良好，檢測指標也正常。、多選題A 百木之長B 十八公44唐代“美人井”的傳說出自（A 張沁妝樓記C.李時珍本草綱目45下面哪些稱呼指的是松花粉（A 益壽粉 B 蒲黃46竹葉黃酮對膽固醇的作用為（A 升高高密度脂蛋白膽固醇C.升高低密度脂蛋白膽固醇 47松花粉中含有哪些營養(yǎng)成分（43在植物界松樹有王者之尊被稱為（）C.木公 D.靈木）B 劉恂嶺表錄異D.圣祖敕廣群芳譜）C 松黃D 松茸）B 降低高密度脂蛋白